Théorie du bonheur. La loi du zeste de pastèque et la normalité de l'anomalie

Je représente les chapitres désordonnés de mon livre "Théorie du bonheur" avec le sous-titre "Fondements mathématiques des lois de la méchanceté" à la cour des lecteurs de Habr. Ce livre de science populaire n'est pas encore publié, racontant de manière très informelle comment les mathématiques vous permettent de regarder le monde et la vie des gens avec un nouveau degré de conscience. C'est pour ceux qui s'intéressent à la science et pour ceux qui s'intéressent à la vie. Et puisque notre vie est complexe et, dans l'ensemble, imprévisible, l'accent dans le livre est principalement sur la théorie des probabilités et les statistiques mathématiques. Ici les théorèmes ne sont pas prouvés et les fondements de la science ne sont pas donnés, ce n'est en aucun cas un manuel, mais ce qu'on appelle la science récréative. Mais c'est précisément une telle approche presque ludique qui nous permet de développer l'intuition, d'égayer les cours pour les étudiants avec des exemples vivants et, enfin, d'expliquer aux non-mathématiciens et à nos enfants ce que nous avons trouvé si intéressant dans notre science sèche.



Dans ce chapitre, nous commençons par analyser les pastèques et leurs pelures, découvrir leur lien avec la célèbre loi de Murphy et nous assurer avec toute la sévérité que les goûts ne sont pas débattus.

Est-ce qu'il me semble que je suis normal?

Combien de fois, en regardant les nouvelles ou en lisant les commentaires à leur sujet, nous sommes perplexes: "Y a-t-il des gens normaux dans ce monde?!" Il semble qu'il devrait y en avoir, car nous sommes nombreux, et en moyenne, nous devrions être normaux. Mais en même temps, les sages disent que chacun de nous est unique. Et les adolescents sont sûrs qu'ils sont certainement différents de la masse grise des «gens normaux» et ne ressemblent à personne d'autre.

Les lecteurs familiers des statistiques ont bien sûr vu à plusieurs reprises comment, pour différentes distributions asymétriques, le mode (maximum sur le graphique de densité de probabilité) ne coïncide pas avec la valeur moyenne ou l'attente mathématique. Autrement dit, la valeur moyenne ne correspond pas à la densité de probabilité la plus élevée, mais tout de même, elle devrait être, sinon la plus fréquemment rencontrée, au moins dominante. Cependant, tout n'est pas si simple. Jusqu'à présent, nous avons considéré les distributions univariées - les distributions dans l'espace de résultat unidimensionnel. Mais la vie est multiforme et certainement pas unidimensionnelle! Et lorsque vous ajoutez des dimensions supplémentaires, des choses tout à fait inattendues peuvent se produire.

L'une des caractéristiques de la géométrie multidimensionnelle est l'augmentation de la part des valeurs limites dans un volume limité. Voilà ce que cela veut dire. Considérez le problème classique de la pastèque dans des espaces de différentes dimensions et essayez de savoir combien de pulpe de sucre merveilleuse nous obtiendrons de cette pastèque énorme, forte et appétissante, si nous la coupons, nous découvrons que l'épaisseur de sa peau ne dépasse pas $$ de son rayon? Il semble que $$ c'est beaucoup de douleur, mais regardez la figure au début de l'article, nous trouvons peut-être une pastèque avec de telles proportions tout à fait acceptable.

Commençons par une pastèque unidimensionnelle - c'est une colonne rose, et sa peau est deux petits segments blancs le long des bords. La longueur totale de la croûte - c'est un analogue du volume dans un monde unidimensionnel - sera $$ de la longueur totale de la pastèque. Une pastèque bidimensionnelle en forme de crêpe, la croûte en forme d'anneau blanc, sera plus petite que sa partie intérieure, déjà seulement trois fois. Dans le monde tridimensionnel habituel, une telle croûte sera presque $$ volume total. Il y a un hic.

Les parts que la peau occupe dans une pastèque de différentes dimensions.

Pour une balle, ainsi que pour un corps de forme arbitraire, on peut obtenir la dépendance du rapport du volume de la croûte au volume total du corps. Elle s'exprime par le rapport de l'épaisseur de la croûte à la taille caractéristique du corps $$ et est une fonction exponentielle de la dimension de l'espace $$ :

$$

Voici un graphique de la croissance de la proportion d'un rayon de quinze pour cent de la croûte de pastèque dans son volume, avec une augmentation supplémentaire de la dimension de l'espace.


Dans un espace à quatre dimensions, notre pastèque à melon court conventionnel ne nous laissera que la moitié de la chair, et dans le monde à onze dimensions, nous ne pouvons que nous régaler $$ de la pastèque entière, jetant la croûte qui compose $$ son rayon!

