Présentation

Cet article considère la possibilité de représenter un polynôme arbitraire d'un degré entier arbitraire n sous la forme de différences finies. L'approche de cet article diffère des approches existantes en ce que toutes les formules sont dérivées pour un polynôme arbitraire avec des coefficients arbitraires, ainsi qu'en ce qu'un intervalle arbitraire plutôt qu'unitaire est utilisé comme intervalle entre les points. Les formules obtenues sont universelles et peuvent être utilisées sans modification à la fois pour calculer les valeurs "futures" et "passées" du polynôme. C'est-à-dire, par exemple, pour toute courbe exprimée par une équation quadratique à coefficients arbitraires, il est possible de calculer toutes les valeurs ayant seulement 3 valeurs y connues précédemment prises sur un intervalle égal arbitraire φ. En conséquence, il est indiqué que par (n + 1) points également espacés, une et une seule courbe peuvent être tracées, exprimées par un polynôme de degré n.

Clause de non-responsabilité

Je ne suis pas mathématicien, je suis juste un programmeur avec 20 ans d'expérience. J'ai mené des recherches indépendantes, mais je n'ai pas trouvé les mêmes conclusions que j'ai faites dans cet article. Je vous serais reconnaissant de tout commentaire et “conseil” sur les développements existants, dont les conclusions sont similaires (ou proches) aux miennes.

Informations générales

Tout d'abord, je donne une formule générale pour calculer la fonction S (t) donnée par un polynôme de degré n et exprimée en termes de (n + 1) valeurs précédentes prises sur un intervalle égal φ:

$$

$$S (t) = \ sum_ {k = 1} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k-1} C_ {n + 1} ^ kS (t-k \ varphi)$$

C'est-à-dire, par exemple, pour un polynôme de degré n = 1 (ligne normale), cette formule ressemblera à:

$$

$$S (t) = 2S (t- \ varphi) -S (t-2 \ varphi)$$

Pour un polynôme de degré n = 2, cette formule aura la forme:

$$

$$S (t) = 3S (t- \ varphi) -3S (t-2 \ varphi) + S (t-3 \ varphi)$$

Et ainsi de suite. Une preuve mathématique détaillée est donnée dans ce document . J'ai également préparé un code de vérification, exécuté sous forme de code JavaScript. Vous pouvez l'obtenir sur ce lien . Dans le même article, je montrerai quelques conclusions pratiques et options pour l'utilisation des équations obtenues.

Construction de polynômes de degré 2

Pour une compréhension générale, un «polynôme de degré 2» est exprimé à l'aide de la formule suivante:

$$

$$S (t) = Q_2 t ^ 2 + Q_1 t + Q_0$$

Cependant, il s'est avéré que vous pouvez calculer toutes les valeurs de ce polynôme (en fait, vous ne pouvez calculer les valeurs du polynôme qu'aux nœuds avec une étape arbitraire φ) en utilisant l'équation "en différences finies":

$$

$$S (t) = 3S (t- \ varphi) -3S (t-2 \ varphi) + S (t-3 \ varphi)$$

Autrement dit, sur la base de trois valeurs quelconques de la fonction S (t) prises sur un intervalle arbitraire égal φ, toutes les valeurs polynomiales peuvent être obtenues. Nous montrons cela sur des données réelles. Soit le polynôme réel exprimé par la fonction suivante:

$$

$$R (t) = 1 t ^ 2 + 2 t + 3$$

Maintenant, nous calculons les valeurs de la fonction R (t) aux points t = 111, t = 115 et t = 119. Autrement dit, l'étape φ dans ce cas est 4. Les valeurs obtenues seront R (111) = 12546, R (115) = 13458 et R (119) = 14402. Maintenant, nous calculons les deux valeurs suivantes du polynôme en utilisant l'équation aux différences finies:

$$

$$

$$R (127) = 3R (123) -3R (119) + R (115) = 16386$$

Il est facile de calculer que les valeurs calculées en utilisant la formule en différences finies coïncident complètement avec les valeurs calculées en utilisant la formule «standard» pour un polynôme du deuxième degré.

De plus, la formule en différences finies permet de calculer les valeurs «en arrière» sans changer la formule elle-même. Par exemple, pour calculer R (107) et R (103), nous obtenons ce qui suit:

$$

$$

Encore une fois, il est facile de calculer que les valeurs obtenues en utilisant les formules de différences finies coïncident complètement avec les valeurs calculées en utilisant la formule «standard» pour un polynôme du deuxième degré.

Pour tous les diplômes ultérieurs, les résultats seront similaires. J'ai testé des polynômes jusqu'au 99ème degré: les résultats obtenus en utilisant les formules «standard» coïncident complètement avec les résultats obtenus en utilisant des différences finies.

Addition

Je voudrais également noter que pour construire un polynôme de degré n, il n'est pas nécessaire d'avoir exactement (n + 1) points également espacés - vous pouvez arbitrairement plus (notez-le (m + 1)). Mais dans ce cas, vous devrez utiliser la formule pour un polynôme de degré m. Cela peut être illustré par l'exemple suivant:

$$

$$Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0 = 0x ^ 4 + 0x ^ 3 + Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0$$

Autrement dit, pour un polynôme du deuxième degré, vous pouvez utiliser des formules à partir d'un polynôme des quatrième et troisième degrés - le résultat sera toujours correct.

Conclusions

Les formules en différences finies permettent de calculer (et d'exprimer sous forme de formule) tout polynôme d'une fonction de n'importe quel degré entier. Pour l'équation en différences finies, peu importe quels coefficients ont été utilisés pour quels degrés du polynôme. Pour l'équation en différences finies, peu importe à quel intervalle les points initiaux ont été pris - l'intervalle peut être arbitrairement petit ou arbitrairement grand. Les calculs en différences finies ont une précision potentiellement plus élevée que les calculs utilisant des formules «standard» (en raison du manque de fonctions de puissance). La fonction du polynôme en différences finies est exprimée sans fonctions de puissance et, par conséquent, ne peut avoir qu'une seule valeur pour des variables données. Et, par conséquent, à travers (n + 1) des points également espacés, une et une seule courbe exprimée par un polynôme de degré n peut être dessinée.