Premier univers 5. Décalage cosmologique et dynamique d'un univers en expansion uniforme, partie 1

Sur le site de conférences gratuites MIT OpenCourseWare a posté un cours de conférences sur la cosmologie d' Alan Gus, l'un des créateurs du modèle inflationniste de l'univers.

Votre attention est invitée à la traduction de la cinquième conférence: "Redshift cosmologique et dynamique d'un univers en expansion uniforme, partie 1".


Aujourd'hui, nous terminons l'examen de la cinématique d'un univers en expansion uniforme, dont nous avons discuté la dernière fois. La seule question de ce sujet que nous n'avons pas encore abordée est le décalage cosmologique vers le rouge. Ensuite, nous passons à la dynamique de l'expansion uniforme - comment la gravité affecte l'expansion de l'univers. Ce sera le thème principal des conférences d'aujourd'hui et des prochaines.

Temps cosmologique

Permettez-moi de vous rappeler qu'à la fin de la dernière conférence, nous avons parlé de la synchronisation d'horloge dans le système de coordonnées, que nous utiliserons pour décrire un univers en expansion uniforme. Rappelons que nous avons introduit les coordonnées d'accompagnement, qui se développent avec l'univers. Nous supposerons que l'univers est complètement homogène et isotrope et que tous les objets se trouvent dans ce système de coordonnées.

Dans l'univers réel, il y a un certain mouvement de matière par rapport à ce système de coordonnées, car l'univers n'est pas complètement homogène. Mais maintenant, nous allons travailler avec une approximation dans laquelle notre univers de modèle est absolument homogène et toute la matière se repose par rapport à un système de coordonnées en expansion.

Rappelez-vous maintenant comment nous avons déterminé le temps cosmologique lors de la dernière conférence. Imaginez qu'à chaque point de l'univers il y a une horloge qui est au repos par rapport à la matière, et donc un système de coordonnées d'accompagnement en expansion. Toutes ces montres mesurent l'heure locale et nous voulons nous mettre d'accord sur leur synchronisation. La dernière fois, nous avons découvert que nous pouvons synchroniser l'horloge s'il y a des phénomènes cosmologiques qui peuvent être vus de n'importe où dans l'univers et qui changent avec le temps. Nous avons donné deux exemples: l'un est le changement de la constante Hubble, qui peut être mesuré localement et convenons de mettre votre horloge à zéro lorsque la constante Hubble prend une certaine valeur.

Le deuxième exemple est la température du rayonnement de fond des micro-ondes cosmiques. Dans notre univers modèle, vous pouvez accepter de mettre votre montre à zéro lorsque la température du rayonnement de fond cosmique atteint 5 degrés ou un nombre donné. S'il y a des phénomènes similaires, et ils sont dans notre univers, alors vous pouvez synchroniser toutes les horloges. Il est important de comprendre qu'une fois que l'horloge est une fois synchronisée, elle restera synchronisée en raison de notre hypothèse d'uniformité. Autrement dit, si tout le monde convient que la température du rayonnement de fond cosmique au temps zéro est de 10 degrés, et tout le monde attend 15 minutes, alors tout le monde verra la même baisse de température pendant cette période de temps, sinon cela violerait notre hypothèse d'homogénéité absolue .

ÉTUDIANT: Est-il vrai que la température de rayonnement de fond est la même pour tous les observateurs inertiels?

ENSEIGNANT: Ce n'est pas exactement la même chose pour différents observateurs inertiels. Il en est de même pour une classe privilégiée d'observateurs qui sont au repos par rapport à la répartition moyenne de la matière et, par conséquent, par rapport au système de coordonnées qui l'accompagne. Si vous commencez à vous déplacer à travers le rayonnement de fond cosmique, vous ne verrez plus une distribution de température uniforme. Vous verrez un rayonnement plus chaud dans une direction et plus froid dans l'autre. En fait, comme je l'ai mentionné, nous voyons cet effet dans notre univers réel. Nous nous déplaçons apparemment par rapport au rayonnement de fond cosmique, à environ 1/1000 de la vitesse de la lumière. La température de rayonnement n'est donc pas invariante par rapport au mouvement de l'observateur.

On peut se poser une autre question: la température du rayonnement de fond est-elle la même à différents endroits de l'univers visible? Autant qu'on puisse en juger, oui. Il existe un moyen direct de mesurer la température du rayonnement de fond, dont nous parlerons probablement plus tard dans le cours, en observant certaines raies spectrales dans des galaxies éloignées. Dans certaines galaxies où ces raies sont visibles, la température du rayonnement de fond micro-ondes cosmique peut être directement mesurée. Dans notre modèle, nous supposons une homogénéité complète que tout est le même partout. Bien que l'homogénéité dans l'univers réel ne soit pas complète, il existe des preuves solides de l'homogénéité approximative de notre univers.

ÉTUDIANT: Si certains observateurs vivent près des trous noirs, cela affectera-t-il la synchronisation de l'horloge pour ces observateurs?

ENSEIGNANT: bien sûr. On peut synchroniser cosmologiquement une horloge, en supposant seulement que l'univers est absolument homogène. Dès que des hétérogénéités apparaissent, comme des trous noirs, ou même simplement des étoiles comme le Soleil, elles créent des écarts qui empêchent l'horloge de se synchroniser entre elles. Dès que la concentration massique apparaît, l'uniformité ne devient qu'approximative. Mais ces écarts sont faibles. Les écarts dus au soleil sont de l'ordre d'un millionième. Par conséquent, dans une très bonne approximation, l'univers est décrit par notre modèle homogène. Bien que, si vous vous approchez très près d'un des trous noirs supermassifs situés au centre des galaxies, il s'avère qu'il a une très forte influence sur la progression de votre horloge.

