Modulation d'amplitude d'un signal arbitraire

Comme vous le savez, AM est un type de modulation dans lequel l'amplitude du signal porteur change selon la loi du signal (d'information) modulant. Il existe de nombreuses sources avec une description théorique et pratique de la MA. La description est donnée, tout d'abord, afin de montrer la composition fréquentielle du signal AM. En tant que signal modulant, un signal à tonalité unique est généralement considéré. Ce signal est réglé par une simple fonction sinus. Ils me demandaient toujours, et je me demandais comment décrire AM au cas où il y aurait un signal arbitraire comme signal modulant. Il s'agit d'un signal arbitraire, dont le spectre de fréquences est constitué de nombreuses composantes, qui présente un intérêt, car l'AM est utilisé en radiodiffusion pour transmettre le son.

Essayons de décrire l'AM dans le cas ci-dessus, en tenant compte du fait que le signal de modulation peut être représenté comme une somme continue de signaux simples à un seul ton de différentes fréquences avec différentes amplitudes et phases. Sans entrer dans les subtilités de l'analyse mathématique, ce signal peut être écrit comme une somme continue (intégrale de Fourier):

$$

$$S (t) = \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)$$

où $$$m$ - la limite supérieure de la fréquence du signal (bande du signal modulant), $$$f$ La variable d'intégration est-elle responsable de la fréquence, et $$$f \ in (0; m]$ . Les fonctions $$$A (f)$ et $$$\ varphi (f)$ - l'amplitude et la phase de la composante du signal à une fréquence $$$f$ .

L'intégrande de cette formule est ce qu'on appelle convolution trigonométrique dans la forme amplitude-phase du terme de la série de Fourier dans laquelle le signal peut être étendu. L'intégrale dans (1) peut être appelée l'intégrale de Fourier, car, en fait, c'est une somme continue, c'est-à-dire série de Fourier continue dans laquelle le signal d'origine est décomposé. L'expansion du signal dans une série similaire donne une idée de la composition en fréquence de ce signal. Ainsi, le signal de modulation initial est présenté comme une somme continue de sinusoïdes (dans ce cas, par commodité, $$$cos$ ) diverses fréquences $$$f$ de $$$0$ avant $$$m$ , chacun d'eux a sa propre amplitude $$$A (f)$ déphasage $$$\ varphi (f)$ . Fonction $$$A (f)$ représente le spectre de fréquence du signal d'origine $$$S (t)$ .

Il convient de noter que le signal est considéré pour une période de temps limitée. $$$t \ in [0; t_0]$ . De manière générale, en ce qui concerne un signal audio, le spectre de fréquence est généralement considéré comme pratique pour les fragments de signal très courts. De toute évidence, plus la durée du signal est longue, plus les composantes de basse fréquence (approchant le zéro) apparaîtront dans la composition spectrale, ce qui ne peut être comparé aux fréquences sonores dans la gamme audible.

En plus du signal de modulation, il existe un signal de tonalité, qui est une oscillation de porteuse avec une fréquence $$$f_c$ amplitude $$$C$ et zéro phase initiale:

$$

$$S_c (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct), \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)$$

en plus $$$f_c \ gg m$ . En effet, en diffusion, la fréquence porteuse est plusieurs fois supérieure à la bande passante du signal transmis.

Passons maintenant directement au processus de modulation d'amplitude.

Le signal AM est connu $$$S_ {AM}$ il en résulte la multiplication du signal porteur et du signal modulant, préalablement polarisé et «indexé» par l'indice de modulation $$$k$ , c'est-à-dire

$$

$$S_ {AM} (t) = S_c (t) (1 + kS (t)). \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (3)$$

Pour éviter la soi-disant surmodulation $$$k \ in (0; 1)$ .

Nous substituons les données initiales (1) et (2) dans l'expression (3), ouvrons les parenthèses, insérons dans l'intégrale indépendante de la variable d'intégration $$$f$ certains facteurs:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) \ Big (1 + k \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df \ Big) = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + C \ sin (2 \ pi f_ct) k \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi f_ct) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df.$$

Nous appliquons la formule trigonométrique bien connue de l'école pour transformer le produit en fonctions intégrales:

$$

$$\ sin a \ cos b = \ frac12 \ Big (\ sin (a-b) + \ sin (a + b) \ Big).$$

Cette formule est clé en AM et met l'accent sur ces mêmes «deux côtés» dans la composition spectrale du signal AM.

