L'univers primitif 6. La dynamique d'un univers en expansion homogène, partie 2

Sur le site de conférences gratuites MIT OpenCourseWare a posté un cours de conférences sur la cosmologie d' Alan Gus, l'un des créateurs du modèle inflationniste de l'univers.

Votre attention est invitée à la traduction de la sixième conférence: «Dynamique d'un univers en expansion homogène, partie 2».

L'impossibilité d'un univers statique

Répétons brièvement ce sur quoi nous nous sommes arrêtés la dernière fois, car nous n'avons pas terminé le sujet précédent.

Nous avons considéré un univers complètement homogène dans lequel la matière remplit tout l'espace. Rappelons que Newton est arrivé à la conclusion qu'un tel système serait statique. Cependant, je soutiens qu'un tel système ne sera pas statique, même selon les lois de la mécanique newtonienne.


J'ai fourni des preuves. Par exemple, nous avons examiné le théorème de Gauss pour la loi de gravité de Newton. En utilisant un raisonnement assez simple, nous sommes passés de la loi de gravité de Newton, formulée comme une force agissant à distance, à la loi de Gauss. Si la force gravitationnelle est décrite par la loi de Newton, alors pour toute particule créant un champ gravitationnel, la loi de Gauss est remplie.

Flux vectoriel d'accélération gravitationnelle $$$\ vec g$ à travers toute surface fermée est égale $$$-4πGM$ où $$$M$ - masse à l'intérieur de la surface. Si nous appliquons la loi de Gauss à la distribution infinie de la matière, et supposons que Newton avait raison, et qu'il n'y a pas de forces gravitationnelles, cela signifierait que l'accélération gravitationnelle $$$\ vec g$ ce serait zéro partout. Puis couler $$$\ vec g$ à travers n'importe quelle surface sera également nulle. Cependant $$$-4πGM$ évidemment pas égal à zéro pour tout volume de taille non nulle contenant une masse non nulle. Ainsi, une telle formulation de la loi de gravité de Newton montre clairement que la distribution infinie de la matière ne peut pas être statique.

De plus, j'ai montré une formulation différente et plus moderne de la loi de gravité de Newton, la soi-disant équation de Poisson. Elle a été donnée pour ceux qui la connaissent. Si vous ne la connaissez pas, rien de mal. Ce n'est pas nécessaire.


Pour cette formulation de la loi de la gravité, nous introduisons le potentiel gravitationnel φ et notons l'accélération gravitationnelle moins le gradient φ. On peut alors montrer que φ obéit à l'équation de Poisson,

$$$$ afficher $$ ∇ ^ 2φ = 4πGρ $$ afficher $$

où ρ est la densité de masse.

Encore une fois, il est immédiatement évident qu'une distribution statique de la matière est impossible. Si la distribution de la matière était statique, le vecteur $$$\ vec g$ serait égal à 0. Cela signifie que le gradient de φ serait égal à 0. Cela signifierait que φ serait une constante. Si φ serait une constante, $$$∇ ^ 2φ$ serait égal à 0, ce qui est incompatible avec l'équation de Poisson.

Je veux également ajouter que d'un point de vue moderne, des équations telles que l'équation de Poisson sont considérées comme plus fondamentales que l'équation de Newton d'origine, qui considère la gravité comme une action à distance. En particulier, lors de la généralisation de la loi de Newton à la théorie générale de la relativité, Einstein a commencé avec l'équation de Poisson, et non avec la loi décrivant la force à distance.

Dans la théorie générale de la relativité, il n'y a pas de loi décrivant l'action de la force à distance. La théorie générale de la relativité est formulée d'une manière très similaire à l'équation de Poisson. L'idée clé qui sous-tend cette approche est que toutes les lois de la physique que nous connaissons peuvent être exprimées localement.

L'équation de Poisson est une équation locale. Il s'agit d'une équation différentielle qui s'exécute à chaque point de l'espace et ne dit rien sur la façon dont la matière à un point dans l'espace affecte la matière à un autre point. Cette influence est une conséquence de l'équation et n'est pas intégrée à l'équation au départ.

L'ambiguïté du calcul de l'accélération gravitationnelle

Ensuite, nous avons discuté de ce qui se passerait si nous additionnions nos forces en utilisant la loi de Newton et l'action à distance. J'ai montré que nous obtenons une intégrale conditionnellement convergente. Une telle intégrale converge, mais elle peut converger vers différentes valeurs en fonction de l'ordre dans lequel placer les différentes parties de l'intégrale.


Nous avons examiné deux ordres possibles d'ajout de forces. Nous avons calculé la force en un point $$$P$ situé à l'intérieur de la distribution infinie de la matière. Nous pouvons supposer que l'image entière est remplie de substance. Dans notre tâche, la substance remplit uniformément l'image entière et l'univers entier. La seule chose que nous ferons différemment dans nos deux calculs est de résumer les forces créées par la substance dans un ordre différent.

Si vous prenez une substance commandée par des obus concentriques autour $$$P$ , alors chaque obus ne crée aucune force au point $$$P$ . Par conséquent, dans la limite, lorsque nous ajoutons un nombre infini de coquilles, la somme sera toujours 0. Ainsi, pour ce cas, nous obtenons $$$\ vec g$ égal à 0.

Mais la loi de Newton ne nous dit rien dans quel ordre réunir les forces. La loi de Newton stipule simplement que chaque masse crée une force proportionnelle à $$ , et qu'est-ce qu'un vecteur. Selon Newton, il est nécessaire d'ajouter les vecteurs de force créés par chaque masse. L'addition de vecteurs est généralement commutative. Peu importe l'ordre dans lequel nous les empilons. Mais dans notre cas, l'ordre d'addition est important. Par conséquent, la réponse est mitigée.

Pour voir cela, nous considérerons un ordre d'addition différent. Nous continuerons à utiliser des coques sphériques car elles sont plus faciles à travailler. Il pourrait être plié d'une autre manière, mais toute autre forme est beaucoup plus difficile à utiliser.

Cette fois, nous considérerons des coquilles sphériques, centrées sur un autre point. Nous appellerons ce point $$$Q$ . Nous allons à nouveau calculer la force au point $$$P$ créé par la distribution infinie de matière remplissant l'espace, c'est-à-dire que nous résoudrons le même problème qu'auparavant, mais nous ajouterons des forces dans un ordre différent.