Nous sommes donc prêts à formuler la loi profonde de la peau de pastèque :

En achetant une pastèque multidimensionnelle, vous obtenez, fondamentalement, sa peau.

C'est dommage, bien sûr, mais qu'est-ce que cela a à voir avec la normalité de notre monde et les lois de la méchanceté? Hélas, c'est lui qui entrave la recherche du soi-disant «moyen d'or», dévalorise les résultats des sondages et augmente le rôle des troubles improbables.

Le fait est que l'espace des personnes avec tous leurs paramètres est essentiellement multidimensionnel. Des dimensions assez indépendantes peuvent être considérées comme une taille, un poids, un âge et une richesse évidents, ainsi que des niveaux de développement intellectuel (QI) et émotionnel (EQ), enfin, observables, bien que des traits faciaux ou des traits de caractère mal formalisés, comme le niveau de bavardage, entêtement ou amour. On peut facilement calculer une douzaine et demi de paramètres qui caractérisent une personne. Et pour chacun de ces paramètres, il existe une certaine «norme» statistiquement déterminée - la valeur la plus attendue et d'ailleurs la plus souvent observée. Combien de personnes dans un espace de paramètres aussi riche seront typiques à tous égards? L'expression que nous avons utilisée pour calculer le rapport des volumes de peau et de pastèque peut également être utilisée pour calculer la probabilité d'être parmi au moins des personnes «anormales». En effet, la probabilité de satisfaire à tous les critères de typicité est simultanément égale au produit des probabilités d'être typique pour chaque critère individuellement.

Nous allons maintenant simplifier considérablement la tâche afin de ne pas écrire de formules effrayantes, selon lesquelles rien ne peut être correctement calculé. Supposons que les qualités des personnes dans chaque direction obéissent à une distribution normale (gaussienne) autour d'une certaine valeur moyenne. Bien sûr, cela est extrêmement audacieux, mais cela est tout à fait raisonnable pour nos objectifs, car nous ne parlons pas d'un ensemble spécifique de caractéristiques, mais, franchement, nous fantasmons, essayant de formuler au moins quelque chose de spécifique dans un sujet aussi fragile. Par conséquent, il est trop tôt pour charger des détails jusqu'à ce que l'image la plus générale soit visible. Nous avons donc subordonné tous les critères à une distribution normale avec nos moyennes et nos variances. Ainsi, nous pouvons déterminer les paramètres de la personne la plus typique du monde et en compter les écarts. De plus, nous ne nous soucions pas des valeurs de dispersion spécifiques qui apparaissent pour chaque critère, car nous ne sommes intéressés que par la probabilité d'aller au-delà de l'écart-type, et cette valeur ne dépend pas de l'échelle de la distribution elle-même. Tout cela conduit au fait que si nous désignons pour $$ la probabilité d'être en dehors de la région délimitée par l'écart-type (d'apparaître dans la "croûte" extérieure de la distribution, qui n'est plus vraisemblablement pas comme la croûte d'une pastèque, mais de l'atmosphère terrestre, allant loin dans l'espace, devenant de plus en plus mince), quelque chose d'anormal si l'on considère $$ les critères seront calculés par la formule "pastèque":

$$

Pour une distribution gaussienne $$ où $$ - écart type.

Les probabilités d'être «anormales» pour un nombre différent de critères de comparaison et pour une «sévérité» différente de la définition de la norme. Les graphiques supérieur et inférieur diffèrent en ce que pour déterminer la "normalité", ils utilisent un rayon de un et deux écarts-types, respectivement.

Eh bien, il s'avère qu'il est normal d'être au moins quelque peu anormal. En évaluant les gens selon les dix premiers paramètres, préparez-vous au fait que seulement 2% de la population totale sera complètement ordinaire. De plus, dès que nous les trouverons, elles deviendront immédiatement des célébrités, ayant perdu leur médiocrité!

La même loi de la méchanceté

L'une des lois classiques de la méchanceté, formulée dans le cœur de l'ingénieur Edward Murphy, déclare:

"Tout ce qui peut mal tourner va mal."

Il est quelque peu plus profond que l'énoncé trivial que tous les résultats, même les plus improbables, sont observés dans l'échantillon complet.

Supposons que pour effectuer certains travaux, il est nécessaire d'effectuer une série d'actions, et pour chacune d'entre elles, il y a une faible probabilité d'échec. Quelle est la probabilité que tout se passe sans accroc? C'est simple - vous devez multiplier la probabilité de réussite pour toutes les étapes. Et puis la loi du zeste de pastèque est activée: plus le nombre d'étapes est important, plus le rôle des frontières est important, dans notre cas, les situations d'urgence. Une dizaine d'étapes suffisent pour que la probabilité d'erreur de 5% sur chacune d'entre elles augmente à 50% la probabilité d'échec de l'ensemble! Il en va de même pour les systèmes complexes comportant de nombreuses pièces, chacune pouvant échouer. Dans le cas le plus simple, la probabilité de défaillance du système est calculée à partir de la probabilité de défaillance de chaque pièce selon la même loi de pelage de pastèque.

