Les titans des maths s'affrontent sur la preuve épique de l'hypothèse abc

Deux mathématiciens affirment avoir trouvé un trou au cœur des preuves qui secoue la communauté mathématique depuis maintenant six ans.

Dans un rapport publié en septembre 2018 sur Internet, Peter Scholze de l'Université de Bonn et Jacob Styx de l'Université Goethe de Francfort ont décrit ce que Styx appelle le «fossé sérieux et irremplaçable» dans une énorme série d' ouvrages volumineux de Shinichi Motizuki , le célèbre mathématicien de génie de l'Université de Kyoto . Les travaux de Motizuki publiés sur Internet en 2012 prouveraient l' hypothèse abc , l'un des problèmes les plus profonds de la théorie des nombres .

Malgré les nombreuses conférences essayant d'expliquer la preuve de Motizuki, les experts en théorie des nombres ont eu du mal à faire face aux idées qui se cachent derrière. Sa série d'œuvres avec un volume total de plus de 500 pages est écrite dans un style obscur et fait référence à son travail précédent d'environ 500 pages, ce qui conduit à l'émergence d'un `` sens de régression sans fin '', comme l'a dit le mathématicien Brian Conrad de l'Université de Stanford.

Parmi les mathématiciens qui ont étudié la preuve, 12 à 18 personnes croient en son exactitude, comme m'a écrit Ivan Fesenko de l'Université de Nottingham par e-mail. Mais, comme Konrad a commenté la situation lors de la discussion des preuves sur un blog en décembre dernier, seuls les mathématiciens du "cercle intérieur de Mochizuki" se sont portés garants de la fidélité des preuves. "Il n'y a plus personne qui veuille déclarer, même de manière informelle, qu'il est confiant dans l'exhaustivité des preuves."

Cependant, comme l' écrivait Frank Kalegari de l'Université de Chicago dans son blog en décembre, "les mathématiciens hésitent à signaler des problèmes avec la preuve de Motizuki, car ils ne peuvent pas signaler une erreur spécifique."

Maintenant, tout a changé. Dans leur rapport, Scholze et Styx soutiennent que la ligne de raisonnement plus proche de la fin de la preuve du «Corollaire 3.12» dans le troisième des quatre travaux de Motizuki est fondamentalement erronée. Et ce corollaire est nécessaire pour sa preuve de l'hypothèse abc.

"Il me semble que le problème avec l'hypothèse abc reste ouvert", a déclaré Scholze. "Et toute personne a une chance de le prouver."


Peter Scholze

Les conclusions de Scholze et Styx sont basées non seulement sur leur propre étude du travail, mais également sur la visite hebdomadaire qu'ils ont effectuée par Motizuki et son collègue, Yuchiro Hoshi, en mars à l'Université de Kyoto, pour discuter de ces preuves. Scholze dit que cette visite l'a beaucoup aidé, lui et Styx, à aller au fond de leurs objections. En conséquence, deux scientifiques "sont arrivés à la conclusion qu'il n'y a aucune preuve", écrivent-ils dans le rapport.

Cependant, cette réunion s'est terminée par l'insatisfaction des parties. Motizuki n'a pas pu convaincre Scholze et Styx que sa preuve était correcte, et ils n'ont pas pu le convaincre qu'elle était fausse. Motizuki a déjà publié le rapport de Scholze et Styx sur son site Web et y a ajouté certaines de ses objections .

En eux, Motizuki attribue la critique de Scholze et Styx à «certaines interprétations erronées fondamentales» de son travail. Leur «attitude négative», écrit-il, «ne signifie pas qu'il y ait des défauts» dans sa théorie.

Tout comme la réputation sérieuse de Motizuki a fait que les mathématiciens voient son travail comme une tentative sérieuse de prouver une hypothèse, la réputation de Scholze et Styx garantit que les mathématiciens prêtent attention à ce qu'ils veulent dire. Scholze, bien que âgé de seulement 30 ans, est rapidement monté au sommet de son domaine. En août, il a reçu le Fields Prize , la plus haute distinction en mathématiques. Styx est un expert dans l'étude de Mochizuki, la géométrie anabelienne.

