Contexte

La raison de cette publication est un article ambigu sur le principe de moindre action (IPA) , publié sur la ressource il y a quelques jours. Elle est ambiguë car son auteur sous une forme populaire tente de transmettre au lecteur l'un des principes fondamentaux d'une description mathématique de la nature, et il y réussit partiellement. Sinon pour un mais qui se cache à la fin de la publication. Sous le spoiler est une citation complète de ce passage


À mon avis, quel est donc le problème?

Le problème est que l'auteur, citant cet exemple, a commis un certain nombre d'erreurs fondamentales. Il est aggravé par le fait que la deuxième partie prévue, selon l'auteur, sera basée sur ces erreurs. Guidé par le principe de remplir la ressource d'informations fiables, je suis obligé de fournir une explication de ma position sur cette question plus en détail, et le format des commentaires pour cela ne suffit pas.

Cet article expliquera comment les mécaniques sont construites sur la base du PND, et tentera d'expliquer au lecteur que le problème posé par l'auteur de la publication citée est manquant.

1. Définition de l'action de Hamilton. Principe de moindre action

L'action de Hamilton est appelée fonctionnelle

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) \, dt$$

où

$$

$$L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) = T \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) - \ Pi (\ mathbf q)$$

Est la fonction de Lagrange pour un système mécanique dans lequel (en omettant les arguments ci-dessous) T est l'énergie cinétique du système; P - son énergie potentielle; q (t) est le vecteur des coordonnées généralisées de ce système, qui est fonction du temps. on pense que les instants temporels t ₁ et t ₂ sont fixes.

Pourquoi la fonctionnalité, pas la fonction? Parce qu'une fonction, par définition, est une règle selon laquelle un nombre du domaine de définition (argument de fonction) est associé à un autre nombre du domaine de valeurs. Une fonction est différente en ce que l'argument n'est pas un nombre, mais une fonction entière. Dans ce cas, il s'agit de la loi de mouvement du système mécanique q (t), définie au moins sur l'intervalle de temps entre t ₁ et t ₂ .

À long terme (et c'est un euphémisme!) Les travaux de mécaniciens (dont le magnifique Leonard Euler) nous ont permis de formuler

Principe de moindre action:

Un système mécanique pour lequel la fonction Lagrange est spécifiée $$$L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right)$ , se déplace de telle manière que la loi de son mouvement q (t) délivre un minimum à la fonction

$$

$$S = \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) \, dt \ to \ min$$

appelé l'action de Hamilton.

Dès la définition même du PND, il résulte du fait que ce principe ne conduit à des équations de mouvement que pour une classe limitée de systèmes mécaniques. Pour quoi? Et découvrons-le.

2. Les limites d'applicabilité du principe de moindre action. Quelques définitions pour les plus petits

Comme il résulte de la définition, encore une fois, de la fonction de Lagrange, le PND permet d'obtenir des équations de mouvement pour les systèmes mécaniques, dont l'action de force est déterminée exclusivement par l'énergie potentielle. Afin de comprendre de quels systèmes nous parlons, nous donnerons plusieurs définitions, que, pour sauvegarder l'article, je mets sous le spoiler

3. Le concept de variations de coordonnées généralisées. Énoncé du problème variationnel

Nous considérons donc maintenant un système mécanique se déplaçant sous l'action de forces potentielles, dont la position est uniquement déterminée par le vecteur de coordonnées généralisées

$$

$$\ mathbf q = \ left [q_1, \, q_2, \, \ dots, \, q_s \ right] ^ T \ quad (4)$$

où s est le nombre de degrés de liberté d'un système donné.

Réelle, mais encore inconnue de nous , la loi de mouvement de ce système est déterminée par la dépendance des coordonnées généralisées (4) au temps. Considérons l'une des coordonnées généralisées $$$q_i = q_i (t)$ , en supposant un raisonnement similaire pour toutes les autres coordonnées.


