Échange de données et équations différentielles

Dans l'un des projets sur lesquels j'ai travaillé, un mécanisme d'échange de données entre les composants distants du système a été mis en place, qui fonctionnait selon le scénario suivant: le composant source A, de son côté, prépare les données destinées à la transmission; le récepteur-composant B ouvre périodiquement une session de communication et prend toutes les données que A a accumulées au moment de la connexion. Les données qui arrivent déjà pendant une session de communication sont retardées jusqu'à la prochaine connexion.

À un moment donné, j'ai réalisé que le transfert de données dans un tel schéma est décrit en utilisant une équation différentielle ordinaire. Description du modèle et des conclusions obtenues avec son aide, sous la coupe.

Nous dénotons $$$x (t)$- la quantité de données dans certaines unités arbitraires accumulées pour l'échange du côté de la composante A au moment $$$t$. Laissez la pause entre la fin de la session d'échange et le début du prochain égal $$$a_0> 0$unités de temps, et le transfert d'une unité de données nécessite $$$a_1> 0$unités de temps. Puis sur le transfert $$$x (t)$unités de données requises $$$a_0 + a_1x (t)$unités de temps. Le débit de données est

$$

$$\ frac {x (t)} {a_0 + a_1x (t)}. \ quad (1)$$

Si le débit de stockage des données sur le côté A est désigné $$$f (t)$alors $$$x (t)$est une solution à l'équation différentielle:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = - \ frac {x} {a_0 + a_1x} + f (t). \ quad (2)$$

Puisqu'une croissance illimitée du volume de données non encore envoyées est une situation extrêmement indésirable, il devient une tâche importante pour obtenir des conditions pour la limitation des solutions à cette équation.

Pour simplifier, nous considérons la fonction $$$f (t)$continu. Soit

$$

$$f (t) = \ phi_0 + \ phi (t),$$

où

$$

$$\ gauche | \ int_0 ^ t \ phi (s) ds \ droite | \ leq K _ {\ phi} <+ \ infty$$

pour tous $$$t \ geq 0$et $$$\ phi_0> 0$- constant, jouant le rôle de valeur moyenne.

Regardons quelques exemples. Soit $$$f (t)$périodique et son calendrier a la forme:


Dans ce cas $$$\ phi_0 = 1/3$, $$$\ phi (t) = f (t) - \ phi_0$.
En intégrant numériquement l'équation (1) pour plusieurs valeurs de paramètres $$$a_0, a_1$et valeurs initiales $$$x (0)$, nous obtenons les graphiques de décision suivants:


Les exemples montrent: quand $$$1 / a_1> \ phi_0$, les solutions sont également limitées pour diverses valeurs $$$x (0)$le système a tendance à se stabiliser. Des pauses moins courtes entre les sessions $$$a_0$, plus cette convergence est rapide. À $$$1 / a_1 <\ phi_0$une telle convergence n'est pas observée et les solutions se développent avec le temps. La réduction de la durée des pauses ralentit le taux de croissance, mais la tendance à une augmentation illimitée $$$x (t)$toujours enregistré.

Dans le cas général, on peut montrer que si $$$1 / a_1> \ phi_0$, alors les solutions de l'équation (1) sont bornées, et si $$$1 / a_1 <\ phi_0$- des solutions illimitées seront obtenues. En d'autres termes, le caractère limité des décisions n'est déterminé que par le rapport entre les taux d'accumulation et d'extraction des données. Durée des pauses entre les sessions d'échange $$$a_0$, le seul paramètre facilement contrôlable n'affecte pas fondamentalement le comportement du système. Bien que, comme le montre la relation (1) et les exemples, avec son augmentation, le taux de change diminue.

En conséquence, l'analyse du modèle nous permet de tirer les conclusions suivantes. Si le taux de change est insuffisant et que du côté de la source, la quantité de données à envoyer augmente constamment, alors cela n'a aucun sens d'essayer de corriger la situation en réduisant les pauses entre les sessions. Seule une augmentation des performances du système peut aider ici.

En revanche, dans le cas où le service d'échange charge constamment des ordinateurs au détriment d'autres tâches, la bonne décision serait d'augmenter la durée de pause dans des limites raisonnables: cela n'affectera que la pertinence des données, sans risque de débordement de la source avec des données non envoyées.

Des calculs détaillés des conditions de décisions limitées et d'autres questions concernant le modèle considéré sont publiés dans les documents du séminaire-école «Modélisation mathématique, méthodes numériques et complexes de programmes» du nom de E.V. Voskresensky. Vous pouvez consulter et télécharger l'article ici .