Analyse des ondelettes. Les bases

Présentation

Le mot anglais wavelet (du français "ondelette") se traduit littéralement par "courte (petite) onde". Dans diverses traductions d'articles étrangers en russe, il y a aussi des termes: "rafale", "fonction de rafale", "fonction de basse onde", "vague", etc.

La transformée en ondelettes (VP) est largement utilisée pour l'analyse du signal. De plus, il trouve une grande application dans le domaine de la compression de données. Le VP d'un signal unidimensionnel est sa représentation sous la forme d'une série généralisée ou intégrale de Fourier sur un système de fonctions de base.

$$$\ psi _ {ab} (t) = \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ psi \ left (\ frac {t-b} {a} \ right)$ , (1)

construit à partir de l'ondelette mère (source) $$$\ psi (t)$ possédant certaines propriétés dues aux opérations de décalage temporel (b) et aux changements d'échelle temporelle (a).

Multiplicateur $$$1 / \ sqrt {a}$ assure l'indépendance de la norme des fonctions (1) par rapport au nombre de mise à l'échelle (a). Pour les valeurs données des paramètres a et b, la fonction $$$\ psi_ {ab} (t)$ et il y a une ondelette générée par l'ondelette mère $$$\ psi (t)$ .

Un exemple est l'ondelette mexicaine dans les domaines temporel et fréquentiel:







Conclusion:

1. Entre le concept des harmoniques de Fourier et l'échelle de l'ondelette, il y a vraiment une relation. L'essentiel de cette relation est la proportion inverse de la fréquence et de l'échelle naturelles. De plus, en réduisant l'échelle, nous augmentons la bande passante du spectre d'ondelettes.

2. En changeant l'échelle (l'augmentation de a entraîne un rétrécissement du spectre de Fourier de la fonction $$$\ psi_ {ab} (t)$ ), les ondelettes sont capables de détecter la différence de caractéristiques à différentes échelles (fréquences) et, en raison du décalage, d'analyser les propriétés du signal à différents points sur l'ensemble de l'intervalle étudié. Par conséquent, lors de l'analyse de signaux non stationnaires, en raison de la propriété de localité des ondelettes, ils obtiennent un avantage significatif sur la transformée de Fourier, qui ne donne que des informations globales sur les fréquences (échelles) du signal analysé, car le système de fonctions utilisé (exposant complexe ou sinus et cosinus) est défini sur intervalle infini.

3. Les listes ci-dessus écrites dans le langage Python de haut niveau librement distribué vous permettent de sélectionner des fonctions pour les ondelettes qui répondent aux exigences spécifiées. Cependant, il est en outre nécessaire de prendre en compte tous les principaux signes d'ondelettes.

Les principaux signes de l'ondelette

Limité. Le carré de la norme de la fonction doit être fini:
$$$\ gauche \ | \ psi \ right \ | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | \ psi (t) \ right | ^ {2} dt <\ infty$ . (2)

Localisation VP, contrairement à la transformée de Fourier, utilise une fonction initiale localisée à la fois en temps et en fréquence. Pour ce faire, il suffit que les conditions suivantes soient remplies:

$$$\ gauche | \ psi (t) \ right | \ leq C (1+ \ left | t \ right |) ^ {- 1- \ varepsilon}$ et
$$$\ gauche | S _ {\ psi} (\ omega) \ right | \ leq C (1+ \ left | \ omega \ right |) ^ {- 1- \ varepsilon}$ à $$$\ varepsilon> 0$ , (3)

Par exemple, une fonction delta $$$\ delta (t)$ et la fonction harmonique ne remplissent pas la condition nécessaire pour une localisation simultanée dans les domaines temporel et fréquentiel.

Zéro moyenne. Le graphique de la fonction d'origine doit osciller (être alterné) autour de zéro sur l'axe du temps et avoir une zone nulle:

$$$\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (t) dt = 0$ . (4)

De cette condition, il devient clair le choix du nom "ondelette" - une petite vague.

Zone de fonction égale à zéro $$$\ psi (t)$ , c'est-à-dire moment zéro, conduit au fait que la transformée de Fourier $$$S _ {\ psi} (\ omega)$ cette fonction est égale à zéro pour $$$\ omega = 0$ et a la forme d'un filtre passe-bande. Pour diverses valeurs (a), ce sera un ensemble de filtres passe-bande.

Souvent, pour les applications, il est nécessaire que non seulement zéro, mais tous les n premiers moments soient égaux à zéro:

$$$\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t ^ {^ {n}} \ psi (t) dt = 0$ . (5)

Les n-èmes ondelettes permettent d'analyser la structure plus fine (haute fréquence) du signal, en supprimant ses composantes qui changent lentement.