Notre raisonnement est extrêmement simple, et la loi de Murphy est plus émotionnelle qu'objective et semble être un truisme, mais néanmoins, c'est à partir de cette observation qu'une nouvelle grande science a commencé dans les années 40 et 50 du XXe siècle: la théorie de la fiabilité. Elle a ajouté du temps, l'interconnexion des éléments du système, l'économie, ainsi que le facteur humain, et a trouvé une application en dehors des sciences de l'ingénieur: en économie, en théorie du contrôle et, enfin, en programmation.

Nous reviendrons sur ce sujet lorsque nous étudierons la loi du dernier jour , ce qui oblige l'imprimeur à se débrouiller le jour où le projet est terminé. La loi de Murphy, consacrée - une force vraiment terrible! En attendant, revenons au sujet de l'unicité et de la normalité.

Le bonheur est de trouver des amis avec le même diagnostic que le vôtre.

Nous sommes tous différents, cela est compréhensible, mais est-il possible de soulever la question du respect d'une norme, essayons-nous d'évaluer et de comparer? Vous demandez, qu'est-ce qui ne va pas? Nous comparons toujours quelqu'un avec quelqu'un, le plus souvent, nous-mêmes avec d'autres, mais parfois nous permettons d'évaluer quelqu'un d'autre. Cependant, du point de vue des mathématiques, tout n'est pas si simple.

Comparer, c'est déterminer la relation d'ordre . C'est-à-dire, pour désigner qu'un élément d'un certain ensemble, en un sens, en précède un autre. Nous l'avons appris même à l'école: 2 de moins de 20 ans, un éléphant est plus faible qu'une baleine, un contrat coûte plus cher que de l'argent, etc. Mais voici un certain nombre de questions. Qu'est-ce qui vient avant lundi ou mardi? Et le dimanche ou le lundi? Et quel dimanche est-ce avant lundi ou après samedi? Et quel nombre est supérieur: 2 + 3i ou 3 + 2i? Nous pouvons nommer les couleurs de l'arc-en-ciel dans l'ordre et même associer toutes les couleurs intermédiaires au nombre réel - la fréquence de la lumière, mais en plus de ces couleurs, il existe de nombreuses couleurs non spectrales, elles forment une roue chromatique familière aux typographes et aux concepteurs, toutes les couleurs visibles à l'œil peuvent-elles être arrangées dans l'ordre? Ces exemples montrent qu'il y a des difficultés avec la relation d'ordre. Par exemple, la transitivité ne fonctionne pas plusieurs jours de la semaine (car $$ devrait $$ mais pour $$ devrait $$ ne suit pas cela $$ suit toujours $$ ) Une tentative d'introduire le concept de plus / moins dans le domaine des nombres complexes n'est pas cohérente avec l'arithmétique de ces nombres, et les couleurs ont ces deux défauts.

Et comment pouvez-vous comparer des personnes, des livres, des plats, des langages de programmation et d'autres objets qui ont de nombreux paramètres, même conditionnellement conditionnés? En principe, c'est possible, mais seulement en s'accordant d'abord sur les définitions et les paramètres, sinon ce sera un débat sans fin, orageux et dénué de sens. Hélas, un débat houleux se pose le plus souvent déjà au stade du choix des métriques, puisqu'elles forment elles-mêmes un certain ensemble, sur lequel il faut aussi déterminer la relation d'ordre.

Cependant, il est possible de proposer un mode de raisonnement complètement significatif et sans ambiguïté sur la comparabilité des objets multidimensionnels, par exemple les personnes. Dans un espace de paramètres multidimensionnel, chaque objet peut être représenté par un vecteur - un ensemble de nombres - les valeurs des critères qui le caractérisent. En considérant un ensemble de vecteurs (par exemple, la société humaine), nous verrons que certains d'entre eux se révèlent être co-dirigés, ou du moins proches dans des directions, maintenant ils peuvent déjà être comparés en longueur. Dans le même temps, certains vecteurs seront orthogonaux (au sens géométrique - perpendiculaire, au sens large - indépendants), et les personnes qui leur correspondent seront simplement incompréhensibles les uns aux autres: ils apparaîtront dans des espaces conjugués dans un certain nombre de paramètres, comme les physiciens et les paroliers notoires. Cela n'a aucun sens de prétendre qu'un bon poète est en quelque sorte meilleur ou pire qu'un ingénieur talentueux ou un athlète doué pour la nature. La seule chose qui peut être jugée est la longueur du vecteur - le degré de douance, la distance de la moyenne.

