Processus houlomoteurs dans les conduites hydrauliques. Les bases

Bonjour, Habr!

Dans un article précédent, j'ai parlé de la méthode des caractéristiques, conçue pour calculer les processus des vagues dans les conduites hydrauliques. En fait, bien sûr, les processus ondulatoires peuvent être calculés dans l'esprit, il vous suffit de connaître l'approche.

Sous la coupe, je montrerai «sur les doigts» et à l'aide de gifs les principaux effets de vague. À titre d'exemple, je vais à nouveau utiliser la ligne hydraulique, mais en fait, ils sont basés sur presque les mêmes équations que pour les lignes acoustiques et électriques. Ainsi, même si vous n'êtes pas hydrauliques, il peut y avoir des analogies simples pour vous aider à comprendre les processus ondulatoires en général.

Attention Sous le chat 15 Mo de gifs animés!

Nous allons donc considérer ici la propagation des ondes planes unidimensionnelles dans une ligne hydraulique. Cette hypothèse est tout à fait vraie pour les longs pipelines, dont la longueur est plusieurs fois supérieure au diamètre intérieur. Par souci de simplicité, nous négligeons également les frottements pour l'instant. Dans ce cas, les processus physiques en cours seront décrits par une paire d'équations différentielles partielles:

$$

$$\ frac {\ partial p} {\ partial t} + \ rho \; c ^ 2 \ frac {\ partial v} {\ partial x} = 0$$

$$

$$\ frac {\ partial v} {\ partial t} + \ frac1 \ rho \ frac {\ displaystyle \ partial p} {\ displaystyle \ partial x} = 0$$

où $$$\ rho$- densité $$$v$- vitesse $$$p$- pression $$$c$- vitesse du son.

Par habitude, l'aspect de ces équations peut faire peur, mais en fait, tout est simple ici. La première équation nous dit que la pression augmentera avec le temps si plus de liquide pénètre dans le segment de tuyau qu'il n'en sort (de plus, plus vite le liquide est dense et élastique dans le tuyau); la deuxième équation montre que pour accélérer un segment d'un liquide, il est nécessaire de lui appliquer une différence de pression (de plus, plus la densité est importante, plus il faut appliquer de différence de pression pour accélérer le segment). C'est-à-dire des choses assez banales sont décrites: le fluide est compressible, le fluide a une masse.
Laissons la solution analytique de ces équations pour de futurs articles, passons immédiatement à l'exemple «sur les doigts».
Prenez un tuyau rempli d'eau dans lequel une pression de 100 bars (10 MPa) est maintenue et un débit de 30 l / min s'écoule. Si une étape de pression est appliquée à l'extrémité gauche, elle commencera de façon prévisible à se déplacer le long du flux à une vitesse égale à la vitesse du son dans le médium.

Bien sûr, avec la pression, le débit changera également. Si la pression augmente, elle «ajustera» le fluide en amont et augmentera également le débit d'un «pas». La quantité est déterminée par la valeur de l'impédance d'onde. Pour un tuyau avec une section transversale $$$A$rempli de liquide de densité $$$\ rho$et la vitesse locale du son $$$c$, l'impédance d'onde peut être calculée comme suit:

$$

$$Z_L = \ frac {\ rho \; c} A$$

En termes de dimensions, c'est la même chose que la résistance hydraulique conventionnelle, uniquement utilisée pour calculer les rapports d'ondes de pression ( $$$\ widehat p$) et le débit ( $$$\ widehat Q$), et non leurs valeurs absolues:

$$

$$Z_L = \ frac {\ widehat p} {\ widehat Q}$$

Plus la densité et la vitesse du son sont élevées, plus l'impédance des ondes est élevée, c.-à-d. plus il sera difficile pour une certaine chute de pression de disperser le liquide (augmenter le débit)

Voyons maintenant comment deux vagues se déplaceront, se rapprochant l'une de l'autre:

Si la pression à l'extrémité droite augmente, le fluide sera inévitablement inhibé par un différentiel négatif. Cela signifie que la vague d'augmentation de pression allant à contre-courant entraînera une diminution du débit d'une quantité déterminée à nouveau par la résistance des vagues. Autrement dit, une vague de croissance de pression et de baisse du débit se déplacera sur la droite.
Lors d'une collision, il peut sembler que les ondes de flux se réfléchissent et repartent. En fait, ils se chevauchent simplement. Cet effet est également appelé interférence:

