Secrets d'esprit et mathématiques

Dans l'Égypte ancienne, les mathématiciens n'utilisaient pas de preuves. Toutes leurs déclarations n'étaient étayées que par des données empiriques. Néanmoins, les pyramides étaient debout et les avions ont volé . Et, probablement, personne n'exigerait une preuve stricte sans le désir de réfuter quelque chose. Avec les Grecs, les mathématiques ont trouvé une nouvelle vie dans laquelle des problèmes tels que la quadrature d'un cercle, l'irrationalité d'une racine de deux et le problème de la trisection d'un angle sont apparus. À partir de ce moment, les axiomes, les lois de la logique et les théorèmes étaient nécessaires. Mais les mathématiques modernes s'intéressent également à ce qu'il est possible de prouver et à ce qui ne l'est pas. Le théorème d'incomplétude de Gödel, la formalisation de la logique et la théorie de l'évidence ont été promus . Je propose une théorie et un axiome qui aideront à répondre à certaines des questions restantes et à définir les limites de notre conscience. Ce sont notamment les questions de complétude, le problème de l'égalité et l'axiomatisation de notre imagination.



Théorie des objets
La logique mathématique étudie les liens entre les énoncés, mais pas leur structure interne. Mais essayons de formaliser les déclarations elles-mêmes. Supposons que nous ayons des objets. Nous n'exigerons pas qu'ils soient des ensembles ou autre chose. Maintenant, laissez un troisième objet être donné pour toute paire d'objets ordonnée - leur «interconnexion». Nous allons l'écrire comme ceci:

$$

$$a * b = ab = c; *: (a, b) \ mapsto c$$

La structure résultante peut être définie comme magma (un ensemble avec une opération binaire), mais pas sur un ensemble, mais complètement arbitraire. Et maintenant, nous définissons l' énoncé comme égalité (ou inégalité) algébrique dans un magma donné.
Je vais maintenant expliquer comment exactement cette définition reflète la structure interne des énoncés. Par exemple, recevons la déclaration suivante:
Le marqueur peut peindre la planche en bleu.
Nous écrivons ceci comme égalité:
$$$M * D = SD$ - appliquer un marqueur ( $$$M$ ) au tableau ( $$$D$ ), nous obtenons un tableau bleu ( $$$Cd$ )
Maintenant un exemple plus complexe:
Un homme court sous la pluie dans la rue.

$$

$$\ begin {cases} Man * Run = Do; \\ Man * Rain = Situé \ "sous"; \\ Street * Man = Have \ on \ yourself. \ end {cases}$$

Ici, il convient de noter que «faire», «avoir sur soi» sont également des objets. Un tel système définit exactement notre déclaration. Bien sûr, une telle conception peut sembler sauvage et inconfortable, mais seule la possibilité d'une telle présentation est importante pour nous. De plus, il y aura des exemples plus substantiels.

Comme vous l'avez probablement déjà remarqué, nous n'exigeons rien des objets, à l'exception d'une connexion avec d'autres. Et c'est vrai. Par exemple, toutes les définitions du dictionnaire sont fournies sous forme de liens vers d'autres mots. Un point et une ligne droite sont des concepts indéfinissables, mais toutes leurs interconnexions sont définies. Cela nous amène à une pensée importante.
Tout système axiomatique est défini par des relations d'objets. Par exemple, s'il existe des paires de ces objets qui se comportent les unes par rapport aux autres exactement de la même manière qu'une ligne droite avec un point, elles le seront. L'exemple le plus trivial est une famille d'ensembles, où les éléments sont des points. L'intersection de deux ensembles quelconques est soit un seul élément, soit un ensemble vide. Et laissez les trois éléments définir de manière unique l'ensemble et ainsi de suite. Autrement dit, si je renomme simplement les objets, rien ne changera.
L'axiomatique est du magma.

Nous ne demandons pas de donner du magma sur l'ensemble, car il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles:

$$

$$\ # 2 ^ {X}> \ # X$$

Nous disons que l'axiomatique est contradictoire s'il n'a pas d'objets et est cohérent s'il existe au moins un objet.
Pour plus de commodité, les définitions que nous avons obtenues sont appelées Théorie des objets ou Théorie classique des objets .

