Sur la relation des nombres premiers et irrationnels

Après quelques recherches sur les nombres premiers, j'ai trouvé un lien intéressant avec les nombres irrationnels. Cette connexion donne une réponse à la question de savoir pourquoi les nombres premiers sont si «chaotiques» et pourquoi ils sont si complexes. Sous la coupe se trouve une explication de cette connexion et une variante de l'algorithme RSA amélioré.

Présentation

Considérez l'ensemble $$$\ lbrace 2n + 3m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ . Essayez maintenant de l'organiser. Autrement dit, trouvez un moyen de trouver la prochaine paire de nombres n et m, en connaissant la précédente. Evidemment: 2 + 2 + 2 = 3 + 3 et 2 + 2> 3, 2 <3. Ainsi, les paires de nombres sont réparties comme suit:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (2,1), (4,0), (3,1), (5 , 0) ...

Notez que l'ordre et, par conséquent, la méthode d'obtention de la prochaine paire de nombres sont clairement tracés. Il n'y a aucun problème et la tâche est triviale.
Considérez maintenant l'ensemble $$$\ lbrace 2n + \ pi m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ . Malheureusement ou heureusement, mais cet ensemble ne peut pas être commandé dans le sens que le précédent:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (0,2), (2,1), (4,0), (3 , 1), (0,3) ...

Si vous décidez que vous avez trouvé l'ordre exact, terminez ensuite ces paires et voyez qu'il est cassé. Le «chaos» de ces paires de nombres est directement lié à l'irrationalité du nombre $$$\ pi$ prouvé par Johann Lambert en 1761. En effet, pour aligner des paires de suite, on essaie d'abord de faire tenir un segment de longueur 2 dans un segment de longueur $$$\ pi$ . Nous essayons de mettre l'équilibre obtenu dans un segment de longueur 2. Il ne rentrera qu'une seule fois. Cela signifie que notre reste "jouera" déjà son rôle sur un segment de longueur $$$2 \ pi$ , où il s'adaptera non pas à deux segments de longueur 2, mais à trois. En poursuivant une telle opération, il devient clair que dès que nous aurons l'impression d'avoir trouvé la commande, elle se cassera en un certain nombre d'étapes. Depuis le dernier, non encore utilisé, le solde «jouera» tôt ou tard son rôle et l'ordre changera. Par conséquent, la question de trouver un «bon» algorithme pour ce problème reste ouverte.

Quelques définitions

Soit $$$(\ mathbb {R}, +) \ simeq (\ mathbb {R} _ {> 0}, \ oplus)$ où $$$f$ - un isomorphisme tel que:
$$$f (x \ oplus y) = f (x) + f (y)$
Et, par conséquent, pour $$$g$ - inverser $$$f$ :
$$$g (x + y) = g (x) \ oplus g (y)$ .
Maintenant, nous définissons l'ensemble qui nous intéresse:
$$$W _ {\ oplus} = \ lbrace a_ {2} f (2) + a_ {3} f (3) + \ dots + a_ {n} f (n) + \ dots \ vert \ forall m \ in \ mathbb {N}, a_ {m} \ in \ mathbb {N} \ rbrace \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace$
$$$\ Rightarrow W _ {\ oplus} \ subset \ mathbb {R} _ {> 0}$
Et laissez $$$F (x, y) = f (x) + f (y)$ . Ensuite:
$$$g (F (x, y)) = x \ oplus y$
Et $$$\ mathbb {T}$ - image de l'ensemble $$$W _ {\ oplus}$ afficher $$$g$ .
Et enfin $$$\ mathbb {P} _ {\ oplus} = \ lbrace p \ in \ mathbb {T} \ vert \ forall w_ {1}, w_ {2} \ in W _ {\ oplus}, g (w_ {1} + w_ {2}) \ neq p \ rbrace$ - de nombreux nombres premiers pour l'opération $$$\ oplus$ .
Il est maintenant facile de clarifier ces définitions avec un exemple familier. Pour l'opération de multiplication, $$$f (x) = log_ {2} (x)$ . Beaucoup $$$W$ Est-ce $$$log_ {2} (\ mathbb {N})$ . Il vaut la peine de s'arrêter et d'expliquer pourquoi cela est important.

La connexion elle-même

En fait, en utilisant un isomorphisme, nous avons trouvé que la complexité de tous les problèmes sur les nombres premiers équivaut à des problèmes sur des sommes de logarithmes qui sont irrationnelles. Autrement dit, comme nous l'avons vu dans l'exemple avec un ensemble de nombres $$$\ pi$ et 2, c'est l'irrationalité qui apporte le chaos. C'est donc ici que l'irrationalité des logarithmes répartit les nombres premiers sur une droite numérique de manière presque chaotique. Il est difficile de classer les paires n et m dans un ensemble, par exemple, $$$\ lbrace n + mlog_ {2} 3 \ rbrace$ . En d'autres termes, la simplicité d'un nombre dépend directement, par exemple, d'une décimale dans le nombre $$$log_ {2} 3$ . Mais nous avons défini des nombres premiers non seulement pour la multiplication, mais en général pour une opération binaire arbitraire. Je l'ai fait afin de montrer que nos nombres premiers ne sont en aucun cas uniques.

RSA

Pour l'opération binaire x + xy + y:
$$$\ mathbb {P} = \ lbrace 2,4,6,10,12,16,18,22,28,30,36,40,42,46 ... \ rbrace$ .
Le caractère aléatoire de cet ensemble est caractérisé par des valeurs irrationnelles d'isomorphisme sur les nombres naturels. De plus, l'isomorphisme ne semble pas s'exprimer en termes de fonctions élémentaires. Ici, par opération, nous avons construit d'autres nombres premiers dont la distribution ne dépend évidemment pas de la distribution des nombres premiers ordinaires. Cela nous permet de construire RSA sur une opération binaire arbitraire telle que l'isomorphisme est irrationnel. Après tout, la fonction du logarithme est trop "bonne" pour les cryptanalystes. Et ici, elle se comporte d'une manière absolument imprévisible. Il est possible, et vice versa, de construire un isomorphisme par lequel une opération binaire commutative sera déterminée.

En prenant des nombres premiers arbitraires comme base, nous changeons le problème de la factorisation d'un nombre composé en problème de décomposition d'un nombre irrationnel presque arbitraire en la somme des deux autres d'un ensemble donné. Quelque chose me dit que cette tâche devrait appartenir à la classe NP.

En conclusion

L'humanité n'a pas encore résolu de nombreux problèmes concernant les nombres premiers, car les mathématiques soulèvent un nombre infini de problèmes similaires. Il se demandera naturellement quoi faire à ce sujet. Ma suggestion est de considérer tous les théorèmes de la théorie des nombres non pas pour l'addition et la multiplication, mais pour l'addition et une opération binaire commutative arbitraire fermée sur des nombres naturels. Ensuite, chaque déclaration sur les nombres premiers ne serait qu'une conséquence de certaines propriétés de l'opération. Par exemple, l'infinité des nombres premiers serait une conséquence de la monotonie de l'opération et de sa croissance assez rapide. Mais c'est un sujet pour un article séparé. Merci de votre attention.