Supprimons les quaternions de tous les moteurs 3D

Les programmeurs graphiques utilisent des quaternions pour enregistrer des virages en trois dimensions. Cependant, les quaternions sont difficiles à comprendre car ils sont étudiés superficiellement . Nous prenons simplement d'étranges tables de multiplication et d'autres définitions cryptiques sur la foi, et les utilisons comme des «boîtes noires» qui font tourner les vecteurs selon nos besoins. Pourquoi $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ et $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ ? Pourquoi prenons-nous un vecteur et le transformons-nous en un vecteur "imaginaire" pour le transformer, par exemple $$$\ mathbf {q} (x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}) \ mathbf {q} ^ {*}$ ? Mais peu importe si tout fonctionne, non?

Il existe un moyen de décrire les rotations appelées rotor , qui fait référence au domaine des nombres complexes (en 2D) et des quaternions (en 3D), et se généralise même à n'importe quel nombre de dimensions.

Nous pouvons créer des rotors presque entièrement à partir de zéro , au lieu de définir des quaternions à partir de rien et d'essayer d'expliquer comment ils fonctionnent rétroactivement . Cela prend plus de temps, mais cela me semble utile, car ils sont beaucoup plus faciles à comprendre!

De plus, pour la visualisation et la compréhension des rotors tridimensionnels, il n'est pas nécessaire d'utiliser la quatrième dimension spatiale.

Ce serait formidable s'ils commençaient à supplanter l'utilisation et l'étude des quaternions, en les remplaçant par des rotors. Les remplacer est très simple, mais le code restera presque le même . Tout ce qui peut être fait avec des quaternions, par exemple l'interpolation et la suppression des verrous d'essieu (serrure à cardan), peut être fait avec des rotors. Mais nous commençons à comprendre beaucoup plus.

(Dans l'article d'origine, tous les graphiques sont interactifs et l'article est suivi d'une vidéo. En cliquant sur les boutons de lecture, vous pouvez démarrer la section correspondante de la vidéo. Vous pouvez également cliquer sur le bouton de transition sous la vidéo pour accéder à la section correspondante de l'article. Vous pouvez agrandir la fenêtre pour qu'il y ait plus d'espace pour la vidéo. ou définissez-en une taille constante.)

1. Avions tournants

1.1. Les virages sont effectués sur des plans bidimensionnels.

Dans l'espace tridimensionnel, nous percevons généralement les virages comme se produisant autour des axes, comme une roue tournant sur un axe, mais il serait plutôt plus correct de représenter le plan sur lequel se trouve la roue. Ce plan est perpendiculaire à l'axe.


Cette vieille femme tourne une roue dans l'avion $$$\ mathbf {xz}$ perpendiculaire à l'axe $$$\ mathbf {y}$ .

Cela se produit parce que si nous divisons le vecteur en deux parties, dont l'une se trouve sur le plan ( $$$\ mathbf {v} _ \ parallel$ ), et l'autre est à l'extérieur ( $$$\ mathbf {v} _ \ perp$ ), puis la rotation fait tourner la partie intérieure et l'extérieur reste inchangé.


Rotation dans l'avion $$$yx$ [ dans l'article original cette animation et la caméra peuvent être déplacées ]

Dans l'espace bidimensionnel, il n'y a qu'un seul plan dans lequel la rotation est possible ( il n'y a pas de partie externe ). Par conséquent, supposer que des rotations se produisent autour du troisième axe (perpendiculaire au plan 2D) est strictement incorrect, car pour terminer les rotations, nous ne devons pas ajouter une autre dimension.

Si nous parlons au «propriétaire de terrain plat» bidimensionnel (qui vit à l'intérieur du plan 2D et n'est jamais sorti de l'espace bidimensionnel) de l'axe de rotation perpendiculaire, alors il demanderait: «Dans quelle direction cet axe pointe-t-il? Je ne peux pas l'imaginer! "

1.2. La direction exacte des virages

De plus, quand on pense à la rotation autour d'un axe, le sens de rotation n'est pas défini, et donc il doit être déterminé par une règle (dite "règle de droite").

