Théorème de Boshernitsan

L'article donne une preuve simple que la cartographie d'un espace métrique compact en lui-même, sans diminuer la distance, est une isométrie.

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Affichage $$$f: E \ rightarrow E$ espace métrique avec métrique $$$\ rho (\ cdot, \ cdot)$ appelé isométrie si pour tout $$$x, y \ in E$ égalité équitable $$$\ rho (x, y) = \ rho (f (x), f (y))$ . Ici, nous prouvons la déclaration suivante:

Théorème Si $$$f: E \ rightarrow E$ une cartographie d'un espace métrique compact en lui-même tel que

$$$\ rho (x, y) \ leq \ rho (f (x), f (y)) (1)$

pour tout $$$x, y \ in E$ puis cartographie $$$f$ - isométrie.

Rappelez quelques déclarations simples sur les ensembles compacts métriques et introduisez quelques conventions et définitions nécessaires pour une exposition plus approfondie.

À travers $$$| A |$ nous désignons le nombre d'éléments d'un ensemble fini $$$A$ .

Pour $$$x \ in E$ et $$$\ varepsilon> 0$ beaucoup $$$Q_ {x, \ varepsilon} = \ {y: y \ in E, \ rho (x, y) <\ varepsilon \}$ appelons $$$\ varepsilon$ - des points de voisinage $$$x$ (ou balle ouverte centrée sur $$$x$ et rayon $$$\ varepsilon$ )

Ensemble fini $$$A \ sous-ensemble E$ va appeler $$$\ varepsilon$ réseau dans $$$E$ (ou tout simplement $$$\ varepsilon$ -réseau) si pour n'importe quel point $$$x \ in E$ il y a un point $$$y \ in A$ tel que $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ . Beaucoup $$$B \ sous-ensemble E$ va appeler $$$\ varepsilon$ -refusé si $$$\ rho (x, y) \ geq \ varepsilon$ pour tout $$$x, y \ en B$ tel que $$$x \ neq y$ .

Pour tout ensemble fini $$$A = \ left \ {a_1, \ ldots, a_m \ right \} \ subset E$ dénoter par $$$l (A)$ le montant $$$\ sum _ {i \ leq j} \ rho \ left (a_i, a_j \ right)$ . Magnitude $$$l (A)$ appeler la longueur de l'ensemble $$$A$ .

1. Soit des séquences $$$\ left \ {a_n \ right \}$ , $$$\ left \ {b_n \ right \}$ de nombreux éléments $$$E$ converger en conséquence
aux points $$$a, b \ in E$ . Alors $$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) \ rightarrow \ rho (a, b)$ à $$$n \ rightarrow \ infty$ .

Preuve . Considérez les inégalités évidentes

$$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) \ leq \ rho (a, b) + \ rho \ left (a_n, a \ right) + \ rho \ left (b_n, b \ right) (2)$

$$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) + \ rho \ left (a_n, a \ right) + \ rho \ left (b_n, b \ right) \ geq \ rho (a, b) (3)$

Depuis $$$a_n \ rightarrow a$ , $$$b_n \ rightarrow b$ à $$$n \ rightarrow \ infty$ puis pour $$$\ varepsilon> 0$ il y a un tel naturel $$$N$ que pour tout le monde $$$n> N$ sera

$$$\ rho \ left (a_n, a \ right) <\ frac {\ varepsilon} {2}, \ rho \ left (b_n, b \ right) <\ frac {\ varepsilon} {2} (4)$

À partir de $$$(2), (3), (4)$ il s'ensuit que $$$\ left | \ rho (a, b) - \ rho \ left (a_n, b_n \ right) \ right | <\ varepsilon$ pour tous $$$n> N$ .

2. Pour chaque $$$\ varepsilon> 0$ dans $$$E$ il y a un fini $$$\ varepsilon$ réseau.

Preuve . Famille de balle ouverte $$$\ left \ {Q_ {x, \ varepsilon} \ right \}$ où $$$x$ traverse $$$E$ est un revêtement $$$E$ . T. à. $$$E$ compact, choisissez une famille finie de balles $$$\ left \ {Q_ {x_1, \ varepsilon}, \ ldots, Q_ {x_m, \ varepsilon} \ right \}$ couvrant également $$$E$ . Il est clair que l'ensemble $$$A = \ left \ {x_1, \ ldots, x_m \ right \}$ - finale $$$\ varepsilon$ réseau.

3. Espace $$$E$ limité. À savoir, il existe un tel nombre $$$d> 0$ ça $$$\ rho (x, y) <d$ pour tout $$$x, y \ in E$ .

La preuve découle immédiatement de 2. En effet, nous mettons $$$g = \ underset {i \ neq j} {\ max} \ left (x_i, x_j \ right)$ où $$$x_i$ , $$$x_j$ - éléments $$$\ varepsilon$ réseaux $$$A$ . Il est clair que $$$\ rho (x, y) \ leq g + 2 \ varepsilon$ .

4. Si $$$B = \ left \ {a_1, \ ldots, a_n \ right \}$ - finale $$$\ frac {\ varepsilon} {2}$ réseau dans $$$E$ alors pour tout $$$\ varepsilon$ ensemble clairsemé $$$K$ sera $$$| K | \ leq | B |$ c'est-à-dire $$$| K | \ leq n$ .