Imagination
Puisque la théorie des objets est également une axiomatique, elle peut être décrite dans son propre langage d'objets. Autrement dit, nous aimerions décrire toutes sortes d'objets dans toutes sortes d'axiomatiques. Pas à proprement parler, nous avons besoin d'une description mathématique de l'imagination humaine. Je propose pour cela l'axiome unique suivant:

$$

$$\ forall (x) _i, (y) _i, (x ') _ j, (y') _ j, z \ \ existe x \ \ forall i \ in I, j \ in J \ begin {cases} xx_i = y_i \\ x'_jx = y'_j \\ xx = z \ end {cases}$$

Il peut être décrit comme «il y a tout ce que vous pouvez imaginer». Notez que nous n'exigeons pas l'existence d'au moins un objet. Ceci est fait de sorte que la cohérence axiomatique soit équivalente à l'existence d'au moins un objet. Maintenant, nous prouvons plusieurs théorèmes:
Théorème 1. La théorie des objets est un ensemble vide ou non un ensemble.

Théorème 2. Il existe un objet pour lequel il n'est pas certain qu'il s'agisse d'un ensemble ou non.

Une conséquence du deuxième théorème est l'hypothèse du continuum. Il peut être reformulé comme suit: un ensemble est-il un objet dont la puissance est supérieure à la puissance d'un ensemble dénombrable, mais inférieure au continuum?
Nous appelons l'axiomatique petit s'il y a beaucoup de ses objets et grand sinon.
Théorème 3. Tout gros axiomatique est incomplet.

Cela nous amène aux limites de la conscience humaine. Il y aura toujours des déclarations que nous ne pouvons ni prouver ni réfuter. Et cela, en fin de compte, est une conséquence du paradoxe de Cantor. Un cas particulier de ceci est le théorème de Godel. De là découle l'incomplétude de la théorie des objets. Nous ne pouvons pas dire avec certitude ce qu'est un objet et ce qui ne l'est pas. Par exemple, un bouclier qui ne peut pas être brisé est un objet ou non? Et l'épée qui brise tout? Cependant, ils ne peuvent pas coexister. Et après avoir fait un tel choix, vous devez le faire encore et encore.
Nommez deux objets $$$x$ et $$$y$ égal si:
$$$\ forall z \ xz = yz \ wedge zx = zy$
Et égal pour beaucoup $$$X$ si:
$$$\ forall z \ in X \ xz = yz \ wedge zx = zy$
Soit deux objets donnés. Fractionner deux objets $$$x$ et $$$y$ appeler un tel objet $$$z$ que:

$$

$$zx \ neq zy \ vee xz \ neq yz$$

Étant donné que deux objets quelconques forment un ensemble, la séparation existe pour deux objets quelconques. Par conséquent:
Théorème 4. Les objets égaux n'existent pas.
Il n'est pas facile de dire qu'en mathématiques il n'y a pas d'égalité, il n'y a que des isomorphismes.
Par exemple, imaginez qu'il y a deux jumeaux qui se ressemblent exactement. Pour de nombreuses personnes prises dans la rue, il s'agit de la même personne, seulement une copie de celle-ci. Mais pour la mère, ce sont deux personnes différentes. Par conséquent, en ce qui concerne les gens, ils sont égaux, mais en ce qui concerne la mère, ils ne le sont pas. Nous pouvons seulement dire que les jumeaux sont isomorphes aux humains, mais pas égaux. En relation avec le théorème 4, un résultat très paradoxal peut être obtenu. Donnons-nous un objet $$$A$ . Et nous aimerions au moins $$$A = A$ . Mais donnons l'objet $$$A$ pour plus de commodité, le nom $$$A ’$ , juste une désignation. Alors ça doit être $$$A = A ’$ . Mais maintenant, je peux considérer ces objets comme deux objets différents et trouver leur séparation. C'est, paradoxalement, mais A n'est pas égal à lui-même. Autrement dit, il n'y a pas une seule vraie déclaration sur un objet dans la théorie des objets.
En effet, le fait est que nous ne pouvons pas dire sans ambiguïté quel objet nous avons en tête. Nous ne pouvons définir un objet que pour un certain ensemble, mais il existe une infinité de tels objets. De plus, il y en a plus que n'importe quel nombre. Par conséquent, en parlant de l'objet A, nous voulons dire que peu importe pour nous quels objets ayant les propriétés dont nous avons besoin, nous avons à l'esprit. Mais pour tout objet, nous pouvons trouver une telle propriété qui les distinguera. Par exemple: nom, longueur de description, formulaire, emplacement, etc. Cependant, cela, d'une manière générale, ne signifie pas que nous ne pouvons pas choisir un objet arbitraire ou leur factorisation.

