À la mémoire de mon professeur, le premier doyen de la Faculté de physique et de mathématiques de l'Institut polytechnique de Novotcherkassk, le chef du Département de mécanique théorique, Alexander Nikolaïevitch Kabelkov

Présentation

Août, l'été touche à sa fin. Les gens se sont précipités furieusement vers les mers, et oui ce n'est pas surprenant - la saison elle-même. Et sur Habr, pendant ce temps, des fleurs pseudoscientifiques et des odeurs de couleur violente . Si nous parlons du sujet de ce numéro de "Modélisation ...", alors nous y combinerons affaires et plaisir - nous continuerons le cycle promis et lutterons un peu avec cette pseudoscience même pour les esprits curieux de la jeunesse moderne.


Mais la question n'est pas inactive - depuis les années scolaires, nous pensions que notre satellite le plus proche dans l'espace - la Lune se déplace autour de la Terre avec une période de 29,5 jours, surtout sans entrer dans les détails connexes. En fait, notre voisin est une sorte d'objet astronomique unique et dans une certaine mesure unique, dont le mouvement autour de la Terre n'est pas aussi simple que le souhaiteraient certains de mes collègues les plus proches de l'étranger.

Donc, en laissant de côté la polémique, nous essaierons de différents côtés, dans la mesure de nos compétences, d'envisager cette tâche inconditionnellement belle, intéressante et très révélatrice.

1. La loi de la gravité et quelles conclusions en tirer

Découverte dans la seconde moitié du XVIIe siècle, par Sir Isaac Newton, la loi de la gravité suggère que la Lune est attirée vers la Terre (et la Terre vers la Lune!) Avec une force dirigée le long de la ligne reliant les centres des corps célestes à l'étude et d'égale ampleur.

$$

$$F_ {1,2} = G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}$$

où m ₁ , m ₂ sont respectivement les masses de la Lune et de la Terre; G = 6,67e-11 m ³ / (kg * s ² ) - constante gravitationnelle; r _1,2 est la distance entre les centres de la lune et de la terre. Si nous ne prenons en compte que cette force, alors, ayant résolu le problème du mouvement de la Lune en tant que satellite de la Terre et ayant appris à calculer la position de la Lune dans le ciel sur le fond des étoiles, nous serons bientôt convaincus, par des mesures directes des coordonnées équatoriales de la Lune, que dans notre conservatoire tout n'est pas aussi lisse J'aimerais bien. Et le point ici n'est pas la loi de la gravitation universelle (et dans les premiers stades du développement de la mécanique céleste, de telles pensées ont été exprimées assez souvent), mais l'indignation inexpliquée du mouvement de la lune par les autres corps. Lesquels? Nous regardons le ciel et notre regard repose immédiatement sur une lourde masse de boule de plasma de 1,99e30 kilogrammes juste sous notre nez - le Soleil. La lune est-elle attirée par le soleil? Tout comme, avec une force égale en valeur absolue

$$

$$F_ {1,3} = G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}$$

où m ₃ est la masse du soleil; r _1,3 est la distance de la lune au soleil. Comparez cette puissance avec la précédente.

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}} {G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ left (\ frac {r_ {1,2}} {r_ {1,3}} \ droite) ^ 2$$

Prenons la position des corps dans lesquels l'attraction de la Lune vers le Soleil sera minimale: les trois corps sont sur une même ligne droite et la Terre est située entre la Lune et le Soleil. Dans ce cas, notre formule prendra la forme:

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ left (\ frac {\ rho} {a + \ rho} \ right) ^ 2$$

où $$$\ rho = 3 844 \ cdot 10 ^ {8}$ , m - la distance moyenne de la Terre à la Lune; $$$a = 1 496 \ cdot10 ^ {11}$ , m - la distance moyenne de la Terre au Soleil. Nous substituons des paramètres réels dans cette formule

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {1.99 \ cdot 10 ^ {30}} {5.98 \ cdot10 ^ {24}} \, \ left (\ frac {3.844 \ cdot10 ^ {8}} {1.496 \ cdot10 ^ {11} + 3.844 \ cdot10 ^ {8}} \ droite) ^ 2 = 2,19$$

Voilà le chiffre! Il s'avère que la Lune est attirée vers le Soleil par une force plus de deux fois la force de son attraction vers la Terre.