Preuve . Montgolfière$$ $ inline $ \ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ unicode {222a}}} Q_ {a_i, \ frac {\ varepsilon} {2}} $ inline $ couvertures $$$E$ . Si $$$| K |> n$ puis deux éléments différents de $$$K$ sera dans l'une des boules $$$Q_ {a_i, \ frac {\ varepsilon} {2}}$ , ce qui contredit le fait que $$$K$ - $$$\ varepsilon$ ensemble clairsemé.

5. À tout le monde $$$\ varepsilon$ ensemble clairsemé $$$A \ sous-ensemble E$ correspondre au nombre $$$l (A)$ - sa longueur. Nous avons déjà prouvé qu'une fonction qui met n'importe qui $$$\ varepsilon$ ensemble clairsemé $$$A$ numéro correspondant $$$| A |$ limité. Notez que la fonction que chacun $$$\ varepsilon$ ensemble clairsemé $$$A \ sous-ensemble E$ correspond à sa longueur $$$l (A)$ est également limité.

6. Soit $$$c = \ sup l (A)$ où $$$\ sup$ pris sur tous $$$\ varepsilon$ ensembles clairsemés $$$A \ sous-ensemble E$ . Alors juste

Lemme 1. Il y a $$$\ varepsilon$ ensemble clairsemé $$$C = \ left \ {a_1, \ ldots, a_k \ right \}$ tel que $$$l (C) = c$ , $$$C$ est $$$\ varepsilon$ réseau dans $$$E$ , $$$f (C)$ est aussi $$$\ varepsilon$ réseau dans $$$E$ et pour tout $$$a_i, a_j \ en C$ sera $$$\ rho \ left (a_i, a_j \ right) = \ rho \ left (f \ left (a_i \ right), f \ left (a_j \ right) \ right)$ .

7. Lemme 2. La carte $$$f$ en continu $$$E$ . Plus précisément: si $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ pour tout $$$x, y \ in E$ alors $$$\ rho (f (x), f (y)) <5 \ varepsilon$ .

Preuve . Considérez $$$\ varepsilon$ réseau $$$C$ du lemme 1. Si $$$x$ n'appartient pas au ballon $$$Q_ {a_i, \ varepsilon}$ alors $$$x$ n'appartient pas $$$Q_ {f \ left (a_i \ right), \ varepsilon}$ . Cela signifie qu'il existe une telle $$$i$ ça $$$x \ dans Q_ {a_i, \ varepsilon}$ et $$$f (x) \ in Q_ {f \ left (a_i \ right), \ varepsilon}$ . De même, il existe $$$j$ ça $$$y \ dans Q_ {a_j, \ varepsilon}$ et $$$f (y) \ in Q_ {f \ left (a_j \ right), \ varepsilon}$ . Tarif $$$\ rho (f (x), f (y))$ . Il est clair que $$$\ rho (f (x), f (y)) <\ rho \ left (f \ left (a_i \ right), f \ left (a_j \ right) \ right) + \ varepsilon + \ varepsilon = \ rho \ gauche (a_i, a_j \ droite) +2 \ varepsilon$ . Et depuis $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ et $$$x \ dans Q_ {a_i, \ varepsilon}$ , $$$y \ dans Q_ {a_j, \ varepsilon}$ alors $$$\ rho \ left (a_i, a_j \ right) <3 \ varepsilon$ . Par conséquent $$$\ rho (f (x), f (y)) <5 \ varepsilon$ .

Nous avons donc prouvé que $$$f$ affiche en continu $$$E$ dans $$$E$ . Il résulte du lemme 1 que pour chaque $$$\ varepsilon> 0$ existe $$$\ varepsilon$ réseau dans $$$E$ tel que $$$f$ garde les distances entre les éléments de ce réseau. Par conséquent, pour tous les points $$$x, y \ in E$ peut trouver des séquences $$$x_n \ rightarrow x$ , $$$y_n \ rightarrow y$ tel que $$$\ rho \ left (f \ left (x_n \ right), f \ left (y_n \ right) \ right) = \ rho \ left (x_n, y_n \ right)$ . Mais $$$\ rho \ left (x_n, y_n \ right) \ rightarrow \ rho (x, y)$ à $$$n \ rightarrow \ infty$ . De la continuité de la cartographie $$$f$ il s'ensuit que $$$f \ gauche (x_n \ droite) \ rightarrow f (x)$ , $$$f \ gauche (y_n \ droite) \ rightarrow f (y)$ à $$$n \ rightarrow \ infty$ . Par conséquent $$$\ rho \ left (f \ left (x_n \ right), f \ left (y_n \ right) \ right) \ rightarrow \ rho (f (x), f (y))$ à $$$n \ rightarrow \ infty$ . Et puisque pour tout $$$n$ l'égalité tient $$$\ rho \ left (x_n, y_n \ right) = \ rho \ left (f \ left (x_n \ right), f \ left (y_n \ right) \ right)$ alors $$$\ rho (x, y) = \ rho (f (x), f (y))$ .

Remarque

Cette preuve du théorème de Boshernitsan est basée sur des conversations avec mon ami étudiant, maintenant mathématicien américain Leonid Luxemburg, lors d'une de ses visites à Moscou et est ma présentation de son idée proposée.

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Slobodnik Semyon Grigoryevich ,
développeur de contenu pour l'application «Tuteur: mathématiques» (voir article sur Habré ), candidat en sciences physiques et mathématiques, professeur de mathématiques à l'école 179 de Moscou