Figure 1. Mouvement réel et détourné d'un système mécanique

Dans la figure, la dépendance $$$q_i (t)$ représenté par une courbe rouge. Nous choisissons deux instants de temps fixes arbitraires t ₁ et t ₂ , en réglant t ₂ > t ₁ . Position du système $$$\ mathbf q_1 = \ mathbf q (t_1)$ nous convenons d'appeler la position initiale du système, et $$$\ mathbf q_2 = \ mathbf q (t_2)$ - la position finale du système.

Cependant, j'insiste encore une fois pour que le texte suivant soit lu attentivement! Malgré le fait que nous fixions la position initiale et finale du système, ni la première position ni la seconde ne nous sont inconnues à l'avance! Ainsi que la loi inconnue du mouvement du système! Ces dispositions sont considérées précisément comme la position initiale et finale, quelles que soient les significations spécifiques.

De plus, nous pensons que de la position initiale au système final peut venir de différentes manières, c'est-à-dire la dépendance $$$\ mathbf q = \ mathbf q (t)$ peut être cinématiquement possible. Le mouvement réel du système existera dans une seule variante (courbe rouge), les variantes cinématographiques restantes seront appelées mouvements de rond-point $$$\ mathbf q ^ {*} = \ mathbf q ^ {*} (t)$ (courbe bleue sur la figure). Différence entre réel et rond-point

$$

$$\ delta q_i (t) = q ^ {*} _ i (t) - q_i (t), \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (5)$$

sera appelé variations isochrones de coordonnées généralisées

Dans ce contexte, les variations (5) doivent être comprises comme des fonctions infinitésimales exprimant la déviation du rond-point par rapport au réel. Le petit «delta» pour la désignation n'a pas été choisi par hasard et souligne la différence fondamentale entre la variation et le différentiel de fonction. La différentielle est la partie linéaire principale de l'incrément de fonction provoqué par l'incrément d'argument. En cas de variation, un changement dans la valeur d'une fonction avec une valeur constante de l'argument est provoqué par un changement dans la forme de la fonction elle-même! Nous ne faisons pas varier l'argument dans le rôle du temps; par conséquent, la variation est appelée isochrone. On fait varier la règle selon laquelle chaque valeur de temps est mise en correspondance avec une certaine valeur de coordonnées généralisées!

En fait, nous faisons varier la loi du mouvement, selon laquelle le système de l'état initial passe à l'état final. L'état initial et final sont déterminés par la loi réelle du mouvement, mais j'insiste encore une fois sur le fait que nous ne connaissons pas leurs valeurs spécifiques et qu'ils peuvent être cinématiquement possibles, nous pensons seulement qu'ils existent et que le système est garanti de passer d'une position à une autre! Dans la position initiale et finale du système, nous ne faisons pas varier la loi du mouvement, par conséquent, les variations des coordonnées généralisées dans la position initiale et finale sont égales à zéro

$$

$$\ delta q_i (t_1) = \ delta q_i (t_2) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (6)$$

Sur la base du principe de moindre action, le mouvement réel du système doit être tel qu'il fournisse un minimum de fonctionnalités d'action. La variation des coordonnées entraîne un changement dans le fonctionnement de l'action. Une condition nécessaire pour que la fonctionnelle atteigne une valeur extrême est l'égalité à zéro de sa variation

$$

$$\ delta S = \ delta \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ dots, q_s, \, \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s) \, dt = 0 \ quad ( 7)$$

4. La solution du problème variationnel. Équations de Lagrange du 2e type

Résolvons notre problème variationnel, pour lequel nous calculons la variation complète de l'action fonctionnelle et l'assimilons à zéro

$$

$$\ begin {align} \ delta S = & \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1 + \ delta q_1, \ dots, q_s + \ delta q_s, \, \ dot q_1 + \ delta \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s + \ delta \ dot q_s) \, dt - \\ & - \ int \ limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ dots, q_s, \, \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s) \, dt = 0 \ end {align}$$

