Constante magique

Il y a des carrés appelés magie. Eh bien, tout le monde sait probablement que la somme des nombres dans ces carrés horizontalement, verticalement et les diagonales principales est la même, c'est-à-dire, égale au même nombre, cette somme numérique est appelée la constante magique (ci-après M _n , où n est la taille du carré; n> 2). De retour à l'école, je me suis souvenu de la formule de calcul de cette constante: M _n = n * (n ² + 1) / 2, je ne savais pas d'où elle venait ... nous allons essayer de la déduire ici, peut-être que quelqu'un l'a déjà déduite, peut-être la même , peut-être d'une manière différente, cela n'a pas d'importance juste d'écrire.

Entrer à nouveau des nombres sur des carrés, une fois que j'ai remarqué une telle chose. Si vous entrez des nombres de 1 à n ² dans les colonnes de gauche à droite, vous obtenez toujours la constante magique lors de l'ajout de nombres sur n'importe quelle diagonale principale, ici vous pouvez voir:

M ₃ :
1 4 7
2 5 8
3 6 9

M ₄ :
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

Selon la formule:

M ₃ = n * (n ² + 1) / 2 = 3 * (3 * 3 + 1) / 2 = 30/2 = 15
M ₄ = n * (n ² + 1) / 2 = 4 * (4 * 4 + 1) / 2 = 68/2 = 34

En diagonale (indiquée en gras ci-dessus):

M ₃ = 1 + 5 + 9 = 15
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

Contrairement à la formule, les diagonales sont capables de donner une réponse à ce qui se passe. Considérez les nombres sur les diagonales:

M ₃ = 1 + 5 + 9
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16

Nous le réécrivons différemment:

M ₃ = 1 + (3 + 2) + (3 * 2 + 3)
M ₄ = 1 + (4 + 2) + (4 * 2 + 3) + (4 * 3 + 4)

L'avez-vous remarqué? Maintenant sous forme générale à partir de n:

M _n = 1 + (n + 2) + (n * 2 + 3) + (n * 3 + 4) + (n * 4 + 5) + ... + (n * (n-1) + n)

Regroupez-le (gras)
M _n = 1 + (n + 2 ) + (n * 2 + 3 ) + (n * 3 + 4 ) + (n * 4 + 5 ) + ... + (n * (n-1) + n )

et cela (surligné en gras)
M _n = 1 + ( n + 2) + ( n * 2 + 3) + ( n * 3 + 4) + ( n * 4 + 5) + ... + ( n * (n-1) + n)

et obtenez:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + (n + n * 2 + n * 3 + n * 4 + ... + n * (n-1))

mettre n hors du support:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + n * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)) [1]

Maintenant, nous introduisons une nouvelle notation,

S _n = 1 + 2 + 3 + ... + n [2]
alors
S _n-1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = S _n - n [3]

Maintenant, nous réécrivons la formule [1] en tenant compte de la notation [2] et [3], et obtenons:

M _n = S _n + n * (S _n - n) [4]

ou alors:

M _n = S _n * (n + 1) - n ²

[5]

S _n dans cet esprit -



évidemment calculé par la formule S _n = n ^2/2 + n / 2 = n * (n + 1) / 2,
remplacer dans [5]:

M _n = S _n * (n + 1) - n ² = n * (n + 1) * (n + 1) / 2 - n ² = n * (n ² + 2 * n + 1 - 2 * n) / 2 = n * (n ² + 1) / 2

M _n = n * (n ² + 1) / 2

Chtd