Cependant, si nous supposons que les virages se produisent à l'intérieur des plans, alors la direction devient claire: rotation dans le plan $$$\ mathbf {xy}$ signifie une rotation qui déplace un vecteur (unité) $$$\ mathbf {x}$ au vecteur (unité) $$$\ mathbf {y}$ à l'intérieur de l'avion, ils forment ensemble. Rotation dans l'avion $$$\ mathbf {yx}$ Est une rotation dans le sens opposé: elle déplace le vecteur $$$\ mathbf {y}$ au vecteur $$$\ mathbf {x}$ .

2. Bivecteurs

2.1. Travail externe

Pour calculer l'axe de rotation lors de la rotation d'un vecteur $$$\ mathbf {a}$ vers un autre vecteur $$$\ mathbf {b}$ nous prenons le produit vectoriel de deux vecteurs pour obtenir un vecteur perpendiculaire aux deux. Mais pourquoi devons-nous «quitter» l'avion si la rotation est essentiellement une opération bidimensionnelle?

Au lieu de cela, nous prenons ce qu'on appelle un produit externe (également connu sous le nom de produit vectoriel bidimensionnel), deux vecteurs, créant un nouvel élément appelé «bivecteur» (ou 2 vecteurs) $$$\ mathbf {B}$ représentant le plan que deux vecteurs forment ensemble. Si un produit vectoriel crée un vecteur normal au plan, le produit externe crée le plan lui-même . Le calcul de la normale au plan est sans importance.

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

$$$\ mathbf {B}$ peut être représenté comme un parallélogramme construit à partir de vecteurs $$$\ mathbf {a}$ et $$$\ mathbf {b}$ dans le plan qu'ils forment ensemble.

Au début, l'idée d'un bivecteur peut sembler étrange, mais bientôt nous verrons qu'ils sont presque aussi fondamentaux que les vecteurs eux-mêmes . Si le vecteur peut être comparé à une ligne droite, alors le bivecteur est similaire à un avion ... Les propriétés d'un produit externe capturent les propriétés importantes des avions.

2.2. La base des bivecteurs

Les bivecteurs, comme les vecteurs, ont des composants. Mais ils sont déterminés sur la base d' avions et non de lignes droites , comme des vecteurs.

Trois plans basaux orthogonaux sont $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ et $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ comme nous le voyons sur la figure.

Mais d'abord, regardons un cas bidimensionnel plus simple ...

2.3. Bivecteurs bidimensionnels

En 2D, il n'y a qu'un seul plan, à savoir $$$\ mathbf {xy}$ . C'est-à-dire qu'un bivecteur bidimensionnel n'a qu'un seul composant. Pour un bivecteur composé de vecteurs $$$\ mathbf {a}$ et $$$\ mathbf {b}$ est le nombre $$$B_ {xy}$ égale à l'aire (avec un signe) du parallélogramme formée par deux vecteurs.

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = B_ {xy} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y})$$

Dans l'article original avec un bivecteur 2D, vous pouvez expérimenter sur le graphique interactif en changeant les vecteurs (simples) qui le composent:


Vous pouvez voir que lorsque l'angle entre les vecteurs change, la zone du parallélogramme change (conformément au sinus de l'angle).

Si les vecteurs sont identiques ou parallèles, alors ils ne forment pas un plan régulier et le résultat sera nul. Cette propriété simple définit ce qu'est un bivecteur:

$$

$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {a} = 0$$

En regardant la somme de deux vecteurs, vous pouvez voir que la propriété suit:

$$

$$\ begin {eqnarray} (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) \ wedge (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) & = & 0 \\ \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf { a} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \\ \ mathbf { b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \ end {eqnarray}$$

Par conséquent:

$$

$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a}$$

Tout comme le sens de rotation , l'ordre des arguments dans le travail externe est important. La réorganisation des arguments modifie le signe du résultat (c'est ce qu'on appelle "l'antisymétrie").

