Pouvez-vous imaginer quelque chose de plus grand que l'Univers, mais en même temps placé tranquillement dans votre tête? Qu'est-ce que c'est? L'infini! Eugenia Cheng nous envoie dans un incroyable voyage mathématique pour comprendre les abstractions mathématiques les plus mystérieuses. Pourquoi certains chiffres sont-ils impossibles à compter? Pourquoi l'infini + 1 n'est-il pas le même que l'infini 1+? Nous allons découvrir le paradoxe du Grand Hôtel, nous pourrons nourrir 7 milliards de personnes à l'aide d'un échiquier, et même obtenir un nombre infini de cookies à partir d'un petit (dernier) morceau de pâte. Tout cela nous permettra de comprendre et d'aimer une mathématique abstraite aussi étrange et mystérieuse. L'incroyable livre sur l'Univers vaste et infini est fascinant et intrigant, montrant comment un petit symbole mathématique contient une énorme idée.
Extrait. Infiniment petit
L'une des rares choses que je peux voir devant moi en ce moment n'a rien à voir avec l'analyse mathématique - c'est mon bureau. Le tableau existait bien avant l'avènement de l'analyse mathématique, mais ce tableau particulier a été fabriqué à l'usine Ikea, qui utilise de manière absolument précise l'analyse mathématique dans sa production. Je veux dire que l'étude de l'infini peut sembler quelque chose d'abstrait et en dehors de notre monde, littéralement et figurativement («figurativement» comme un de mes amis aime plaisanter), mais au final cela nous conduit également à l'analyse mathématique, qui fait partie intégrante de notre vie.
Le point de départ de tout cela est la réflexion sur des objets «infiniment proches les uns des autres». Lorsque nous dessinons un cercle sur l'ordinateur ou tapons la lettre O, ils sont lisses et uniformes. Mais si nous regardons de plus près les images, elles deviennent pixelisées. Il s'agit de la lettre O à plus grande échelle sur mon écran d'ordinateur.
Nous voyons un nombre fini de minuscules carrés déguisés en cercle. Mon ordinateur a soigneusement tracé un cercle; il a ajouté quelques points de gris. Un ordinateur ne peut pas faire autrement, car il est capable de percevoir et de traiter uniquement des points individuels en quantité finie et en taille fixe.
Et notre cerveau? Le sens de l'analyse mathématique est que notre cerveau, en principe, est capable de plus: nous pouvons percevoir et traiter un nombre infiniment grand d'objets, même s'ils sont infiniment petits. C'est le sujet que nous allons maintenant étudier.
J'ai aidé une fois avec les mathématiques dans une école primaire de Cambridge à Park Street. J'ai dû expliquer la symétrie à deux enfants de six ans. Au début, je leur ai demandé de tracer des lignes de symétrie sur plusieurs triangles, puis sur un carré, puis sur un pentagone, puis sur un hexagone. La chose la plus drôle était quand l'un des enfants a dit: "Je sais qu'un octaèdre a huit côtés, parce que le mot" octaèdre "ressemble à une pieuvre." En fin de compte, je leur ai donné un cercle. L'un des gars a tracé une telle ligne sur un cercle:
De plus, c'est devenu encore plus amusant. Le premier enfant s'est exclamé: "Il y en a des centaines!", Et le second a dit: "Il y en a un million!", Après quoi le premier a dit: "Vous pouvez dessiner ces lignes toute votre vie et ne jamais finir!", Puis il y a eu une pause, après laquelle le deuxième enfant s'est levé crayon, peint avec eux sur tout le cercle et dit: «Regardez! J'ai fini! "
J'étais confus, mais j'ai été forcé d'admettre qu'ils avaient tous les deux raison. Vous pouvez passer votre vie entière à dessiner des lignes de symétrie sur un cercle et ne jamais terminer, car il y en a un nombre infini. En fait, ils sont innombrables sans fin. Nous pouvons le vérifier. Imaginez que nous avons déterminé où va la ligne de symétrie, en définissant l'angle qu'elle forme avec l'horizontale.