Redshift cosmologique

Le sujet suivant, comme je l'ai promis, est le décalage cosmologique vers le rouge. Dans la troisième conférence, nous avons parlé du décalage Doppler pour les ondes sonores et du décalage Doppler relativiste pour les ondes lumineuses, en tenant compte de la théorie spéciale de la relativité. Cependant, la cosmologie n'est pas complètement décrite par la théorie spéciale de la relativité, bien que la théorie spéciale de la relativité soit utilisée pour décrire les événements locaux en cosmologie. La théorie spéciale de la relativité n'inclut pas les effets de la gravité, et à l'échelle mondiale, les effets de la gravité sont très importants pour la cosmologie. Par conséquent, la théorie spéciale de la relativité n'est pas suffisante pour comprendre de nombreuses propriétés de l'univers, y compris le décalage vers le rouge cosmologique. Cependant, il s'avère qu'il existe un moyen de décrire le décalage vers le rouge cosmologique, qui l'explique encore plus simplement que la théorie spéciale de la relativité. Tout d'abord, je vais le décrire, puis nous parlerons de la façon dont ce résultat très simple se compare à la conclusion de la théorie spéciale de la relativité, qui devrait également être correcte, au moins localement.

Supposons donc que nous regardions une galaxie éloignée et que la lumière soit émise par une source située dans cette galaxie. Nous voulons comprendre quelle est la relation entre la fréquence de la lumière dans le rayonnement et la fréquence que nous verrons lorsque la lumière est reçue.


Pour imaginer cette situation, introduisons un système de coordonnées, $$$x$ . Ce sera notre système de coordonnées compagnon. $$$x$ mesuré en divisions. Nous nous mettrons à l'origine, et la galaxie lointaine à une certaine distance de nous. Elle a une coordonnée spécifique. $$$l_c$ ( $$$c$ dénote concomitante). $$$l_c$ Est la distance qui nous accompagne de la galaxie. La distance physique que nous appellerons $$$l_p$ ( $$$p$ signifie physique), dépend du temps, car l'univers est en expansion. Comme nous l'avons déjà dit $$$l_p (t) = a (t) l_c$ . Facteur d'échelle $$$a (t)$ , qui dépend du temps, est multiplié par la distance qui l'accompagne, qui ne dépend pas du temps. Ainsi, les distances physiques augmentent simplement proportionnellement au facteur d'échelle $$$a (t)$ .

Supposons maintenant que la galaxie émette une onde lumineuse, et nous essayons de déterminer la distance entre les crêtes de l'onde, qui est égale à la longueur d'onde. Puisque nous ne nous intéressons qu'aux crêtes, nous imaginons simplement que chaque crête est une impulsion, et ce qui se passe entre elles ne nous intéresse pas. Nous suivrons les impulsions lumineuses successives émises par la galaxie.

Il est important que nous sachions pour notre modèle comment les ondes lumineuses se propagent dans un système de coordonnées d'accompagnement. Si $$$x$ Est la coordonnée associée, alors $$$dx / dt$ - la vitesse d'accompagnement de la lumière, qui est égale à la vitesse habituelle de la lumière $$$c$ mais divisé par le facteur d'échelle:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = \ frac c {a (t)}$$

Le facteur d'échelle joue ici le rôle de convertir les compteurs en divisions. $$$c$ mesuré en mètres par seconde. Partage $$$c$ sur $$$a (t)$ nous obtenons la vitesse de la lumière en divisions par seconde, comme nous le voulions, car $$$x$ non mesuré en mètres, mais en divisions. La division est une unité arbitraire que nous choisissons pour décrire notre système de coordonnées compagnon.

Une caractéristique importante de cette équation est que la vitesse de la lumière dans le système de coordonnées qui l'accompagne dépend du temps, mais ne dépend pas de $$$x$ . Notre univers est homogène, donc tous les points $$$x$ équivalent. Par conséquent, à chaque instant, deux impulsions lumineuses se déplaceront avec la même vitesse d'accompagnement, peu importe où elles se trouvent. C'est tout ce dont nous avons besoin. La première impulsion quitte la galaxie lointaine et se dirige vers nous, la deuxième impulsion suit la première. La deuxième impulsion à tout moment se déplacera avec la même vitesse d'accompagnement que la première impulsion, même si sa vitesse d'accompagnement change avec le temps.

Cela signifie ce qui suit. La vitesse d'accompagnement des impulsions peut varier avec le temps, mais tant qu'elles se déplacent toutes les deux avec la même vitesse d'accompagnement, elles seront à tout moment exactement à la même distance les unes des autres dans le système de coordonnées d'accompagnement. $$$Δx$ , la distance d'accompagnement entre deux impulsions ne change pas avec le temps. Si la distance d'accompagnement ne change pas avec le temps et que la distance physique est toujours égale au produit du facteur d'échelle par la distance d'accompagnement, la longueur d'onde physique de l'impulsion lumineuse sera simplement étirée proportionnellement au facteur d'échelle. La longueur d'onde augmentera avec l'expansion de l'univers, tout comme toute autre distance dans notre modèle de l'univers augmentera avec l'expansion de l'univers. C'est une idée clé, elle est très simple et elle contient tout.

Ça $$$Δx$ signifie constamment que $$$Δl$ la distance physique est proportionnelle $$$a (t)$ , ce qui signifie que la longueur d'onde de la lumière $$$λ$ , en fonction de t, est proportionnelle $$$a (t)$ .

