Quelle est l'importance de 196 884 = 196 883 + 1? Comment l'expliquer sur les doigts?

Réponse de Quora par Michael Griffin, postdoctorant en mathématiques

Senia Scheidwasser a donné une très bonne réponse simple à cette question, je recommande de lire cette version courte. Mais il y a une histoire beaucoup plus étonnante de l'hypothèse Monstrous Moonshine mélangée à l'équation de Mackay: du whisky de Jack Daniel aux trous noirs et à la gravité quantique.

Dans cette histoire, les symétries et les «groupes» mathématiques sont souvent mentionnés, alors commençons par ce que l'on entend par un groupe en mathématiques. Un groupe peut être représenté comme un moyen de réorganiser un ensemble d'objets tout en conservant une certaine structure. Les opérations dans le groupe doivent suivre certaines règles, par exemple, il devrait toujours être possible d'annuler l'opération, et si vous effectuez une opération puis une autre, vous obtenez la troisième opération dans le groupe .


Quatre options de rotation et quatre axes de symétrie du carré. Source d'image

Si vous aimez représenter des figures, alors un exemple simple de groupe est la symétrie d'un carré. Il peut être tourné de trois manières: 90 ° vers la droite (dans le sens horaire), 180 ° et 90 ° vers la gauche (dans le sens antihoraire); il y a quatre symétries: verticale, horizontale et deux axes diagonaux); et il y a une symétrie d'identité quand rien ne change. Si vous faites pivoter le carré de 90 ° vers la droite, puis le retournez le long de l'axe vertical, vous obtenez une symétrie différente. En particulier, le résultat sera le même que s'il était immédiatement réfléchi sur l'axe diagonal du coin supérieur gauche au coin inférieur droit. Il s'agit d'une sorte de table de multiplication pour les éléments de groupe. En fait, nous pouvons écrire une table de multiplication pour mieux comprendre la structure du groupe. Je l'ai fait ici. Le symbole «i» dans le tableau est la symétrie de l'identité lorsque rien ne change. «R» et «L» - rotation de 90 ° à droite et à gauche, respectivement. "F" est une rotation de 180 °, et chaque ligne est une réflexion le long de l'axe dans la direction de cette ligne.



Certains groupes peuvent être divisés en parties plus petites. Par exemple, si vous avez deux carrés, il peut y avoir deux copies des mêmes opérations de symétrie, chacune agissant sur un carré indépendamment de l'autre. Les groupes simples ne peuvent pas être divisés en petits groupes indépendants, ils sont donc un peu principaux dans la théorie des groupes. Mais les groupes premiers finis sont un peu plus difficiles à classer que les nombres premiers. Au cours de la seconde moitié du siècle dernier, des progrès importants ont été réalisés dans les tentatives de classement complet de tous les groupes simples finis. La plupart des groupes simples s'intègrent dans des familles bien organisées. Par exemple, une famille contient toutes les symétries des N-gons réguliers (comme un triangle équilatéral, un carré, un pentagone régulier, etc.). Mais tous les groupes ne font pas partie d'une sorte de famille normale. Il existe exactement 26 groupes «sporadiques» orphelins. Ils sont généralement un peu plus difficiles à définir, mais beaucoup d'entre eux peuvent être construits à partir de symétries de réseau en plusieurs dimensions. Le plus grand des groupes sporadiques simples est le monstre .

En 1973, Fisher et Griss ont trouvé pour la première fois (indépendamment) des preuves qu'un très grand groupe simple peut exister s'il satisfait à certaines propriétés. Mais seulement une décennie plus tard, il a été possible de prouver que ces propriétés sont stables, et le groupe existe vraiment. Griss a appelé ce groupe hypothétique insaisissable le Géant Amical (Géant Amical, les initiales de F. G. pour Fischer-Griss). Mais Conway, le mathématicien le plus célèbre, l'appelait le monstre - et un tel nom a été fixé. À propos, ce Conway joue un rôle important dans notre histoire, mais vous en avez probablement entendu parler auparavant. C'est le même Conway qui a inventé le jeu "Life" et a prouvé le théorème du libre arbitre. Si vous ne vous en souvenez pas, allez le lire!

En 1975, deux mathématiciens, Augg et Tits, se sont rencontrés lors d'une conférence à Paris. Teats a calculé que si le monstre existe, sa taille sera la suivante:

2 ^ 46 · 3 ^ 20 · 5 ^ 9 · 7 ^ 6 · 11 ^ 2 · 13 ^ 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
≈ 8 × 10 ^ 53

C'est un très grand nombre. Très, très, très grand. Il s'agit du nombre approximatif d'atomes de Saturne et Jupiter combinés. Mais l'attention d'Augg n'était pas attirée par la taille, mais par la simple factorisation.