Nous pouvons prendre n'importe quel angle - de 0 à 180 ° ou en radians - n'importe lequel de 0 à π. Si l'angle est plus grand, la ligne répétera l'une des déjà dessinées:
Prenez n'importe quel nombre réel de 0 à 180, et il ne doit pas nécessairement être un nombre entier ou rationnel. Nous savons déjà qu'il existe d'innombrables nombres réels de 0 à 180.
Nous aurons d'innombrables lignes de symétrie sur le cercle, mais si vous peignez sur tout le cercle, vous peindrez sur eux tous. Peut-être que maintenant vous pensiez que c'était comme une arnaque, car les vraies lignes de symétrie devraient se croiser infiniment de fois au centre du cercle, et dans notre centre il y a une infinité de couches de crayon. Mais si nous ne faisons pas attention au centre, mais essayons simplement de marquer les points le long du bord du cercle qui sont touchés par les lignes de symétrie, alors il suffira de dessiner un crayon le long du bord du cercle. Tracerons-nous ainsi un nombre infiniment grand de points? Y aura-t-il un nombre infiniment grand de points sur cette ligne?
Si oui, à quelle distance sont-ils situés? Et s'il y en a un nombre fini, alors combien?
Division par l'infini
Si nous divisons la ligne en segments de plus en plus, alors les segments deviennent de plus en plus petits. Peut-on ainsi diviser la ligne en un nombre infiniment grand de segments? Je veux dire si nous pouvons faire quelque chose d'infiniment petit en le divisant en infini.
Imaginez une loterie dans laquelle tous les vrais nombres peuvent tomber. Le tambour de loterie aura un nombre infini de boules, mais chacune d'entre elles indiquera un certain nombre fini. Dans ce cas, la probabilité de gagner sera plutôt étrange. Habituellement, dans une loterie au Royaume-Uni, 6 des 59 balles tombent. Il y a environ 45 millions de combinaisons, et toutes ces combinaisons sont également probables. Votre chance de gagner est de 1: 45 millions. Il s'agit d'un très petit nombre (environ 0,00000002), mais pas de 0; bien qu'il me semble qu'il est si proche de 0 qu'il peut en fait être considéré comme 0. Si vous le multipliez à nouveau par le nombre total de combinaisons possibles (45 millions), vous obtenez 1, ce qui est absolument vrai, car ce sera la probabilité de gagner si vous achetez tous les billets de loterie.
La loterie infinie a un nombre infini de combinaisons, donc votre chance de gagner sera "1 à l'infini". Comment l'exprimer avec une fraction? La réponse ne peut pas être supérieure à 0, car si elle était supérieure à 0, alors, en la multipliant à nouveau par le nombre total de résultats possibles (infini), nous obtenons un nombre supérieur à 1. Est-ce à dire que la probabilité de gagner est 0? Mais quelqu'un peut vraiment gagner à chaque fois. Vous pouvez noter à juste titre qu'en pratique une telle loterie est impossible, mais cet argument de la vôtre n'annule pas ce paradoxe. Tout est exactement comme avec l'hôtel Hilbert: le fait qu'un tel hôtel ne puisse pas exister n'annule pas le paradoxe.
Nous sommes de nouveau revenus à l'une de nos premières tentatives pour trouver l'infini, en faisant valoir que
Nous savons qu'une telle équation donne lieu à une contradiction si nous essayons de multiplier les deux côtés par 0. Mais maintenant, nous voulons dire que la division par l'infini donne 0 ou
Maintenant, nous en savons déjà plus sur l'infini et constatons immédiatement que quelque chose ne va pas avec cette équation. Le problème ici est que la façon dont nous avons essayé de trouver l'infini, à savoir l'utilisation d'un ensemble infini d'objets, n'impliquait pas la division par l'infini. La bonne réponse mathématique dans ce cas devrait être: «Eh bien, essayons! Si nous ne l'avons pas encore fait, cela ne signifie pas que c'est impossible. »
Essayons de faire exactement la même chose que nous avons fait avec la soustraction. Revenons à l'idée que tout autour est une multitude d'objets. C'est comme compter sur des bâtons de comptage: vous ne pouvez pas casser un bâton de comptage en deux (au grand désarroi de beaucoup d'enfants). Si nous prenons beaucoup de nombres naturels, nous ne pouvons pas le réduire partiellement.
