Les mathématiques sont-elles logiques ou pourquoi les théories axiomatiques sont-elles paradoxales

Aujourd'hui, nous allons parler des bases. Les fondements théoriques fixent les limites du possible et montrent les moyens d'atteindre les objectifs. Par conséquent, la profondeur de la compréhension de ces questions ne sera jamais superflue.

Nous ne pourrons pas couvrir tous les fondamentaux, donc pour l'instant, nous dirigerons notre faisceau éducatif vers des tâches divertissantes appelées paradoxes. Au cours de la couverture du sujet, nous allons progressivement approfondir les entrailles d'une approche appelée logique, puis prêter attention au lien entre la logique et les mathématiques, après quoi nos lecteurs peuvent facilement comprendre non seulement les raisons de l'utilité de la logique pour dériver des théories axiomatiques, mais pourquoi des théories axiomatiques sont nécessaires du tout, et ils comprendront également comment il n'est pas nécessaire d'aborder la construction de théories cohérentes.

Commençons par une liste de puzzles divertissants. Ces problèmes sont appelés paradoxes, car quelle que soit la manière dont nous répondons à la question posée, l'auteur du paradoxe prouvera toujours facilement que nous avons tort. Autrement dit, les problèmes n'impliquent pas de solution, mais montrent plutôt de manière amusante la non-banalité du raisonnement logique.

Barber Paradox

Dans un certain village, un barbier a déclaré qu'il rasait dans son village tous ceux qui ne se rasaient pas. La question est de savoir qui rase le coiffeur?

Si vous avez répondu que le rasoir se rase le rasoir lui-même, alors les partisans du paradoxe vous expliqueront rapidement que selon les conditions de la tâche, le rasoir rase ceux qui ne se rasent pas, ce qui signifie qu'il ne peut pas se raser lui-même, sinon il se révélera qu'il se rase et se rase ainsi celui qui se rase.

Si vous avez répondu que quelqu'un d'autre se rase, les partisans des paradoxes se rappelleront à nouveau les conditions de la tâche - ils indiquent que si une personne ne se rase pas, alors elle doit raser le barbier, car il a dit - il rase tout le monde qui ne se rase pas moi-même. Donc, si quelqu'un d'autre le rase, il ne se rase pas et, par condition, devrait être un rasoir.

Bien que vous ne deviez pas approfondir les contradictions logiques de cette tâche, cela ne fait que vous introduire dans le monde des paradoxes et plusieurs tâches plus conflictuelles suivront. Bien que si vous trouvez une solution inattendue - ne vous précipitez pas, vous verrez comment les partisans du paradoxe contourneront toutes les solutions inattendues.

Paradoxes d'ensembles

De même que le paradoxe du barbier, il y a plus de cent ans, un paradoxe a été découvert qui a sérieusement affecté les fondements des mathématiques, et avec tellement de sérieux que cette période a été appelée une crise des fondements des mathématiques. La vérité est que cela ne vaut pas la peine de trop s’inquiéter pour les mathématiques, car cette crise n’était pas la première, et elle a affecté faiblement les sections substantielles des mathématiques. Néanmoins, la crise a clairement démontré la faiblesse de nos connaissances dans ce domaine, qui a toujours été considéré comme strict et presque complet.

Tout d'abord, nous montrons la base de l'un des paradoxes sur un exemple simplifié. Imaginez l'ensemble (ou une liste, un tableau) de tous les entiers positifs, puis imaginez le nombre correspondant au nombre de nombres dans notre ensemble. Présenté? Si oui, qu'adviendra-t-il de l'ensemble après lui avoir ajouté un nombre égal au nombre de ses éléments avec l'unité ajoutée? S'il y a déjà tous les éléments, rappelez-vous qu'ils peuvent être triés dans l'ordre croissant et il deviendra alors évident que le plus grand élément est égal au nombre d'éléments de notre ensemble. Mais si nous en ajoutons un à la quantité, nous obtenons un élément qui n'est pas dans l'ensemble, il semble donc que vous ne pouvez pas imaginer une telle liste, car chaque fois qu'une question sur un nouvel élément apparaîtra. Mais d'un autre côté, nous pouvons formuler l'expression «l'ensemble de tous les entiers positifs». Alors, que pouvons-nous vraiment et ne pouvons-nous pas?

