Ce que les mathématiques peuvent nous dire sur la recherche de l'ordre dans le chaos de la vie
La rencontre avec votre personne la plus chère était-elle accidentelle, ou y avait-il une sorte de raison cachée à cela? Et qu'en est-il du rêve étrange d'hier - était-ce simplement un jet aléatoire de synapses du cerveau, ou a-t-il révélé quelque chose de profond sur votre subconscient? Peut-être que le rêve essayait de vous dire quelque chose sur votre avenir. Peut-être pas. Le fait que votre proche parent soit malade avec un type de cancer dangereux a-t-il une signification profonde, ou est-ce simplement les conséquences de mutations aléatoires de l'ADN?
Dans notre vie, nous pensons souvent aux modèles d'événements qui se produisent autour de nous. Nous nous demandons si nos vies sont aléatoires ou si elles ont une sorte de signification, uniquement vraie et profonde. En tant que mathématicien, je me tourne souvent vers les nombres et les théorèmes pour trouver des idées sur ces questions. Et il se trouve que j'ai appris quelque chose sur la recherche de sens dans les lois de la vie grâce à l'un des théorèmes les plus profonds de la logique mathématique. Ce théorème, en termes simples, démontre qu'en principe il est impossible de savoir si l'explication de la loi est la plus profonde ou la plus intéressante de toutes les explications. Comme dans la vie, la recherche de sens en mathématiques est illimitée.
Un petit prélude. Considérez les trois lignes de caractères suivantes.
1.100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100
2.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
3.38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418.
Comment pouvons-nous les décrire? Par exemple, nous pouvons facilement le faire en les écrivant simplement - comme nous venons de le faire. Cependant, il est immédiatement clair que les deux premières lignes peuvent être décrites en bref. Le premier n'est qu'une séquence de répétitions de «100». Le second est une liste des premiers nombres premiers. Et le troisième? Il peut être décrit simplement en affichant la ligne entière. Mais y a-t-il une description meilleure et plus courte pour elle?
Au début des années 1960, l'adolescent américain
Gregory Haitin , le mathématicien russe [et soviétique] de
renommée mondiale
Andrei Nikolaevich Kolmogorov et le pionnier de l'informatique
Ray Solomonov ont formulé indépendamment un moyen de mesurer la complexité des séquences de caractères. Leurs idées ont commencé à s'appeler
la théorie de la complexité de Kolmogorov ou la théorie algorithmique de l'information . Ils postulent que la complexité d'une chaîne est déterminée par la longueur du programme informatique le plus court qui peut la produire. C'est-à-dire, prenez une ligne et recherchez le programme informatique le plus court qui le produit. Un programme est un type de description de ligne. Si le plus court de ces programmes s'avère très court, alors il y a un modèle simple dans la ligne, et ce n'est pas très complexe. Nous disons que dans une telle ligne, il y a peu de contenu algorithmique. Inversement, si un programme long est requis pour produire une chaîne, alors la chaîne est complexe et son contenu algorithmique est supérieur. Pour toute ligne, vous devez rechercher le programme le plus court qui produit une telle ligne. La longueur d'un tel programme est appelée la complexité des chaînes de Kolmogorov.
Revenons aux trois premières lignes. Les deux premières lignes peuvent être décrites à l'aide de programmes informatiques relativement courts:
1. Imprimez «100» 30 fois.
2. Imprimez les 25 premiers nombres premiers.
La complexité de Kolmogorov de la première ligne est inférieure à la complexité de Kolmogorov de la deuxième ligne, car le premier programme est plus court que la seconde. Et le troisième? Cette ligne n'a pas de motifs évidents. Cependant, vous pouvez écrire un programme stupide qui affiche cette séquence:
3. Sortie «38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418»
Un tel programme fait face à la tâche, mais de manière insatisfaisante. Il existe peut-être un programme plus court qui démontre la présence de modèles dans cette ligne. Lorsque le programme le plus court qui produit une chaîne est le programme «imprimer une chaîne», nous disons que cette chaîne est très complexe et ne contient aucun modèle connu. Une chaîne sans motifs est appelée aléatoire. Mais bien que nous n'ayons pas vu de modèles, cela peut exister. En mathématiques, comme dans la vie, nous sommes confrontés à de nombreux schémas qui semblent aléatoires.
