Théorie du bonheur. La malédiction du réalisateur et les imprimantes maudites

Je continue de familiariser les lecteurs de Habr avec les chapitres de son livre "Theory of Happiness" avec le sous-titre "Mathematical Foundations of the Laws of Meanness". Ce livre de science populaire n'est pas encore publié, racontant de manière très informelle comment les mathématiques vous permettent de regarder le monde et la vie des gens avec un nouveau degré de conscience. C'est pour ceux qui s'intéressent à la science et pour ceux qui s'intéressent à la vie. Et puisque notre vie est complexe et, dans l'ensemble, imprévisible, l'accent dans le livre est principalement sur la théorie des probabilités et les statistiques mathématiques. Ici les théorèmes ne sont pas prouvés et les fondements de la science ne sont pas donnés, ce n'est en aucun cas un manuel, mais ce qu'on appelle la science récréative. Mais c'est précisément une telle approche presque ludique qui nous permet de développer l'intuition, d'égayer les cours pour les étudiants avec des exemples vivants et, enfin, d'expliquer aux non-mathématiciens et à nos enfants ce que nous avons trouvé si intéressant dans notre science sèche.





Nous parlerons de la pression du temps, des délais et des imprimantes de rupture non ponctuelles.

Stratégie maladroite

Dans le chapitre précédent, nous avons parlé des processus aléatoires. L'un des processus les plus simples nécessitant un minimum d'hypothèses supplémentaires est le flux de Poisson. Permettez-moi de vous rappeler qu'il peut être mis en œuvre en distribuant au hasard un nombre connu d'événements indépendants sur un intervalle de temps. De bons exemples incluent des coups de gouttes de pluie sur le toit, la circulation de voitures particulières sur la route, de forts tremblements de terre, etc.

Mais qu'obtenons-nous si les événements cessent d'être indépendants et forment une chaîne ordonnée? Dites dans une chaîne $$$\ {A, B, C \}$ événement $$$B$ ne peut se produire qu'après l'événement $$$A$ et avant l'événement $$$C$ bien que les moments où ces événements se produisent resteront aléatoires. Voyons comment ces chaînes ordonnées s’adaptent dans un intervalle de temps limité. Nous organiserons le premier événement à un point arbitraire, le second est également aléatoire, mais toujours plus tard que le premier, le troisième après le second, etc. Il restera de moins en moins de temps pour chaque étape suivante, de sorte qu'une augmentation notable de l'intensité du processus devrait être observée vers le côté droit de l'intervalle (avant la date limite). Tôt ou tard, le temps pour terminer les tâches prendra fin et la chaîne se terminera. Nous appelons le processus que nous avons construit une chaîne stochastique avec une échéance , et la stratégie désordonnée choisie de faire le travail une stratégie stupide . La figure montre un exemple de chaîne construite de cette manière à partir de $$ étapes du travail qui a été publié $$ jours.


Un exemple de chaîne stochastique avec une échéance. Dans ce cas, il était possible de faire cinq choses, vous pouvez toujours avoir le temps de faire la sixième, mais pour sept fois ce n'est pas suffisant.

Nous formulons le problème en prenant comme sujet de test, par exemple, un metteur en scène. Laissez le directeur et la troupe à leur disposition $$$n$ jours pour organiser une action. La préparation est divisée en $$$k$ étapes de répétition consécutives, chacune nécessitant une journée. Quelle est la probabilité de ne pas respecter le délai en mettant en œuvre le processus de travail que nous décrivons? Si la préparation de l'événement nécessite la participation de différentes personnes et de différents processus de production, alors des superpositions, des maladies ou tout simplement des bleus sont possibles - toutes les conditions préalables à la mise en œuvre de notre chaîne de délais stochastiques.

Pour commencer, je me suis tourné vers la modélisation d'imitation pour découvrir comment la longueur des chaînes est distribuée, ce qui peut être effectué dans une période de temps limitée d'une longueur donnée, en utilisant la stratégie muette. Voici ce que vous obtenez $$$n = 10$ :


La fonction de probabilité pour la longueur des chaînes qui peut être effectuée dans le temps imparti.