La longueur d'onde est liée à la période du rapport d'onde $$$λ = cΔt$ . La longueur d'onde est la distance parcourue par une onde au cours d'une période. Par conséquent, si $$$λ$ proportionnelle $$$a (t)$ alors $$$Δt$ , la période des vagues sera proportionnelle $$$a (t)$ . Par conséquent:

$$$$ afficher $$ \ frac {Δt_ {acc.}} {Δt_ {source}} = \ frac {λ _ {acc.}} {λ _ {source}} = \ frac {a (t_ {acc. )}} {a (t_ {source)}} $$ afficher $$

.

Le rapport de longueur d'onde est donc simplement le nombre de fois où l'univers s'est étiré. Il est égal au rapport des facteurs d'échelle dans le temps initial et final. Nous avons déterminé le décalage vers le rouge en utilisant la période des vagues. Le rapport des périodes, ou le rapport des longueurs d'onde, ou le rapport des facteurs d'échelle, est 1 + z.

$$

$$1 + z = \ frac {a (t_ {obs.)}} {A (t_ {source)}}$$

La relation du décalage cosmologique avec la théorie spéciale de la relativité
Comment le décalage vers le cosmologique est-il lié au décalage vers le rouge de la théorie spéciale de la relativité, la formule pour laquelle nous avons dérivé plus tôt? Notre résultat diffère à deux égards du calcul que nous avons fait lors de la troisième conférence. La première raison qui nous tient à cœur est que le calcul cosmologique prend en compte des effets qui n'avaient pas été pris en compte par les calculs précédents. En particulier, malgré le fait que nous ayons reçu la réponse en utilisant un argument cinématique très simple, dans lequel, à première vue, il n'y a pratiquement pas de mathématiques, il est en fait très fort, car il prend en compte non seulement la théorie spéciale de la relativité, mais aussi la théorie générale relativité. Il comprend tous les effets de la gravité. La gravité n'affecte pas le fait que la vitesse de la lumière qui l'accompagne est $$$c / a (t)$ . Ceci est juste une conversion d'unités, ainsi que l'hypothèse physique fondamentale que la vitesse de la lumière est toujours égale $$$c$ concernant tout observateur.

Par conséquent, lorsque nous considérons la gravité, ce rapport continue d'être maintenu, et c'est la seule chose que nous avons utilisée, donc la gravité ne peut pas affecter la réponse. Avons-nous oublié quelque chose de la théorie spéciale de la relativité? Je n'ai pas pris en compte la dilatation temporelle, qui était cruciale pour notre calcul relativiste de redshift.

Ai-je fait une erreur? Dois-je ajouter une dilatation du temps quelque part? En fait, non. Nous avons eu deux heures impliquées dans notre calcul: l'horloge dans la galaxie et notre horloge, que nous avons utilisées pour mesurer la période de rayonnement et la période de réception. Mais ces deux montres sont au repos par rapport à la matière locale, même si elles se déplacent l'une par rapport à l'autre. Par conséquent, par définition, ils mesurent le temps cosmologique. Le temps cosmologique est un type de temps très particulier, ce n'est le temps dans aucun système inertiel. Les horloges se déplacent les unes par rapport aux autres, par conséquent, si nous déterminions l'heure dans le système inertiel, une telle horloge ne pourrait jamais être synchronisée et l'heure ne coïnciderait pas avec elles.

Mais dans le système du temps cosmologique, ils montrent le même temps. Étant donné que chaque montre est au repos par rapport à la matière locale, ils mesurent $$$t$ temps cosmologique. Ainsi, aucune dilatation temporelle n'est nécessaire. Ce n'est pas que nous l'avons oublié, ce n'est pas là. Il n'est pas utilisé dans les calculs.

Ainsi, le résultat obtenu, aussi simple qu'il puisse paraître, couvre en fait pleinement les effets de la théorie spéciale de la relativité et de la gravité. Permettez-moi de noter qu'il n'est pas évident où la gravité est ici. Je vous ai dit que le résultat inclut tous les effets de la gravité. Où est cachée la gravité? Je veux vous poser cette question. Comment la gravité affecte-t-elle les calculs, même si je n'ai pas mentionné la gravité lorsque j'ai fait le calcul?

ÉTUDIANT: Grâce au facteur d'échelle.

ENSEIGNANT: C'est vrai, à travers le facteur d'échelle. Nous n'avons pas parlé de comment changer $$$a (t)$ . Changer $$$a (t)$ inclura explicitement les effets de gravité. C'est pourquoi notre résultat dépend de la gravité, même si nous n'avons pas eu besoin d'utiliser ou de mentionner la gravité pour obtenir une réponse. La réponse pour le redshift cosmologique est si simple parce que $$$a (t)$ comprend déjà beaucoup d'informations. Nous avons juste profité de cela pour obtenir une expression très simple selon $$$a (t)$ sans rien dire encore sur la façon dont nous allons calculer $$$a (t)$ . Ceci est la première différence.

Une autre différence importante entre les deux calculs réside dans les variables utilisées dans la réponse. Il peut y avoir plusieurs réponses différentes à la même question, selon les variables utilisées. Dans ce cas, nous exprimons redshift $$$z$ pour les objets reposant dans un système de coordonnées d'accompagnement. En revanche, le calcul dans la théorie spéciale de la relativité donne z en fonction de la vitesse mesurée dans le système de coordonnées inertielles. Ainsi, les résultats sont exprimés en termes complètement différents.

