Mathématiques réconciliant Newton avec le monde quantique

En tant que professeur de mathématiques, il a cessé d'avoir peur et est tombé amoureux de la géométrie algébrique.

À la sixième douzaine, il est trop tard pour devenir un vrai spécialiste de la géométrie algébrique, mais j'ai finalement réussi à tomber amoureux d'elle. Comme son nom l'indique, cette branche des mathématiques utilise l'algèbre pour étudier la géométrie. Vers 1637, René Descartes a jeté les bases de ce champ de connaissances, prenant un avion, dessinant mentalement une grille dessus et désignant les coordonnées de x et y . Vous pouvez écrire une équation de la forme x ² + y ² = 1 et obtenir une courbe composée de points dont les coordonnées satisfont cette équation. Dans cet exemple, nous obtenons un cercle.

Pour l'époque, c'était une idée révolutionnaire, car elle nous permet de convertir systématiquement les questions de géométrie en questions d'équations qui peuvent être résolues avec une connaissance suffisante de l'algèbre. Certains mathématiciens ont été impliqués dans ce magnifique domaine toute leur vie. Jusqu'à récemment, je ne l'aimais pas, mais j'ai pu le relier à mon intérêt pour la physique quantique.

Dans l'enfance, j'aimais plus la physique que les mathématiques. Mon oncle Albert Baez, père de la célèbre chanteuse folk Joan Baez, a travaillé pour l'UNESCO et a aidé les pays en développement à suivre une formation en physique. Mes parents vivaient à Washington. Lorsque mon oncle est venu en ville, il a ouvert sa mallette, en a sorti des aimants ou des hologrammes et, avec leur aide, il m'a expliqué la physique. C'était génial. Quand j'avais huit ans, il m'a présenté un manuel de physique qu'il a écrit pour l'université. Bien que je ne pouvais pas le comprendre, j'ai immédiatement réalisé que je le voulais . J'ai décidé de devenir physicien, et mes parents étaient inquiets parce que je savais que la physique avait besoin de mathématiques, et je n'étais pas très fort dans ce domaine. La division dans la colonne me semblait insupportablement ennuyeuse et je refusais de faire mes devoirs de mathématiques avec sa routine sans cesse répétée. Mais plus tard, quand j'ai réalisé qu'en jouant avec les équations, je pouvais en savoir plus sur l'Univers, cela m'a fasciné. Les symboles mystérieux étaient comme des sorts magiques, et en quelque sorte. La science est une magie qui fonctionne réellement.

Au collège, j'ai choisi les mathématiques comme sujet principal, et je me suis intéressé à la question du physicien théoricien Eugene Wigner sur «l'efficacité inexplicable» des mathématiques: pourquoi notre univers est-il si facilement soumis aux lois mathématiques? Il l'a formulé ainsi: "Le miracle de l'adéquation du langage des mathématiques pour la formulation des lois de la physique est un cadeau étonnant que nous ne comprenons pas et ne méritons pas." En tant que jeune optimiste, je pensais que ces lois nous donneraient des indices pour résoudre un casse-tête plus profond: pourquoi l'Univers est généralement régi par des lois mathématiques. J'ai déjà compris que les mathématiques sont trop volumineuses pour les étudier dans leur intégralité, alors la magistrature a décidé de se concentrer sur ce qui était important pour moi. Et l'une de celles qui ne me semblait pas importante était la géométrie algébrique.

Comment un mathématicien ne peut-il pas tomber amoureux de la géométrie algébrique? La raison en est la suivante: dans sa forme classique, ce champ étudie uniquement les équations polynomiales - des équations qui décrivent non seulement des courbes, mais aussi des figures de dimension supérieure, appelées «variétés». Autrement dit, x ² + y ² = 1 - c'est normal, comme x ⁴³ - 2 xy ² = y ⁷ . Mais une équation avec des sinus, des cosinus ou d'autres fonctions est en dehors de cette zone, à moins que nous ne trouvions un moyen de la convertir en une équation de polynômes. Pour un étudiant diplômé, cela semblait être une terrible limitation. Après tout, la physique utilise de nombreuses fonctions qui ne sont pas des polynômes.


Il existe un polynôme pour cela: en utilisant des polynômes seuls, de nombreuses courbes intéressantes peuvent être décrites. Par exemple, faisons rouler un cercle à l'intérieur d'un autre cercle trois fois plus grand. Nous obtenons une courbe avec trois angles vifs, qui est appelée "deltoïde". Ce n'est pas évident ce qui peut être décrit par son équation polynomiale, mais ça l'est. Le grand mathématicien Leonard Euler l'a inventé en 1745.