En poursuivant l'égalité, nous divisons l'intégrale de la somme résultante en la somme de deux intégrales, développons les parenthèses et supprimons entre parenthèses les facteurs nécessaires dans les arguments des fonctions:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ frac12 \ Big (\ sin (2 \ pi f_ct- (2 \ pi ft + \ varphi ( f)) + \\ + \ sin (2 \ pi f_ct + (2 \ pi ft + \ varphi (f)) \ Big) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + \ frac12kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c-f) t- \ varphi (f)) df + \\ + \ frac12kC \ int \ limits_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c + f) t + \ varphi (f)) df.$$

Les trois termes résultants représentent respectivement, comme le montre l'égalité, le signal porteur, les signaux du côté "inférieur" et "supérieur". Avant de donner une explication concrète, nous continuons l'égalité en appliquant la méthode de remplacement des variables dans la configuration suivante:

$$

$$\ begin {bmatrix} w = w (f) = (f_c \ pm f), \; dw = \ pm df, \\ df = \ pm dw, \; f = \ pm (w-f_c), \\ w (0) = f_c, \; w (m) = (f_c \ pm m). \ end {bmatrix}.$$

Nous utiliserons ce même remplacement:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) - \\ - \ frac12kC \ int \ limits_ {f_c} ^ {f_c-m} A (f_c-w) \ sin (2 \ pi wt - \ varphi (f_c-w)) dw + \\ + \ frac12kC \ int \ limits_ {f_c} ^ {f_c + m} A (w-f_c) \ sin (2 \ pi wt + \ varphi (w-f_c)) dw$$

En échangeant les limites de l'intégration dans la première intégrale (à la suite de quoi le signe devant l'intégrale changera en l'opposé), nous pouvons combiner les deux intégrales en une seule. De plus, le premier terme décrivant le signal porteur peut également y être introduit. Dans ce cas, naturellement, les fonctions intégrales de l'amplitude et de la phase doivent être généralisées. Tout cela se fait conditionnellement et pour une présentation plus détaillée, sans entrer dans les subtilités de l'analyse mathématique. Ainsi, il s'avère:

$$

$$S_ {AM} (t) = \ int \ limits_ {f_c-m} ^ {f_c + m} B (w) \ sin (2 \ pi wt + \ psi (w)) dw,$$

où

$$

$$B (w) = \ begin {cases} \ frac12kCA (f_c-w), \; \; \; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ C, \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; w = f_c \\ \ frac12kCA (w-f_c), \; \; \; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {cases} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (4)$$

et

$$

$$\ psi (w) = \ begin {cases} - \ varphi (f_c-w), \; \; \; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ 0, \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; w = f_c \\ \ varphi (w-f_c), \; \; \; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {cases}. \; \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; (5)$$

Ainsi, de nouvelles fonctions définies par morceaux (4) et (5) ont été introduites qui décrivent le changement d'amplitude et de phase en fonction de la fréquence. En regardant les composantes de la fonction (4), on peut remarquer que la troisième composante est obtenue par transfert parallèle de la fonction $$$A (f)$ sur $$$f_c$ , et le premier - avec une propagation miroir préliminaire. Les constantes constantes devant les fonctions, qui réduisent l'amplitude, je n'en prends pas en compte. C'est-à-dire que dans le spectre du signal AM, il y a trois composantes: la porteuse, le côté supérieur et le côté inférieur, qui se reflètent dans (4).

En conclusion, il convient de noter que la MA peut être décrite en utilisant une approche plus complexe basée sur des signaux complexes et des nombres complexes. Le signal habituel discuté dans cet article n'a pas de composante imaginaire. Compte tenu de la représentation à l'aide de diagrammes vectoriels sur le plan complexe, un signal sans composante imaginaire est composé de deux signaux complexes avec les deux composantes. Cela est évident si nous représentons un signal à un seul ton comme la somme de deux vecteurs qui tournent dans des directions opposées symétriquement par rapport à l'axe x (Re). La vitesse de rotation de ces vecteurs est équivalente à la fréquence du signal, et la direction au signe de la fréquence (positive ou négative). Il en résulte que le spectre de fréquence du signal sans composante imaginaire a non seulement une composante positive, mais aussi une composante négative. Et, bien sûr, il est symétrique par rapport à zéro. C'est avec cette représentation que l'on peut avancer que dans le processus de modulation d'amplitude, le spectre du signal de modulation est transféré sur une échelle de fréquence à droite de zéro à la fréquence porteuse (et à gauche également). Dans ce cas, le «côté inférieur» ne se produit pas, il existe déjà dans le signal de modulation d'origine, bien qu'il soit situé dans la plage de fréquence négative. Cela semble étrange à première vue, car dans la nature, semble-t-il, il n'y a pas de fréquences négatives. Mais les mathématiques présentent de nombreuses surprises.