Nous pourrions essayer d'utiliser les capacités incroyables des ordinateurs modernes pour trouver le modèle et le programme le plus court. Ce ne serait pas génial s'il y avait un ordinateur capable de calculer simplement la complexité de Kolmogorov de n'importe quelle chaîne? Un tel ordinateur accepterait une chaîne en entrée et produirait la longueur du programme le plus court capable de produire cette chaîne. Bien sûr, avec toutes ces nouveautés comme l'IA, le deep learning, le big data, l'informatique quantique, etc., il devrait être facile de créer un tel ordinateur.
Hélas, un tel ordinateur est impossible à créer! Bien que les ordinateurs modernes soient très puissants, cette tâche est impossible. Tel est le contenu d'un des théorèmes les plus profonds de la logique mathématique. Le théorème, en fait, dit que la complexité de Kolmogorov d'une chaîne ne peut pas être calculée. Il n'y a aucun dispositif mécanique qui détermine la taille du plus petit programme qui produit une chaîne donnée. Le fait n'est pas que notre niveau actuel de technologie informatique n'est pas à la hauteur, ni que nous ne sommes pas assez intelligents pour écrire un tel algorithme. Il a été prouvé que l'idée même de description et de calcul démontre que l'ordinateur, en principe, n'est pas en mesure d'effectuer une telle tâche pour aucune ligne. Et si l'ordinateur est peut-être capable de rechercher certains modèles dans la chaîne, il n'est pas en mesure de trouver le meilleur modèle. Nous pouvons trouver un programme court qui affiche une certaine séquence, mais il peut toujours exister un programme encore plus court. Nous ne le saurons jamais.
La preuve même de la non-calculabilité de la complexité de Kolmogorov pour une séquence est assez formelle. Mais cela est une preuve de contradiction, et nous pouvons à peu près imaginer comment cela fonctionne en examinant quelques paradoxes petits et doux.
Le paradoxe des nombres intéressants est lié à l'affirmation selon laquelle tous les nombres naturels sont intéressants. 1 est le premier nombre, et c'est intéressant. 2 est le premier nombre pair. 3 est le premier nombre premier impair. 4 est un nombre intéressant car 4 = 2 × 2 et 4 = 2 + 2. De cette façon, vous pouvez continuer plus loin et trouver des propriétés intéressantes de nombreux nombres. À un moment donné, nous pouvons rencontrer un nombre sans propriétés intéressantes. Et nous pouvons appeler ce numéro le premier numéro sans intérêt - mais cela en soi est déjà une propriété intéressante. En conséquence, les chiffres inintéressants sont également intéressants!
Les idées contenues dans la preuve de Kolmogorov sont similaires aux idées du
paradoxe de
Berry concernant la description des grands nombres. Notez que plus nous utilisons de mots, plus nous pouvons décrire de nombres. Par exemple, en trois mots, vous pouvez décrire «mille milliards de milliards» et cinq - «mille milliards de milliards de milliards de milliards de milliards», ce qui est un nombre beaucoup plus élevé. Considérez maintenant le nombre décrit par la phrase suivante:
Le plus petit nombre qui ne peut pas être décrit en moins de 15 mots]
Il faut 15, 16 ou même plus de mots pour décrire le nombre. Il ne peut pas être décrit en 12, 13 ou 14 mots. Cependant, c'est le problème: la phrase ci-dessus décrit ce nombre avec 10 mots [
12 mots / env. perev. ]. Notre description du nombre contredit la description du nombre - voici le paradoxe.
Dans le paradoxe des nombres intéressants et dans le paradoxe du Berry, nous arrivons à des contradictions, suggérant l'existence d'une manière exacte de décrire quelque chose. De même, la preuve de la non-calculabilité de la complexité de Kolmogorov découle du fait que si elle était calculable, nous aboutirions à une contradiction.
Le fait que la complexité de Kolmogorov ne soit pas calculable est le résultat de mathématiques pures, et nous ne devons pas confondre ce monde idéal avec une réalité beaucoup plus complexe et désordonnée. Cependant, il y a quelques points généraux liés à la complexité de Kolmogorov que nous pouvons apporter au monde réel.