Pourquoi la géométrie algébrique se limite-t-elle aux polynômes? Les mathématiciens étudient toutes sortes de fonctions, mais bien qu'elles soient très importantes, à un certain niveau, leur complexité ne fait que distraire des mystères fondamentaux de la connexion entre la géométrie et l'algèbre. En limitant l'étendue de ses recherches, la géométrie algébrique peut explorer ces énigmes plus en profondeur. Elle s'y consacre depuis des siècles, et maintenant la compétence avec les polynômes est vraiment incroyable: la géométrie algébrique est devenue un outil puissant en théorie des nombres, en cryptographie et dans de nombreux autres domaines. Mais pour ses vrais admirateurs, la valeur de ce domaine réside en soi.

Une fois, j'ai rencontré un étudiant diplômé de Harvard et je lui ai demandé ce qu'il étudiait. Sur un ton pompeux, il a dit un mot: «Hartshorn». Il avait en tête le manuel de géométrie algébrique de Robin Hartshorn, publié en 1977. On suppose qu'il devrait devenir une introduction au sujet, mais il est en réalité très complexe. Pour citer une description de Wikipédia: «Le premier chapitre, intitulé« Manifolds », parle de la géométrie algébrique classique des variétés sur des champs algébriquement clos. Ce chapitre utilise de nombreux résultats classiques de l'algèbre commutative, y compris le théorème de Hilbert zéros, et des références aux livres d'Atiyah-MacDonald, Matsumura et Zarissky-Samuel sont souvent trouvées.

Si vous n'avez rien compris ... alors c'est ce que j'avais en tête. Pour comprendre même le premier chapitre de Hartshorn, vous avez besoin d'une assez grande connaissance de base. Lire Hartshorn, c'est comme essayer de rattraper les génies de plusieurs siècles qui s'efforcent de courir aussi vite qu'ils le peuvent.


Cubic célèbre: Il s'agit de la surface nodale cubique de Cayley. Il est célèbre pour le fait que c'est la variété avec le plus grand nombre de nœuds (tels que des pièces pointues) qui peut être décrite par l'équation cubique. L'équation a la forme ( xy + yz + zx ) (1 - x - y - z ) xyz = 0 et est appelée "cubique" car en même temps on multiplie pas plus de trois variables.

L'un de ces génies était le directeur scientifique de Hartshorn - Alexander Grotendik. De 1960 à 1970 environ, Grothendieck a fait une révolution révolutionnaire dans la géométrie algébrique, en faisant partie d'un voyage épique dans le but de prouver les hypothèses de Weyl reliant les variétés aux solutions aux problèmes de la théorie des nombres. Grothendieck a suggéré que les hypothèses de Weil pourraient être confirmées en renforçant et en approfondissant le lien entre la géométrie et l'algèbre. Il avait une idée claire de la façon dont cela devait se produire. Mais pour garantir l'exactitude de cette idée, un travail énorme était nécessaire. Pour y parvenir, il a organisé un séminaire. Grothendieck a fait des présentations presque tous les jours et a profité de l'aide des meilleurs mathématiciens de Paris.


Faisons un parcours mathématique: Alexander Grotendik lors de son séminaire.

Travaillant sans interruption pendant une décennie, ils ont écrit des milliers de pages de nouvelles mathématiques remplies de concepts étonnants. En fin de compte, en utilisant ces idées, Grothendieck a réussi à prouver toutes les hypothèses de Weyl, sauf la dernière, la plus complexe. À la surprise de Grothendieck, cela a été décidé par son élève.

Pendant ses années les plus productives, même s'il dominait l'école française de géométrie algébrique, de nombreux mathématiciens considéraient les idées de Grothendieck «trop abstraites». Cela semble un peu étrange, étant donné à quel point toutes les mathématiques sont abstraites. Mais il ne fait aucun doute que du temps et des efforts sont nécessaires pour percevoir ses idées. En tant qu'étudiant diplômé, j'ai essayé de m'éloigner d'eux, car je luttais activement avec l'étude de la physique: pendant des siècles, les génies y ont travaillé à plein régime, et il faut beaucoup de temps pour atteindre la frontière. Mais plus tard, quand j'ai commencé ma carrière, mes études m'ont conduit au travail de Grothendieck.

Si je choisissais une voie différente, je pourrais aborder son travail à travers l'étude de la théorie des cordes . Les physiciens qui étudient la théorie des cordes postulent qu'en plus des dimensions visibles de l'espace et du temps (trois dimensions pour l'espace et une pour le temps), il existe des dimensions supplémentaires de l'espace, si tordues qu'elles ne peuvent pas être vues. Dans certaines de leurs théories, ces dimensions supplémentaires forment la diversité. Par conséquent, les chercheurs en théorie des cordes peuvent facilement rencontrer des questions complexes de la géométrie algébrique. Et cela, à son tour, les fait faire face aux Grothendieck.