Pendant que vous réfléchissez à la réponse à la question précédente, nous vous poserons les questions suivantes. Et si vous imaginez l'ensemble de tous les ensembles, mais tel qu'aucun ensemble ne s'inclurait comme élément? Est-ce possible? Par exemple, l'ensemble de nombres {1, 2, 3} ne se comprend pas en tant qu'élément. Alors peut-être que tous les autres ensembles peuvent aussi être imaginés?

Si vous dites que c'est possible, alors les partisans des paradoxes poseront la question - l'ensemble présenté se comprend-il?

Si vous dites «oui», les partisans des paradoxes répondront que, selon l'état du problème, l'ensemble ne doit pas inclure de tels ensembles qui se comprennent, mais puisque vous avez dit «oui», alors vous avez inclus l'ensemble présenté en lui-même et avez donc interdit son inclusion, c'est devenu un ensemble qui se comprend, ce qui contredit l'état du problème.

Si vous dites «non», les partisans des paradoxes répondront que, selon les conditions du problème, l'ensemble présenté devrait inclure tous les ensembles qui ne se comprennent pas, et donc l'ensemble présenté lui-même (qui n'est pas en lui-même) devrait également être dans notre ensemble.

Tout comme, peut-être, vous l'êtes maintenant, les mathématiciens du monde entier ont été légèrement affectés par le manque apparent de bon sens dans le paradoxe proposé. En effet, non seulement le bon sens s'est enfui quelque part, mais peu de temps avant, les mathématiciens ont réussi à proposer d'utiliser la théorie des ensembles (et nous ne parlons que de son représentant - l'ensemble de tous les ensembles qui ne se comprennent pas) pour construire toutes les mathématiques sur leur base. Et en conséquence, une crise s'est produite - au cœur des mathématiques, il s'est avéré qu'il n'y avait pas de bon sens. Comment aimez-vous ce calcul? Winnie the Pooh l'a bien mis sur ce sujet - c'est bien, mais pour une raison quelconque, il est boiteux (s).

Mais ce n'est pas tout. De plus, pour être complet, nous présentons quelques paradoxes d'un plan légèrement différent.

Le paradoxe de l'auto-applicabilité

Il y a des mots dont le sens peut être appliqué à ces mots. Par exemple, le mot «trois syllabes» se compose de trois syllabes et sa signification nous indique également trois syllabes, par conséquent un tel mot peut être appelé auto-applicable. De même, le mot "russe" est écrit en russe et exprime le sens d'appartenir au russe, c'est-à-dire qu'il est à nouveau auto-applicable. Mais le mot "lilas" est généralement écrit pas du tout en couleur lilas et ne pousse pas sur les lilas, ce qui signifie qu'il n'est pas applicable. Mais il y a encore un mot (et nous venons de le voir) "sans objet". Un tel mot s'applique-t-il à soi-même?

Si la lutte avec le bon sens en vous s'est terminée avec succès et que vous avez dit que le mot est auto-applicable, alors les partisans des paradoxes diront - comment peut-il être auto-applicable, s'il y est écrit - non-auto-applicable?

Si vous dites que le mot n'est pas applicable, les partisans des paradoxes répondront que le sens du mot coïncide avec la définition que vous lui avez donnée (sans objet), ce qui signifie que vous avez vous-même montré la méthode d'auto-applicabilité, ce qui signifie que vous vous trompez à nouveau!

Mais la joie des partisans des paradoxes sera incomplète si nous ne montrons pas un problème de plus.

Le paradoxe du faux dire

La tâche est très simple - vous devez répondre «oui» ou «non» à la question - la déclaration suivante est-elle fausse - «cette déclaration est fausse».

Si vous répondez «non», les partisans des paradoxes diront que la déclaration dit - c'est faux, alors vous dites que quelque chose ne va pas.