A cet égard, une curieuse question peut se poser: quelle proportion de vecteurs aléatoires dans l'espace d'une dimension donnée sera codirectionnelle, et quelle partie sera orthogonale? Combien pouvez-vous trouver des personnes partageant les mêmes idées, ou du moins celles avec lesquelles vous pouvez vous comparer?

Dans le monde bidimensionnel, chaque vecteur correspond à un espace unidimensionnel de colinéaire (codirectionnel) et un espace unidimensionnel de vecteurs orthogonaux. Si l'on considère les vecteurs «presque» co-directionnels et «presque» orthogonaux, alors ils forment des secteurs de la même aire avec le même choix de l'écart admissible. Autrement dit, des objets similaires et dissemblables, lorsque l'on considère deux critères, seront le même montant.


Vecteurs presque colinéaires et presque orthogonaux dans l'espace bidimensionnel et tridimensionnel.

Dans le monde tridimensionnel, l'image changera. Les vecteurs codirigés forment toujours un espace unidimensionnel, tandis que les vecteurs orthogonaux remplissent déjà l'espace plan - bidimensionnel. Fixer la longueur des vecteurs $$ et permettant un léger écart des directions idéales d'un angle $$ , le nombre de vecteurs presque co-directionnels peut être comparé à l'aire des régions circulaires autour des pôles $$ , et le nombre de vecteurs presque orthogonaux - avec l'aire de la bande autour de l'équateur: $$ . Leur attitude $$ tout en réduisant l'écart $$ en croissance illimitée.

Dans le monde à quatre dimensions, les vecteurs orthogonaux forment déjà un espace à trois dimensions, tandis que les vecteurs codirectionnels se trouvent toujours dans l'espace à une dimension, et la différence de leur nombre croît déjà proportionnellement au carré de l'écart par rapport à l'idéal. Mais à ce stade, il est préférable de se tourner vers la théorie des probabilités et de découvrir quelles sont les chances d'obtenir des vecteurs orthogonaux ou codirectionnels, en prenant deux vecteurs de l'espace au hasard, dimension $$ ? La distribution des angles entre les vecteurs aléatoires nous en dira plus. Heureusement, en discutant des domaines des sphères multidimensionnelles, il peut être calculé analytiquement et présenté sous la forme finale:

$$

Ici $$ Est une fonction gamma, une généralisation d'un factoriel à des nombres réels (et même complexes).

Distributions angulaires de vecteurs aléatoires pour des espaces de différentes dimensions.

Maintenant, il est clair que pour un espace bidimensionnel, les angles sont répartis uniformément, pour trois dimensions - proportionnellement à la fonction sinusoïdale, et avec une dimension croissante, la distribution tend vers la normale avec une dispersion constamment décroissante. Pour toutes les dimensions supérieures à deux, le mode de distribution est de 90 degrés et la proportion de vecteurs mutuellement orthogonaux augmente à mesure que le nombre de paramètres augmente. L'observation la plus importante est que les vecteurs co-directionnels (ayant un angle d'environ 0 ou 180 degrés ne restent pratiquement pas avec une dimension d'espace suffisamment élevée. Considérons des vecteurs plus ou moins similaires (co-directionnels, comparables) ayant un angle inférieur à 30 degrés (il s'agit d'un très petit angle: $$ ) Ensuite, lorsque comparé selon deux critères similaires à un vecteur sélectionné, seul un tiers de tous les vecteurs aléatoires se révélera être. L'utilisation de trois critères vous permettra de comparer avec un vecteur donné uniquement $$ l'ensemble, pour quatre critères - déjà $$ , et chaque ajout ultérieur de dimension réduira de moitié cette fraction. Si nous sommes plus stricts et nous limitons à un angle plus petit, la proportion de vecteurs considérés comme similaires diminuera encore plus rapidement.

Ainsi, nous obtenons la formulation vectorielle de la loi du zeste de pastèque:

Dans les espaces de grande dimension, presque tous les vecteurs sont orthogonaux les uns aux autres.

ou équivalent: le goût et la couleur d'aucun compagnon.

Comparez judicieusement, ne recherchez pas la normalité dans la vie et n'ayez pas peur des anomalies. Les mathématiques elles-mêmes nous disent que dans un monde complexe de personnes, nous ne pouvons parler que du degré de similitude, mais pas de la comparaison. Il n'y a donc aucune raison de s'engager dans des disputes sans fin, à la recherche de la vérité, au lieu de cela, il vaut la peine d'écouter et d'essayer d'entendre une opinion différente, de voir une vue d'un autre espace conjugué, enrichissant ainsi votre perception du monde.

Les sages ont raison: nous sommes tous uniques et dans notre unicité sont exactement les mêmes.

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Je vous invite, les premiers lecteurs de ce livre, à des questions, des ajouts et des commentaires qui, sans aucun doute, le rendront plus précis, plus riche et plus intéressant.