Je suis complètement confus: une tranche d'une variété, appelée «triple quintique», qui peut être utilisée pour décrire des dimensions minimisées supplémentaires de l'espace dans la théorie des cordes.

Et en effet. le meilleur de tous, la théorie des cordes n'est pas annoncée par une prédiction réussie des résultats expérimentaux - elle ne peut absolument pas s'en vanter - mais par la capacité de résoudre des problèmes dans le cadre des mathématiques pures, y compris la géométrie algébrique. Par exemple, la théorie des cordes peut étonnamment bien calculer le nombre de courbes de différents types qui peuvent être tracées dans certaines variétés. Par conséquent, aujourd'hui, on peut voir des théoriciens des cordes communiquer avec des géomètres algébriques, et chaque côté peut surprendre l'autre avec ses découvertes.

Mais la source de mon intérêt personnel pour le travail de Grothendieck était différente. J'ai toujours eu de sérieux doutes sur la théorie des cordes, et compter les courbes dans les variétés est la dernière chose que je voudrais faire: c'est comme grimper - c'est très excitant à regarder, mais trop effrayant pour le faire soi-même. Il s'est avéré que les idées de Grothendieck sont si généralisées et fortes qu'elles s'étendent au-delà des limites de la géométrie algébrique à de nombreux autres domaines. En particulier, j'ai été impressionné par son manuscrit inédit de 600 pages Pursuing Stacks , écrit en 1983. Il y déclare que la topologie (si elle est largement expliquée, est une théorie de ce que peut former un espace si nous ne nous inquiétons pas de le plier ou de l'étirer, mais seulement en regardant les types de trous) peut être complètement réduite à l'algèbre!

Au début, cette idée peut sembler similaire à la géométrie algébrique, dans laquelle nous utilisons l'algèbre pour décrire des figures géométriques (par exemple, des courbes ou des variétés de dimension supérieure). Mais il s'avère que la «topologie algébrique» a une saveur complètement différente, car en topologie nous ne sommes pas obligés de nous limiter aux figures décrites par des équations polynomiales. Au lieu de travailler avec de beaux bijoux, nous avons affaire à des caillots souples et souples; nous avons donc besoin d'une algèbre différente.


Si vous avez besoin d'une explication: les mathématiciens plaisantent parfois que les topologues ne voient pas la différence entre un beignet et une tasse de café.

La topologie algébrique est une belle région qui existait bien avant Grothendieck, mais il a été l'un des premiers à proposer sérieusement une méthode pour réduire l' ensemble de la topologie à l'algèbre. Grâce à mon travail en physique, sa proposition m'a paru extrêmement ravissante. Et voici pourquoi: à ce moment, j'ai assumé la tâche difficile de combiner les deux meilleures théories de la physique: la physique quantique, qui décrit toutes les forces sauf la gravité, et la théorie générale de la relativité, qui décrit la gravité. Il semble que jusqu'à ce que nous fassions cela, notre compréhension des lois fondamentales de la physique est vouée à être incomplète. Mais réaliser cela est sacrément difficile. La raison en est que la physique quantique est basée sur l'algèbre, et la topologie est activement utilisée dans la théorie générale de la relativité. Mais cela nous indique la direction de l'attaque: si nous pouvons comprendre comment réduire la topologie à l'algèbre, cela peut nous aider à formuler la théorie de la gravité quantique.

Mes collègues en physique en ce moment hurleraient et commenceraient à se plaindre que je simplifie trop tout: en physique quantique, non seulement l'algèbre est utilisée, mais la théorie générale de la relativité n'est pas seulement la topologie. Néanmoins, ce sont précisément les avantages physiques possibles de la réduction de la topologie à l'algèbre qui m'ont ravi dans le travail de Grothendieck.

Par conséquent, depuis les années 1990, j'essaie de comprendre les puissants concepts abstraits inventés par Grothendieck et, jusqu'à présent, j'ai obtenu un succès partiel. Certains mathématiciens considèrent ces concepts comme une partie complexe de la géométrie algébrique. Mais maintenant, ils me semblent une partie simple. Pour moi, tous ces concepts abstraits, mais leurs détails ennuyeux, sont devenus une partie difficile. Tout d'abord, c'est tout le contenu des textes que Hartshorn considère comme des préalables obligatoires: "les livres d'Atiyah-MacDonald, Matsumura et Zarissky-Samuel", et ce sont d'énormes volumes d'algèbre. Mais il y a bien plus.