Augg étudiait à l'époque des pièces appelées courbes modulaires. Si N est un entier positif, alors il y a une surface, appelons-la X (N), qui capture des informations arithmétiques importantes sur le nombre N (si vous vous souvenez des nombres complexes de l'école, alors une telle surface peut être obtenue en «roulant» ou en «pliant» le complexe plan en utilisant une série de symétries, en fonction du nombre N). Augg a posé une question comme celle-ci: si N est un nombre premier, alors dans quel cas cette surface (ou courbe modulaire) ressemblera-t-elle à une boule, et non à un beignet avec une ou plusieurs poignées (c'est-à-dire des «trous» dans le beignet)? Il a constaté que seulement si N appartient à l'ensemble

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71}

Ce sont les mêmes nombres premiers qui sont utilisés dans le calcul des seins pour la taille de monstre! Mais il n'y a absolument aucun lien évident entre ces deux calculs. Augg était tellement submergé par cette coïncidence évidente qu'il offrit à Jack Daniel's une bouteille de whisky à quiconque pourrait l'expliquer.

Pour des raisons évidentes, la compilation d'une table de multiplication n'aidera pas à étudier le monstre. Si nous écrivons la table de multiplication par des atomes d'hydrogène, elle ne rentrera pas dans notre galaxie. Au lieu de cela, les mathématiciens ont réussi à compiler une table de caractères Monster . Oui, cela ressemble à un guide de jeu Dungeons & Dragons, et ce n'est peut-être pas une mauvaise façon de présenter une table. C'est une sorte de Necronomicon pour le monstre; une table numérique de 194 × 194 donnant aux mathématiciens un aperçu de l'énorme monstre astronomique. La première colonne répertorie les «tailles des représentations irréductibles» du monstre. Ce sont des mots bizarres, mais l'essence de notre histoire est que les deux premières significations de la première colonne sont les nombres 1 et 196 883 . C'est là que l'équation de Mackay apparaît.

Mackay a fait remarquer à Conway que

196884 = 1 + 196883

Conway a trouvé l'hypothèse McKay si absurde qu'il l'a appelée fantaisie ou non-sens (clair de lune). Dans cette équation, 196884 est le premier coefficient d'une fonction importante appelée fonction J , que les mathématiciens étudient depuis très longtemps. Ici, nous recommençons à revenir sur Augg et sa question sur la bouteille de "Jack Daniels".

Une fonction J est une fonction modulaire, c'est-à-dire qu'elle prend un point avec une courbe modulaire, comme celles étudiées par Ogg - et donne un nombre (encore une fois, si vous êtes familier avec les nombres complexes, vous pouvez représenter la fonction modulaire comme une fonction sur des nombres complexes ordinaires, mais avec une obscène symétrie). Il est difficile d'expliquer plus clairement ce qu'est une fonction modulaire, mais ne vous attardez pas là-dessus.


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De plus, la fonction J est la fonction modulaire la plus élémentaire pour la courbe modulaire X (1) la plus simple. Il s'agit de la fonction la plus "basique" dans le sens où toute autre fonction modulaire pour X (1) peut être écrite comme un polynôme ou le rapport des polynômes dans une fonction J. Certaines autres courbes modulaires, telles que X (2), ont une fonction modulaire de base différente. Appelons cela J_2. En fait, X (N) a la fonction modulaire de base J_N de ce type précisément lorsque la forme X (N) est une boule (sans «poignées» ou «trous»), exactement la même que celle d'Ogg.

Un autre mathématicien Thompson a réalisé que l'observation de Mackay pouvait être développée. Il a noté que les quelques coefficients suivants de la fonction J d'origine peuvent également être écrits comme la somme des valeurs de la première colonne de la table des caractères Monster. De plus, vous pouvez écrire plusieurs coefficients d'autres fonctions J_N en tant que sommes d'autres valeurs du tableau. À cette époque, Thompson travaillait toujours avec une table de caractères incomplète. Ce n'est qu'en 1979 que Fisher, Livingston et Thorne ont terminé le calcul de la table des symboles, et plus tard cette année-là, Conway et Norton ont transformé les observations de Thompson en une hypothèse exacte. Ils ont fait valoir qu'il existe un moyen d'écrire n'importe quel coefficient de la fonction J comme la somme des dimensions des représentations incontrôlables de Monster (c'est-à-dire les enregistrements de la première colonne de la table des symboles Monster). De plus, cela peut être fait de telle sorte que si nous échangeons des entrées de la première colonne avec des entrées d'une autre colonne de la table des symboles, nous obtenons les coefficients de l'une des autres fonctions J_N! Par exemple, voici les trois premiers coefficients de la fonction J d'origine (sur le côté gauche des équations):

196884 = 1 + 196883,

21493760 = 1 + 196883 + 21296876, et

864299970 = 2 × 1 + 2 × 196883 + 21296876 + 842609326,

où 1 , 196883 , 21296876 et 842609326 sont les quatre premières valeurs de la première colonne de la table des caractères Monster. Et voici les trois premiers coefficients de la fonction J_2 (encore une fois, sur le côté gauche des équations):

4372 = 1 + 4371

96256 = 1 + 4371 + 91884 et

1240002 = 2 × 1 + 2 × 4371 + 91884 + 1139374,

où 1 , 4371 , 91884 et 1139374 sont les quatre premières valeurs de la deuxième colonne de la table des caractères Monster. Et ainsi de suite: chaque colonne de la table des symboles donne les coefficients de la fonction modulaire de base pour certaines courbes modulaires. Conway et Norton ont appelé leur hypothèse un non-sens monstrueux (Monstrous Moonshine).