Self-made. Une caractéristique de VP est son auto-similitude. Toutes les ondelettes d'une famille spécifique $$$\ psi_ {ab} (t)$ avoir le même nombre d'oscillations que l'ondelette mère $$$\ psi (t)$ , car obtenu à partir de celui-ci au moyen de transformations d'échelle (a) et de décalage (b).

Transformation en ondelettes continue

Transformée en ondelettes continue (intégrale) (NVP ou WT - transformée en ondelettes continue). Nous construisons la base $$$\ psi_ {ab} (t)$ utilisant des transformations d'échelle continues (a) et des transferts (b) de l'ondelette mère $$$\ psi (t)$ avec des valeurs arbitraires des paramètres de base a et b dans la formule (1).

Ensuite, par définition, la NVP directe (analyse) et inverse (synthèse) (c'est-à-dire PNVP et ONVP) du signal S (t) s'écrit comme suit:
$$$W_ {s} (a, b) = (S (t), \ psi _ {ab} (t)) = \ frac {1} {\ sqrt {a}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S (t) \ psi \ left (\ frac {tb} {a} \ right) dt$ , (6)

$$$S (t) = \ frac {1} {C _ {\ psi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} W_ {s} (a, b ) \ psi _ {ab} (t) \ frac {dadb} {a ^ {2}}$ , (7)

où $$$C _ {\ psi}$ - coefficient de normalisation,
$$$C _ {\ psi} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | \ psi (\ omega) \ droite | ^ {2} \ gauche | \ omega \ right | ^ {- 1} d \ omega <\ infty$
où: (•, •) est le produit scalaire des facteurs correspondants,
$$$\ mathbf {\ psi (\ omega)}$ - Transformée de Fourier d'une ondelette $$$\ psi (t)$ . Pour ondelettes orthonormales $$$C _ {\ psi} = 1$ .

Il résulte de (6) que le spectre des ondelettes $$$W_ {s} (b, a)$ (spectre d'ondelettes, ou spectre d'échelle de temps), contrairement au spectre de Fourier (spectre unique), est fonction de deux arguments: le premier argument a (échelle de temps) est similaire à la période d'oscillation, c'est-à-dire est inverse de la fréquence et le second b –– est similaire au décalage du signal le long de l'axe du temps.

Il convient de noter que $$$W_ {s} (b, a_ {0})$ caractérise la dépendance temporelle (à $$$a = a_ {0})$ , tandis que les dépendances $$$W_ {s} (a, b_ {0})$ il est possible de faire correspondre la dépendance en fréquence (pour $$$b = b_ {0}$ )

Si le signal étudié S (t) est une seule impulsion de durée $$$\ tau_ {u}$ concentré dans le quartier $$$t = t_ {0}$ , alors son spectre d'ondelettes aura la plus grande valeur au voisinage du point avec les coordonnées $$$a = \ tau_ {u}, b = t_ {0}$ .

Méthodes de présentation $$$W_ {s} (b, a)$ peut être différent. Spectre $$$W_ {s} (b, a)$ est une surface dans un espace tridimensionnel. Cependant, souvent au lieu de l'image de la surface, sa projection sur le plan ab est présentée avec des niveaux iso (ou des figures de différentes couleurs), qui permettent de suivre l'évolution de l'intensité des amplitudes EP à différentes échelles (a) et dans le temps (b).

De plus, ils représentent des lignes d'extrêmes locaux de ces surfaces, le soi-disant squelette (squelette), qui révèle la structure du signal analysé.

Transformation en ondelettes continue lors de la détermination du spectre d'ondelettes sur la base de l'ondelette mère - «chapeau mexicain».

D'autres ondelettes maternelles utilisées pour la NVP sont également utilisées:



VP continu est largement utilisé dans le traitement du signal. En particulier, l'analyse en ondelettes (VA) offre des opportunités uniques de reconnaître les caractéristiques locales et «subtiles» des signaux (fonctions), ce qui est important dans de nombreux domaines de l'ingénierie radio, des communications, de la radioélectronique, de la géophysique et d'autres branches de la science et de la technologie. Examinons cette possibilité avec quelques exemples simples.

Oscillation harmonique.

Le signal a la forme: $$$s (t) = Asin (\ omega t- \ phi)$

où: $$$A = 1 V, \ omega = \ frac {2 \ pi} {T} = \ frac {2 \ pi} {50}, \ psi = 0$

Fonction de formation d'ondelettes: $$$MHAT (t): = \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} exp (-t ^ {2} / 2)$ ,

Ondelettes: $$$\ psi (a, b, t) = \ frac {1} {\ sqrt {a}} MHAT \ left (\ frac {t-b} {a} \ right)$ ,

Spectre d'ondelettes: N: = 256, a: = 1..30, b: = 0..50, $$$W (a, b): = \ int _ {- N} ^ {N} \ psi (a, b, t) s (t) dt, N_ {ab}: = W (a, b).$ .