Si vous dites oui, alors les partisans des paradoxes diront que puisque vous dites que la déclaration est fausse (répondant «oui») et que la déclaration elle-même dit qu'elle est fausse, alors où est le mensonge? Encore une fois, vous avez répondu incorrectement! Les autres partisans des paradoxes se réjouissent à nouveau.

Une petite démystification

Nous ne nous découragerons pas en regardant le plaisir dans le camp des partisans des paradoxes, mais nous essaierons de révéler le mal qui, pour ainsi dire, a intensément poudré notre cerveau dans tous les paradoxes cités. Quoi pour nous - un tas de mathématiciens ne sont toujours pas sûrs de la cohérence des fondements de leur science!

D'abord sur le barbier. Examinons de plus près la composition des participants au paradoxe. Nous remarquerons quelques entités, ce sont le barbier et certains «tout» que le barbier rase. Nous verrons également une certaine relation dans laquelle le barbier vient avec ceux qu'il rase. Appelons cette relation simple - "se rase". Dans le langage des mathématiques, nous pourrions écrire - x rase y, c'est-à-dire qu'un certain X est en relation avec un certain joueur, et la relation est appelée - rase. Plus loin dans le paradoxe, nous voyons l'algorithme de sélection comme faisant partie de l'entité «tous». L'essence de l'algorithme est de vérifier la condition «ne se rase pas». Nous voyons également l'obligation d'un rasoir de raser tous ceux qui font partie de l'essence «tous» mentionnée.

Maintenant, après avoir écrit la partie «donnée» de notre problème, nous passons à la partie «solution».

Supposons qu'une certaine commission sélectionne les gens du village et que tous ceux qui répondent «Je ne me rase pas» soient inclus dans l'ensemble des conditions du problème (l'ensemble est «tout»). Après avoir terminé le travail de la commission, nous avons un groupe de personnes dont notre barbier doit être traité en conséquence. De plus, on peut facilement imaginer qu'au moment de l'enquête, le barbier a déclaré qu'il se rasait et qu'il n'était donc pas inclus dans le groupe de personnes à traiter. En conséquence, nous obtenons une image complètement heureuse - tous ceux qui ne se rasent pas seront rasés calmement par notre coiffeur. Mais non? Au minimum, nous ne verrons aucun obstacle de la part du bon sens, et donc nous pouvons facilement imaginer tous les visages rasés qui conviennent à la condition et un barbier très satisfait. Mais les partisans des paradoxes dans cette situation seront sans emploi, car il s'avère qu'il n'y a pas de paradoxe du tout!

Mais en réalité, il y a un paradoxe. En effet, ce n'est pas en vain que les mathématiciens du monde entier s'inquiètent de la crise!

Pour identifier la cause du paradoxe, il est nécessaire d'inclure ses partisans dans l'équation. Ils diront que le barbier a prétendu qu'il rase ceux qui ne se rasent pas, et donc qu'il n'a pas le droit de se raser, car alors il rasera celui qui se rase et viole ainsi l'état de la tâche. Ensuite en termes de logique, on peut dire que la phrase «barbier rase barbier» est fausse selon les conditions du problème. Mais en conséquence, le barbier devrait être inclus dans l'ensemble des individus qui sont soumis au rasage avec un barbier. Et c'est le coiffeur qui devrait les raser tous, car sinon les partisans des paradoxes apparaîtront immédiatement et nous rappelleront les conditions du problème.

Pour plus de clarté, nous raccourcissons la description de la situation. Désignons le rasoir par la lettre B, l'attitude "rasage" laisse inchangé, il est déjà court. Beaucoup de "tout" ne peuvent pas non plus être réduits. Ensuite, dans un bref enregistrement, nous obtenons:

1) faux (B rase B) signifie que B appartient à "tous"
2) X rase B et X = B

Un tel enregistrement signifie que (la première ligne) du fait que le rasoir ne rase pas le rasoir, il s'ensuit que le rasoir appartient à l'ensemble de «tout». La deuxième ligne nous dit qu'un certain X devrait raser le barbier et que ce X devrait être le barbier lui-même.