La dernière fois, nous avons montré que toute la matière à l'intérieur de la sphère, centrée sur $$$Q$ et un rayon inférieur à la distance de $$$Q$ avant $$$P$ , contribue à la force au point $$$P$ . Et tout le reste de la substance peut être divisé en coquilles sphériques, pour lesquelles le point $$$P$ situé à l'intérieur. A l'intérieur de la coquille sphérique, la force est nulle. Donc, tout le reste de la substance ne fait aucune contribution.

Dans ce cas, la force au point $$$P$ égale à la force créée par une masse ponctuelle située dans $$$Q$ et une masse égale à la masse totale de la zone ombrée. Evidemment, cette force n'est pas égale à zéro. De plus, il est évident que nous pouvons obtenir la puissance que nous voulons en choisissant différents points $$$Q$ . Nous pouvons augmenter la force en choisissant un point plus éloigné. Parce que la force pointera toujours dans la direction du point $$$Q$ , nous pouvons obtenir de l'énergie dans n'importe quelle direction en choisissant un point $$$Q$ au bon endroit.

Par conséquent, selon la façon dont nous résumons les forces, nous pouvons obtenir n'importe quelle réponse. Ainsi, la description de la gravité comme une action à distance conduit à l'ambiguïté. La description de la gravité sous la forme de la loi de Gauss ou de la loi de Poisson montre que le système ne peut pas être statique. Bientôt, nous essaierons de savoir exactement comment elle se comportera.

Problème de symétrie

Maintenant, je veux revenir à l'argument qui a convaincu Newton de la nature statique de l'univers. Newton pensait que lors du calcul de l'accélération gravitationnelle à un certain point dans une distribution infinie de matière, un problème de symétrie se posait. Toutes les directions à partir de ce point se ressemblent. Si l'accélération gravitationnelle existe à un point donné, alors où doit-elle être dirigée? Cet argument de symétrie est très logique et semble très convaincant. Il ne peut y avoir aucune accélération, simplement parce qu'il n'y a pas de direction préférée pour lui.

Il serait probablement difficile de convaincre Newton du caractère fallacieux de cet argument. Je ne sais pas si nous pourrions le convaincre ou non. Nous n'avons aucune possibilité d'essayer de le faire.
Mais si nous en avions l'occasion, nous tenterions de lui expliquer que l'accélération est généralement mesurée dans un référentiel inertiel. Newton lui-même l'a toujours décrit ainsi. Pour lui, il y avait un système de référence inertiel unique, précis à une vitesse constante, déterminé par rapport aux étoiles fixes. C'est la terminologie de Newton. Il a donc déterminé le référentiel inertiel. Toutes ses lois de la physique étaient valables dans ce système inertiel.

D'un autre côté, si tout l'espace est rempli de matière qui, comme nous le prétendons, se contractera, alors les étoiles fixes n'existent pas. L'idée même d'un système de référence inertiel disparaît. Aucun objet n'est au repos ou ne se déplace uniformément par rapport à un référentiel inertiel potentiel.

En l'absence de référentiel inertiel, il faut reconnaître que toutes les accélérations, comme les vitesses, sont relatives. On peut parler de l'accélération d'une particule par rapport à une autre. Mais on ne peut pas parler d'accélération absolue d'une particule, car il n'y a pas de référentiel inertiel dans lequel l'accélération peut être mesurée.

Lorsque toutes les accélérations sont relatives, il s'avère que la description correcte, que nous déduisons finalement, est une description similaire à la loi de Hubble. La loi de Hubble est la loi des vitesses. Il indique que du point de vue de tout observateur, tous les autres objets sont supprimés de cet observateur. Malgré le fait qu'il semble que l'observateur se trouve dans un endroit spécial, vous pouvez aller au cadre de référence de tout autre observateur et voir exactement la même image. Ainsi, le fait que tous les objets soient retirés de l'observateur ne viole pas l'uniformité. Cela ne rompt pas la symétrie que nous essayons d'intégrer dans le système. Il en va de même pour l'accélération. Je ne vais pas le prouver maintenant. Nous le montrerons au cours de nos futurs calculs.

Dans notre univers qui s'effondre, tout observateur peut se considérer comme au repos. L'observateur verra alors que toutes les autres particules accélèrent vers lui. Bien qu'il semble que l'observateur soit dans un endroit spécial, ce n'est pas le cas. Vous pouvez vous rendre dans le cadre de référence de tout autre observateur et voir qu'il est maintenant au repos et que tous les autres objets accélèrent vers lui.

Modèle mathématique de l'univers

Nous sommes maintenant prêts à aller plus loin et à construire un modèle mathématique qui nous montrera comment la distribution uniforme de la matière se comportera. Nous éliminons d'abord le problème de l'infini. Pour ce faire, nous commençons par une balle finie. Ensuite, à la toute fin, nous augmenterons la taille de cette balle à l'infini.

Notre objectif est de construire un modèle mathématique de notre univers. Nous voulons y inclure les trois caractéristiques dont nous avons discuté précédemment - l'isotropie, l'homogénéité et la loi de Hubble. Nous allons le construire comme un système mécanique en utilisant les lois de la mécanique que nous connaissons. Nous utiliserons les lois de Newton. Mais je vous assure que, bien que nous utilisions les lois de Newton, la réponse que nous obtenons coïncidera exactement avec la réponse donnée par la théorie générale de la relativité. Nous verrons plus loin pourquoi il en est ainsi. Nous ne perdrons pas de temps sur des calculs approximatifs. Nous obtiendrons un calcul absolument correct, qui nous donnera une réponse absolument correcte.


Afin de construire un modèle de l'univers, nous imaginons que notre univers est une boule de taille finie remplie de matière. Soit $$$t_i$ - C'est le point initial dans notre image. Ce point dans le temps n'a pas besoin d'être spécial, du point de vue de l'évolution de l'univers. Lorsque nous construisons le modèle, nous pouvons calculer comment l'univers se comportera plus tard que $$$t_i$ et plus tôt que $$$t_i$ . $$$t_i$ - c'est juste l'heure actuelle.