Que se passe-t-il si nous essayons de comparer les réponses que nous avons reçues pour les décalages vers le rouge relativistes et cosmologiques? Il n'y a qu'un seul cas dans lequel il est légitime de comparer. Étant donné que le calcul que nous venons de faire inclut les effets de la gravité et que le calcul utilisant la théorie spéciale de la relativité n'inclut pas les effets de la gravité, le seul cas dans lequel nous pouvons les comparer et nous assurer qu'ils coïncident est le cas lorsque la gravité est négligeable.

Nous pouvons considérer le modèle cosmologique, où la gravité est petite, il n'y a pas de contradiction. Si la gravité est négligeable, comment se comportera-t-elle $$$a (t)$ ? S'il n'y a pas de gravité, $$$a (t)$ devrait dépendre linéairement de $$$t$ . Cela signifie que toutes les vitesses sont constantes. Ainsi, dans le cas particulier de l'absence de gravité, $$$a (t)$ croît linéairement avec le temps. Dans ce cas, vous pouvez toujours vous assurer que la constante qui est ajoutée au terme linéaire devient nulle, en réglant simplement le temps zéro au moment où $$$a (t)$ égal à zéro. Ainsi, en l'absence de gravité, on peut dire que $$$a (t)$ doit être proportionnelle à t.

Alors pour ce cas particulier, nos deux calculs doivent coïncider. Vous pouvez le vérifier vous-même. Ce n'est pas si simple, pour cela, vous aurez besoin d'une compréhension de la relation entre les deux systèmes de coordonnées. La réponse à la théorie spéciale de la relativité est donnée dans un système de coordonnées inertielles qui, en présence de gravité, n'existe pas du tout. Il est lié au système de coordonnées en expansion d'une manière complexe, en raison de la dilatation du temps et de la contraction de Lorentz associées au mouvement qui se produit dans l'univers en expansion.

Vous devrez découvrir la relation entre ces deux systèmes de coordonnées. Lorsque vous faites cela et comparez les réponses, vous constaterez qu'elles correspondent vraiment exactement. Tout cela est en excellent accord avec la théorie spéciale de la relativité, dans le cas particulier où la gravité est absente.

Newton et l'univers statique

Nous avons discuté de tout ce que je voulais dire sur la cinématique d'un univers en expansion uniforme, maintenant nous sommes prêts à passer à la dynamique. Nous devons comprendre comment la gravité affecte l'univers afin de pouvoir calculer comment$$a ( t ) change avec le temps. Ce sera le seul objectif de comprendre le comportement.$a(t)$$$$a(t)$ .

Cette question, dans un sens, remonte à Isaac Newton. Je veux noter que l'une des choses intéressantes en cosmologie est que, si vous regardez l'histoire de la cosmologie, de nombreux grands physiciens ont fait de grosses erreurs en essayant d'analyser les problèmes cosmologiques. Aujourd'hui, nous allons discuter de l'une des erreurs de Newton. Même de grands physiciens comme Newton pourraient commettre des erreurs stupides. Il a vraiment fait une stupide erreur en analysant les conséquences cosmologiques de sa propre théorie de la gravité.

Newton, comme tout le monde avant Hubble, pensait que l'univers était statique. Il a représenté l'univers comme une distribution statique d'étoiles dispersées dans l'espace. Au début de sa carrière, autant que je sache l'histoire, il a supposé que la distribution des étoiles était finie dans l'espace infini. Mais à un moment donné, il s'est rendu compte que s'il y a une distribution de masse finie dans un espace vide, et que toute la substance est attirée les unes aux autres avec une force d'attraction inversement proportionnelle au carré de la distance, qu'il savait, depuis qu'il l'a ouverte, par conséquent, tout devrait être compressé en point. Il a décidé que son hypothèse ne fonctionnait pas, mais il était toujours sûr que l'univers était statique, car tout semblait statique, les étoiles ne bougeaient nulle part.

Il s'est donc demandé ce qui pouvait être changé et a décidé qu'au lieu de supposer que les étoiles forment une distribution finie, il vaut mieux supposer qu'elles sont distribuées à l'infini dans l'espace. Il a raisonné comme suit, et c'est précisément l'erreur que si les étoiles remplissent un espace infini, alors même si elles s'attirent toutes, elles n'auront pas de direction préférée pour le mouvement. Puisqu'ils n'auront pas de direction préférée pour le mouvement, parce qu'ils sont attirés par tous les côtés, ils restent en place. Ainsi, il pensait qu'une distribution infinie et uniforme de la matière serait stable, qu'aucune force gravitationnelle ne se produirait dans une telle distribution infinie de la masse.

Il a apparemment entendu divers arguments en faveur de cela. L'un des arguments selon lesquels la distribution infinie serait stable était l'argument qu'une force infinie la tirant vers la droite et une force infinie la tirant vers la gauche agissaient sur la particule. Comme les deux sont infinis, ils se neutralisent. Newton n'a pas accepté cet argument. Il était suffisamment sophistiqué pour comprendre que l'infini moins l'infini n'est pas nécessairement nul. Cependant, Newton était convaincu que la distribution de masse infinie serait stable.

L'argument qui l'a convaincu n'était pas l'infinité de la matière de chaque côté, mais la symétrie. L'argument qu'il a pris était que si vous regardez n'importe quel point de cette distribution infinie, si vous regardez autour de ce point, toutes les directions se ressembleront, avec la substance s'étendant à l'infini, et donc il n'y aura pas de direction dans laquelle la force devrait agir sur une particule particulière. Et si la force n'a pas de direction, elle devrait être nulle. C'était l'argument pris par Newton.