Maintenant, nous effectuons les transformations minimales avec la deuxième ligne - nous y remplaçons le X par B, car par condition elles sont égales, et nous dénotons également la vérité de l'énoncé résultant. Nous obtenons:

vrai (B rase B)

Mais à partir de la ligne (1), nous avons:

faussement (B rase B)

Et ces deux conditions (à la demande des partisans des paradoxes) doivent être remplies simultanément.

Alors, quel est le mal ici? Comme nous l'avons vu, avant l'intervention des partisans des paradoxes, la paix et l'ordre régnaient dans le village, toutes les bonnes personnes étaient rasées et le barbier était content. Mais après l'intervention des partisans des paradoxes, nous avons reçu en même temps une demande de vérité et de fausseté de la déclaration selon laquelle le barbier rase le barbier. Parlant différemment, nous avons reçu des demandes contradictoires. Et bien sûr, si les exigences sont contradictoires, il est impossible de résoudre le problème avec de telles exigences. Peu importe comment nous nous tordons, peu importe comment nous inventons de nouvelles et nouvelles façons d'éviter le paradoxe, par exemple, en déclarant que le barbier ne se rase pas et ne porte pas de barbe, ou que la femme n'a pas à se raser, les partisans des paradoxes le feront objectivement - c'est face au problème non, alors tout devrait être exactement comme nous l'avons dit. Mais en obéissant à la rigueur des déclarations des partisans des paradoxes, nous obtenons une tâche insoluble.

Après avoir souligné l'incohérence des conditions, nous pouvons essayer de mettre en évidence un certain nombre de facteurs qui ont conduit à une situation où des exigences essentiellement stupides (et quoi d'autre appeler l'exigence de se raser et de ne pas se raser en même temps?) Ont été prises au sérieux par un très grand nombre de personnes.

Premièrement, il convient de souligner la nature implicite de revendications contradictoires. Une tâche similaire, mais avec une contradiction évidente dans les conditions, aurait été immédiatement rejetée et personne n'aurait connu de paradoxes, mais c'est la nature cachée de l'incohérence des restrictions qui a conduit à de nombreuses tentatives pour résoudre le problème désespéré. Par exemple, la tâche de trouver un nombre à la fois supérieur à zéro et inférieur à zéro n'entraînerait guère l'émergence du concept de paradoxe, car dans un tel problème la signification contradictoire des exigences est évidente pour tous. Mais dans le problème du rasage de barbier, la non-évidence de l'incohérence des restrictions a entraîné des conséquences importantes. Par conséquent, dans tout paradoxe, il faut tout d'abord rechercher des contradictions implicites dans les restrictions imposées à la solution du problème.

Deuxièmement, en plus de la non-évidence, il existe en réalité dans ces problèmes des restrictions contradictoires (qui à première vue ne sont pas visibles). Il convient de le souligner ici - ce sont les restrictions de la solution, et pas autre chose. Autrement dit, ce n'est pas le domaine auquel appartient le problème qui est en quelque sorte contradictoire, et non la langue dans laquelle le problème est énoncé, mais les contradictions sont posées en dehors de ces concepts et précisément sous la forme de restrictions à une solution possible. Par conséquent, vous devez toujours étudier attentivement les restrictions de la solution, en essayant d'identifier les contradictions possibles en elles.

Troisièmement, les tâches conflictuelles incluent nécessairement un formalisme déformant la réalité. Le strict respect de conditions juste exprimées, à l'exclusion de la recherche de solutions en dehors de la zone contradictoire, est un signe évident qui doit être soigneusement recherché dans d'autres tâches qui, à première vue, ne semblent pas paradoxales.

Dans le reste, dans le problème du barbier, nous voyons des particularités qui lui sont propres, qui ne peuvent pas être répétées dans d'autres paradoxes. Néanmoins, il sera utile de les signaler.

Premièrement, la tâche du barbier se caractérise par l'exigence impérative de "raser tout le monde", sans autoriser aucune exception à la règle "qui ne se rase pas". Si la tâche n'imposait pas une restriction aussi stricte au «rasage de tout le monde», le barbier pourrait facilement être exclu de la liste dangereuse pour la tâche. Si la tâche n'avait pas une restriction uniquement pour ceux qui ne se rasent pas, alors encore une fois le barbier ne nous coûterait qu'une légère frayeur au lieu de créer une crise des fondements des mathématiques. Par conséquent, dans d'autres tâches, où une exigence stricte de la catégorie «tous tels et seulement de tels éléments» est posée, il convient de prêter attention à la recherche de contradictions internes dans une telle formulation.