Pour le temps $$$t_i$ nous donnerons à notre balle la taille maximale $$$R_ {max, i}$ . Je l'ai appelé maximum car la balle est remplie de particules. Il s'agit donc de la distance maximale initiale entre le centre de la balle et toute particule. La signification initiale pendant $$$t_i$ . Nous considérerons que la substance remplissant la balle est de la poussière de très petites particules. La substance a une densité $$$ρ_i$ . La substance est homogène et isotrope, au moins isotrope du centre.

Maintenant, nous voulons ajouter la loi Hubble. Ayons toute la matière, dans notre univers modèle, en expansion et en expansion exactement selon la loi de Hubble. A savoir, toutes les vitesses seront dirigées depuis le centre avec une valeur proportionnelle à la distance. Je dénoterai la vitesse des particules $$$v_i$ , $$$i$ vitesse initiale moyenne. Pour toute particule, au moment initial, la vitesse obéira à la loi de Hubble. Ce sera égal à une constante que je nommerai $$$H_i$ Est la valeur initiale de la constante de Hubble fois le vecteur $$$\ vec r$ qui est égal au vecteur du centre de la balle à la particule. Il montre où se trouve la particule en question.

$$

$$\ vec v_i = H_i \ cdot \ vec r$$

De cette façon $$$\ vec v_i$ - la vitesse initiale de toute particule. $$$H_i$ - Constante initiale de Hubble. Un $$$\ vec r$ -position de la particule.

Comme je l'ai dit, nous allons commencer par un système de taille finie avec lequel nous pouvons travailler. Nous savons calculer de façon unique, du moins en principe, comment un tel système évoluera dans des conditions initiales données. A la fin du calcul, nous passerons à la limite lorsque $$$R_ {max, i}$ tend à l'infini. Ainsi, nous étendrons notre modèle à l'espace infini.

Une petite digression sur les infinis

Je veux également dire quelques mots sur l'infini, car j'ai récemment rencontré une chose intéressante. Ceci est une petite digression, vous pouvez l'ignorer. Mais pour ceux qui sont intéressés, le concept de l'infini a présenté une surprise inattendue en considérant le multivers, dont j'ai parlé un peu dans la conférence de révision, et sur lequel nous reviendrons à la fin du cours.

Le multivers a rendu le travail avec les infinis beaucoup plus prudent qu'auparavant. Ce faisant, j'ai appris des choses sur l'infini qui m'ont surpris. Fondamentalement, en physique, nous considérons l'infini comme la limite des systèmes finis, comme nous le faisons dans notre modèle. Si nous voulons comprendre le comportement d'un système infini, en physique, nous commençons très souvent par regarder un système fini, qui est beaucoup plus facile à travailler mathématiquement. Ensuite, nous prenons la limite à laquelle le système devient de plus en plus.

En physique, cela fonctionne dans presque toutes les situations. Je crois que cela fonctionne parce que nous supposons que les interactions physiques sont locales. Ce qui se passe très loin n'affecte pas ce qui se passe ici.

Au fur et à mesure que nous faisons notre sphère, nous ajoutons de la matière à des distances de plus en plus grandes. Cette nouvelle substance que nous ajoutons n'affectera pas beaucoup ce qui se passe à l'intérieur. En fait, dans notre tâche, la substance supplémentaire ajoutée de l'extérieur n'aura aucun effet sur ce qui se passe à l'intérieur, car le champ gravitationnel à l'intérieur de la coquille sphérique est de 0.

C'est une situation typique, et pour cette raison, les physiciens ont tendance à toujours considérer les infinis comme des limites des systèmes finis. Cependant, je tiens à noter que ce n'est pas toujours correct. Il y a des moments où c'est absolument faux. Les mathématiciens le savent, mais les physiciens ne le savent généralement pas.

Par conséquent, je tiens à noter que tous les infinis ne sont pas bien décrits comme des limites de systèmes finis. Cela ne s'applique pas à la description de notre univers modèle. Tout va bien ici. Nous continuerons notre discussion sur notre modèle après avoir terminé ma courte digression.

Comme exemple d'un système qui est infini et n'est pas bien décrit comme la limite des systèmes finis, nous pouvons prendre de nombreux nombres naturels $$$\ mathbb N$ .

Supposons que nous voulons décrire l'ensemble des nombres naturels comme la limite d'un ensemble fini. Vous pouvez essayer de considérer l'ensemble de tous les nombres naturels comme l'ensemble des nombres naturels inférieurs à N avec N tendant vers l'infini. Si nous prenons des ensembles de plus en plus de nombres et prenons la limite, obtiendrons-nous l'ensemble de tous les nombres naturels?

Vous pourriez penser que la réponse est oui. Je soutiens que l'ensemble résultant n'est pas égal à l'ensemble d'entiers. En fait, je soutiens que la limite n'existe pas du tout, donc elle ne peut pas être égale à l'ensemble des entiers.

Pour clarifier cela, je vais vous rappeler quelle est la limite. Comme nous n'avons pas de cours de mathématiques, je ne donnerai pas de définition rigoureuse. Je vais juste vous donner un exemple qui rafraîchira les faits que vous avez appris dans les cours de mathématiques.

Supposons que nous considérons la limite $$$sin (x) / x$ à $$$x$ tendant vers 0. On sait à quoi il est égal. Utilisez généralement la règle de Lital. Mais vous pouvez simplement utiliser directement la définition de limite. La valeur limite est 1.

Pour tout $$$x$ différent de 0, on peut calculer cette expression. À $$$x = 0$ l'expression est ambiguë. Comme $$$x$ se rapprochant de plus en plus de 0, les nombres résultants se rapprochent de 1. On peut obtenir le nombre arbitrairement proche de 1 en choisissant $$$x$ assez proche de 0.

Si nous appliquons le même concept à l'ensemble des entiers de 1 à N, se rapprochera-t-il de l'ensemble de tous les nombres naturels avec l'augmentation de N? Les nombres de 1 à 10 sont-ils proches de l'ensemble de tous les nombres naturels? Non. Et de 1 à un million? Toujours infiniment loin. 1 à un milliard? De 1 à 10 au centième?