Rappelez-vous, lorsque nous avons essayé d'exprimer la soustraction à l'infini, nous avons rappelé le raisonnement des enfants: 6 - 3 signifie «combien devrais-je compter de 3 pour revenir à 6». En d'autres termes, nous avons résolu cette équation: 3 + x = 6.
Prenons maintenant 6: 3. Nous pouvons regarder 6: 3 de deux manières différentes.
- Combien de fois 3 correspond à 6? En d'autres termes, combien de fois dois-je ajouter 3 à moi-même pour obtenir 6? Cela revient à résoudre cette équation: 3 × x = 6.
- Quel nombre correspond à 6 exactement trois fois? En d'autres termes, quel nombre puis-je m'additionner trois fois pour obtenir 6? Cela revient à résoudre cette équation: x × 3 = 6.
Dans les deux cas, la réponse sera 2, car ces formulations n'ont pas d'importance si nous parlons de nombres finis. Mais nous savons déjà qu'avec l'infini ce n'est pas si simple. Par exemple, ajouter 3 un nombre infini de fois n'est pas la même chose que d'ajouter trois fois à l'
infini . Autrement dit, 3 × ω ≠ ω × 3.
Posons-nous la question: "Combien de fois dois-je ajouter 3 à moi-même pour obtenir ω?" Réponse: ω. Imaginez que vous redeveniez une personne qui distribue des billets détachables dans une file d'attente. Les gens viennent en groupes de 3 personnes. Combien de groupes de 3 personnes devraient venir pour terminer votre paquet de billets sans fin? Réponse: ω. Vous continuerez simplement à émettre 3 billets à chaque groupe.
Si nous regardons en revanche: "Quel nombre puis-je m'additionner 3 fois pour obtenir ω?", Alors dans ce cas il n'y a pas de réponse possible. Si vous additionnez 3 nombres finis ensemble, la réponse sera toujours finie. Si vous additionnez 3 nombres infinis, chacun d'eux sera au moins égal à ω (car ω est le plus petit infini), et ensemble, ils seront encore plus grands, c'est comme "l'infini et un jour de plus". Nous pouvons à nouveau considérer cela avec l'exemple des billets détachables. Si un bus infiniment plein arrive, vous dépenserez tout son paquet de billets détachables (au moins) pour ses passagers. Si après cela vient un autre bus infiniment plein, vous serez obligé de prendre un pack avec des billets d'une couleur différente.
Ces deux questions étaient des tentatives de «diviser l'infini en 3», mais elles nous ont donné des réponses différentes. Cela prouve que la division, tout comme la multiplication, n'est pas la meilleure solution quand il s'agit de l'infini, même si c'est juste une division par un petit nombre fini. Si à la place nous essayons de diviser quelque chose en infini, alors tout deviendra encore pire. Supposons que nous voulions faire ce qui suit:
. Ensuite, nous aurons deux options. Premièrement: combien de fois devons-nous nous ajouter ω pour obtenir 1? C'est évidemment impossible, car ω est trop. La deuxième option: quel nombre pouvons-nous nous ajouter ω le nombre de fois pour obtenir 1? Et encore une fois, ce sera absolument impossible.
Malgré tout ce qui précède, il semble vraiment que 1 divisé par l'infini devrait être égal à 0. Cette affirmation peut-elle être une réponse raisonnable aux questions posées ci-dessus? Si nous ajoutons ω à nous-mêmes 0 fois, nous n'obtenons rien, donc cela ne sert à rien. Ce sera comme avec 0 bus infiniment pleins, pour eux, vous n'avez pas du tout besoin de billets détachables. Quant à la deuxième question: «Pouvons-nous nous ajouter 0 fois ω pour obtenir 1?», Alors tout sera comme dans le cas de 0 personnes qui font la queue un nombre infini de fois. Vous n'aurez plus besoin de billets détachables pour eux.
Ici, nous pourrions abandonner et dire: «D'accord, alors
"Ce n'est pas zéro." Ou essayez d'agir comme des mathématiciens et dites: "Tout cela semble vraiment raisonnable, peut-être pouvons-nous lui donner une autre signification mathématique si notre raisonnement n'est pas basé sur des ensembles infinis?" L'une des tâches des mathématiques est de prendre ce qui semble intuitivement vrai et de lui donner une explication logique précise. Il ne faut pas abandonner si facilement!