Poussons tout sous une seule intégrale, et puisque toutes les opérations sur des quantités infinitésimales sont valables pour les variations, nous transformons ce crocodile sous la forme

$$

$$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ delta q_i + \ sum \ limits_ {i = 1 } ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ delta \ dot q_i \ right] \, dt = 0 \ quad (8)$$

Basé sur la définition de la vitesse généralisée

$$

$$\ delta \ dot q_i = \ frac {d (\ delta q_i)} {dt}$$

Puis l'expression (8) est transformée en la forme

$$

$$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ delta q_i \, dt + \ sum \ limits_ { i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} d (\ delta q_i) \ right] = 0$$

Le deuxième terme est intégré en plusieurs parties

$$

$$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} + \ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} \ delta q_i - \ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {d} {dt} \ gauche (\ frac {\ partiel L} {\ partiel \ dot q_i} \ droite) \ delta q_i \ droite] \, dt = 0 \ quad (10)$$

Sur la base de la condition (7), nous avons

$$

$$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} = 0$$

alors nous obtenons l'équation

$$

$$\ int \ limits_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ right) \ right) \, \ delta q_i \ right] \, dt = 0$$

Pour des limites d'intégration arbitraires, la disparition d'une certaine intégrale est assurée par la disparition de l'intégrande

$$

$$\ sum \ limits_ {i = 1} ^ s \ left [\ frac {\ partial L} {\ partial q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ point q_i} \ droite) \ droite] \, \ delta q_i = 0 \ quad (11)$$

Étant donné que les variations des coordonnées généralisées sont indépendantes, (11) n'est valable que si tous les coefficients des variations sont égaux à zéro, c'est-à-dire

$$

$$\ frac {\ partial L} {\ partial q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ right) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s}$$

Personne ne nous dérange pour multiplier chacune des équations par (-1) et obtenir une notation plus familière

$$

$$\ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot q_i} \ right) - \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (12)$$

Les équations (12) sont la solution au problème . Et à ce stade, l'attention est une fois de plus - résoudre le problème variationnel par le principe de la moindre action, ce n'est pas une fonction qui fournit un minimum à l'action hamiltonienne, mais un système d'équations différentielles, en résolvant quelle fonction peut être trouvée . Dans ce cas, il s'agit d'une équation différentielle de Lagrange de second ordre écrite en termes de fonction de Lagrange, c'est-à-dire dans la formulation des systèmes mécaniques conservateurs.

Et voilà, le principe de moindre action s'arrête là , et la théorie des équations différentielles ordinaires commence, qui, en particulier, déclare que la solution de l'équation (12) est une fonction vectorielle de la forme

$$

$$\ mathbf q = \ mathbf q (t, C_1, C_2, \ dots, C_ {2s})$$

où C ₁ , ..., C ₂ sont des constantes d'intégration arbitraires.

De cette façon

Le PND est un principe fondamental qui permet d'obtenir les équations de mouvement d'un système pour lequel la fonction de Lagrange est définie

Un point! Dans les problèmes de mécanique analytique, les calculs ci-dessus n'ont plus besoin d'être effectués, il suffit d'utiliser leur résultat (12). Une fonction qui satisfait à l'équation (12) est la loi de mouvement d'un système qui satisfait PND.

5. Le problème avec le ballon et le mur

Revenons maintenant à la tâche avec laquelle tout a commencé - à propos du mouvement unidimensionnel d'une balle près d'une paroi absolument élastique. Bien sûr, pour ce problème, on peut obtenir des équations de mouvement différentielles. Comme ce sont des équations de mouvement différentielles, toutes, je le souligne, n'importe laquelle de leurs solutions offre un minimum d'action fonctionnelle, ce qui signifie que le PND est exécuté! La solution générale des équations de mouvement de la balle peut être représentée sous la forme du soi-disant portrait de phase du système mécanique considéré. Ce portrait de phase


Figure 2. Portrait de phase du système dans le problème de la balle

Les coordonnées de la balle sont tracées sur l'axe horizontal et la projection de la vitesse sur l'axe x sur l'axe vertical. Cela peut sembler étrange, mais ce dessin reflète toutes les trajectoires de phase possibles de la balle, dans toutes les conditions initiales ou, si vous le souhaitez, aux limites. En fait, il y a une infinité de lignes parallèles sur le graphique, le dessin en montre certaines et la direction du mouvement le long de la trajectoire de phase.