Nous savons maintenant que chaque tuyau contenant un liquide a une propriété telle que la résistance aux vagues. Il est intéressant de voir ce qui arrivera à la vague si le diamètre d'un tuyau dans une certaine section change radicalement:

Avant que la vague n'atteigne un endroit avec une diminution du diamètre du tuyau, bien sûr, rien d'intéressant ne se produit. Mais ensuite, il atteint une section avec une résistance aux vagues plus élevée, ce qui signifie que le rapport de l'onde de pression à l'onde d'écoulement doit être supérieur à celui de la section de tuyau gauche. Cela signifie que l'onde de pression devrait augmenter et que le débit devrait diminuer. Dans le même temps, il ne reste plus rien à l'onde que de se courber vers la gauche, tout en conservant des valeurs égales à la jonction des deux tuyaux.

Pour les calculs, il est pratique d'utiliser le coefficient de réflexion $$$r$, qui est considéré à partir des impédances d'onde de chaque section:

$$

$$r = \ frac {Z_2-Z_1} {Z_1 + Z_2}$$

Ensuite, les ondes de pression et d'écoulement réfléchies peuvent être calculées comme suit:

$$

$${\ widehat p} _r = r \; \ widehat p$$

$$

$${\ widehat Q} _r = - \ frac {\ displaystyle \; {\ widehat p} _r} {Z_1} = - r \; \ widehat Q$$

et ces ondes elles-mêmes seront superposées selon la loi d'interférence avec celle d'origine.
Et cela ressemblera à une image de la réflexion d'une onde d'un site avec une résistance aux ondes plus faible:

On voit que cette fois le coefficient de réflexion est négatif, ce qui signifie que l'onde de pression après réflexion sera moindre, et le débit, au contraire, plus.

Il faut se rappeler que l'impédance dépend non seulement de la taille du tuyau, mais aussi de la vitesse locale du son. C'est-à-dire si nous avons une section de tuyau avec un manchon en caoutchouc dans lequel la vitesse du son est beaucoup plus faible, l'onde sera également reflétée:

Tout d'abord, il attire immédiatement l'attention sur le fait que l'onde dans la section avec la paroi en caoutchouc du tuyau se déplace plus lentement. Et comme la résistance aux vagues est plus faible, le résultat de la réflexion ressemblera au cas avec l'expansion du tuyau:

Il serait maintenant intéressant de considérer les cas extrêmes avec des valeurs d'impédance d'onde nulles et infiniment grandes. Ce sera la sortie du pipeline dans le réservoir à pression constante et l'extrémité fermée, respectivement. Je vais laisser ces animations sans commentaire:


Eh bien, si nous combinons ces deux cas, nous obtenons un choc hydraulique classique:

Ici, au moment initial du temps, il y a une valeur de débit qui est instantanément égale à zéro à l'extrémité droite du tuyau (la vanne se ferme). Une vague de débit descendant et de pression croissante commence à se déplacer vers la gauche. Ces ondes sont réfléchies à l'extrémité droite du pipeline avec une impédance nulle. En l'absence de friction, ce processus sera sans fin.
Fait intéressant, en utilisant les formules ci-dessus, nous pouvons dériver l'équation Zhukovsky pour le coup de bélier:

$$

$$\ widehat p = Z_L \ widehat Q \;$$

Nous exprimons le débit à travers la vitesse, en supposant qu'il tombe d'une valeur donnée à zéro, et peignons l'impédance d'onde:

$$

$$\ widehat p = A \; v_0 \; \ frac {\ rho \; c} {\ A} = \ rho \; c \; v_0$$

Nous obtenons la valeur du saut de pression qui se produit lorsque l'obturateur est instantanément fermé.

Remarques

1. J'ai été inspiré pour écrire un article par le chef d'un manuel de base sur l'hydraulique au Département de génie hydraulique de l'Université technique rhénane-westphalienne d'Aix-la-Chapelle, où, à mon avis, les processus dans les conduites hydrauliques sont les plus clairement décrits (Grundlagen der Fluidtechnik Teil 1: Hydraulik, Hubertus Murrenhoff ISBN: 978-3-844040 -1223-1).
2. Des animations ont été réalisées dans le programme SimulationX, le calcul a été effectué par la méthode des caractéristiques