Une telle perturbation ne peut plus être ignorée et affectera certainement la trajectoire finale de la lune. Allons plus loin, en tenant compte de l'hypothèse que l'orbite de la Terre est circulaire de rayon a, nous trouvons la position géométrique des points autour de la Terre, où la force d'attraction de tout objet vers la Terre est égale à la force de son attraction vers le Soleil. Ce sera une sphère avec un rayon

$$

$$R = \ frac {a \, \ sqrt {\ gamma}} {1 - \ gamma}$$

déplacé le long de la ligne reliant la Terre et le Soleil du côté opposé à la direction du Soleil d'une distance

$$

$$l = R \, \ sqrt {\ gamma}$$

où $$$\ gamma = m_2 / m_3$ - le rapport de la masse de la terre à la masse du soleil. En substituant les valeurs numériques des paramètres, nous obtenons les dimensions réelles de cette région: R = 259300 kilomètres, et l = 450 kilomètres. Cette sphère est appelée sphère de gravité de la Terre par rapport au Soleil.

L'orbite connue de la lune se situe en dehors de cette région. C'est-à-dire qu'à n'importe quel point de la trajectoire, la Lune subit une attraction beaucoup plus importante du côté du Soleil que du côté de la Terre.

2. Satellite ou planète? Portée gravitationnelle

Ces informations donnent souvent lieu à débat que la Lune n'est pas un satellite de la Terre, mais une planète indépendante du système solaire, dont l'orbite est perturbée par l'attraction d'une Terre voisine.

Évaluons la perturbation introduite par le Soleil dans la trajectoire de la Lune par rapport à la Terre, ainsi que la perturbation introduite par la Terre dans la trajectoire de la Lune par rapport au Soleil, en utilisant le critère proposé par P. Laplace. Considérons trois corps: le Soleil (S), la Terre (E) et la Lune (M).
Nous supposons que les orbites de la terre par rapport au soleil et la lune par rapport à la terre sont circulaires.


Considérons le mouvement de la lune dans un référentiel inertiel géocentrique. L'accélération absolue de la lune dans le système de référence héliocentrique est déterminée par les forces de gravité qui agissent sur elle et est égale à:

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_1 ^ {(3)} + \ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} { m_1} \, \ vec F_ {1,2}$$

D'autre part, selon le théorème de Coriolis, l'accélération absolue de la lune

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_2 + \ vec a_ {1,2}$$

où $$$\ vec a_2$ - accélération portable égale à l'accélération de la Terre par rapport au Soleil; $$$\ vec a_ {1,2}$ - Accélération de la Lune par rapport à la Terre. Il n'y aura pas d'accélération de Coriolis ici - le système de coordonnées choisi par nous se déplace progressivement. De là, nous obtenons l'accélération de la lune par rapport à la terre

$$

$$\ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2} - \ vec a_2$$

Une partie de cette accélération égale à $$$\ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ en raison de l'attraction de la lune sur la terre et caractérise son mouvement géocentrique non perturbé. Le reste de

$$

$$\ Delta \ vec a_ {1,3} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} - \ vec a_2$$

Accélération de la lune causée par des perturbations du soleil.

Si nous considérons le mouvement de la lune dans un système de référence inertiel héliocentrique, alors tout est beaucoup plus simple, l'accélération $$$\ vec a_1 ^ {(3)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3}$ caractérise le mouvement héliocentrique non perturbé de la lune et l'accélération $$$\ Delta \ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ - perturbation de ce mouvement du côté de la Terre.

Compte tenu des paramètres des orbites de la Terre et de la Lune existant à l'époque actuelle, l'inégalité

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} <\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (1)$$

ce qui peut être vérifié par calcul direct, mais je vais me référer à la source , afin de ne pas encombrer l'article inutilement.

Que signifie l'inégalité (1)? Oui, le fait qu'en termes relatifs, l'effet de la perturbation de la Lune par le Soleil (et de manière très significative) est moindre que l'effet de l'attraction de la Lune sur la Terre. A l'inverse, l'indignation de la Terre sur la trajectoire géolocentrique de la Lune a une influence décisive sur la nature de son mouvement. L'influence de la gravité de la Terre dans ce cas est plus importante, ce qui signifie que la Lune "appartient" à la Terre de droite et est son satellite.