Deuxièmement, le barbier dans la tâche est une entité spéciale qui diffère de toutes les autres par sa participation au rasage de tous ceux qui sont censés être rasés par la condition. Sans barbier, un système d'entités s'effondrerait et ne constituerait pas une tâche unique et significative. Mais malgré un statut si particulier dans le système des entités et des limitations, les partisans des paradoxes insistent sur une attitude unique envers tous les participants au processus, malgré les restrictions supplémentaires imposées au barbier. Mais c'est précisément le statut spécial du rasoir qui a conduit à la contradiction dans les exigences, car en plus de l'attitude "comme tout le monde", exigeant que le rasoir soit rasé, le rasoir est également tenu de ne pas se raser, et d'autres rasoirs sont exclus dans l'état de la tâche. Par conséquent, dans d'autres tâches, la fonction de formation de système des éléments doit être identifiée et, si elle existe, vérifier soigneusement la corrélation des exigences «à tous» et des exigences pour cet élément. Sinon, il est facile d'obtenir une autre contradiction dans les exigences.

Problèmes dans d'autres paradoxes

Pour l'instant, nous allons sauter le paradoxe des ensembles, puisque nous en aurons besoin plus tard en relation avec les problèmes de la théorie des ensembles.

Et maintenant, voyons où se situe le mal dans le paradoxe de l'auto-applicabilité. Parallèlement à la caractéristique mentionnée précédemment sous la forme d'une contradiction implicite dans les conditions ici, nous pouvons également ajouter une liberté d'interprétation du sens de l'auto-applicabilité. Autrement dit, le sens de la relation d'auto-applicabilité peut être interprété assez largement, et donc une contradiction peut facilement se glisser dans ces larges lacunes. Par conséquent, dans ce cas, la sévérité des définitions ne serait pas superflue. Mais il est également impossible de gonfler la gravité à l'absolu, sinon, comme nous l'avons vu dans l'exemple du barbier, les contradictions seront le résultat de la gravité elle-même.

Tout comme dans le paradoxe du rasage, dans le paradoxe de l'auto-applicabilité, nous avons un élément spécial du système qui se distingue du reste en ce que, lorsqu'il est considéré, l'algorithme du système change. Pour tous les autres mots, il nous suffit de comprendre comment le domaine de définition du sens du mot est en corrélation avec le mot lui-même (c'est-à-dire calculer le nombre de syllabes ou faire attention à la langue dans laquelle le mot est écrit), mais pour le mot "sans objet", nous avons un domaine de définition pas tout à fait évident, coïncidant peut-être avec le système lui-même dans lequel l'auto-applicabilité est évaluée. Autrement dit, pour le mot «non applicable», la tâche elle-même nous explique un certain sens possible de l'applicabilité, mais cette explication est implicite et non stricte.

De plus, vous pouvez trouver des restrictions spécifiques qui se contredisent précisément pour le mot "sans objet". , , , «» , . , . , , , «» . , , . «»?

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Comme nous le voyons, si a contient des éléments, il n'y a pas une seule variante de substitution de y pour laquelle il est impossible d'indiquer de tels x et / ou P (x) pour que l'axiome soit toujours vrai.

Quelle conclusion peut-on tirer d'un tel résultat? De l'avis personnel de l'auteur de ce texte, la conclusion pourrait être la suivante - lors de la traduction d'une bonne idée d'appliquer un filtre au langage sec des formules, une erreur a été commise sous la forme d'une perte de connexion avec la réalité ou, pour le dire autrement, toutes les propriétés du système d'origine n'ont pas été identifiées et formalisées de manière appropriée . Eh bien, pour accepter les conclusions ou rejeter, bien sûr, choisissez le lecteur, qui est maintenant précisément conscient de la façon de comprendre de manière indépendante de telles questions.