Par conséquent, bien que j'aie maintenant une partie de ce qui est nécessaire pour lire Hartshorn, jusqu'à récemment, l'étude de ces documents était trop effrayante pour moi. Un étudiant en physique a demandé un jour à un célèbre spécialiste combien de mathématiques un physicien devrait savoir. Le spécialiste a répondu: "Plus qu'il ne sait." En effet, l'étude des mathématiques ne peut jamais être considérée comme complète, donc je me suis concentré sur les aspects qui me paraissaient les plus importants et / ou intéressants. Jusqu'à l'année dernière, la géométrie algébrique n'était jamais en tête de liste.

Qu'est-ce qui a changé? J'ai réalisé que la géométrie algébrique est liée à la relation entre la physique classique et la physique quantique . La physique classique est la physique newtonienne, dans laquelle nous supposons que nous pouvons tout mesurer avec une précision totale, même en théorie. La physique quantique est la physique de Schrödinger et Heisenberg, elle est régie par le principe de l'incertitude: si nous mesurons certains aspects d'un système physique avec une précision totale, d'autres doivent rester incertains.

Par exemple, tout objet en rotation a un «moment angulaire». En mécanique classique, nous le visualisons avec une flèche dirigée le long de l'axe de rotation, et la longueur de cette flèche est proportionnelle à la vitesse de rotation de l'objet. Et en mécanique classique, nous supposons que nous pouvons mesurer avec précision cette flèche. En mécanique quantique - une description plus précise de la réalité - cela s'avère faux. Par exemple, si nous savons jusqu'où la flèche pointe dans la direction x , nous ne pouvons pas le savoir. jusqu'où elle pointe dans la direction y . Cette incertitude est trop petite pour être remarquée pour un ballon de basket, mais pour un électron elle est très importante: jusqu'à ce que les physiciens commencent à en tenir compte, ils n'avaient qu'une compréhension approximative des électrons.

Les physiciens cherchent souvent à «quantifier» les problèmes de la physique classique. Autrement dit, ils commencent par la description classique d'un système physique et essaient de dériver une description quantique. Pour réaliser ce travail, il n'y a pas de procédure générale et complètement systématique. Et cela ne devrait pas vous surprendre: ces deux visions du monde sont très différentes. Cependant, il existe des recettes utiles pour effectuer la quantification. Les plus systématiques sont applicables à un ensemble très limité de problèmes physiques.

Par exemple, en physique classique, nous pouvons parfois décrire un système comme un point dans une variété . Vous ne devez pas vous attendre à ce que cela soit possible dans le cas général, mais dans de nombreux cas importants, cela se produit. Par exemple, considérons un objet en rotation: si nous fixons la longueur de la flèche de son moment angulaire, alors la flèche peut toujours pointer dans n'importe quelle direction, c'est-à-dire que son extrémité doit se trouver sur une sphère. Ainsi, nous pouvons décrire un objet en rotation avec un point sur une sphère. Et cette sphère est en fait une variété, la " sphère de Riemann ", du nom de Bernhard Riemann, l'un des plus grands géomètres algébriques du XIXe siècle.


Diversité: la surface Endrass du huitième ordre est un bel exemple hautement symétrique de «collecteur»: une figure décrite par des équations polynomiales. La géométrie algébrique a commencé comme une étude de ces figures.

Lorsque la tâche de la physique classique est décrite par la diversité, la magie opère. Le processus de quantification devient complètement systématique et étonnamment simple. Il existe même une sorte de processus inverse, qui peut être appelé "classification" - il vous permet de reconvertir une description quantique en une description classique. Les approches classiques et quantiques de la physique deviennent étroitement liées, nous pouvons prendre des idées de n'importe quelle approche et observer ce qu'elles peuvent nous dire sur d'autres choses. Par exemple, chaque point de la variété décrit non seulement l'état du système classique - dans notre exemple, c'est la direction spécifique du moment angulaire - mais aussi l'état du système quantique correspondant, même si ce dernier est contrôlé par le principe d' incertitude de Heisenberg. Un état quantique est la "meilleure approximation quantique" de l'état classique. De plus, dans cette situation, de nombreux théorèmes de base de la géométrie algébrique peuvent être considérés comme des faits sur la quantification. Depuis que je suis engagé dans la quantification depuis longtemps, cela me fait extrêmement plaisir.

Richard Feynman a dit un jour que pour progresser dans la résolution d'un problème physique complexe, il devait le regarder sous un angle spécial:

"[...] Je dois penser que j'ai le moyen le plus court de résoudre le problème actuel. C'est comme si j'avais un talent que les autres n'utilisent pas, ou un look spécial qu'ils ne considéraient pas bêtement comme une excellente vue des choses. , - , . , , , . : , , ".

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: — . Azimuth , . Twitter: @johncarlosbaez .