Le revers de l'infini
Peut-être que maintenant vous vous posez la question de savoir pourquoi nous ne pouvons pas simplement proposer quelque chose d'infiniment petit et non égal à 0, car avant j'ai dit que nous pouvons créer des choses abstraites simplement en y pensant. Les mathématiciens ont déjà essayé d'utiliser cette méthode, bien qu'elle semble inutile (comme l'idée même de l'infini, qui semble également inutile jusqu'à ce que vous commenciez à l'étudier suffisamment intensivement). C'est comme le revers de l'infini. L'infini est supérieur à n'importe quel nombre et une valeur infinitésimale est inférieure à n'importe quel nombre. Si vous vous ajoutez l'infini, vous recevrez l'infini, et si vous vous ajoutez une valeur infinitésimale, vous recevrez à nouveau une valeur infinitésimale. Et si vous multipliez l'infini par un montant infinitésimal, vous obtiendrez 1, comme dans l'exemple sur la probabilité de gagner à la loterie.
Une telle approche pose les mêmes problèmes que notre précédent infini «inventé». Ici, il est nécessaire d'agir avec une précision particulière ou plutôt une compétence technique, comme nous l'avons fait auparavant, lorsque nous voulions formuler une définition claire du concept d '«infini», mais comme les problèmes surviennent trop souvent, il sera plus élégant d'essayer de les contourner. Si lors d'une promenade sur votre chemin, vous avez attrapé une grosse flaque d'eau sale, alors vous marchez dessus, en espérant que les chaussures ne seront pas mouillées, ou essayez de la contourner. (Bien sûr, certaines personnes, en particulier les enfants, adorent marcher droit au centre de la flaque d'eau. En mathématiques, cela se produit également.)
Voici comment contourner soigneusement le problème de la division par l'infini. Imaginez que vous devez diviser un gâteau au chocolat en plusieurs personnes. Si vous le divisez en deux, alors tout le monde gagne beaucoup. Si vous divisez par trois, alors tout le monde gagne beaucoup, mais moins que dans le premier cas. S'il s'agit de quatre personnes, elles en recevront encore moins. Plus il y a de monde, moins chacun obtient de gâteau. Si le nombre de personnes devient vraiment énorme, il sera insensé d'essayer de partager un gâteau malheureux pour tout le monde. Avez-vous déjà essayé de diviser un gâteau en cent personnes? (Les gâteaux de mariage se composent généralement de plusieurs niveaux, qui sont essentiellement des gâteaux séparés.) Qu'en est-il de mille personnes? Et un million? À un moment donné, quand il y aura trop de gens, tout le monde obtiendra un si petit morceau que ce sera pratiquement un montant insignifiant, c'est-à-dire presque rien.
Si nous avons un million de personnes et un seul gâteau, alors techniquement chacun aura son propre morceau - probablement, ce seront des milliards de milliards de molécules de gâteau. Mais extérieurement, la quantité de gâteau sera presque égale à 0, et avec une augmentation du nombre de personnes, elle tendra de plus en plus vers 0. Nous avons donc donné un sens mathématique à l'idée que la division par l'infini donne 0. En fait, nous ne divisons jamais par l'infini (donc qu'il n'y a pas de bon sens). Revenons à l'exemple que nous avons mentionné au chapitre 11 lorsque quelque chose tend vers l'infini. Nous avons essayé de diviser par ce qui tend vers l'infini, et avons constaté que la réponse tendra également à 0. Peut-être que certains sages vont maintenant apporter un microscope et dire qu'ils voient toujours une certaine quantité de gâteau sur une assiette. Mais nous pouvons toujours le partager un peu plus, et le gâteau ne sera plus visible. Cela ne signifie pas que 1, divisé par l'infini, est égal à 0, mais ces arguments ont donné à nos suppositions intuitives une explication mathématique, et ce fut le début de toute l'analyse mathématique moderne.