Nous allons maintenant en discuter plus en détail et essayer de comprendre comment les érudits modernes se rapportent à cet argument. Soit dit en passant, je veux mentionner un fait historique. Pour autant que je sache, l'argument de Newton n'a été remis en question par personne depuis des centaines d'années, jusqu'à Albert Einstein. Albert Einstein, essayant de décrire la cosmologie en utilisant sa nouvelle théorie générale de la relativité, a été la première personne à réaliser que même si vous avez une distribution de masse infinie, elle s'effondre. Einstein a réalisé que la même chose se produirait en physique newtonienne, ce n'est pas une caractéristique de la théorie générale de la relativité. Historiquement, cela exigeait simplement la création d'une théorie générale de la relativité pour inciter les gens à repenser et à comprendre que Newton avait tort.

L'impossibilité d'un univers statique

La difficulté d'essayer d'analyser le problème de la façon dont Newton l'a fait est que Newton considérait la gravité comme une force agissant à distance. Si nous avons deux objets situés à distance$$r à part, ils s'attireront les uns les autres avec une force proportionnelle$r$$$$1/r^2$ .Depuis l'époque de Newton, d'autres manières de décrire la gravité newtonienne ont été inventées, ce qui rend la situation beaucoup plus claire. La difficulté d’utiliser la description de Newton est que si nous essayons d’ajouter toutes ces forces proportionnelles$$1 / r 2 , nous obtenons des montants divergents, dont nous devons comprendre l'interprétation. Mais pour comprendre que Newton avait tort, il est plus facile de regarder d'autres formulations de la gravité de Newton. J'en décrirai deux, que vous connaissez peut-être déjà tous les deux. Je décrirai le premier par analogie avec la loi de Coulomb. La loi de Coulomb est en effet la même que la loi de la gravité. La loi de Coulomb stipule que toute particule chargée crée un champ électrique qui est égal à la charge divisée par la distance au carré et multipliée par un vecteur unitaire dirigé à partir de la charge.$1/r^2$

$$

$$\vec E=\frac q{r^2} \hat r$$

Telle est la loi de Coulomb. Parfois, il a une constante, selon l'unité dans laquelle il est mesuré$$q , mais ce n'est pas important pour nous. Je suppose que nous utilisons cette équation, où la constante est 1.Comme vous le savez, à partir de la loi de Coulomb, vous pouvez obtenirla loi de Gauss. Si la loi de Coulomb est vraie, alors nous pouvons certainement dire à quoi est égale l'intégraledu flux de champ électriquesur toute surface fermée. Il est proportionnel à la quantité totale de charge à l'intérieur de la surface.$q$

$$

$$\oint\limits_S \vec E \cdot d\vec a = 4πq_{}$$

où $$q en n est la quantité totale de charge à l'intérieur d'une surface fermée. Vous pouvez écrire la loi de gravité de Newton, presque de la même manière que Newton l'a formulée. Vous pouvez exprimer l'accélération gravitationnelle à une distance donnée de l'objet:$q_{}$

$$

$$\vec g=\frac {-GM}{r^2} \hat r$$

Il s'agit de la même loi carrée inverse et similaire à la loi de Coulomb, à l'exception de la constante au début. La constante a le signe opposé, ce qui est important dans certains cas, mais pas maintenant. L'important est que cette équation puisse être reformulée comme la loi de Gauss, et elle s'appelle la loi de gravité gaussienne. La seule façon dont il diffère est la constante à venir:

$$

$$\oint\limits_S \vec g \cdot d\vec a = -4πGM_{}$$

Prenons maintenant la distribution uniforme de la matière que Newton a envisagée. Newton a soutenu qu'il est possible de prendre une distribution homogène de la matière qui remplit tout l'espace infini, et ce sera statique, c'est-à-dire qu'il n'y aura pas d'accélération. Le manque d'accélération dans la langue de Newton signifie que$$→ g doit être nul partout. Mais de la dernière formule, il s'ensuit que si$\vec g$$$→ g est partout égal à zéro, alors l'intégrale de$\vec g$$$→ g sur toute surface fermée sera également égal à zéro, et par conséquent, la masse totale enfermée à l'intérieur de cette surface devrait également être égale à zéro. Mais si nous avons une distribution uniforme de la masse, alors la masse totale fermée, bien sûr, ne sera nulle pour aucun volume différent de zéro. Ainsi, il est clair que l'affirmation que le système est statique contredit directement la formulation de la loi de gravitation de Gauss Newton.Juste pour le plaisir, je vais vous donner un autre argument similaire, en utilisant une autre formulation plus moderne de la gravité newtonienne. Si vous ne l'avez pas rencontrée et ne comprenez pas de quoi je parle, ne vous inquiétez pas, ce n'est pas si important. Pour ceux d'entre vous qui la connaissent, je vais l'amener. Une autre façon de formuler la gravité newtonienne est d'introduire le potentiel gravitationnel. Je vais utiliser la lettre$\vec g$

$$φ pour le potentiel gravitationnel. Elle est associée à l'accélération gravitationnelle comme suit:$φ$$$→g =- →∇ φ$\vec g = - \vec ∇φ$ où $$→∇ φ$\vec ∇φ$Est un dégradé $$$φ$ . Dégradé $$φ est égal à un vecteur unitaire$φ$$$I dans la direction de x multipliée par la dérivée de$\hat i$$$$φ$ par $$x , plus un vecteur unitaire$x$$$J dans la direction deaxe y, multipliée par la dérivée de$\hat j$$$$φ$ par $$y , plus un vecteur unitaire$y$$$K multipliée par la dérivée de$\hat k$$$$φ$ par $$$z$ :

$$

$$\vec ∇φ = \hat i \frac {\partial φ}{\partial x} + \hat j \frac {\partial φ}{\partial y} + \hat k \frac {\partial φ}{\partial z}$$