Une autre chose est intéressante - transformant l'inégalité (1) en une équation, vous pouvez trouver la position géométrique des points où les effets de la perturbation de la Lune (et de tout autre corps) sont les mêmes pour la Terre et le Soleil. Malheureusement, ce n'est pas aussi simple que dans le cas de la sphère de gravité. Les calculs montrent que cette surface est décrite par une équation d'ordre fou, mais proche d'un ellipsoïde de révolution. Tout ce que nous pouvons faire sans problèmes inutiles est d'évaluer les dimensions globales de cette surface par rapport au centre de la Terre. Résoudre l'équation numériquement

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} = \ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (2)$$

par rapport à la distance du centre de la Terre à la surface souhaitée en un nombre suffisant de points, on obtient la section de la surface souhaitée par le plan écliptique


Pour plus de clarté, l'orbite géocentrique de la lune et la sphère de gravité de la terre que nous avons trouvées ci-dessus par rapport au soleil sont montrées ici. On peut voir sur la figure que la sphère d'influence, ou la sphère de l'action gravitationnelle de la Terre par rapport au Soleil, est la surface de révolution par rapport à l'axe X, aplatie le long de la ligne droite reliant la Terre et le Soleil (le long de l'axe de l'éclipse). L'orbite de la lune est au fond de cette surface imaginaire.

Pour les calculs pratiques, cette surface est commodément approximée par une sphère avec un centre au centre de la Terre et un rayon égal à

$$

$$r = a \, \ left (\ frac {m} {M} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} \ quad \ quad (3)$$

où m est la masse d'un corps céleste plus petit; M est la masse d'un corps plus grand dans le champ gravitationnel duquel un corps plus petit se déplace; a est la distance entre les centres des corps. Dans notre cas

$$

$$r = a \, \ left (\ frac {m_2} {m_3} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 1.496 \ cdot10 ^ {11} \, \ left (\ frac {5.98 \ cdot10 ^ {24}} {1,99 \ cdot10 ^ {30}} \ droite) ^ {\ frac {2} {5}} = 925000, \, km$$

Ce million de kilomètres inachevé est la limite théorique au-delà de laquelle le pouvoir de la vieille femme de la Terre ne s'étend pas - son influence sur les trajectoires des objets astronomiques est si faible qu'elle peut être négligée. Cela signifie que le lancement de la Lune sur une orbite circulaire à une distance de 38,4 millions de kilomètres de la Terre (comme le font certains linguistes) échouera, c'est physiquement impossible.

Cette sphère, à titre de comparaison, est représentée sur la figure par une ligne pointillée bleue. Dans les calculs évaluatifs, on suppose qu'un corps à l'intérieur de cette sphère subira la gravitation exclusivement du côté de la Terre. Si le corps est en dehors de cette sphère, nous considérons que le corps se déplace dans le champ gravitationnel du Soleil. En astronautique pratique, la méthode de conjugaison des sections coniques est connue, ce qui permet de calculer approximativement la trajectoire d'un vaisseau spatial en utilisant une solution du problème à deux corps. De plus, tout l'espace que l'appareil surmonte est divisé en sphères d'influence similaires.

Par exemple, il est maintenant clair que pour avoir la capacité théorique de faire des manoeuvres pour entrer dans l'orbite proche de la lune, le vaisseau spatial doit tomber à l'intérieur de la sphère d'action de la Lune par rapport à la Terre. Son rayon est facilement calculé par la formule (3) et il est de 66 mille kilomètres.

Ainsi, la Lune peut à juste titre être considérée comme un satellite de la Terre. Cependant, en raison de l'influence significative du champ gravitationnel du Soleil, il ne se déplace pas dans le champ gravitationnel central, ce qui signifie que sa trajectoire n'est pas une section conique.

3. Le problème des trois corps dans la formulation classique

Nous allons donc considérer un problème de modèle dans un cadre général, connu en mécanique céleste comme le problème des trois corps. Considérons trois corps de masse arbitraire situés arbitrairement dans l'espace et se déplaçant exclusivement sous l'influence de forces d'attraction gravitationnelle mutuelle


Nous considérons les corps comme des points matériels. La position des corps sera comptée de façon arbitraire, à laquelle le système de référence inertiel Oxyz est associé. La position de chacun des corps est définie par le vecteur rayon, respectivement $$$\ vec r_1$ , $$$\ vec r_2$ et $$$\ vec r_3$ . La force d'attraction gravitationnelle du côté de deux autres corps agit en outre sur chaque corps, conformément au troisième axiome de la dynamique ponctuelle (3e loi de Newton)

$$

$$\ vec F_ {i, j} = - \ vec F_ {j, i} \ quad \ quad (4)$$

Nous écrivons les équations différentielles de mouvement de chaque point sous forme vectorielle

$$

$$\ begin {align} & m_1 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = \ vec F_ {2,1} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = \ vec F_ {3,1} + \ vec F_ {3,2} \ end {align}$$

ou, en tenant compte (4)

$$

$$\ begin {align} & m_1 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} { dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,3} - \ vec F_ {2,3} \ end {align}$$