Sur le graphique, le signe est indiqué par une couleur qui passe du bleu au vert. Le signe change lorsque le tour de $$$\ mathbf {a}$ dans $$$\ mathbf {b}$ se déplace du sens horaire au sens antihoraire (c'est-à-dire s'il correspond à la direction $$$\ mathbf {x}$ à $$$\ mathbf {y}$ ) ou direction (de $$$\ mathbf {y}$ à $$$\ mathbf {x}$ )).

Vous pouvez voir que les propriétés du produit externe sont disposées de manière à transmettre les propriétés des plans et des virages.

2.4. Bivecteurs bidimensionnels de vecteurs non unitaires

De toute évidence, les vecteurs n'ont pas à être de longueur unitaire, et cette restriction a été supprimée sur ce graphique:


L'aire du parallélogramme avec un signe est proportionnelle aux longueurs des deux vecteurs: $$$B_ {xy} = sin (\ alpha) \ | a \ | \ | b \ |$ où $$$\ alpha$ L'angle entre $$$\ mathbf {a}$ et $$$\ mathbf {b}$ . C'est, par exemple, lorsque vous doublez la longueur d'un vecteur, la zone double.

Nous pouvons obtenir la vraie valeur en substituant les vecteurs comme composants:

$$

$$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & (a_x \ mathbf {x} + a_y \ mathbf {y}) \ wedge (b_x \ mathbf {x} + b_y \ mathbf { y}) \\ & = & a_x b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x}) + a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) + a_y b_y (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x ( \ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) - a_y b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} ) \\ & = & (a_x b_y - a_y b_x) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \ end {eqnarray}$$

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

2.5. Bivecteurs 3D

Identique aux coordonnées vectorielles $$$\ mathbf {v}$ peuvent être considérées comme des projections du vecteur sur trois axes de base orthogonaux ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {z}$ ), les coordonnées du bivecteur $$$\ mathbf {B}$ peut être considérée comme des projections plus petites qu'un plan sur trois plans basaux orthogonaux.

Les projections du vecteur sont les longueurs de ce vecteur le long de chaque vecteur de base, et les projections du bivecteur sont les zones du plan sur chaque plan de base.

Pour le vecteur:

$$

$$\ mathbf {v} = \ bbox [5px, bordure inférieure: 2px rouge continu] {v_x} \ mathbf {x} + \ bbox [5px, bordure inférieure: 2px vert uni] {v_y} \ mathbf {y} + \ bbox [5 pixels, bord inférieur: 2 pixels bleu fixe] {v_z} \ mathbf {z}$$

Pour bivecteur:

$$

$$\ mathbf {B} = \ bbox [5px, border-bottom: 2px corail solide] {B_ {xy}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + \ bbox [5px, border-bottom: 2px or massif] {B_ {xz}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) + \ bbox [5px, bordure inférieure: 2px solid DarkViolet] {B_ {yz}} (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z})$$

O Where $$$B_ {xy}$ , $$$B_ {xz}$ , $$$B_ {yz}$ Sont juste des nombres comme $$$v_x$ , $$$v_y$ , $$$v_z$ (ils sont soulignés par les couleurs correspondant aux couleurs du graphique).

Les composants d'un bivecteur 3D ne sont que trois projections 2D d'un bivecteur sur un plan 2D de base.