Une fois que nous avons déterminé le potentiel gravitationnel, nous pouvons écrire la forme différentielle de la loi de Gauss, qui devient la soi-disant équation de Poisson. Il affirme que

$$

$$∇^2φ = 4πGρ$$

où ρ est la masse volumique, et $$∇ 2 φ est défini comme la dérivée seconde de$∇^2φ$$$$φ$ par $$x , plus la dérivée seconde de$x$$$$φ$ par $$y , plus la dérivée seconde de$y$$$$φ$ par $$$z$ :

$$

$$∇^2φ = \frac {\partial^2 φ}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 φ}{\partial y^2} + \frac {\partial^2 φ}{\partial z^2}$$

C'est ce qu'on appelle l'équation de Poisson. Si la densité de masse est donnée, vous pouvez trouver le potentiel gravitationnel, puis vous pouvez calculer son gradient et trouver$$$\vec g$ .Cela équivaut à d'autres formulations de gravité. Mais cela nous donne un autre test de l'affirmation de Newton selon laquelle il existe une distribution uniforme de la matière sans aucune force gravitationnelle. S'il n'y a pas de forces gravitationnelles, alors$$→ g devrait être nul, comme nous l'avons dit il y a une minute. Et du fait que$\vec g$$$→ g est égal à zéro, il s'ensuit que le gradient$\vec g$$$φ est égal à zéro. Si vous regardez la formule du gradient, c'est un vecteur. Pour un vecteur zéro, chacune de ses trois composantes doit être égale à zéro et, par conséquent, la dérivée de$φ$

$$$φ$ par $$x disparaîtra, dérivé de$x$$$$φ$ par $$y disparaît et la dérivée de$y$$$$φ$ par $$z disparaîtra.$z$ Cela signifie que $$φ doit être constant partout, il n'a de dérivée par rapport à aucune coordonnée spatiale. Par conséquent, si$φ$$$→ g est égal à zéro, alors le gradient$\vec g$$$φ est nul, et$φ$$$φ est une constante dans tout l'espace. Si$φ$$$φ est constant partout, ce qui se passe en l'absence de gravité, alors il est immédiatement clair que$φ$$$∇ 2 φ doit être égal à zéro, ce qui signifie que ρ doit être égal à zéro, c'est-à-dire qu'il n'y aura pas de densité de masse. Mais Newton voulait une densité de masse non nulle, une substance uniformément répartie sur un espace infini. Ceci est une autre démonstration que l'argument de Newton était incorrect.$∇^2φ$

Intégrales conditionnellement convergentes

Nous sommes donc arrivés à la conclusion que Newton avait tort, mais nous devons analyser plus attentivement l'argument de Newton afin de comprendre exactement où il a fait une erreur. La prochaine chose que je veux discuter est l'ambiguïté associée à l'ajout de forces gravitationnelles newtoniennes pour un univers infini. J'ai mentionné que le vrai problème avec les calculs de Newton est que le montant qu'il a calculé divergent, et vous devez être prudent lorsque vous essayez de le calculer.

Pour clarifier cela, je veux commencer par un exemple d'intégrale qui donne une valeur ambiguë. Je vais vous présenter quelques concepts mathématiques. Imaginons que nous ayons une fonction arbitraire$$$f(x)$ où $$x ne sera qu'une variable. Nous allons le généraliser en trois dimensions, ce qui nous intéresse, mais nous commencerons par une variable. Si nous avons une fonction$x$

$$f ( x ) , on peut considérer l'intégrale de moins l'infini à l'infini de$f(x)$$$f ( x ) je vais l'appeler$f(x)$$$$I_1$ :

$$

$$I_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx$$

C'est une telle intégrale qui est obtenue en ajoutant toutes les forces gravitationnelles agissant sur le corps. Maintenant, je veux considérer le cas où$$I 1 est fini. Je dois d'abord déterminer plus précisément ce que je veux dire par$I_1$

$$I 1 , intégrale de moins à plus l'infini. Nous pouvons définir l'intégrale de moins l'infini à l'infini comme la limite de l'intégrale de$I_1$$$$-L$ avant $$$L$ de $$f ( x ) à laquelle$f(x)$$$L tend vers l'infini:$L$

$$

$$I_1=\lim_{L \to \infty} \int \limits_{-L}^Lf(x)dx$$

Nous devons calculer l'intégrale de $$$-L$ avant $$$L$ . Si nous supposons que $$f ( x ) est fini, l'intégrale est également toujours finie. Je suppose que la fonction elle-même$f()$$$f ( x ) est fini, nous ne nous soucierons que de la convergence de l'intégrale pour$f(x)$$$L tendant vers l'infini. Donc pour tout$L$$$L' intégrale L est un certain nombre. On peut alors se demander si ce nombre tend vers la limite lorsque$L$$$L tend vers l'infini? Si oui, nous l'appellerons la valeur$L$$$$I_1$ .Ceci est juste une définition de ce que nous entendons par l'intégrale de moins l'infini à l'infini.