Quel que soit le nombre que nous choisissons comme limite supérieure, nous sommes encore infiniment loin de nombreux nombres naturels. Nous ne nous rapprochons pas. Nos ensembles ne convergent pas vers l'ensemble des nombres naturels. C'est un concept différent.

Qu'importe? Y a-t-il des questions où cela est important, considérez-vous les nombres naturels déterminés d'une autre manière ou par cette limite?Permettez-moi d'abord de dire comment ils sont définis.

Si vous demandez aux mathématiciens comment ils déterminent l'ensemble des nombres naturels, je pense qu'ils diront tous qu'ils utilisent les axiomes de Peano. Le point clé des axiomes de Peano, qui détermine l'existence d'un nombre infini de nombres naturels, est l'axiome de succession.

L'un des axiomes de Peano qui décrivent mathématiquement les nombres naturels est l'affirmation selon laquelle chaque nombre naturel a un nombre qui le suit. De plus, il existe d'autres déclarations qui garantissent que le numéro suivant n'est pas l'un des précédents. Ainsi, pour tout nombre, il existe un nombre encore plus grand. Cet ensemble d'axiomes garantit initialement l'infinité de l'ensemble des nombres naturels. Elle n'est pas considérée comme la limite des ensembles finis et ne peut pas être considérée comme la limite des ensembles finis. Parce qu'aucun ensemble fini n'est comme un ensemble infini.

Est-ce important? Y a-t-il des problèmes dans lesquels il est important, peut-on décrire des entiers de cette façon ou non? J'avoue que les tâches que je connais semblent farfelues. Mais je veux dire qu'en mathématiques, le mot «artificiel» n'a pas d'importance. Si vous trouvez une contradiction quelque part, personne ne vous dira que cette contradiction doit être ignorée, car elle est farfelue. Si c'est vraiment une contradiction, c'est important.

La question dans laquelle cela importe vraiment est de savoir si nous considérons les nombres naturels comme initialement infinis, ou si nous les considérons comme une limite, par exemple, la question est - quelle partie des nombres naturels est si grande que lorsqu'ils sont doublés, ils cessent d'être des nombres naturels?

Si nous considérons un ensemble fini, pour tout N, quelle que soit sa taille, la moitié des entiers de cet ensemble sont si grands qu'ils ne peuvent pas être doublés pour rester dans cet ensemble. Ce ratio sera respecté quelle que soit la taille que nous choisissons N.

D'un autre côté, si nous regardons une série infinie de nombres naturels, nous savons que tout nombre naturel peut être doublé, nous obtenons simplement un autre nombre naturel. Ceci est un exemple de la propriété des nombres naturels, qui sera incorrecte si nous considérons l'ensemble des nombres naturels comme une limite. Vous ne pouvez pas faire ça.

C'était une petite retraite. C'est juste un avertissement que vous devez faire attention à l'infini comme limite des ensembles finis. Cependant, il n'est pas directement lié à notre sujet.

Une note sur le formulaire utilisé
Revenons à notre modèle. Je voudrais également faire quelques commentaires sur le formulaire utilisé dans le modèle. Nous utilisons des sphères. Vous pouvez demander, pourquoi les sphères sont-elles?

La sphère est de loin la forme la plus simple avec laquelle nous pouvons travailler. La sphère garantit également l'isotropie, au moins l'isotropie du centre. Nous pourrions, après avoir fait beaucoup plus de travail, utiliser, par exemple, un cube, en augmentant de plus en plus le cube. À mesure que le cube grossit de plus en plus, il remplira également tout l'espace. On peut supposer que cette autre méthode donnera la même réponse. Et ça l'est vraiment.

Si nous utilisions des cubes, nous aurions beaucoup plus de calculs. Mais nous obtiendrions la même réponse. Le cube est assez symétrique. Dans ce cas, il donnera le même résultat que la sphère. Je ne vous dirai pas comment calculer le résultat d'une forme arbitraire. Mais je vous garantis que le cube donnera la même réponse.

En revanche, si nous utilisons des parallélépipèdes à trois, ou au moins deux côtés différents, nous commencerons par une figure initialement asymétrique. L'une des directions sera mise en évidence. Ensuite, si nous utilisons de tels parallélépipèdes, de la même manière que nous utilisons des sphères, nous créerons initialement une anisotropie. Nous obtiendrons un modèle anisotrope de l'univers.

Puisque nous essayons de simuler un univers réel hautement isotrope, nous utilisons une forme qui garantit l'isotropie. Une sphère est la forme la plus simple qui puisse être utilisée.

Le rôle de la matière dans l'évolution de l'univers

Maintenant, ajoutons de la dynamique à notre modèle. La dynamique que nous ajoutons sera purement newtonienne. Nous considérerons la substance qui remplit la sphère, la poussière de particules newtoniennes ou, si vous voulez, le gaz des particules newtoniennes.

Ces particules seront non relativistes, ce qui est compris par le mot newtonien. Ce modèle décrit notre univers réel pour un segment significatif de son évolution, mais pas pour toute la période d'évolution. Avant de continuer, je voudrais dire quelques mots sur l'univers réel et sur la matière qui l'a dominé à différentes époques de l'évolution.

Au début, dans notre univers, nous pensons que le rayonnement dominait. Cela signifie que si nous suivons l'évolution de notre univers dans le temps et voyons ce qui s'est passé dans tous les temps antérieurs, les photons du rayonnement de fond cosmique subiront un décalage vers le bleu.

Nous avons constaté qu'ils subissent un décalage vers le rouge à mesure que l'univers se développe. Cela signifie que si nous extrapolons dans la direction opposée, ils subiront un décalage vers le bleu. Chaque photon devient plus énergétique. Le nombre de photons reste constant. Leur concentration augmente en raison d'une diminution de volume. Et ils deviennent plus énergiques.

Pendant ce temps, la concentration de particules de matière ordinaire et de matière noire, quelle que soit leur origine, augmente également en reculant dans le temps. Mais ils ne deviennent pas plus énergiques. Le proton reste une particule dont l'énergie est égale à la masse du temps des protons$$$c^2$ .