"Peter et Jacob sont des mathématiciens extrêmement prudents et réfléchis", a déclaré Conrad. «S'ils ont des inquiétudes, ils devraient vraiment être clarifiés.»

Pierre d'achoppement

L'hypothèse abc, que Conrad a appelée «l'une des hypothèses les plus importantes de la théorie des nombres», commence par l'une des équations les plus simples qui peuvent généralement être représentées: a + b = c. Les trois nombres a, b et c sont des entiers positifs qui n'ont pas de diviseurs premiers communs. Autrement dit, nous pouvons considérer l'équation 8 + 9 = 17 ou 5 + 16 = 21, mais pas 6 + 9 = 15, car les nombres 6, 9 et 15 sont divisés par 3.

En prenant cette équation, nous pouvons considérer tous les nombres premiers dans lesquels l'un des trois nombres impliqués dans l'équation est divisé - par exemple, dans le cas de l'équation 5 + 16 = 21, ces nombres premiers seront 2, 3, 5 et 7. Leur produit sera 210 , et il est beaucoup plus grand que n'importe quel nombre impliqué dans l'équation. Et vice versa, dans l'équation 5 + 27 = 32, les nombres premiers 2, 3 et 5 participent, dont le produit est 30 - et ce nombre est inférieur au nombre 32 impliqué dans l'équation. Le produit est si petit, car les nombres 27 et 32 ​​ont de très petits diviseurs simples (3 et 2), qui sont simplement répétés plusieurs fois pour obtenir ces nombres.

Si vous commencez à jouer avec d'autres triples abc, vous constaterez peut-être que cette deuxième option est extrêmement rare. Par exemple, parmi 3044 triplets différents pour lesquels les termes a et b sont inférieurs à 100, il n'y en a que sept où le produit des diviseurs premiers est inférieur à c. L'hypothèse abc, formulée dans les années 80, formalise une idée intuitive de la rareté de tels triplets.

Revenons à l'exemple 5 + 27 = 32. 32 est plus de 30, mais pas beaucoup. C'est moins de 30 ² , ou 30 ^1,5 , voire 30 ^1,02 , soit 32,11. L'hypothèse abc dit que si vous choisissez un degré supérieur à 1, alors il n'y aura qu'un nombre fini de triplets abc, pour lesquels c sera plus que le produit des diviseurs premiers élevés au degré choisi.

"L'hypothèse abc est une déclaration très simple concernant la multiplication et la division", a déclaré Minyun Kim de l'Université d'Oxford. Il a dit qu'avec cette déclaration, "on a le sentiment que vous révélez une structure très fondamentale de systèmes numériques que vous n'avez jamais vue auparavant."

La simplicité de l'équation a + b = c signifie qu'un large éventail d'autres problèmes relèvent de son influence. Par exemple, le grand théorème de Fermat est lié à des équations de la forme x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ et à l' hypothèse catalane , qui stipule que 8 et 9 sont les seuls deux degrés parfaits consécutifs [nombres exprimés sous forme d'entier dans un degré entier / environ. transl.] (puisque 8 = 2 ³ et 9 = 3 ² ), parle d'une équation de la forme x ^m + 1 = y ⁿ . L'hypothèse abc (sous une certaine forme) donnerait de nouvelles preuves à ces deux théorèmes et résoudrait toute une montagne de problèmes ouverts qui y sont liés.


Jacob Styx

Cette hypothèse «semble être toujours à la frontière entre le connu et l'inconnu», a écrit Dorian Goldfeld de l'Université Columbia.