Paradoxes de Zeno
L'analyse mathématique a ses racines dans les temps anciens. Il y a plus de 2,5 mille ans, le philosophe grec Zenon a posé la question de savoir comment quelque chose peut consister en un nombre infini de parties infinitésimales. Tout comme Hilbert des milliers d'années plus tard, Zeno a étudié les paradoxes prouvant qu'un nombre infini d'objets doit être manipulé très soigneusement.
Un des paradoxes de Zeno est similaire à la pensée d'un enfant à propos d'un gâteau au chocolat: si je mange la moitié de ce qui reste, puis la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite, alors je ne mangerai que la moitié de ce qui reste et Est-ce que le gâteau deviendra sans fin?
Zénon formule ce paradoxe comme suit: si vous voulez aller d'un point A à un point B, vous devez d'abord surmonter la moitié de la distance. Ensuite, vous devez parcourir la moitié de la distance restante. Après quoi, vous devrez parcourir la moitié de la nouvelle distance restante, etc. Vous parcourez constamment seulement la moitié de la distance restante.
Après chaque étape, il y a toujours la moitié de la distance, et vous ne pouvez toujours parcourir que la moitié de ce qui reste. Est-ce à dire que vous n'irez jamais à l'endroit?
Les mathématiciens aiment beaucoup créer de nouveaux concepts à partir d'anciens qui ont déjà été étudiés. Revenons également à l'infinité déjà passée des nombres naturels. Nous avons dit que nous devions franchir la moitié de la distance, puis un quart, puis un huitième, un seizième, et ainsi de suite «sans fin». Comme nous le savons déjà, les nombres naturels continuent sans fin. Supposons que nous devions marcher un mile. Ensuite, nous pouvons distinguer les étapes suivantes du chemin:
Nous avons un nombre infini de n, ce qui signifie que nous aurons un nombre infini d'étapes dans le chemin. Nous ne pouvons pas spécifier la longueur de chaque étape, mais nous pouvons l'écrire sous une forme générale: pour cela nous avons appliqué une formule avec la variable n. Mais si nous ne pouvons pas enregistrer la durée de chaque étape, pouvons-nous terminer chacune d'elles? La réponse devrait être: oui, car terminer le chemin est tout à fait normal pour chacun de nous. Habituellement, nous terminons nos chemins, même les plus courts, et nous le faisons tous les jours. (Je ne quitte pas ma maison tous les jours, mais parfois j'arrive à aller au réfrigérateur plusieurs fois en une heure.)
Dans un paradoxe similaire, également formulé par Zeno, nous parlons d'Achille et de la tortue, qui courent du point A au point B.La tortue est autorisée à commencer à se déplacer en premier, disons au point A1, mais elle se déplace très lentement, car c'est une tortue! Et Achille doit d'abord courir à l'endroit du départ de la tortue. Pendant ce temps, la tortue va un peu plus loin, par exemple, jusqu'au point A2. Achille doit maintenant arriver à ce point; pendant qu'il le fait, la tortue passe un peu plus, par exemple, au point A3. Maintenant, Achille devrait déjà atteindre A3, et pendant ce temps, la tortue rampe jusqu'au point A4. A chaque fois qu'Achille arrive à l'endroit où se trouvait la tortue au moment de la dernière vérification de l'état de la course, la tortue va un peu plus loin. Est-ce à dire que la tortue va gagner la course?
Ces deux paradoxes reposent sur des preuves tout à fait logiques qui conduisent à une conclusion absurde. Habituellement, nous sommes tout à fait capables d'atteindre notre destination. Et il est évident que si Usain Bolt court une course avec une tortue, il gagnera la course. La signification de ces paradoxes n'est pas de détecter des erreurs dans notre réalité, mais de détecter des erreurs dans la logique de nos arguments.
Ce paradoxe diffère du paradoxe de l'hôtel Hilbert qui, bien qu'il puisse être rempli, est toujours en mesure d'accueillir les nouveaux arrivants. Dans ce document, la conclusion semble absurde, car nos idées intuitives sur les hôtels sans fin ne sont pas entièrement correctes.
Des paradoxes tels que le paradoxe de l'hôtel Hilbert sont appelés vrais paradoxes; des arguments forts en eux mènent à une conclusion qui semble contradictoire, mais en fait ce n'est pas le cas. , , , , , .
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