Graphique du signal.



Graphique d'un spectre à deux paramètres $$$N_ {ab} = W (ab)$ affiché comme une surface dans un espace tridimensionnel.



Il convient de noter que la section W (a, b) pour l'échelle de temps $$$a = a_ {0}$ caractérise l'oscillation initiale s (t). De plus, son amplitude est maximale à $$$a_ {0}: 1 / \ omega$ . Dépendances $$$W (a_ {0}, b_ {0})$ peut correspondre au spectre actuel des oscillations à $$$b = b_ {0}$ .

La somme de deux oscillations harmoniques.

Le signal a la forme: $$$s (t): = A_ {1} sin (\ omega _ {1} t) + A_ {2} sin (\ omega _ {2} t)$

où: $$$A_ {1} = A_ {2} = 1V, \ omega_ {1} = \ frac {2 \ pi} {T_ {1}}, \ omega_ {2} = \ frac {2 \ pi} {T_ {2 }}, T_ {1} = 50s, T_ {2} = 10s$ .

$$$MHAT (t): = \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} \ left [e ^ {- t ^ {2/2}} \ right]$ , N: = 256,
$$$\ psi (a, b, t): = MHAT \ left (\ frac {tb} {a} \ right), W (a, b): = \ int _ {- N} ^ {N} \ psi (a , b, t) f (t) dt$ , a: = 1 ... 30, b: = 0 ... 50, $$$N_ {ab}: = W (a, b)$ .





Graphique du signal.



Le tracé du spectre à deux paramètres W (a, b) est affiché comme une surface dans un espace tridimensionnel.



Le plan des paramètres a, b sur lequel les résultats de l'EP sont mis en évidence dans des zones colorées.



Le graphique montre les «coupes» du spectre d'ondelettes pour deux valeurs du paramètre a. Avec un paramètre relativement petit de l'échelle de temps a, par $$$a_ {1} = 2 (a_ {1}: 1 / \ omega_ {2})$ , la section transversale du spectre ne transporte des informations que sur la composante haute fréquence du signal, filtrant (supprimant) sa composante basse fréquence.

Comme une augmentation, l'extension de la fonction de base $$$\ psi (\ frac {t-b} {a})$ , donc, rétrécissant son spectre, et rétrécissant la bande passante de la "fenêtre" de fréquence. En conséquence, lorsque $$$a_ {2} = 15 (a_ {2}: 1 / \ omega_ {1})$ la section efficace du spectre n'est qu'une composante basse fréquence du signal.

Avec une nouvelle augmentation de a, la bande de fenêtre diminue toujours et le niveau de cette composante basse fréquence diminue à une composante constante (pour a> 25), qui est égale à zéro pour le signal analysé.



Le graphique montre les sections du spectre d'ondelettes W (a, b) caractérisant
spectre de signal actuel à $$$b_ {1} = 13$ et $$$b_ {2} = 17$ . Le spectre du signal considéré, contrairement à l'harmonique, contient une composante haute fréquence dans la région des petites valeurs de l'échelle de temps a (a: 1..3), qui correspond à la deuxième composante du signal $$$A_ {2} sin (\ omega_ {2} t)$ .

Moment rectangulaire.

$$$U: = 5, t_ {0}: = 20, \ tau: = 60$
$$$s (t): = \ begin {vmatrix} U, si t_ {0} \ leq t \ leq t_ {0} + \ tau \\ 0, sinon \ end {vmatrix}$
$$$MHAT (t): = \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}} exp \ left (\ frac {-t ^ {2}} {2} \ right)$
$$$N: = 128, \ psi (a, b, t): = MHAT \ left (\ frac {tb} {a} \ right), W (a, b): = \ int _ {- N} ^ {N } \ psi (a, b, t) f (t) dt$
$$$a: = 1..50, b: = 0..100, N_ {ba}: = W (a, b)$











Les spectres d'ondelettes sont représentés sur des graphiques, le spectre d'ondelettes transmet bien les caractéristiques subtiles du signal - ses sauts sur les échantillons b = 20 et b = 80 (pour a: 1..10).

Conclusions

Cette publication est de nature pédagogique, elle fournit des informations de base sur l'analyse des ondelettes en général, et des exemples simples dans le langage de programmation de haut niveau Python librement distribué montrent les caractéristiques de l'analyse en ondelettes continue avec une visualisation graphique 3D et 2D étendue.

PS L'auteur ne diminue pas les avantages inconditionnels de l'analyse en ondelettes utilisant Matlab à la fois en termes de nombre d'ondelettes et de vitesse. Mais en Python, il y a encore de la place pour de nouveaux développements: scipy.signal et PyWavelets.