Ainsi, à mesure que vous reculez dans le temps, la densité d'énergie du rayonnement de fond micro-ondes cosmique devient de plus en plus comparée à la densité d'énergie de la substance. Plus tard, nous apprendrons comment le calculer exactement. Ils sont comparés à un âge universel d'environ 50 000 ans.

ÉTUDIANT: Si les particules sont des ondes, alors pourquoi ne changent-elles pas?

ENSEIGNANT: En fait, ils changent un peu. Mais nous supposons que ces particules ont une vitesse négligeable. Leur élan connaît un virage bleu. Mais le décalage bleu est proportionnel à la valeur initiale. Si la valeur initiale est très faible, même lorsqu'elle est décalée vers le haut, l'impulsion reste encore négligeable.

Ainsi, dans l'univers réel, jusqu'à environ 50 000 ans, le rayonnement dominait. Nous en parlerons dans quelques conférences. Mais aujourd'hui, nous n'en tenons pas compte. Puis, à partir d'environ 50 000 ans à 9 milliards d'années, une période assez longue dans l'histoire de l'univers, la matière a dominé l'univers. La substance signifie la substance non relativiste. Il s'agit d'un terme standard en cosmologie. Quand nous disons que l'univers est dominé par la matière, bien que nous n'utilisions pas le mot non relativiste, tout cela est sous-entendu. C'est le cas que nous considérerons aujourd'hui, la substance non relativiste habituelle qui remplit l'espace.

Puis un autre changement s'est produit dans notre univers réel - d'environ 9 milliards d'années à aujourd'hui et, vraisemblablement, sera le même à l'avenir, l'énergie sombre a commencé à dominer dans l'univers. L'énergie sombre est quelque chose qui fait que l'univers se développe rapidement. L'univers se développe rapidement à partir d'environ 9 milliards d'années après le Big Bang.

La matière ordinaire ne se transforme pas en énergie sombre, comme on pourrait s'y attendre en raison d'un changement de dominance. Ils se comportent simplement différemment lors de l'expansion de l'univers. La densité de la matière ordinaire diminue proportionnellement au cube du facteur d'échelle. Un nombre fixe de particules est réparti sur un volume croissant. L'énergie sombre, pour des raisons que nous apprenons plus près de la fin du cours, ne change pas sa densité d'énergie à mesure que l'univers se développe. Il y a 9 milliards d'années, la densité de la matière ordinaire est tombée en dessous de la densité de l'énergie sombre. Ensuite, l'énergie sombre a commencé à dominer et l'univers a commencé à se développer rapidement. Aujourd'hui, l'énergie sombre représente environ 60% ou 70% de l'énergie totale. Ce n'est pas une domination absolue. Mais c'est la plus grande partie.

Pour le calcul d'aujourd'hui, nous nous concentrerons sur la période intermédiaire et prétendrons que c'est toute l'histoire. Nous reviendrons et discuterons d'autres époques. Nous ne les ignorerons pas. Mais aujourd'hui, nous n'en discuterons pas.

Briser en coquilles

Nous allons donc considérer l'univers dans lequel la matière domine. Nous utiliserons la mécanique newtonienne. Malgré le fait que nous utiliserons la mécanique newtonienne, je vous assure, et j'essaierai de donner quelques arguments plus tard, cela donnera exactement la même réponse que la théorie générale de la relativité.

Afin d'écrire les équations décrivant l'expansion de la balle, nous utiliserons des coques sphériques. Nous présenterons notre balle sous la forme de ses coquilles. En d'autres termes, au départ, nous divisons la substance en coquilles. Nous introduisons une notation pour chacun des coques et suivons leur évolution.

La raison pour laquelle nous pouvons décrire toute la matière avec des coquilles est que les vitesses initiales de toutes les particules sont dirigées le long du rayon. Selon la loi de Hubble, les vitesses sont proportionnelles au vecteur de rayon fixé à partir du centre de la balle. Par conséquent, toutes nos vitesses initiales sont dirigées le long du rayon.

De plus, la gravité newtonienne des particules sera également dirigée le long du rayon. Par conséquent, le mouvement de toute particule sera dirigé le long du rayon. Il n'y aura jamais de forces agissant sur la particule dans la direction tangentielle, où tangentielle signifie toute direction autre que radiale. Lors du changement du rayon de chaque particule, ses variables angulaires ϑ et ϕ seront constantes dans le temps. Je n'en parlerai donc plus.

Chaque coquille a une désignation $$$r_i$ égal à son rayon à l'instant initial $$$t_i$ . À l'avenir, cette désignation de coque est préservée.

Pour décrire le mouvement, nous introduisons la fonction $$$r (r_i, t)$ . La fonction est égale au rayon de la coque $$$r_i$ au moment $$$t$ . Fonction $$$r (r_i, t)$ nous montre où se trouve le shell à un moment ultérieur ou antérieur.

Je dois dire que dans le manuel, vous verrez une conclusion plus simple que celle que je vais vous montrer. Pourquoi est-ce que je complique ça? Le fait est que mon calcul montrera plus que celui donné dans le manuel. La plupart des manuels supposent que le mouvement des obus continuera à obéir à la loi Hubble et à maintenir une densité complètement uniforme. Nous ne supposerons pas que la substance reste homogène. Nous prouvons qu'il reste homogène. Il me semble qu'il vaut bien mieux prouver quelque chose que simplement supposer sans le prouver.

Il y a un autre problème un peu plus compliqué. Encore une fois, c'est une subtilité qui n'est probablement pas mentionnée dans les manuels. Nous avons différents coques extensibles. Nous pouvons calculer la force agissant sur n'importe quelle coquille si nous savons quelle substance se trouve à l'intérieur de cette coquille. Les coquilles à l'extérieur ne créent pas de force. Par conséquent, il est très important de savoir dans quel ordre les coquilles sont situées. Au départ, nous le savons bien sûr. Ils sont classés selon $$$r_i$ . Mais dès qu'ils commencent à bouger, en principe, il est possible que les obus commencent à se croiser.