Conformément à la loi de la gravitation universelle, les forces d'interaction sont dirigées le long des vecteurs

$$

$$\ begin {align} & \ vec r_ {1,2} = \ vec r_2 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {1,3} = \ vec r_3 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {2 , 3} = \ vec r_3 - \ vec r_2 \\ \ end {align}$$

Le long de chacun de ces vecteurs, nous émettons un vecteur unitaire correspondant

$$

$$\ vec e_ {i, j} = \ frac {1} {r_ {i, j}} \, \ vec r_ {i, j}$$

alors chacune des forces gravitationnelles est calculée par la formule

$$

$$\ vec F_ {i, j} = G \, \ frac {m_i \, m_j} {r_ {i, j} ^ 2} \, \ vec e_ {i, j}$$

Compte tenu de tout cela, le système d'équations de mouvement prend la forme

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {G \, m_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2 } + \ frac {G \, m_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {G \, m_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {G \, m_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {G \, m_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {G \, m_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ end {align}$$

Nous introduisons la notation acceptée en mécanique céleste

$$

$$\ mu_i = G \, m_i$$

Est le paramètre gravitationnel du centre d'attraction. Ensuite, les équations du mouvement prendront la forme vectorielle finale

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {\ mu_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ \ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {\ mu_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ end {align}$$

4. Rationnement des équations en variables sans dimension

Une technique assez populaire en modélisation mathématique est la réduction des équations différentielles et d'autres relations décrivant le processus en coordonnées de phase sans dimension et en temps sans dimension. D'autres paramètres sont également normalisés. Cela nous permet d'envisager, bien qu'avec l'utilisation de la modélisation numérique, mais sous une forme assez générale, toute une classe de problèmes typiques. Je laisse la question de savoir dans quelle mesure cela est justifié dans chaque problème, mais je conviens que dans ce cas, cette approche est assez juste.

Donc, nous introduisons un corps céleste abstrait avec un paramètre gravitationnel $$$\ mu$ , de sorte que la période de rotation du satellite sur une orbite elliptique avec un demi-axe principal $$$a$ autour de lui est égal $$$T$ . Toutes ces quantités, en vertu des lois de la mécanique, sont liées par la relation

$$

$$T = 2 \, \ pi \, \ left (\ frac {a ^ 3} {\ mu} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}$$

Nous introduisons le remplacement des paramètres. Pour la position des points de notre système

$$

$$\ vec r_i = a \, \ vec \ xi_i$$

où $$$\ vec \ xi_i$ - vecteur de rayon sans dimension du i-ème point;
pour les paramètres gravitationnels des corps

$$

$$\ mu_i = \ varkappa_i \, \ mu$$

où $$$\ varkappa_i$ - paramètre gravitationnel sans dimension du i-ème point;
pour le temps

$$

$$t = T \, \ tau$$

où $$$\ tau$ - temps sans dimension.

Maintenant, nous recalculons les points d'accélération du système à travers ces paramètres adimensionnels. Nous appliquons une différenciation temporelle double. Pour les vitesses

$$

$$\ vec v_i = \ frac {d \ vec r_i} {dt} = a \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {dt} = \ frac {a} {T} \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} = \ frac {1} {2 \, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau }.$$

Pour l'accélération

$$

$$\ vec a_i = \ frac {d \ vec v_i} {dt} = \ frac {1} {2 \, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \, \ frac {1 } {dt} \ left (\ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} \ right) = \ frac {1} {4 \, \ pi ^ 2} \, \ frac {\ mu} {a ^ 2} \, \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_i} {d \ tau ^ 2}$$

En substituant les relations obtenues aux équations du mouvement, tout s'effondre élégamment en belles équations:

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_1} {d \ tau ^ 2} = 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_2} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ quad \ quad (5) \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_3} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} - 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ end {align}$$

Ce système d'équations est toujours considéré comme non intégrable dans les fonctions analytiques. Pourquoi est-il considéré et ne l'est pas? Parce que les succès de la théorie des fonctions d'une variable complexe ont conduit au fait qu'une solution générale au problème des trois corps est apparue en 1912 - Karl Zundman a trouvé un algorithme pour trouver les coefficients pour les séries infinies par rapport à un paramètre complexe, qui est théoriquement une solution générale au problème des trois corps. Mais ... pour l'application de la série Sundman dans les calculs pratiques avec la précision requise, il faut obtenir un nombre de membres de ces séries tel que cette tâche dépasse de loin les capacités des ordinateurs, même aujourd'hui.