Considérons maintenant le cas où cette valeur existe, lorsque$$I 1 est inférieur à l'infini, c'est-à-dire qu'il a une valeur finie. Mais je veux aussi considérer l'intégrale, que j'appellerai$I_1$$$I 2 , qui est également défini comme l'intégrale de moins l'infini à l'infini mais de la valeur absolue$I_2$$$$f(x)$ :

$$

$$I_2 = \int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|dx$$

Maintenant un peu de terminologie. Si$$I 2 est inférieur à l'infini, s'il converge, alors$I_2$$$I 1 est appeléabsolument convergent. Absolument convergent signifie que l'intégrale converge, même si la valeur absolue de la fonction est utilisée. Au contraire, si$I_1$$$Je 2 diverge, mais$I_2$$$I 1 converge alors$I_1$$$I 1 est appeléconditionnellement convergent. Ainsi, si l'intégrale d'une fonction converge, mais l'intégrale de la valeur absolue de la même fonction ne converge pas, alors ce cas est appelé convergence conditionnelle.$I_1$

La raison de cette séparation est que les intégrales conditionnellement convergentes sont très dangereuses. Ils sont dangereux car ils ne sont pas bien définis. Vous pouvez obtenir n'importe quelle valeur que nous voulons en ajoutant l'intégrande dans un ordre différent. Tant que nous adhérons à un certain ordre, qui est impliqué dans le symbole de l'intégrale, nous obtenons une réponse unique. Mais si, par exemple, nous déplaçons simplement le début de l'intégration, nous pouvons obtenir une réponse différente. Habituellement, nous ne nous y attendons pas. Habituellement, nous intégrons simplement le long de la droite numérique, peu importe où nous commençons à calculer l'intégrale. Ainsi, le résultat devient beaucoup moins défini lorsque nous travaillons avec des intégrales conditionnellement convergentes.

Avant de passer à l'intégrale spécifique qui nous intéresse, à l'aide de laquelle nous tenterons d'ajouter les forces gravitationnelles de la distribution infinie de la matière, je donnerai un exemple d'une fonction très simple qui illustre cette ambiguïté lorsque l'intégrale converge, mais ne converge pas absolument. Vous pouvez obtenir toute réponse que nous voulons en ajoutant les parties de l'intégrale dans un ordre différent. Un exemple que je considérerai est la fonction f (x), qui est +1 si x> 0 et -1 si x <0. Je n'indique pas ce que c'est égal à si x = 0, cela n'a pas d'importance lors de l'intégration. Un seul point n'a pas d'importance. Vous pouvez prendre n'importe quelle valeur pour la fonction avec x = 0, cela ne changera rien.

Si nous l'intégrons symétriquement, en suivant la définition de ce que nous entendons par intégration de moins l'infini à l'infini, nous obtenons une réduction complète.

Lorsque nous intégrons de $$$-L$ avant $$L , on obtient zéro, car il y a une réduction complète entre les parties négatives et les parties positives de l'intégrale. Ensuite, si vous prenez la limite, quand$L$$$L tend vers l'infini, la limite de zéro sera nulle. Il n'y a aucune ambiguïté dans cette déclaration. Ainsi, en additionnant les parties de l'intégrale dans l'ordre indiqué, nous obtenons l'intégrale, qui est égale à zéro. Mais le résultat dépend de l'ordre dans lequel nous mettons ces pièces. En particulier, si nous changeons simplement le début de l'intégration, en commençant à nous éloigner du nouveau départ, nous obtiendrons une réponse différente. Regardons à nouveau la limite lorsque$L$

$$L tend vers l'infini, mais au lieu de s'intégrer à partir de$L$$$$-L$ avant $$L , nous intégrerons de$L$$$$a-L$ avant $$$a+L$ .

Il s'agit en fait de la même intégrale, nous venons de déplacer vers la droite notre début d'intégration. Dans un cas particulier$$a est nul, et nous obtenons la même chose qu'avant, mais si$a$$$a n'est pas égal à zéro, cela signifie que notre intégrale est calculée à partir de$a$$$x = a , pas de$x=a$$$$x=0$ .

Nous devons d'abord calculer l'intégrale de $$$a-L$ avant $$a + L puis prendre la limite lorsque$a+L$$$L efforcez-vous de l'infini et voyez ce que nous obtenons. Il est facile de comprendre ce que nous obtenons. Dès que$L$

$$L grossit$L$$$a , la réponse ne change plus avec l'augmentation$a$$$$L$ . Quand nous augmentons $$L , nous ajoutons une partie négative à gauche, et la même partie positive à droite, et ils se neutralisent. Quand$L$$$L = a , l'intégrale sera de 0 à 2$L=a$$$ . Dans l'intégrale, il n'y aura que des valeurs positives de la fonction, l'intervalle d'intégration sera de 2 $$a , cela signifie que l'intégrale sera égale à 2$$ . Pour toutes les grandes valeurs $$L' intégrale L sera la même, car, avec l'augmentation$L$$$L , comme je l'ai dit, nous avons simplement réduit l'ajout de valeurs positives à droite et de valeurs négatives à gauche. Par conséquent, la limite de cette intégration a une valeur définie, qui est égale à 2$L$$$ .

$$a est le numéro à partir duquel nous avons commencé l'intégration, donc cela peut être n'importe quoi. Nous pouvons choisir$a$$$un que nous voulons. Ainsi, nous pouvons obtenir n'importe quelle réponse que nous voulons si nous pouvons ajouter des parties de l'intégrale dans un ordre arbitraire. C'est l'incertitude fondamentale des intégrales conditionnellement convergentes. Nous verrons qu'une tentative d'additionner les forces agissant sur une particule dans une distribution de masse infinie est exactement une telle intégrale conditionnellement convergente. Par conséquent, nous pouvons obtenir n'importe quelle réponse que nous voulons, et cela ne signifiera rien à moins que vous ne le fassiez très soigneusement.$a$

Le problème de l'addition des forces gravitationnelles

Maintenant, je veux calculer la force agissant sur une particule dans une distribution infinie de matière et montrer que je peux obtenir des réponses différentes, selon l'ordre dans lequel j'ajouterai les forces gravitationnelles. Dans chaque exemple, j'ajouterai de la force dans un certain ordre et j'obtiendrai une certaine réponse, mais j'obtiendrai des réponses différentes, selon l'ordre d'addition que je choisirai.