En utilisant la même méthode que précédemment, nous constatons que les vraies valeurs des composants ressemblent beaucoup au composant XY du cas bidimensionnel, mais appliquées aux trois plans:

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

$$

$$B_ {xz} = a_x b_z - b_x a_z$$

$$

$$B_ {yz} = a_y b_z - b_y a_z$$

Vous pouvez expérimenter avec un bivecteur 3D sur un graphique interactif dans l'article d'origine:



Si nous divisons le bivecteur par sa norme, alors nous réduisons les deux longueurs des vecteurs et la valeur (absolue) du sinus de l'angle, c'est-à-dire que nous aurons le bivecteur $$$\ hat {\ mathbf {B}}$ , qui sera construit comme si les deux vecteurs étaient initialement perpendiculaires et avaient une longueur unitaire. Il s'agit d'une représentation très nette d'un plan contenant les deux vecteurs. Donc:

$$

$$\ mathbf {B} = | \ mathbf {a} \ | \ | | mathbf {b} \ | \ mid sin (\ alpha) \ mid \ hat {\ mathbf {B}}$$

Est-ce que quelque chose vous rappelle un travail extérieur? En 3D, la définition d'une œuvre externe est très similaire à la définition d'une œuvre vectorielle. En fait, un vecteur en 3D obtenu à partir d'un produit vectoriel (par exemple, un vecteur normal) aura trois composantes égales aux composantes du bivecteur (les nombres seront les mêmes, mais la base est différente).

$$$$ afficher $$ \ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & & + & (a_x b_z - b_x a_z) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) \\ & & + & (a_y b_z - b_y a_z) (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z} ) \\ \\ \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) \ \ mathbf {z} \\ & & - & (a_x b_z - b_x a_z) \ \ mathbf {y} \\ & & + & (a_y b_z - b_y a_z) \ \ mathbf {x} \ end {eqnarray} $$ display $$

La définition d'un bivecteur a une signification géométrique et n'apparaît pas de nulle part. Je me souviens que lorsque j'étudiais les produits vectoriels, je me disais: «Mais qu'est-ce que ça renvoie un vecteur dont la longueur est égale à l'aire du parallélogramme formé par ces deux vecteurs? Cela semble tellement aléatoire. Et pourquoi pouvons-nous transformer la zone du parallélogramme en longueur du vecteur? »

2.6. Sémantique des vecteurs et bivecteurs

En 3D, le bivecteur a trois coordonnées, une par plan: ( $$$\ mathbf {xy}$ , $$$\ mathbf {xz}$ et $$$\ mathbf {yz}$ ) Les vecteurs ont également trois coordonnées, une par axe ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ et $$$\ mathbf {z}$ ) Chaque plan est perpendiculaire à un axe. Cette coïncidence n'apparaît qu'en trois dimensions (*) et c'est pourquoi nous confondons constamment bivecteurs et vecteurs .


En programmation, ils ont tous deux la même disposition de mémoire, mais des opérations différentes. L'utilisation d'un vecteur 3D au lieu d'un bivecteur 3D est similaire à une «conversion de type» d'un bivecteur.

Voici un exemple: vous pouvez voir que les vecteurs normaux sont transformés différemment des vecteurs ordinaires en utilisant la matrice de «transfert inverse» $$$(\ mathbf {M} ^ {T}) ^ {- 1}$ , au lieu de la matrice elle-même. En effet, ce ne sont en fait pas des vecteurs, mais des bivecteurs, qui sont transformés en vecteurs par "conversion de type". En physique, il existe un hack appelé «vecteur axial», qui a été introduit afin de distinguer les vecteurs obtenus par le produit vectoriel des vecteurs ordinaires. Un bivecteur est un véritable «type» d'objet et doit être perçu et traité en conséquence.

3. Le produit géométrique

3.1. Multiplication des vecteurs les uns sur les autres

Produit géométrique $$$\ mathbf {a b}$ (notée sans symbole) est une autre opération qui peut être effectuée avec des vecteurs. Le produit géométrique est défini de sorte que les vecteurs soient des quantités inverses (par ex. $$$\ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {- 1} = 1$ , où 1 est juste le nombre 1!) et ont des propriétés pratiques, par exemple, l'associativité ( $$$\ mathbf {a} (\ mathbf {b} \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ mathbf {b}) \ mathbf {c}$ ) Le but de ceci est de pouvoir multiplier les vecteurs pour que (comme c'est le cas avec les matrices) la multiplication corresponde aux opérations géométriques.