Il s'agit d'une solution générale à l'équation du mouvement de la balle. Chacune de ces trajectoires de phase fournit un minimum de la fonction d'action, qui découle directement des calculs effectués ci-dessus.

Que fait l'auteur de la tâche? Il dit: ici la balle est au repos, et pour la période de temps de t _A à t _{B l'} action est nulle. Si la balle est poussée contre le mur, alors dans la même période, l'action sera plus grande, car la balle a une énergie cinétique non nulle et inchangée. Mais pourquoi la balle se déplace-t-elle vers le mur, car au repos l'action sera moindre? PND connaît donc des problèmes et ne fonctionne pas! Mais nous allons certainement résoudre ce problème dans le prochain article.

Ce que l'auteur dit est un non-sens. Pourquoi? Oui, car il compare des actions sur différentes branches d'une même trajectoire de phase réelle! Pendant ce temps, lors de l'application du PND, l'action sur la trajectoire réelle et sur de nombreuses trajectoires de rond-point est comparée.Autrement dit, l'action sur la trajectoire réelle est comparée à l'action sur les trajectoires qui ne sont pas dans la nature, et ne le seront jamais!

Je ne comprends pas? Je l'expliquerai encore plus intelligiblement. Considérez l'état de repos. Il est décrit par une branche d'un portrait de phase coïncidant avec l'axe des abscisses. La coordonnée ne change pas avec le temps. C'est un vrai mouvement. Et quel genre de mouvement sera rond-point. Toute autre cinématique possible. Par exemple, de petites vibrations de balle près de la position de repos que nous envisageons. Le problème permet-il à la balle d'osciller le long de l'axe x? Suppose qu'un tel mouvement est cinématiquement possible et peut être considéré comme l'un des ronds-points

Pourquoi le ballon reste-t-il encore? Oui, car l'action au repos, calculée sur une période de temps fixe de t _A à t_B , il y aura moins d'action, avec de petites fluctuations dans la même période de temps. Cela signifie que la nature préfère la paix aux vibrations et à toute autre "agitation" de la balle. En pleine conformité avec l'IPA.

Disons que nous avons poussé le ballon vers le mur. Poussons-la comme l'auteur le souhaite, à une vitesse choisie parmi les conditions aux limites, de sorte qu'à l'instant t _{B la} balle soit dans la même position d'où elle est partie. La balle, à vitesse constante, atteint le mur, rebondit élastiquement et revient à sa position initiale à l'instant t _B , toujours à vitesse constante. Ok, c'est un vrai mouvement. Quel mouvement sera l'un des ronds-points? Par exemple, si la balle se rapproche et s'éloigne du mur à une vitesse qui change avec le temps. Un tel mouvement est-il cinématiquement possible? C'est possible.Pourquoi le module de vitesse de balle ne change-t-il pas? Oui, car l'action sur une telle trajectoire de phase aura une valeur minimale, par rapport à toute autre option, où la vitesse dépend du temps.

C’est tout.Rien de si magique ne se passe ici. IPA fonctionne sans aucun problème.

Conclusions et souhaits

Le PND est une loi fondamentale de la nature. De là, en particulier, les lois de la mécanique découlent, par exemple, des équations différentielles du mouvement (12). PND nous dit que la nature est structurée de sorte que l'équation du mouvement d'un système mécanique conservateur ressemble exactement à l'expression (12) et à rien d'autre. On ne lui en demande pas plus.

Pas besoin d'inventer des problèmes là où ils ne le sont pas.