Si les coquilles se croisent, nos équations de mouvement changeront, car la quantité de matière agissant sur la coquille changera. Nous devrons en tenir compte. Heureusement, ce problème ne se produit pas. Nous allons le montrer comme suit. Initialement, tous les obus sont retirés les uns des autres conformément à la loi Hubble. La loi de Hubble stipule que deux particules s'éloignent l'une de l'autre avec une vitesse relative proportionnelle à leur distance. Cela est vrai pour deux obus. Si les obus commencent à se croiser, ils ne le feront certainement pas tout de suite. Il n'y a pas deux obus qui se rapprochent initialement l'un de l'autre. Tous les obus sont initialement séparés les uns des autres.

Cette situation peut changer en raison des forces existantes. Cependant, nous pouvons noter des équations qui seront satisfaites au moins jusqu'à ce que les intersections des coques apparaissent. Si les coquilles se croisent, ces équations doivent être valides jusqu'au moment de l'intersection des coquilles. Par conséquent, les équations devraient montrer que les coquilles vont se croiser. Les coquilles ne peuvent pas commencer à se croiser contrairement aux équations du mouvement. Nous verrons que selon nos équations, il n'y aura pas d'intersection des coquilles.

Donc, nous notons les équations qui sont valables jusqu'à ce qu'il n'y ait pas d'intersection des coquilles. Tant qu'il n'y a pas d'intersection des coquilles, la masse totale à l'intérieur d'une coquille ne dépend pas du temps. Ce ne sont que d'autres coquilles à l'intérieur. Ainsi, sur la coque avec un rayon initial $$$r_i$ , la force créée par la masse à l'intérieur de la coquille agit. Nous pouvons écrire la formule de la masse à l'intérieur de la coque. Masse à l'intérieur de la coque avec un rayon initial $$$r_i$ égal au volume initial de la coque multiplié par la masse volumique initiale, $$$ρ_i$

$$

$$M (r_i) = \ frac {4π} 3 {r_i} ^ 3ρ_i$$

Nous composons une équation différentielle
La loi de Newton détermine l'accélération d'une particule arbitraire dans notre système. La loi de Newton stipule que l'accélération est dirigée dans la direction opposée d'un vecteur de rayon unitaire à une particule et est égale aux temps constants de Newton la masse à l'intérieur de la sphère divisée par le carré de la distance de la coquille à l'origine. C'est cette distance qui est égale à la fonction $$$r (r_i, t)$ . Il s'agit du rayon de la coque à un moment donné.

$$

$$\ vec g = - \ frac {GM (r_i)} {r ^ 2 (r_i, t)} \ hat r$$

Cela est vrai pour tout shell dénoté par une variable. $$$r_i$ .

C'est une équation vraiment importante. Tout le reste en découle. Il reflète le théorème de Newton selon lequel si la masse est distribuée de manière sphérique symétrique, alors la masse de toute coquille d'un rayon plus grand que la distance à la particule ne contribue pas à l'accélération de la particule. L'accélération n'est déterminée que par la masse des coquilles de rayons plus petits.

Nous savons que tous les mouvements se produisent le long des rayons. Tout ce que nous devons faire est de comprendre comment $$$r$ évolue avec le temps. Nous pouvons l'écrire comme une équation différentielle ordinaire pour $$$r$ , sans aucun vecteur.

$$

$$\ ddot r = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r ^ 2}$$

$$$\ ddot r$ Est l'accélération. Nous avons encadré $$$M (r_i)$ de la formule précédente. $$$r$ Est une fonction de $$$r_i$ et $$$t$ . Je n'indiquerai plus cela.

Lors de l'extension du système $$$r_i$ est juste une constante, différente pour chaque shell, mais constante dans le temps. Imaginez que nous résolvions un problème pour un shell spécifique. $$$ρ_i$ - c'est aussi une constante. Elle est égale à la densité à l'instant initial et conserve sa valeur.

Nous avons obtenu une équation différentielle dans laquelle seuls les changements de temps $$$r$ et rien de plus. Ceci est une équation différentielle de second ordre pour $$$r$ .

Conditions initiales

Il y a une chose dont vous devez tous vous souvenir lorsque vous travaillez avec des équations différentielles de second ordre. Pour avoir une solution unique, nous avons besoin de conditions initiales. S'il s'agit d'une équation du second ordre, et que les équations de Newton sont généralement obtenues, nous devons indiquer la position initiale et la vitesse initiale afin que l'équation du second ordre donne une réponse unique.

Nous allons définir la valeur initiale de la position $$$r$ et valeur initiale de la vitesse $$$\ dot r$ particules. Nous aurons un système que nous pourrons donner aux mathématiques. Si le mathématicien est assez intelligent, il peut le résoudre.

Donc, nous voulons définir la valeur initiale $$$r$ , moyen initial au temps $$$t_i$ . Évidemment, c'est juste égal $$$r_i$ .

$$

$$r (r_i, t_i) = r_i$$

Si nous voulons avoir une solution unique pour cette équation, nous devons également définir la valeur initiale de la vitesse $$$\ dot r$ . Initial signifie à nouveau pendant $$$t_i$ . Elle est déterminée par la constante de Hubble. Chaque vitesse initiale des particules est égale à la valeur initiale de la constante de Hubble multipliée par le rayon.

$$

$$\ dot r = H_ir_i$$

Il s'agit de l'extension Hubble que nous avons initialement introduite dans le système. Nous avons un système purement mathématique. Nous avons une équation différentielle de second ordre et des conditions initiales pour $$$r$ et $$$\ dot r$ . Il fournit une solution unique. C'est purement mathématique. Plus besoin de physique, au moins à ce stade.

Uniformité

On peut remarquer des caractéristiques mathématiques intéressantes de ce système d'équations. Nous verrons que ces équations préservent miraculeusement l'homogénéité de notre système. Il est intégré dans les équations. La caractéristique clé de ces équations est que vous pouvez vous débarrasser de $$$r_i$ en changeant les variables.

Définissons une nouvelle fonction $$$u$ . J'ai arbitrairement choisi une lettre à désigner, vous pouvez en prendre une.

$$

$$u (r_i, t) = \ frac {r (r_i, t)} {r_i}$$

Pour toute fonction, $$$r (r_i, t)$ vous pouvez toujours définir une nouvelle fonction qui est égale à la fonction d'origine divisée par $$$r_i$ .