Pour définir un produit, on note d'abord qu'il est possible de diviser un produit (ou n'importe quelle fonction qui prend deux arguments) en la somme de la partie qui ne change pas si on échange les arguments et la partie qui change comme suit:

$$

$$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ mathbf {b} & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \\ & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf { b} \ mathbf {a}) + \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \ end {eqnarray}$$

Le premier terme ne dépend plus de l'ordre des arguments $$$\ mathbf {a}$ et $$$\ mathbf {b}$ (on l'appelle la partie "symétrique"), et le second terme change de signe lors du changement de place des arguments (on l'appelle la partie "antisymétrique").

Le produit scalaire de deux vecteurs (également appelé produit interne) est symétrique et est une mesure de distance ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2$ ), donc, d'un point de vue géométrique, il semble utile de le rendre égal à la partie symétrique:

$$

$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$$

De même, le produit extérieur de deux vecteurs est antisymétrique, il serait donc utile de l'assimiler à la partie antisymétrique:

$$

$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

De plus, le produit scalaire contient le cosinus de l' angle entre deux vecteurs ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | cos (\ alpha)$ ), tandis que le produit externe contient le sinus de l' angle. Ensemble, ils décrivent pleinement l'angle entre les vecteurs, ainsi que le plan qu'ils forment.


Autrement dit, le produit géométrique est égal à:

$$

$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

C'est étrange car multiplier deux vecteurs donne la somme de deux choses différentes: un scalaire et un bivecteur. Cependant, cela est similaire à la façon dont un nombre complexe est la somme d'un nombre scalaire et d'un nombre "imaginaire", vous pouvez donc déjà vous y habituer. Ici, la partie bivector correspond à la partie "imaginaire" du nombre complexe. Seulement ce n'est pas une valeur "imaginaire", c'est juste un bivecteur que l'on peut vraiment montrer graphiquement!

En fait, en multipliant deux vecteurs, nous calculons leurs propriétés utiles («la longueur de leurs projections l'une sur l'autre» / «cosinus de l'angle» ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$ ) et «le plan qu'ils forment ensemble» / «le sinus de l'angle» ( $$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ )), que nous connectons ensemble avec un signe plus. Un produit géométrique donne également des opérations de «groupes de propriétés» qui peuvent leur être appliquées, et ces opérations ont des interprétations géométriques (par exemple: rotation et réflexion de vecteurs). Nous le verrons bientôt.

Vous pouvez exprimer le produit géométrique en termes de sinus et cosinus: $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | (cos (\ alpha) + sin (\ alpha) \ mathbf {B})$ où $$$\ mathbf {B}$ Est un bivecteur des deux vecteurs sur le plan, composé de deux vecteurs perpendiculaires unitaires.

3.2. Table de multiplication

Le tableau de multiplication nous permet de rendre le produit plus spécifique: voyons ce qui se passe si on obtient les produits des vecteurs de base ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {z}$ )

Pour tout vecteur de base, par exemple un axe $$$\ mathbf {x}$ , le résultat sera égal $$$1$ :

$$

$$\ mathbf {x} \ mathbf {x} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x} = 1$$

Pour toute paire de vecteurs de base, par exemple, les axes $$$\ mathbf {x}$ et $$$\ mathbf {y}$ , le résultat sera un bivecteur qui, ensemble, ils forment:

$$

$$\ mathbf {x} \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$$

(c'est-à-dire que nous pouvons nommer $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ juste $$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$ , car c'est la même chose!)

Cela nous donne le tableau suivant:

$$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$		$$$\ mathbf {b}$
		$$$\ mathbf {x}$	$$$\ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {z}$
$$$\ mathbf {a}$	$$$\ mathbf {x}$	$$$1$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {y}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$1$	$$$\ mathbf {y} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {y} \ mathbf {z}$	$$$1$

En fait, ce tableau est trivial, comparé, par exemple, au tableau des quaternions.