Par conséquent, l'intégration numérique est le seul moyen d'analyser la solution de l'équation (5)

5. Calcul des conditions initiales: nous obtenons les données initiales

Comme je l'ai écrit plus tôt , avant de commencer l'intégration numérique, vous devez prendre soin de calculer les conditions initiales du problème à résoudre. Dans le problème considéré, la recherche des conditions initiales se transforme en sous-problème indépendant, puisque le système (5) nous donne neuf équations scalaires du second ordre, qui, en passant à la forme de Cauchy normale, augmentent l'ordre du système d'un facteur 2. Autrement dit, nous devons calculer jusqu'à 18 paramètres - les positions initiales et les composantes de la vitesse initiale de tous les points du système. Où obtient-on des données sur la position des corps célestes qui nous intéressent? Nous vivons dans un monde où une personne a marché sur la lune - naturellement, l'humanité doit avoir des informations sur la façon dont cette lune se déplace et où elle se trouve.

C'est-à-dire, vous, mec, vous nous proposez de prendre des livres astronomiques épais sur les étagères, de les dépoussiérer ... Ne devinez pas! Je suggère d'aller à la NASA pour ceux qui ont réellement marché sur la Lune, à savoir le Jet Propulsion Laboratory de Pasadena, en Californie. Ici - Interface Web JPL Horizonts .

Ici, après avoir passé un certain temps à étudier l'interface, nous obtiendrons toutes les données dont nous avons besoin. Choisissez une date, par exemple, oui, on s'en fiche, mais que ce soit le 27 juillet 2018 UT 20:21. Juste à ce moment, la phase complète de l'éclipse lunaire a été observée. Le programme nous donnera un énorme footcloth


Brrr, c'est quoi? Sans panique, il n'y a rien à craindre pour quelqu'un qui a bien étudié l'astronomie, la mécanique et les mathématiques à l'école. Ainsi, la chose la plus importante est les coordonnées finales recherchées et les composantes de vitesse de la lune.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y =-2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX= 4.593816208618667E-04 VY= 3.187527302531735E-04 VZ=-5.183707711777675E-05 LT= 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE 

Oui, oui, oui, ils sont cartésiens! Si vous lisez attentivement l'intégralité de la nappe, nous découvrirons que l'origine de ce système de coordonnées coïncide avec le centre de la terre. Le plan XY se situe dans le plan de l'orbite terrestre (plan écliptique) pour l'ère du J2000. L'axe X est dirigé le long de la ligne d'intersection du plan équatorial de la Terre et de l'écliptique à l'équinoxe vernal. L’axe Z regarde dans la direction du pôle nord de la Terre perpendiculaire au plan écliptique. Eh bien, l'axe Y complète tout ce bonheur aux trois bons vecteurs. Par défaut, les unités de coordonnées: les unités astronomiques (les smarties de la NASA donnent également la magnitude de l'unité autonome en kilomètres). Unités de vitesse: unités astronomiques par jour, le jour est supposé être 86400 secondes. Farce complète!

Nous pouvons obtenir des informations similaires pour la Terre.


Ici, le barycentre (centre de masse) du système solaire est sélectionné comme origine. Données qui nous intéressent

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y =-8.298818915224488E-01 Z =-5.366994499016168E-05 VX= 1.388633512282171E-02 VY= 9.678934168415631E-03 VZ= 3.429889230737491E-07 LT= 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE 

Pour la lune, nous avons besoin des coordonnées et de la vitesse par rapport au barycentre du système solaire, nous pouvons les calculer, ou nous pouvons demander à la NASA de nous fournir ces données

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.771034756256845E-01 Y =-8.321193799697072E-01 Z =-4.855790760378579E-05 VX= 1.434571674368357E-02 VY= 9.997686898668805E-03 VZ=-5.149408819470315E-05 LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE 

Magnifique! Vous devez maintenant traiter légèrement les données reçues avec un fichier.