Voyons maintenant ce qui arrive à nos équations. J'affirme que $$$r_i$ va disparaître. Voyons comment cela se produit:

$$$$ afficher $$ \ ddot u = \ frac {\ ddot r} {r_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r_ir ^ 2} = - \ frac {4π} 3 \ frac { Gr ^ 3_iρ_i} {u ^ 2r ^ 3_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {u ^ 2} $$ display $$

L'équation montre comment la contraction se produit $$$r_i$ . $$$r_i$ dans un cube du numérateur est proportionnelle au volume de la sphère. Au dénominateur $$$r_i$ se tient également dans un cube. Un $$$r_i$ apparu en raison du remplacement des variables, mais $$$r ^ 2_i$ est apparu en raison de la loi des carrés inverses.

Réduisant ainsi $$$r_i$ apparaît si la puissance diminue $$ . Si la force diminuait selon une autre loi, si elle n'était que légèrement différente de $$ alors $$$r_i$ ne serait pas abrégé dans la formule. C'est une réduction $$$r_i$ est essentielle pour assurer l'uniformité de l'évolution du système. Si, selon Newton, la force diminue, comme $$ au carré, le système reste homogène. Sinon, non. Ceci est un fait très intéressant.

Alors $$$r_i$ nous avons décliné. Maintenant, nous obtenons une équation simple pour $$$\ ddot u$ plus sans $$$r_i$ dans l'équation. Cela signifie que $$$u$ donne une solution pour tout $$$r_i$ . Nous n'avons plus de solutions différentes pour des valeurs différentes $$$r_i$ . $$$r_i$ disparaît de la tâche. Nous avons la seule solution indépendante de $$$r_i$ . C'est juste pour tout le monde. $$$r_i$ .

Qu'est-ce que j'ai oublié de mentionner? Conditions initiales. Pour obtenir une solution unique, nous devons non seulement avoir une équation différentielle indépendante de $$$r_i$ . Nous n'aurons pas de solution unique si nous ne vérifions pas les conditions initiales, qui ne devraient pas non plus dépendre $$$r_i$ . Et ils ne sont pas dépendants.

Valeur initiale $$$u (r_i, t_i)$ égal à la valeur initiale $$$r$ divisé par $$$r_i$ . Mais le sens initial $$$r$ est égal $$$r_i$ . Pour tout $$$r_i$ nous obtenons:

$$

$$u (r_i, t_i) = \ frac {r_i} {r_i} = 1$$

Considérez maintenant la valeur initiale $$$\ dot u$ . C'est égal

$$

$$\ dot u (r_i, t_i) = \ frac {\ dot r} {r_i} = \ frac {H_ir_i} {r_i} = H_i$$

Interprétation des variables

Si vous regardez attentivement, vous pouvez comprendre l'interprétation physique de la quantité $$$u$ . $$$u$ n'est rien de plus qu'un facteur à grande échelle, dont nous avons parlé plus tôt.

Nous avons prouvé que nous avions un système en expansion uniforme. Initialement, nous avions une expansion uniforme, mais nous ne savions pas jusqu'à ce que nous considérions l'équation du mouvement si l'univers continuerait à se dilater uniformément. Mais c'est le cas. Cela signifie que l'expansion peut être décrite à l'aide d'un facteur d'échelle.

Nous avons découvert que $$$u$ est complètement déterminé par des équations dans lesquelles il n'y a pas $$$r_i$ . De cette façon $$$u$ indépendant de $$$r_i$ et peut être considéré comme une simple fonction du temps $$$t$ . Nous pouvons également changer son nom en $$$a (t)$ pour établir une identité avec un facteur d'échelle:

$$

$$u (r_i, t) = u (t) \ equiv a (t)$$

On voit également que

$$

$$r (r_i, t) = u (t) r_i = a (t) r_i$$

Qu'est-ce que cela signifie? $$$r_i$ est la coordonnée compagnon. Nous avons marqué chaque obus selon sa position de départ, $$$r_i$ . Au fur et à mesure que vous développez, pour chaque étiquette de coque $$$r_i$ enregistré. Il marque les particules, peu importe où elles se déplacent. Un $$$r$ La distance physique, dans ce cas depuis l'origine, est-elle égale au facteur d'échelle multiplié par la distance associée.

Il est utile d'écrire ces équations sous une forme différente. L'équation différentielle précédente utilisée $$$ρ_i$ . C'est très pratique car $$$ρ_i$ est une constante. Cela ne change pas avec le temps. Cependant, il est également utile d'écrire une équation différentielle en utilisant la valeur $$$ρ$ , qui change avec le temps pour voir la relation entre les quantités physiques à un moment donné. Ce n'est pas difficile à faire, car nous connaissons la densité à un moment donné.

Pour n'importe quelle coquille, nous pouvons calculer la densité comme la masse totale à l'intérieur de la coquille divisée par le volume. Nous savons que la densité reste uniforme, car dans notre cas toutes les distances sont simplement proportionnelles au facteur d'échelle général. Par conséquent, la densité sera uniforme.

On peut calculer la densité à l'intérieur de la coque en prenant $$$M (r_i)$ , pour lequel nous avons déjà une formule, et qui ne dépend pas du temps, et en la divisant par le volume à l'intérieur de la coque.

$$$$ afficher $$ ρ (t) = \ frac {M (r_I)} {\ frac {4π} 3r ^ 3} = \ frac {\ frac {4π} 3r ^ 3_iρ_i} {\ frac {4π} 3a ^ 3r ^ 3_i} = \ frac {ρ_i} {a ^ 3} $$ afficher $$

C'est le résultat attendu. La densité est égale à la densité initiale divisée par le cube du facteur d'échelle. Le facteur d'échelle est 1 à l'instant initial, selon nos définitions. Ainsi, l'équation donne le rapport des facteurs d'échelle dans le cube. À mesure que l'univers se développe, la densité diminue inversement avec le facteur d'échelle dans le cube.

Maintenant, nous pouvons réécrire l'équation de $$$\ ddot a$ en utilisant la densité de masse actuelle.

$$$$ afficher $$ \ ddot a = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} \ frac aa = \ frac {4π } 3Gρ (t) a $$ display $$

Cette équation donne un ralentissement de notre univers modèle en fonction de la densité de masse actuelle. Notez que cela ne dépend vraiment que de la densité de masse. Il détermine la relation $$$\ ddot a / a$ . Il devrait en être ainsi, car nous rappelons que $$$a$ mesuré en divisions par mètre. En même temps, les divisions sont réduites. Nous obtenons la réponse en unités physiques.