Signification appliquée
Nous appellerons axiomatique énumérable si l'ensemble de ses énoncés (égalités et inégalités) est énumérable . Comme il ressort de la définition, pour une axiomatique énumérée, il existe un algorithme qui peut automatiquement prouver les théorèmes et en formuler de nouveaux. De plus, sur la base de notre définition des énoncés, un tel algorithme sera identique à un algorithme qui fonctionne avec une structure algébrique. Une telle interprétation remplit potentiellement un rêve de longue date visant à empêcher les mathématiciens d'inventer des preuves.

Pensée extraterrestre

La théorie des catégories a une catégorie $$$\ mathfrak {SET}$ . Les objets de cette catégorie sont des ensembles. Cela signifie que la théorie des catégories avec $$$\ mathfrak {SET}$ ne peut pas être formulé dans le langage de la théorie classique des objets, car il fonctionne avec une collection d'objets plus grands que plusieurs ( $$$\ mathfrak {SET}$ - une grande catégorie). Mais pour y remédier, il suffit de construire la théorie des ultra-sets. Soit un ultra-ensemble composé d'éléments ou d'ensembles. Il y a ensuite un ultra-set contenant tous les sets. En remplaçant maintenant le concept d'ensemble dans l'axiome de l'imagination par le concept d'ultra-ensemble, nous obtenons le résultat souhaité. Dans la théorie des objets obtenue, nous serons déjà en mesure de déterminer de manière unique le concept d'un ensemble. Un tel processus peut être effectué plus d'une fois, et dans les deux sens, car un ultra-set contenant tous les ultra-sets n'existe pas. Cela conduit à l'émergence de théories alternatives des objets. Mais ce n'est pas la fin de l'affaire.
Un domaine de la théorie des catégories est la théorie des topos. Elle décrit tous ces espaces dans lesquels il y a le concept d'un élément et "mentir". Un cas particulier est la théorie classique des ensembles. De plus, comme on le sait, toute théorie des ensembles définit de façon unique une certaine logique. Par conséquent, les topos décrivent également toutes sortes de logiques. Maintenant, si nous regardons à nouveau nos axiomes d'imagination, nous y remarquerons une trace de nos topos «natifs». Le concept de "mentir": " $$$\ forall i \ in I, j \ in J$ ", et la logique binaire réside dans le concept d'égalité. Après tout, ou $$$A = B$ ou $$$A \ neq B$ .
Théoriquement, nous pouvons reformuler la théorie des objets à n'importe quel autre topos, obtenant ainsi un monde inhabituel pour nous avec ses propres lois. L'un des faits tirés de la théorie de Topos est l'indépendance de l'hypothèse du continuum. Autrement dit, ce problème existe dans d'autres dangers. Apparemment, presque tout y aura une apparence similaire. Cependant, il est possible que des différences importantes se rencontrent qui nous poussent à de nouvelles idées.

Conclusion
Les résultats de nos recherches sont: la formalisation de la structure interne des énoncés logiques, l'axiome de l'imagination, la théorie des objets et quatre théorèmes. Ces derniers affirment l'absence d'égalités globales en mathématiques, le caractère incomplet des grands axiomatiques, et la dérivation de certains résultats précédemment connus et leur généralisation de manière simple (hypothèse Continuum et théorème de Godel). La description de la structure des énoncés logiques a également appliqué un sens, ce qui facilite la compréhension du sens des phrases, en les décomposant en systèmes d'égalités algébriques. Le développement ultérieur implique la recherche d'une logique (topos) dans laquelle les grands axiomatiques seront complets. Ce sera l'occasion d'une axiomatisation unifiée de toutes les mathématiques (théorie de tout).

Lectures complémentaires
Théorie des catégories pour les programmeurs.
Preuve automatique des théorèmes. Présentation
Théorie des topos