Il y a environ un an, j'ai eu la chance de parler avec Conway de la façon dont cette hypothèse est apparue. Il a dit qu'il avait regardé les nouvelles valeurs dans la table des symboles de Monster, qui a demandé tant d'efforts à calculer, puis est allé à la bibliothèque de mathématiques et a ouvert un livre écrit des décennies plus tôt avec des tableaux de coefficients de fonctions modulaires. Et il a décrit ce sentiment d'horreur profonde lorsque les mêmes nombres ou leurs combinaisons évidentes le regardaient depuis les pages d'un vieux livre.

En 1982, Griss a finalement montré comment construire un monstre. Pour la première fois, les mathématiciens ont pu se débarrasser de la clause «si le monstre existe». Dix ans plus tard, Borcherds, un ancien élève de Conway, a prouvé l'hypothèse en utilisant la théorie des "algèbres d'opérateurs de vertex", qu'il a créée spécifiquement à cet effet. Cette théorie a été créée sur la base de l'ancienne théorie physique des années 1960. Borcherds a reçu la médaille Fields 1998 de nombreuses façons pour cette preuve. Il s'agit d'une sorte de prix Nobel de mathématiques, à l'exception que pour une raison inexplicable, vous devez avoir moins de 40 ans pour le recevoir. Comme je l'ai entendu, Augg a satisfait la réponse de Borcherds à sa question, mais Borcherds ne boit pas, donc la bouteille de Jack Daniels n'est pas réclamée. D'un autre côté, bien que Conway soit très satisfait du travail de Borcherds, il n'y voit toujours qu'un chèque, mais pas une explication. Oui, maintenant nous savons que les coefficients des fonctions modulaires sont la somme des valeurs des symboles Monster, mais, Conway pense que nous n'avons toujours pas une image claire, comment pouvez-vous vous y attendre?

L'histoire ne s'arrête pas là. En 2007, Witten a travaillé sur la résolution de conflits en gravité quantique. La mécanique quantique et la relativité générale ne sont pas très compatibles. Witten a travaillé sur une question simplifiée, abandonnant tout sauf la gravité de la théorie de la relativité. Il a trouvé des raisons de croire que la VOA de l'hypothèse est la clé de la théorie de la gravité dans cette construction simplifiée. Dans cette théorie, la fonction J se transforme en fonction de sectionnement qui compte divers états énergétiques. Ici, divers symboles Monster apparaissent qui correspondent aux états du trou noir. Witten a demandé si certains de ces états du trou noir sont plus courants que d'autres. Pour en revenir à Monster, cela revient essentiellement à la question: combien d' unités prévoyons-nous voir lorsque nous décomposerons un coefficient donné d'une fonction J? Ou combien de fois 196 883? Les unités sont- elles rares? Ou y a-t-il principalement des unités avec quelques significations intéressantes éparpillées ici et là? Je pense que beaucoup de gens se posent cette question lorsqu'ils rencontrent pour la première fois l'hypothèse d'un non-sens monstrueux. Si tout se résumait principalement à des unités , cela rendrait la théorie beaucoup moins intéressante. Mais ne vous en faites pas. Malgré le fait que nous voyons des unités depuis le tout début, elles deviennent très rares lorsque nous passons à des coefficients plus grands, et des symboles plus grands commencent à prendre le dessus. Après le 200e coefficient, les symboles apparaissent principalement proportionnellement à la taille de leur mesure. Un rapport de 1 à tous les autres caractères est d'environ 1 sur 5,8 × 10 ^ 27. C'est approximativement le rapport de la masse du trombone et de la masse de la Terre. Le deuxième plus grand symbole apparaît 196883 fois plus souvent, le troisième - 21296876 fois plus souvent, etc. En revenant à la configuration de Witten, cela signifie que des états d'énergie plus grands pour un trou noir sont plus courants, tandis que l'état de vide trivial ( 1 ) n'existe pratiquement pas.

Il existe de nombreuses autres études sur ce sujet. Nous (mathématiciens) avons observé (et dans certains cas prouvé) un phénomène pour d'autres groupes en dehors du monstre. Les experts en théorie des cordes continuent de jeter un œil à nos travaux, dans l'espoir de transformer ces nouvelles variations en nouvelles théories de la gravité.

Pour les lecteurs plus avertis en technologie qui sont intéressés par les détails, je recommande le livre de Terry Gannon "Nonsense Beyond the Monster" ou cet article scientifique (accessible au public).