3.3. Formule de réflexion (aspect traditionnel)

Réflexion sur un vecteur [dans l'article d'origine, chaque vecteur peut être déplacé]

Si nous avons un vecteur unitaire $$$\ mathbf {a}$ et vecteur $$$\ mathbf {v}$ nous pouvons réfléchir $$$\ mathbf {v}$ à travers un plan perpendiculaire $$$\ mathbf {a}$ .

Cela se fait de la manière habituelle: nous partageons $$$\ mathbf {v}$ sur la partie perpendiculaire au plan: $$$\ mathbf {v} _ \ perp = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ , et la partie parallèle au plan: $$$\ mathbf {v} _ \ parallel = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ \ perp = \ mathbf {v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ .

Ensuite, afin de refléter le vecteur, nous inversons la partie perpendiculaire et laissons la partie parallèle inchangée:

$$

$$\ begin {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} _ \ parallel - \ mathbf {v} _ \ perp \\ & = & (\ mathbf { v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) - ((\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) \\ & = & \ mathbf {v} - 2 (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

3.4. Formule de réflexion (vue pour produit géométrique)

A ce stade, nous pouvons remplacer le produit scalaire $$$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}$ sur sa version sous forme de produit géométrique $$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ mathbf {v})$ et obtenez les éléments suivants:

$$

$$\ begin {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} - 2 (\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a } + \ mathbf {a} \ mathbf {v})) \ mathbf {a} \\ & = & \ mathbf {v} - \ mathbf {v} \ mathbf {a} ^ 2 - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \\ & = & - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

( $$$\ mathbf {a} ^ 2 = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = 1$ depuis $$$\ mathbf {a}$ est un vecteur unitaire)

Cela nous donne exactement la même chose, mais dans une entrée différente. Utiliser un enregistrement sous la forme d'un produit simple au lieu d'une formule pour encoder une opération aussi fondamentale que la réflexion sera très utile!

3.5. Deux réflexions se tournent: la situation en 2D

Il s'avère que si nous appliquons à $$$\ mathbf {v}$ deux réflexions consécutives (d'abord avec un vecteur $$$\ mathbf {a}$ puis avec le vecteur $$$\ mathbf {b}$ ), on obtient alors une rotation à deux fois l'angle entre les vecteurs $$$\ mathbf {a}$ et $$$\ mathbf {b}$ .

Nous pouvons montrer chaque étape ultérieure de réflexion dans le graphique ci-dessous:


Vous pouvez également modifier les vecteurs dans l'article d'origine. $$$\ mathbf {a}$ , $$$\ mathbf {b}$ et $$$\ mathbf {v}$ , mais la configuration initiale des vecteurs sur le graphique (cliquez sur le bouton «Réinitialiser les positions des vecteurs») montre particulièrement clairement pourquoi la rotation en conséquence se produit sous un double angle. Une autre bonne configuration est de définir $$$\ mathbf {a}$ et $$$\ mathbf {b}$ axes $$$\ mathbf {x}$ et $$$\ mathbf {y}$ .

3.6. Deux réflexions c'est un tour: la situation en 3D

Dans le cas du vecteur 3D $$$\ mathbf {v}$ peut être divisé en deux parties, dont l'une se trouve dans le plan donné $$$\ mathbf {a}$ et $$$\ mathbf {b}$ , et l'autre se situe en dehors du plan (perpendiculaire à celui-ci). Comme le montre le graphique ci-dessous, lorsque le vecteur est réfléchi par chacun des plans, sa partie extérieure reste la même. Quant à l'intérieur, on est de retour en 2D, et ça tourne juste deux fois l'angle!

3.7. Rotors

Du point de vue du produit géométrique, deux réflexions correspondent simplement à ce qui suit:

$$

$$R _ {\ mathbf {b}} (R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v})) = - \ mathbf {b} (- \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} ) \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ mathbf {a} \: \ mathbf {v} \: \ mathbf {a} \ mathbf {b}$$

Nous appelons $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ rotor parce que la multiplication par $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ des deux côtés du vecteur, nous effectuons une rotation ( $$$\ mathbf {b} \ mathbf {a}$ Est le même que $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ , uniquement dans le bivecteur partiel inversé).