6.38 perroquets et une aile de perroquet

Pour commencer, nous déterminerons l'échelle, car nos équations de mouvement (5) sont écrites sous une forme sans dimension. Les données fournies par la NASA elles-mêmes nous disent qu'il vaut la peine de prendre une unité astronomique pour l'échelle des coordonnées. En conséquence, nous prendrons le Soleil comme corps standard auquel nous normaliserons les masses des autres corps, et la période de la révolution de la Terre autour du Soleil comme échelle de temps.

Tout cela, bien sûr, est très bon, mais nous n'avons pas fixé les conditions initiales pour le Soleil. "Pourquoi?" Un linguiste me demandait. Et je répondrais que le soleil n'est nullement immobile, mais tourne également sur son orbite autour du centre de masse du système solaire. Cela peut être vu en regardant les données de la NASA pour le Soleil.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 6.520050993518213E+04 Y = 1.049687363172734E+06 Z =-1.304404963058507E+04 VX=-1.265326939350981E-02 VY= 5.853475278436883E-03 VZ= 3.136673455633667E-04 LT= 3.508397935601254E+00 RG= 1.051791240756026E+06 RR= 5.053500842402456E-03 $$EOE 

En regardant le paramètre RG, nous voyons que le soleil tourne autour du barycentre du système solaire, et le 27 juillet 2018, le centre de l'étoile est à un million de kilomètres de lui. Le rayon du Soleil, pour référence - 696 mille kilomètres. Autrement dit, le barycentre du système solaire se trouve à un demi-million de kilomètres de la surface de l'étoile. Pourquoi? Oui, car tous les autres corps qui interagissent avec le Soleil lui donnent également une accélération, principalement, bien sûr, un Jupiter lourd. En conséquence, le Soleil a également sa propre orbite.

Bien sûr, nous pouvons choisir ces données comme conditions initiales, mais non - nous résolvons le problème du modèle à trois corps, et Jupiter et d'autres personnages n'y sont pas inclus. Donc, au détriment du réalisme, connaissant la position et les vitesses de la Terre et de la Lune, nous recalculons les conditions initiales du Soleil, afin que le centre de masse du système Soleil-Terre-Lune soit à l'origine. Pour le centre de masse de notre système mécanique, l'équation

$$

$$(m_1 + m_2 + m_3) \, \ vec r_C = m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3$$

Nous plaçons le centre de masse à l'origine, c'est-à-dire que nous demandons $$$\ vec r_C = 0$ alors

$$

$$m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3 = 0$$

D'où

$$

$$\ begin {align} & m_3 \, \ vec r_3 = -m_1 \, \ vec r_1 - m_2 \, \ vec r_2 \\ & \ vec r_3 = - \ frac {m_1} {m_3} \ vec r_1 - \ frac {m_2} {m_3} \, \ vec r_2 \ end {align}$$

Passons aux coordonnées et paramètres sans dimension en choisissant $$$\ mu = \ mu_3$

$$

$$\ vec \ xi_3 = - \ varkappa_1 \ vec \ xi_1 - \ varkappa_2 \ vec \ xi_2 \ quad \ quad (6)$$

En différenciant (6) par rapport au temps et en passant au temps sans dimension, on obtient aussi la relation pour les vitesses

$$

$$\ vec u_3 = - \ varkappa_1 \, \ vec u_1 - \ varkappa_2 \, \ vec u_2$$

où $$$\ vec u_i = \ cfrac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3}$

Nous allons maintenant écrire un programme qui formera les conditions initiales dans nos "perroquets" choisis. Sur quoi allons-nous écrire? Bien sûr en Python! Après tout, comme vous le savez, c'est le meilleur langage pour la modélisation mathématique.

Cependant, si nous nous éloignons du sarcasme, alors nous allons vraiment essayer le python à cette fin, et pourquoi pas? Je vais certainement fournir un lien vers tout le code dans mon profil Github .