J'ai dit au début que lorsque nous aurons fini, nous prendrons la limite lorsque le rayon maximal initial $$$R_ {max, i}$ tend à l'infini. $$$R_ {max, i}$ n'apparaît dans aucune de ces équations. Par conséquent, lorsque vous vous efforcez $$$R_ {max, i}$ à l'infini, rien ne se passe vraiment. Cela signifie que la réponse que nous avons reçue ne dépend pas de la taille de la balle si tout ce que nous considérons est à l'intérieur de la balle. L'ajout de matériel supplémentaire de l'extérieur ne change rien. Ainsi, à la limite, nous ajoutons une quantité infinie de matière à l'extérieur. Aller à la limite $$$R_ {max, i}$ tendant vers l'infini, rien à faire.

En fin de compte, nous voulons obtenir différentes solutions à cette équation et comprendre à quoi elles ressemblent. Aujourd'hui, je veux faire un autre pas dans cette direction, réécrire l'équation un peu différemment, ce qui nous aidera à comprendre à quoi ressemblent les solutions. Je veux trouver la première intégrale de cette équation.

La première intégrale et la loi de conservation de l'énergie

Pour trouver la première intégrale, je veux revenir à l'équation où est utilisé $$$ρ_i$ mais pas $$$ρ (t)$ . Son avantage est que $$$ρ_i$ ne dépend pas du temps. À $$$ρ$ Il y a une dépendance temporelle que je ne veux pas prendre en compte maintenant. Par conséquent, si j'utilise une formule qui utilise $$$ρ_i$ , seul le facteur d'échelle aura une dépendance temporelle.

J'utilise l'équation précédente, mais je remplacerai $$$u$ sur $$$a$ parce que nous avons renommé $$$u$ dans $$$a$ . Je vais également transférer tous les membres dans une seule direction. Il s'avère

$$

$$\ ddot a + \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = 0$$

Ceci est une équation différentielle de second ordre qui est très courante en mécanique newtonienne, cette équation définit $$$\ ddot a$ accélération $$$a$ à travers des valeurs $$$a$ .

En mécanique newtonienne, on peut souvent utiliser la loi de conservation de l'énergie. Dans ce cas, je ne sais pas si cela devrait être appelé conservation de l'énergie. Plus tard, nous parlerons de la signification physique du résultat que nous avons. Mais, bien sûr, en tant que technique mathématique, nous pouvons utiliser la même méthode que celle utilisée en mécanique newtonienne pour obtenir la loi de conservation de l'énergie.

Pour obtenir la loi de conservation d'énergie correspondant à cette équation, on multiplie l'équation par un facteur d'intégration, $$$\ dot a$ . Après cela, l'expression entière deviendra un dérivé complet. Cette équation est équivalente

$$

$$\ frac {dE} {dt} = 0, \: \: \: où \; E = \ frac 12 \ dot a ^ 2 - \ frac {4π} 3 \ frac {G ρ_i} a$$

Cela peut être facilement vérifié. Si je différencie $$$E$ , Je reçois exactement cette équation. Ils sont donc équivalents. De cette façon $$$E$ est une quantité conservée.

Maintenant, si nous voulons attacher $$$E$ avec n'importe quelle énergie, il existe différentes façons de le faire. Une façon est de multiplier $$$E$ sur $$$mr ^ 2_i$ et considérez cela comme l'énergie d'une particule d'essai à la surface d'une sphère. $$$m$ Est la masse de la particule d'essai. $$$r_i$ - le rayon initial de la particule d'essai.

De cette façon $$$E_ {phis}$ , ou l'énergie physique d'une particule d'essai hypothétique sera égale à

$$

$$E_ {phys} = mr ^ 2_iE = \ frac 12 m (\ dot a r_i) ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} {ar_i} = \ frac 12 mv ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} r$$

Si l'on considère que pour une particule d'essai $$$r_i$ Est-ce $$$R_ {max, i}$ c'est-à-dire que nous parlons de la frontière de notre sphère, alors il est clair ce qui est conservé ici. Il s'avère que l'énergie cinétique plus l'énergie potentielle - où l'énergie potentielle est négative - d'une particule ponctuelle à la frontière de la sphère.

Si nous voulons appliquer cette équation à une particule à l'intérieur d'une sphère, il sera un peu plus difficile de trouver la bonne interprétation. Si la particule est à l'intérieur de la sphère, si $$$r_i$ n'est pas égal au rayon maximum de la sphère, alors $$$E_ {phis}$ , en fait, n'est pas l'énergie potentielle d'une particule.

Pour calculer l'énergie potentielle d'une particule, il est nécessaire de calculer quel travail devra être fait pour prendre la particule à l'infini et la remettre à sa place. Dans ce cas, la contribution de la masse située à l'intérieur de la sphère sur laquelle se trouve la particule, qui détermine la force à ce point, est prise en compte. Mais nous avons également une contribution de la matière en dehors de la sphère avec la particule.

Lors du calcul de l'énergie potentielle, je ne me contente pas $$$Gm$ fois la masse à l'intérieur de la sphère divisée par la distance du centre. J'obtiendrai une expression beaucoup plus complexe. En fait, l'énergie que je reçois n'est pas conservée. Pourquoi n'est-il pas enregistré?

Il n'est pas conservé, par conséquent, en présence de masses en mouvement, il n'y a aucune raison de le conserver.L'énergie d'une particule ponctuelle se déplaçant dans un champ de masses statiques est conservée. C'est ce que vous savez des cours pertinents. Si d'autres particules se déplacent, alors l'énergie totale de l'ensemble du système est conservée. Mais l'énergie potentielle d'une particule particulière se déplaçant dans le champ gravitationnel d'autres particules peut ne pas être conservée.

En plus de l'énergie des particules, l'énergie totale du système est également stockée à la frontière. Elle sera associée à$$E est une autre constante de proportionnalité et sera préservé pour une raison évidente. Ici, vous devez être prudent pour comprendre ce qui est enregistré, pourquoi et comment l'utiliser.$E$