Application du rotor $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ des deux côtés du vecteur tourne ce vecteur dans le plan des vecteurs $$$\ mathbf {a}$ et $$$\ mathbf {b}$ deux fois l'angle entre $$$\ mathbf {a}$ et $$$\ mathbf {b}$ .

Et c'est tout!

Comparaison des rotors et quaternions 3D

Vous pouvez voir que les rotors 3D ressemblent beaucoup à des quaternions:

$$

$$a + B_ {xy} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} + B_ {xz} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z} + B_ {yz} \ \ mathbf {y} \ coin \ mathbf {z}$$

$$

$$a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}$$

En fait, le code / math est à peu près le même! La principale différence est que $$$\ mathbf {i}$ , $$$\ mathbf {j}$ et $$$\ mathbf {k}$ remplacé par $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ , $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ et $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ mais ils fonctionnent essentiellement de la même manière. La comparaison de code peut être trouvée ici . Je n'ai pas tout implémenté, par exemple log / exp pour l'interpolation, mais ils sont assez simples à créer.


Cependant, comme nous l'avons vu, les rotors 3D sont un concept en trois dimensions qui ne nécessite pas l'utilisation de «doubles tours en quatre dimensions» ou de «projection stéréographique» pour la visualisation. Essayer de visualiser des quaternions fonctionnant en 4D pour expliquer les rotations 3D, c'est un peu comme essayer de comprendre le mouvement planétaire d'un point de vue géocentrique. C'est-à-dire cette approche est trop compliquée parce que nous la considérons du mauvais point de vue.

Comme nous l'avons vu, la modélisation des rotations comme se produisant à l'intérieur des plans, plutôt qu'autour des vecteurs, nous aide beaucoup. Par exemple, les carrés des bivecteurs de base donnent $$$-1$ , tout comme les quaternions de base ( $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ ):

$$

$$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) ^ 2 = (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - (\ mathbf {y} \ mathbf {x}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - \ mathbf {y} (\ mathbf {x} \ mathbf {x}) \ mathbf {y} = - \ mathbf {y} \ mathbf { y} = -1$$

La multiplication de deux bivecteurs l'un par l'autre donne un troisième bivecteur, mais en fait c'est trivial, et nous n'avons pas besoin de nous rappeler que $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ :

$$

$$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {y} \ mathbf {z}) = \ mathbf {x} (\ mathbf {y} \ mathbf {y}) \ mathbf {z} = \ mathbf {x} \ mathbf {z}$$

(Notez que nous avons utilisé $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ mathbf {y}$ )

Ces propriétés sont le résultat d'un produit géométrique et ne naissent pas de nulle part!

Lecture complémentaire

(Au fait, en algèbre géométrique, il n'y a pas seulement des rotors, mais aussi d'autres choses sympas!)

• Algèbre linéaire et géométrique par Macdonald [ lien vers Amazon ]
  
  Une excellente source, très claire et compréhensible, car il était sous-entendu qu'elle remplacerait le manuel d'algèbre linéaire pour les étudiants.
• Algèbre géométrique pour l'informatique par Dorst et al. [ lien vers Amazon ]
  
  Une excellente source, car la programmation permet parfois de mieux comprendre le sujet.

  Remarque: dans ce livre, les auteurs indiquent clairement que l'algèbre géométrique est plus lente que les quaternions (et similaires ...). En fait, il devrait avoir approximativement le même code (c'est-à-dire que vous ne devriez pas écrire de code pour l'algèbre géométrique, créant une structure généralisée qui peut contenir tous les types possibles de k-vecteurs, écrivez simplement, si nécessaire, une structure pour chaque type de k-vecteurs Autrement dit, pour remplacer les quaternions, vous pouvez écrire une structure Bivector et une structure Rotor, qui est Scalar + Bivector).