Échappement du programme

    mu[0] = 4901783000000.0 mu[1] = 386326400000000.0 mu[2] = 1.326663e+20    xi[0] = 3.6948215183509304e-08 xi[1] = 2.912016088486677e-06 xi[2] = 1.0   T = 31563683.35432583   , ..: [ 5.77103476e-01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05]   , ..: [ 5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05]   , ..: [-1.69738146e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10]   , /: [24838.98933473 17310.56333294 -89.15979106] -//- : [ 5.24078311 3.65235907 -0.01881184]   , /: [2.40435899e+04 1.67586567e+04 5.93870516e-01] -//- : [5.07296163e+00 3.53591219e+00 1.25300854e-04]   , /: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06] -//- : [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.30185861e-10] 

7. Intégration des équations de mouvement et analyse des résultats

En fait, l'intégration elle-même est réduite à une procédure plus ou moins standard pour préparer un système d'équations pour SciPy: transformer le système ODE en forme de Cauchy et appeler les fonctions de solveur correspondantes. Pour convertir le système sous la forme de Cauchy, nous rappelons que

$$

$$\ vec u_i = \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3} \ quad \ quad (7)$$

Introduisant ensuite le vecteur d'état du système

$$

$$\ vec y = \ left [\ vec \ xi_1, \ vec \ xi_2, \ vec \ xi_1, \ vec u_1, \ vec u_2, \ vec u_3 \ right] ^ T$$

nous réduisons (7) et (5) à une équation vectorielle

$$

$$\ frac {d \ vec y} {d \ tau} = \ vec f (\ tau, \ vec y) \ quad \ quad (8)$$

Pour intégrer (8) aux conditions initiales existantes, nous écrivons un peu, très peu de code


Voyons ce que nous avons. La trajectoire spatiale de la Lune pendant les 29 premiers jours à partir de notre point de départ choisi


ainsi que sa projection dans le plan de l'écliptique.


«Hé oncle, qu'est-ce que tu nous donnes?! C'est le cercle! "

Tout d'abord, ce n'est pas un cercle - un décalage dans la projection de la trajectoire de l'origine vers la droite et vers le bas est perceptible. Deuxièmement - ne remarquez rien? Non, vraiment?


Je promets de préparer une justification du fait (basé sur l'analyse des erreurs de compte et des données de la NASA) que le décalage de chemin obtenu n'est pas une conséquence des erreurs d'intégration. Jusqu'à présent, je suggère au lecteur de me croire sur parole - ce déplacement est une conséquence de la perturbation solaire de la trajectoire lunaire. Tournez un autre tour



Quelle heure! De plus, faites attention au fait que, sur la base des données initiales du problème, le Soleil est situé exactement du côté où la trajectoire de la Lune se déplace à chaque révolution. Oui, cet impudent Soleil nous vole notre bien-aimé compagnon! Oh, c'est le soleil!

Nous pouvons conclure que la gravité solaire affecte l'orbite de la lune de manière assez significative - la vieille femme ne parcourt pas le ciel deux fois de la même manière. Une image pour une demi-année de mouvement permet (au moins qualitativement) d'en être convaincu (l'image est cliquable)



Intéressant? Je le ferais. L'astronomie est généralement une science amusante.

Postscript

Dans l'université où j'ai étudié et travaillé pendant près de sept ans - la Novocherkassk Polytechnic - l'Olympiade zonale d'étudiants en mécanique théorique des universités du Caucase du Nord a eu lieu chaque année. Trois fois, nous avons participé à l'Olympiade panrusse. À l'ouverture, notre principal «olympien», le professeur A. Kondratenko, a toujours dit: «L'académicien Krylov a qualifié la mécanique de poésie des sciences exactes».

J'adore la mécanique. Tout le bien que j'ai accompli dans ma vie et ma carrière s'est produit grâce à cette science et à mes merveilleux professeurs. Je respecte la mécanique.

Par conséquent, je ne permettrai à personne de se moquer de cette science et de l'exploiter ouvertement à ses propres fins, même s'il est au moins trois fois docteur en sciences et quatre fois linguiste, et a développé au moins un million de programmes d'études. Je crois sincèrement que la rédaction d'articles sur une ressource publique populaire devrait permettre une relecture soigneuse, une conception normale (les formules LaTeX ne sont pas un caprice des développeurs de la ressource!) Et l'absence d'erreurs conduisant à des résultats qui violent les lois de la nature. Ce dernier est généralement un must have.

Je dis souvent à mes élèves: "l'ordinateur libère vos mains, mais cela ne signifie pas que vous devez également éteindre le cerveau".

Pour apprécier et respecter la mécanique, je vous exhorte, mes chers lecteurs. Je répondrai avec plaisir à toutes les questions et, comme promis, je poste le code source d'un exemple de résolution du problème à trois corps en Python, je poste Github dans mon profil .

Merci de votre attention!