Essayons de calculer la force gravitationnelle à un moment donné $$P dans la distribution infinie de la matière. La substance remplit la diapositive et tout l'espace à l'infini. Nous ajouterons la contribution gravitationnelle de toute cette substance dans un certain ordre. Dans notre premier calcul, nous ajoutons les forces gravitationnelles d'une substance située dans des coquilles concentriques centrées en un point$P$

$$$P$ .Nous prenons d'abord la coquille la plus intérieure, puis la deuxième coquille, la troisième coquille, etc. allant plus loin du centre. Dans ce cas, il est facile de comprendre que la force agissant sur le point$$P calculé dans cet ordre est 0, car pour chaque coque$P$$$P est au centre, et pour des raisons de symétrie, les forces doivent être compensées. En fait, il est connu, et nous allons bientôt profiter de ce fait que le champ gravitationnel de la coque à l'intérieur de la coque est nul. Cela a été prouvé par Newton. Et à l'extérieur de la coque, le champ gravitationnel semble exactement comme si tout le matériau de la coque était concentré en son centre. Il est clair que dans ce cas, la force gravitationnelle au point$P$$$P est 0.$P$

Nous allons maintenant considérer un cas plus complexe, dans lequel nous calculons également la force gravitationnelle en un point $$$P$ . Mais nous utiliserons des coquilles sphériques centrées autour d'un autre point, $$$Q$ . Maintenant $$Q définit les coquilles que nous utiliserons pour ajouter de la force. Nous ajouterons également les forces de tous les obus de zéro à l'infini, c'est-à-dire additionner toutes les forces au point$Q$$$P de toute la distribution infinie de la matière. Mais nous ajouterons ces forces dans un ordre différent, car nous prendrons dans l'ordre la coquille centrée à$P$$$$Q$ . Nous examinons d'abord la contribution de la zone ombrée, qui est tous les coquillages autour $$Q ayant des rayons inférieurs à la distance de$Q$$$$Q$ avant $$$P$ . Pour tous ces obus, le point $$P se trouve à l'extérieur de la coquille. Par conséquent, chaque coquille agit exactement de la même manière qu'une masse ponctuelle égale à la masse totale de la coquille concentrée en un point$P$$$Q , le centre de tous les obus. Ainsi, la substance qui se trouve dans la zone ombrée contribue à la force au point$Q$$$P égal à la force que créerait la masse ombrée si elle était concentrée en un point$P$$$$Q$ .

Par contre, tous les autres obus seront des obus pour lesquels $$P est à l'intérieur.$P$$$P n'est plus au centre de ces coquilles, mais Newton a découvert que cela n'avait pas d'importance. À l'intérieur de la coquille sphérique, la force gravitationnelle est nulle à n'importe quel endroit, quelle que soit sa proximité avec la frontière. Toutes les forces des différentes parties de la coque sont compensées avec précision. Si nous approchons de la frontière, nous pouvons supposer qu'il y aura une attraction en direction de cette frontière. En effet, dans ce cas, la force d'attraction d'une particule spécifique à cette frontière devient plus forte, car elle est proportionnelle$P$$$$1/r^2$ .Mais à mesure que nous approchons de la frontière, de plus en plus de substance se trouve du côté opposé. Et ces deux effets s'annulent complètement. Soit dit en passant, le fait que la force agissant sur une particule à l'intérieur de la coque est nulle peut être facilement prouvé en utilisant la loi de Gauss pour la gravité.

Par conséquent, les coquilles extérieures n'apportent aucune contribution. Nous avons constaté que la force au point$$P est égal à la force créée par la masse ombrée. Accélération gravitationnelle en un point$P$$$P est défini par une formule simple: il est égal à G fois la masse totale de la zone ombrée divisée par$P$$$$b^2$ où $$b est égal à la distance entre$b$$$$Q$ et $$P , et multiplié par un vecteur unitaire dirigé de$P$$$Q à part$Q$$$$P$ :

$$

$$\vec g = \frac {GM}{b^2}\hat e_{QP}$$

Et ceci est une valeur non nulle. Ainsi, nous obtenons un résultat nul ou non nul selon l'ordre dans lequel nous additionnons les forces de notre distribution infinie de matière. De plus, nous pouvons obtenir n'importe quelle réponse, car nous pouvons choisir$$b quoi que ce soit. La réponse dépend de$b$$$b et devient arbitrairement grand à mesure qu'il augmente$b$$$$b$ . Il peut sembler que la réponse diminue avec l'augmentation $$b , mais en fait elle augmente, car la masse$b$$$M grandit comme$M$$$$b^3$ . Nous pouvons gagner en force dans toutes les directions en choisissant $$Q dans la bonne direction à partir de$Q$$$$P$ .En effet, nous pouvons obtenir n'importe quelle réponse en utilisant cette méthode d'addition de force.

Le problème est que ces coquilles n'existent pas réellement. Nous travaillons simplement mentalement avec ces coquilles. La substance est uniformément répartie et il n'y a pas d'obus. Les coquilles sont des objets purement mentaux qui ne devraient pas affecter la réponse. Ils déterminent uniquement l'ordre dans lequel nous résumons les forces gravitationnelles.