L'ampleur des conséquences de la preuve de l'hypothèse a convaincu les experts en théorie des nombres qu'il serait très difficile de la prouver. Par conséquent, quand en 2012 il a été rapporté que Motizuki avait présenté les preuves, de nombreux mathématiciens étaient ravis de plonger dans son travail - mais seulement pour être à l'arrêt en raison d'un langage inconnu et d'une présentation inhabituelle des informations. Les définitions s'étalaient sur plusieurs pages, suivies de théorèmes avec les mêmes énoncés longs, et leurs preuves étaient décrites dans des phrases comme «découle immédiatement de la définition».

"Chaque fois que j'entends parler de l'analyse du travail de Mochizuki par un expert (non officiel), sa critique est scandaleusement familière: de vastes champs de choses triviales, suivis d'énormes montagnes de conclusions injustifiées " , a écrit Kalegari dans son blog en décembre.

Scholze a été l'un des premiers lecteurs de l'ouvrage. Il est connu pour être capable d'absorber rapidement les mathématiques, de s'y plonger profondément, il a donc avancé plus loin que de nombreux théoriciens et a terminé ce qu'il a appelé une «lecture approximative» des quatre ouvrages principaux peu de temps après leur apparition. Scholze était confondu par de longs théorèmes avec de courtes preuves, ce qui lui semblait vrai, mais sans fondement. Il a écrit plus tard que dans deux œuvres intermédiaires, «il se passe peu de choses».

Puis Scholze est arrivé au Corollaire 3.12 dans sa troisième œuvre. Les mathématiciens utilisent généralement le mot «conséquence» pour désigner un théorème secondaire au précédent, plus important. Mais dans le cas du Corollaire 3.12 de Motizuki, les mathématiciens conviennent que c'est le principal théorème pour prouver l'hypothèse abc. Sans cela, «il n'y a aucune preuve » , a écrit Calegari. "Il s'agit d'une étape critique."

Ce corollaire est le seul théorème de deux ouvrages intermédiaires, dont la preuve prend plus de quelques lignes - il s'étend sur neuf pages. Les traversant, Scholze atteint le point où il ne peut plus suivre la logique.

A cette époque, il n'avait que 24 ans et il considérait que la preuve était incorrecte. Mais il n'entrait pratiquement pas dans la discussion des œuvres, à moins qu'il ne soit directement interrogé à leur sujet. Après tout, au final, pensa-t-il, d'autres mathématiciens sont susceptibles de trouver dans ces travaux des idées importantes qui lui manquaient. Ou peut-être finiront-ils par arriver à la même conclusion que lui. D'une manière ou d'une autre, pensait-il, la communauté mathématique pourra le comprendre.

Escalier d'Escher

Pendant ce temps, d'autres mathématiciens ont du mal à faire face à un travail infranchissable. Beaucoup avaient de grands espoirs pour une réunion consacrée au travail de Motizuki, prévue fin 2015 à l'Université d'Oxford. Mais lorsque plusieurs collègues de Motizuki ont tenté d'expliquer les idées clés de la preuve, un «nuage de brouillard» est tombé sur le public, comme Konrad l'a écrit dans le rapport peu après la réunion. «Les gens qui comprenaient ce travail devaient expliquer avec plus de succès aux spécialistes de la géométrie arithmétique ce qui était à la base » , écrit- il.

Quelques jours après son poste, Conrad a reçu des lettres inattendues de trois mathématiciens (dont Scholze), décrivant la même chose: ils pouvaient lire et comprendre le travail jusqu'à ce qu'ils atteignent un certain point. "Chacun des trois a été arrêté par la preuve 3.12", a écrit Conrad plus tard.

Kim a entendu des commentaires similaires sur Corollary 3.12 d'un autre mathématicien, Teruhisa Koshikawa, qui travaille à l'Université de Kyoto. Styx a également trébuché à cet endroit. Peu à peu, de nombreux experts en théorie des nombres ont appris que cette conséquence était devenue une pierre d'achoppement, mais il n'était pas clair s'il y avait un trou dans sa preuve, ou Motizuki avait juste besoin de mieux expliquer son raisonnement.