Cette distribution ne se trouve dans aucun ouvrage de référence sur la théorie des probabilités et les statistiques mathématiques. J'ai réussi à obtenir une solution analytique pour la fonction de probabilité sous la forme finale:

$$

$$P_n (k) = \ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k} \ frac {1} {n!},$$

ici $$$P_n (k)$ - la probabilité d'une longueur de chaîne $$$k$ dans $$$n$ périodes de temps, et la conception $$$\ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k}$ désigne les soi-disant nombres de Stirling du premier type , ils surviennent en combinatoire lors du calcul des permutations cycliques. De droit du découvreur, j'appellerai cette distribution le nom de Stirling. Il a même été possible d'obtenir des expressions exactes de l'espérance mathématique de la longueur des chaînes et de leur dispersion:

$$

$$M [k] = H_ {n}, \ quad D [k] = H_ {n} -H_n ^ {(2)}.$$

Ici $$$H_ {n}$ Est le nombre harmonique: une somme partielle de la série harmonique divergente $$$\ {1, \ frac12, \ frac13, ..., \ frac1n \}$ et $$$H_ {n} ^ {(2)}$ - montant partiel de la série $$$\ {1, \ frac14, \ frac19, ..., \ frac1 {n ^ 2} \}$ . En fait, afin de calculer ces valeurs, j'ai étudié la distribution résultante. La longueur moyenne des chaînes avec croissance $$$n$ croît très lentement, mais de façon illimitée. Sans trop d'erreurs, on peut dire qu'il croît logarithmiquement. À son tour, la variance n'est pas très différente de la moyenne, et le coefficient supplémentaire $$$H_ {n} ^ {(2)}$ tend à constante $$$\ pi ^ 2/6$ . Un peu plus tard, cette observation sera utile.

Jetons un autre regard sur la distribution des longueurs de chaîne. Il est évident qu'il n'y a absolument aucune chance de ne pas avoir le temps de faire une chose - il y aura du temps pour lui. Les chaînes courtes de deux caisses représentent un dixième du nombre total - ce sont ces chaînes infructueuses qui ont commencé le dernier jour (sur dix) et n'ont pas laissé le temps de continuer. On s'attend à ce que la part des très longues chaînes soit petite et diminue avec l'augmentation de la longueur, disparaissant presque. Eh bien, il est presque impossible de terminer accidentellement une chaîne de dix cas - la probabilité d'un tel résultat est $$$\ frac {1} {10!}$ .

À notre question: quelle est la probabilité de ne pas $$$n$ jours devant vous $$$k$ étapes successives de la tâche, la fonction de distribution aidera à répondre - la courbe cumulative pour la distribution de Stirling. Nous construisons de telles courbes pour $$$n = 7, \ 30, \ 365$ et $$ correspondant à la semaine, au mois, à l'année et (bien sûr, conditionnellement) à toute la vie.


La probabilité de ne pas avoir le temps de terminer des chaînes de différentes longueurs à un moment ou à un autre.

Ces graphiques montrent que la probabilité de ne pas rencontrer un mois avec une tâche ayant $$ les étapes dépassent $$ . Et qu'il vaut mieux ne pas planifier plus de trois cas pour un boob non organisé par semaine, et il ne fera pas une douzaine de cas, avec une probabilité dépassant $$ , et pour toute une vie! Nous sommes convaincus qu'avec une augmentation des délais de plusieurs ordres de grandeur, le nombre de cas de manquements réalisables augmente de manière insignifiante. La vie est si courte!

Plus vite, plus vite!

Examinons maintenant le phénomène même de la pression du temps, ses propriétés épuisantes. Pour ce faire, nous allons construire plusieurs milliers de chaînes stochastiques et en faire la moyenne pour obtenir le rythme de travail attendu.


Beaucoup de chaînes de délais stochastiques et le rythme de travail prévu.

Faites attention au fait que l'axe du graphique est réduit au nombre total de cas et tout le temps alloué. Ceci, d'une part, nous permet de comparer à la fois des termes différents et des chaînes de longueurs différentes, et d'autre part, nous avons à nouveau obtenu quelque chose de similaire à la courbe de Lorentz: une sorte de reflet formalisé de l'injustice.

Le rythme observé est hélas très inégal: dans la première moitié du mandat, à peine $$ travail, et une bonne moitié de tout devra être faite, ayant à ma disposition $$ temps, mais la principale caractéristique: le rythme, ou plutôt sa pente, augmente rapidement à l'approche de la date limite! Nous avons eu un modèle de rage ou de panique du Nouvel An à la veille du rapport annuel, et nous avons également trouvé la loi de la méchanceté, familière à quiconque devait organiser un concert, une soirée costumée ou tout autre événement:

Peu importe le temps alloué à la préparation de l'événement, la plupart des affaires resteront la dernière nuit!

D'excellents exemples vivants de tels processus sont décrits, par exemple, dans les histoires de Karel Aapek «Comment faire un journal» et «Comment une pièce est mise en scène» . La raison de cette malédiction n'est-elle que dans notre désorganisation et notre insouciance? Ce sont, bien sûr, les principales raisons, mais nous n'en sommes pas si coupables qu'il serait impossible d'essayer de nous justifier par une loi mathématique. La stratégie du cancre, bien sûr, semble idiote, mais l'augmentation exponentielle du rythme n'est pas une blague! Y a-t-il un moyen de gérer cela?

