✊ 🏦 💷 Opérations sur les nombres complexes 🏑 💓 🖍️

Bonjour% username%!
J'ai reçu pas mal de critiques sur la première partie et j'ai essayé de toutes les prendre en compte.
Dans la première partie, j'ai écrit sur l'addition, la soustraction, la multiplication et la division de nombres complexes.
Si vous ne le savez pas, dépêchez-vous et lisez la première partie :-)
L'article est cadré, il y a très peu d'histoires ici, surtout des formules.
Bonne lecture!

Passons donc à des opérations plus intéressantes et légèrement plus complexes.
Je vais parler de la forme exponentielle du nombre complexe,
exponentiation, racine carrée, module, et aussi sur le sinus et
cosinus d'un argument complexe.
Je pense que cela vaut la peine de commencer avec un module numérique complexe.
Le nombre complexe peut être représenté sur l'axe des coordonnées.
Les nombres réels seront situés le long de x et les nombres imaginaires le long de y.
C'est ce qu'on appelle le plan complexe. Tout nombre complexe, par exemple

z = 6 + 8 i

$z = 6 + 8i$

peut évidemment être représenté comme un vecteur de rayon:

La formule de calcul du module ressemblera à ceci:

r = | z | = s q r t (x^{2} + y^{2})

$r = | z | = \ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)$

Il s'avère que le module du nombre complexe z sera égal à 10.
Dans la dernière partie, j'ai parlé de deux formes d'écriture de nombres complexes:
algébrique et géométrique. Il existe également une forme indicative d'entrée:

z = r e^{i p h i}

$z = r \: e ^ {i \ phi}$

Ici r est le module d'un nombre complexe,
et φ est arctg (y / x) si x> 0
Si x <0, y> 0 alors

φ = a r c t a n (y / x) + p i

$φ = arctan (y / x) + \ pi$

Si x <0, y <0 alors

φ = a r c t a n (y / x) - p i

$φ = arctan (y / x) - \ pi$

Il existe une merveilleuse formule Moiré qui vous permet de construire un nombre complexe en
un degré entier. Il a été découvert par le mathématicien français Abrach de Moire en 1707.
Cela ressemble à ceci:

z^{n} = r^{n} {(c o s (p h i) + i * s i n (p h i))}^{n}

$z ^ n = r ^ n {(cos (\ phi) + i * sin (\ phi))} ^ n$

Par conséquent, nous pouvons élever le nombre z à la puissance a:

z . x = | z |^{a} * c o s (a * a r c t g (y / x))

$z.x = | z | ^ a * cos (a * arctg (y / x))$

z . y = | z |^{a} * s i n (a * a r c t g (y / x))

$z.y = | z | ^ a * sin (a * arctg (y / x))$

Si votre nombre complexe est écrit sous forme exponentielle, alors
vous pouvez utiliser la formule:

z^{k} = r^{k} e^{i k p h i}

$z ^ k = r ^ ke ^ {ik \ phi}$

Maintenant, sachant comment le module du nombre complexe et la formule de Moire sont trouvés, nous pouvons trouver
n racine du nombre complexe:

s q r t [n] z = s q r t [n] r c o s f r a c p h i + 2 p i k n + i * s i n f r a c p h i + 2 p i k n

$\ sqrt [n] {z} = \ sqrt [n] {r} \; cos {\ frac {\ phi + 2 \ pi k} {n}} + i * sin {\ frac {\ phi + 2 \ pi k} {n}}$

Voici k des nombres de 0 à n-1
De cela, nous pouvons conclure qu'il existe exactement n racines distinctes du nième
degrés d'un nombre complexe.
Passons au sinus et au cosinus.
La célèbre formule d'Euler nous aidera à les calculer:

e^{i x} = c o s (x) + i * s i n (x)

$e ^ {ix} = cos ({x}) + i * sin ({x})$

Soit dit en passant, il y a toujours l'identité d'Euler, qui est un particulier
le cas de la formule d'Euler pour x = π:

e^{i π} + 1 = 0

$e ^ {iπ} + 1 = 0$

Nous obtenons les formules de calcul du sinus et du cosinus:

s i n z = f r a c e^{i x} - e^{- i x} 2 i

$sin \: z = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {{2i}}$

c o s z = f r a c e^{i x} + e^{- i x} 2

$cos \: z = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {{2}}$

À la fin de l'article, on ne peut que mentionner l'application pratique de la
chiffres pour qu'il ne soit pas question

ces nombres complexes ont-ils abandonné?
Réponse: dans certains domaines de la science, il n'y a aucun moyen sans eux.
En physique, en mécanique quantique, il existe une fonction d'onde, qui est en soi une valeur complexe.
En génie électrique, les nombres complexes se sont révélés être un remplacement pratique pour les diffuras qui surviennent inévitablement lors de la résolution de problèmes avec les circuits CA linéaires.
Le théorème de Joukovski (portance des ailes) utilise également des nombres complexes.
Et aussi en biologie, médecine, économie et bien d'autres encore.
J'espère que maintenant vous pouvez gérer des nombres complexes et vous pouvez
les mettre en pratique.
Si quelque chose dans l'article n'est pas clair - écrivez dans les commentaires, je répondrai.

Opérations sur les nombres complexes

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