Puis en 2017, à la grande horreur de nombreux théoriciens, des rumeurs allaient que les travaux de Mochizuki soient acceptés pour publication. Mochizuki lui-même était le rédacteur en chef de cette revue, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences . Kalegari a qualifié cette situation de " mauvaise apparence " (bien que les rédacteurs dans de telles situations soient généralement exclus de la prise de décision). Mais surtout, les mathématiciens craignaient que le travail soit encore illisible.


Shinichi Motizuki en visioconférence lors de la conférence de 2015 sur sa preuve

"Aucun expert qui prétend comprendre les preuves n'a pu l'expliquer à aucun des nombreux experts qui restent confus", a écrit Matthew Emerton de l'Université de Chicago.

Calegari a écrit un article décrivant cette situation comme « un échec complet », et d'éminents théoriciens ont repris son point de vue. "Nous avons une situation ridicule dans laquelle abc est considéré comme un théorème à Kyoto et une hypothèse dans tous les autres endroits", a écrit Kalegari.

Le magazine PRIMS a rapidement répondu aux demandes de la presse par une déclaration dans laquelle il expliquait que le travail n'avait pas été accepté pour publication. Cependant, même avant cela, Scholze a décidé de déclarer publiquement ce qu'il avait longtemps dit lors de conversations privées à de nombreux théoriciens. Il a décidé que toute cette discussion des preuves était devenue «trop sociale». "Tout le monde a dit que cette preuve ne semble pas être le cas, mais personne n'a dit:" Il y a un endroit où personne n'a compris la preuve. "

Dans les commentaires sur le dossier, Kalegari Scholze a écrit qu'il «ne pouvait pas du tout suivre la logique après la fig. 3.8 dans la preuve du corollaire 3.12 ». Il a ajouté que les mathématiciens, "prétendant comprendre la preuve, ne veulent pas admettre qu'il faut y ajouter quelque chose".

Shigefumi Mori , un collègue de Motizuki de l'Université de Kyoto, lauréat du prix Fields, a écrit à Scholze pour lui proposer d'organiser une rencontre avec Motizuki. Scholze, à son tour, a contacté Styx, et en mars, le couple s'est rendu à Kyoto pour discuter de la pierre d'achoppement en preuve avec Mochizuki et Hoshi.

L’approche de Mochizuki à l’hypothèse abc place le problème dans le domaine des courbes elliptiques , un type spécial d’équation cubique à deux variables, x et y. Cette transition, connue avant Mochizuki, est simple - vous devez connecter chaque équation abc à une courbe elliptique dont le graphique coupe l'axe x aux points a, b et à l'origine - cependant, elle permet aux mathématiciens d'utiliser la riche structure des courbes elliptiques qui combinent la théorie des nombres avec géométrie, notation intégrale et autres domaines. (Le même passage est au centre de la preuve du Grand Théorème de Fermat de 1994 par Andrew Wiles .)

En conséquence, l'hypothèse abc se réduit à prouver l'inégalité entre deux quantités associées aux courbes elliptiques. Le travail de Motizuki traduit cette inégalité sous une autre forme encore, qui, comme l'a dit Styx, peut être représentée comme une comparaison des volumes de deux ensembles. Dans le corollaire 3.12, il offre sa preuve de cette inégalité qui, si elle était vraie, prouverait l'hypothèse abc.

Dans la preuve, comme Scholze et Styx le décrivent, les volumes de deux ensembles sont considérés comme s'ils se trouvaient à l'intérieur de deux copies différentes de nombres réels, présentés comme faisant partie d'un cercle de six copies différentes de nombres réels, et un balisage est donné pour expliquer comment chaque copie est liée à son voisin en cercle. Pour suivre la relation entre les volumes d'ensembles les uns avec les autres, vous devez comprendre comment les mesures de volume dans une copie sont liées aux mesures dans d'autres copies, comme l'a dit Styx.

