Pourquoi le théorème d'incomplétude de Gödel est difficile à prouver: la question est dans les formulations, et pas seulement dans l'essence

En gros, le théorème d'incomplétude de Gödel déclare qu'il existe de véritables énoncés mathématiques qui ne peuvent pas être prouvés. Quand j'étais en 11e année, nous avons tous les trois ensemble avec le professeur de géométrie M. Olsen et mon amie Uma Roy passé cinq semaines à lire l'épreuve originale de Gödel. Pourquoi si longtemps? En partie parce que nous étions encore des écoliers. En partie parce que Gödel, 24 ans, n'était pas l'écrivain le plus talentueux. Mais principalement parce que les preuves sont en fait assez difficiles.

Cela peut sembler surprenant, car toutes les preuves peuvent en fait être regroupées en un seul paragraphe. Gödel commence par construire un énoncé mathématique essentiellement équivalent à une phrase,

Cette affirmation ne peut être prouvée.

Godel réfléchit ensuite à ce qui se passera si cette affirmation est fausse. Autrement dit, si cette déclaration peut être prouvée. Mais toute déclaration qui peut être prouvée doit être vraie - c'est une contradiction. De cela, Gödel conclut que la déclaration doit être vraie. Mais, puisque la déclaration est vraie, il en résulte que la déclaration ne peut pas être prouvée. Veuillez noter que cette déclaration finale n'est pas une contradiction. Au contraire, c'est la preuve du théorème de Gödel.

Alors pourquoi les preuves réelles sont-elles si compliquées? L'astuce est que ce qui peut ressembler à une déclaration mathématique valide en anglais ne l'est souvent pas (surtout quand une phrase se réfère à elle-même). Considérez, par exemple, la phrase suivante:

Cette phrase est fausse.

Une phrase n'a pas de sens: elle ne peut pas être fausse (car elle la rendrait vraie) et elle ne peut pas être vraie (car elle la rendrait fausse). Et cela, bien sûr, ne peut pas être écrit sous la forme d'une déclaration mathématique formelle.

Voici un autre exemple (connu sous le nom de paradoxe Berry):

Définissez {x} comme le plus petit entier positif qui ne peut pas être décrit en moins de 100 mots.

Cela peut ressembler à une définition mathématique valide. Mais là encore, cela n'a aucun sens. Et, ce qui est important pour la santé mentale des mathématiques, aucune déclaration similaire ne peut être écrite formellement, c'est-à-dire mathématiquement.

Même les énoncés dans le langage des mathématiques peuvent être dénués de sens:

$$

$$S = \ {A \ mid A \ not \ in A \}$$

(c.-à-d. $$$S$Est-ce que beaucoup d'ensembles $$$A$qui ne sont pas des éléments d’eux-mêmes).

Il s'agit là encore d'une définition dénuée de sens (connue sous le nom de paradoxe de Russell). En particulier, une fois que nous avons identifié $$$S$on peut se demander si $$$S$toi? Si oui, alors $$$S$ne peut pas être membre $$$S$- une contradiction; et sinon, alors $$$S$sera membre $$$S$- encore une contradiction.

La signification de ces trois exemples est que si vous voulez prouver des théorèmes sur des énoncés mathématiques, vous devez faire très attention au fait que vous utilisez réellement des énoncés mathématiques. En effet, de 46 définitions au début à des preuves étonnamment solides à la fin, l'article original de Gödel n'est rien de plus qu'un exercice massif de prudence.