Le rythme de travail prévu peut être calculé avec précision. La formule n'est pas trop élégante, mais il est à noter qu'elle inclut le nombre de jours $$$n$ et n'inclut pas le nombre de cas prévus:

$$

$$T_n (x) = - \ frac {\ log_2 \ left [1-x \ left (1-2 ^ {- H_n-1} \ right) \ right]} {H_n + 1}.$$

Le logarithme est une fonction lente, sauf s'il est appuyé contre le mur. Au cours des derniers jours avant la date limite, le rythme a augmenté de façon catastrophique, au même rythme que le logarithme tombe dans l'abîme à l'approche de zéro. Cependant, cela dépend toujours du nombre de jours alloués. Vous pouvez voir à quoi ressemble le rythme prévu pour la semaine, le mois et l'année:


Le taux d'achèvement le plus probable dans un temps limité. Fait intéressant, un délai serré a un effet bénéfique. Le nom est en réserve seulement une semaine, nous commencerons très probablement à faire le travail plus uniformément (d'ici la moitié du délai, un tiers du travail sera prêt), et si toute l'année est en avance, nous pouvons nous détendre, bien, puis le regretter.

Pour un artiste perfectionniste idéal qui fait le travail de manière absolument uniforme, le rythme d'exécution devrait tendre vers la diagonale (ligne pointillée bleue sur la figure). Ceci est similaire à la courbe d'égalité dans le diagramme de Lorentz, signifiant la justice. Tout comme nous avons calculé le coefficient de Gini pour le diagramme de Lorentz, nous pouvons, en fonction de l'aire entre la courbe du rythme de travail et la courbe idéale, calculer un certain coefficient de moyenne, qui montrera à quelle distance nous sommes de l'idéal. Cela dépend de la durée du terme alloué et augmente lentement avec la croissance $$$n$ . Dans les exemples que nous avons donnés pour la semaine, le mois et l'année, le coefficient de moyenne est respectivement $$ , $$ et $$ .

Comment faire face à la vague croissante d'inquiétudes et de contraintes de temps? Vous pouvez, par exemple, vous ressaisir. Une personne avec un excellent syndrome de l'élève peut chercher à faire la chose suivante le plus tôt possible, bien sûr, bien sûr. Un modèle plausible sera le choix du moment pour la prochaine tâche, suivant une distribution exponentielle avec une densité inversement proportionnelle au temps restant. Cela n'exclura pas une certaine incertitude inhérente à nos vies, mais cela exprimera de bonnes intentions de tout faire dès que possible. Nous appelons cette stratégie une stratégie de bonnes intentions . Voici les distributions de probabilité de terminer les tâches à temps pour l'adhérent à cette stratégie, qui dans la moitié des cas fera la chose suivante au premier trimestre du temps restant:


La distribution de probabilité n'est pas à l'heure pour une stratégie bien intentionnée.

Beaucoup mieux! En une semaine, vous pouvez très probablement avoir le temps de faire cinq choses et vous laisser deux jours de congé. Mais néanmoins, pendant de longues périodes, l'augmentation des opportunités n'est pas révolutionnaire. Le problème réside dans le fait que le nombre attendu de cas achevés avec succès reste proportionnel au logarithme du temps imparti, et le logarithme croît extrêmement lentement! Donc, lorsque vous planifiez beaucoup, vous devez garder à l'esprit que l'intensité du processus augmentera inévitablement et, très probablement, il n'y aura pas assez de temps pour anticiper la date limite. Dans tous les cas, il faut se rappeler que la vie est courte et pour avoir le temps de réaliser le plan, il faut agir tout de suite!

Admirons le rythme d'un excellent élève bien intentionné.


Le rythme prévu du travail d'une personne méthodique essayant de passer à l'étape suivante du travail le plus tôt possible. Les graphiques montrent les résultats d'une moyenne de dizaines de milliers d'expériences numériques modélisant une tâche avec un nombre fixe d'étapes. La ligne rouge indique la limite de vitesse pour un grand nombre de tâches.

Notre spécialiste soigné a réussi à répartir le travail plus uniformément et à faire beaucoup plus de travail, mais il attend toujours la pression du temps. Une telle personne effectuera des chaînes courtes avec un dépassement significatif du plan, et une chaîne de sept cas sera presque parfaite. Cependant, à mesure que le nombre de cas augmente, le rythme attendu tend rapidement vers le rythme théorique obtenu en utilisant la stratégie boob! La performance globale a augmenté, mais le parking avant la date limite n'a pas disparu. Il est donc possible de terminer le chargement et le vrai alésage!