Plusieurs fois, nous sommes tombés sur ce qui nous semblait complètement chaotique. L'aléatoire nous rend nerveux et nous recherchons des modèles qui éliminent partiellement le chaos. Si nous trouvons un modèle, il n'est pas clair si c'est le meilleur modèle qui explique nos observations. On peut se demander s'il existe un schéma plus profond qui donne une meilleure explication. La théorie de la complexité de Kolmogorov nous enseigne qu'à un niveau de base il n'y a aucun moyen garanti de déterminer le meilleur modèle. Nous ne saurons jamais si le motif que nous avons trouvé est le meilleur.
Mais c'est exactement ce qui rend la recherche infiniment intéressante. Par définition, quelque chose est intéressant s'il nécessite une réflexion supplémentaire. Un fait évident et parfaitement compris ne nécessite pas de réflexion supplémentaire. Le fait que six auront quarante-sept ans est tout à fait compréhensible et sans intérêt. Ce n'est que lorsque nous ne sommes pas sûrs des idées que nous devons les confirmer et y réfléchir. La recherche de modèles améliorés sera toujours intéressante.
Le monde réel ajoute de la complexité. S'il n'y a pas d'erreurs dans le monde des chaînes et des programmes informatiques, vous pouvez faire une erreur dans le monde réel. Nous pouvons facilement savoir si un programme particulier affiche une chaîne ou non. Et même si nous ne pourrons probablement pas déterminer le programme optimal pour sortir une ligne spécifique, nous pouvons déterminer si elle affiche la ligne souhaitée. Et le monde réel, en revanche, est beaucoup plus complexe. Il peut nous sembler que nous voyons une séquence alors qu'en fait elle n'est pas là.
Notre compréhension de notre quête de sens commence à prendre forme. Nous méprisons le hasard et adorons les modèles. Nous sommes biologiquement programmés pour trouver des modèles qui expliquent ce que nous voyons. Mais nous ne pouvons pas être sûrs que le modèle que nous avons trouvé sera correct. Même si nous pouvions d'une manière ou d'une autre garantir l'absence d'erreur et atteindre la perfection semblable à un ordinateur, quelque part il pourrait toujours y avoir une vérité encore plus profonde. Cette tension alimente notre amour de la littérature, du théâtre et du cinéma. Lorsque nous lisons un roman ou regardons une pièce, l'auteur ou le metteur en scène nous présente une séquence d'événements ayant un thème, un modèle ou une morale communs. La littérature, les pièces de théâtre et le cinéma nous offrent un excellent moyen d'échapper au chaos généralement incompréhensible et insensé que nous rencontrons dans le monde qui nous entoure. Une très bonne littérature va plus loin et nous laisse de nombreuses interprétations. Nous sommes confrontés à l'incalculabilité de la complexité de Kolmogorov.
Cette tension détermine également la façon dont nous vivons nos vies. En voyageant à travers des événements supposés aléatoires, nous recherchons des modèles et une structure. La vie est pleine de hauts et de bas. Il y a la joie de tomber amoureux, de s'amuser avec les enfants, le sentiment de grandes réalisations à la fin d'un travail difficile. Il y a la douleur d'une relation brisée, l'agonie de l'échec après des tentatives actives pour accomplir une tâche, la tragédie de la mort d'un être cher. Nous essayons de chercher dans tout cela un sens. Nous méprisons le sentiment d'une chance totale et l'idée que nous suivons simplement les lois chaotiques et simples de la physique. Nous voulons savoir s'il y a un sens, un but, une signification dans le monde environnant. Nous avons besoin d'une histoire magique de la vie et nous nous racontons des histoires.
Parfois, ces histoires sont tout simplement fausses. Parfois, nous nous trompons nous-mêmes et les autres. Et parfois, nous identifions correctement les modèles. Mais même lorsque l'histoire est vraie, elle ne sera pas nécessairement la meilleure. Nous ne serons jamais sûrs que dans les profondeurs ne se trouve pas une histoire encore plus fondamentale et précise. En vieillissant et en tombant dans l'angoisse, nous acquérons certaines idées sur l'Univers, inaccessibles auparavant. Nous trouvons des modèles améliorés. Peut-être que nous commençons à voir les choses plus clairement. Ou pas. Nous ne le saurons jamais. Mais nous savons que la recherche ne s'arrêtera pas.
Nozon Janowski - Docteur ès sciences en mathématiques, travaille au Centre éducatif de la City University de New York, professeur d'informatique au Brooklyn College de la même université.