"Si vous avez une inégalité de deux objets, mais en même temps la règle de mesure est compressée plusieurs fois, ce qui est hors de votre contrôle, alors vous perdez le contrôle sur ce que signifie l'inégalité", a déclaré Styx.

Scholze et Styx pensent que c'est à ce moment critique de l'évidence que tout s'effondre. Dans les marquages ​​Mochizuki, les lignes de mesure sont logiquement compatibles entre elles. Mais quand vous faites le tour du cercle, a déclaré Styx, vous avez une règle qui n'est pas comme celle qui sera si vous allez dans l'autre sens. Cette situation, dit-il, ressemble au célèbre escalier fermé d'Escher , où vous pouvez monter et vous retrouver au même endroit [plus correctement, c'est l' escalier de Penrose , sur la base duquel Escher a fait un dessin / commentaire célèbre. trad.].

Scholze et Styx ont conclu que cette incompatibilité des mesures de volume signifie que des valeurs incorrectes sont comparées dans l'inégalité résultante. Et si vous ajustez tout pour que les volumes deviennent comparables, alors l'inégalité perd tout son sens, disent-ils.

Scholze et Styx "ont trouvé une raison précise pour laquelle la preuve ne fonctionne pas", a déclaré Kieran Kedlaya, mathématicien à l'Université de Californie à San Diego, qui a étudié en détail le travail de Motizuki. «Donc, si la preuve est vraie, elle doit fonctionner avec autre chose, avec quelque chose de moins évident» que ce que Scholze et Styx décrivent.

Mochizuki prétend que c'est précisément la présence de quelque chose de moins évident. Il écrit que Scholze et Styx se trompent en assimilant arbitrairement des objets mathématiques qui devraient être considérés comme différents. Quand il a expliqué à ses collègues l'essence des objections de Scholze et Styx, écrit-il, sa description «a suscité une surprise et une méfiance remarquablement universelle (et a ensuite été ridiculisée) qu'un tel malentendu incroyable pourrait survenir».

Maintenant, les mathématiciens devront digérer les arguments de Scholze et Styx et la réponse de Mochizuki. Scholze espère que, contrairement à la situation avec les travaux initiaux de Motizuki, ce processus ne durera pas longtemps, car leur nature avec le Styx des objections n'est pas si compliquée techniquement. D'autres théoriciens "devraient pouvoir suivre la ligne de notre discussion avec Motizuki sans aucun problème", a-t-il déclaré.

Mochizuki tout semble complètement faux. De son point de vue, la critique de Scholze et Styx vient du "manque de temps pour bien comprendre les mathématiques discutées", qui est probablement dû à "un sentiment d'inconfort profond, ou une méconnaissance d'une nouvelle façon de penser les objets mathématiques familiers".

Les mathématiciens, qui étaient sceptiques quant à la preuve de Motizuki auparavant, pourraient bien décider que le rapport Scholze et Styx met fin à cette histoire, a déclaré Kim. D'autres voudront étudier les rapports par eux-mêmes, et cela, selon Kim, a déjà commencé. "Je ne pense pas que je serai en mesure d'éviter la nécessité de tout vérifier par moi-même avant de décider quelque chose par moi-même", écrit-il par courrier.

Au cours des dernières années, de nombreux experts en théorie des nombres ont cessé d'essayer de comprendre le travail de Motizuki. Mais si Mochizuki ou ses partisans peuvent fournir une explication détaillée et cohérente de la raison pour laquelle l'image de Scholze et Styx est trop simplifiée (si c'est le cas), «cela peut faire beaucoup pour éliminer la fatigue associée à ce problème et inspirer les gens à faire de nouvelles tentatives». - dit Kedlaya.

En attendant, Scholze déclare: "Je pense que cela ne peut pas être pris comme preuve avant que Motizuki n'effectue une modification sérieuse et n'explique mieux l'étape clé." Lui-même, selon ses propres termes, «ne voit pas d'idée clé qui pourrait nous rapprocher de la preuve de l'hypothèse abc».

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