Cependant, il existe un autre moyen largement connu de discipliner substantiellement l'exécution des travaux: au lieu d'une seule échéance, vous devez en faire beaucoup. Divisons le délai en deux parties égales et respectons ce nouveau délai, en le considérant, disons, comme un rapport intérimaire. Pour chacune de ces parties, nous pouvons construire une courbe du rythme de travail attendu, comme le montre la figure.

Diviser le temps nécessaire pour terminer le travail en plusieurs périodes de rapport intermédiaires vous permet de faire le travail plus uniformément, mais ajoute du stress à l'approche de chaque nouveau rapport.

Malgré les tracas liés à un rapport intermédiaire, nous avons atteint notre objectif: la zone sous la courbe de taux d'exécution globale a diminué et le rapport de moyenne est passé de $$ avant $$ . En outre, la réduction de la durée (ainsi que la réduction du nombre de cas, bien sûr) rapproche le rythme de travail prévu de l'idéal, de sorte que le rapport de moyenne a plus que diminué de moitié. L’ajout de deux rapports trimestriels supplémentaires, par exemple, $$ mais en faisant cela, nous entraînerons nos interprètes dans quatre périodes stressantes à la fois et ils commenceront toujours à souffrir bruyamment, se plaignant du sort et des patrons! Eh bien, nous pouvons montrer à nos employés nos calculs et prouver qu'en introduisant des rapports trimestriels, ils ont réduit le taux de moyenne de leur vie de cinq fois, si cela, bien sûr, est une consolation pour eux.

De plus, le nombre de délais intermédiaires tendant au nombre de jours autorisés à travailler, le rythme de travail approchera d'un rythme idéal mais très ennuyeux.

Eh bien ici! De plus, l'imprimante est cassée!

Ajoutez quelques mots sur la stratégie fictive et la distribution de Stirling. La distribution que nous obtenons montre la probabilité d'obtenir un nombre donné d'événements dans un certain intervalle de temps. Comptage des événements dans un véritable flux de Poisson avec intensité $$$\ lambda$ on arrive à la fameuse distribution de Poisson:

$$

$$P (k) = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda ^ k} {k!},$$

décrivant la confiance pour obtenir exactement $$$k$ événements dans un seul intervalle de temps. L’expression des nombres de Stirling a une expansion asymptotique qui, pour les grands $$$n$ réduit la distribution des longueurs de chaînes avec une échéance à une distribution de Poisson décalée avec intensité $$$\ lambda = H_n-1$ . Ainsi, du point de vue statistique, notre processus de délai stochastique peut être considéré soit comme un processus de Poisson sur une grille temporelle de condensation, soit comme un processus de Poisson inhomogène, dont l'intensité est monotone et en croissance rapide. Et bien que, strictement parlant, notre processus ne soit pas Poisson, puisque les événements qu'il contient ne sont pas indépendants, cependant, les propriétés statistiques dont nous avons besoin sont similaires. Leur similitude est également indiquée par la proximité de la valeur moyenne et de la variance de la distribution de Stirling, qui est caractéristique de la distribution de Poisson.

Cette conclusion nous permet de poser une question: que se passe-t-il si nous ajoutons au processus de la chaîne d'affaires que nous avons créé des problèmes rares indépendants de nous: tempête de neige, embouteillage terrible, nez qui coule, panne d'imprimante ou fête nationale?

Pour le processus de Poisson, un processus de décimation aléatoire est défini, qui consiste dans le fait qu'avec une certaine probabilité, nous commencerons à supprimer les événements du flux. Chance éclaircie avec probabilité $$$(1-p)$ quitte le processus de Poisson, mais son intensité diminue, multipliant par $$$p$ . Les événements correspondant à la coïncidence des problèmes et à n'importe quelle étape du travail eux-mêmes forment le processus de Poisson, avec une intensité significativement plus faible, mais dans notre cas, également monotone et à croissance rapide. Si rapide que peu importe la probabilité de problèmes, pour un nombre suffisamment important de cas (ou le temps alloué pour le travail), plus proche de la date limite, elle augmentera pour devenir totalement observable. Et l'imprimante le fera à la veille du cours!

Ne soyez pas surpris si le bus tombe en panne au moment où vous êtes déjà en retard. Le bus ne vous souhaite pas de mal. Simplement, si vous êtes une fille, alors la séquence des choses: choisissez une robe, mangez des bonbons, lavez, enfilez la robe choisie, mettez du maquillage, mettez une chaîne, déplacez les choses de votre sac à main à une pochette, nettoyez des chaussures et des trucs et tout le reste va à la date limite la plus importante et la plus excitante - une date ! Et le rythme auquel vous volez vers le destin est déjà si fou que les miracles les plus improbables commencent à se produire.

Au final, qu'est-ce qu'un miracle, sinon la réalisation de l'incroyable!