Mon ami ingénieur m'a récemment surpris. Il a dit qu'il n'était pas sûr que le nombre 1 soit premier ou non. J'ai été surpris car aucun des mathématiciens ne considère l'unité comme simple.
La confusion commence par la définition donnée à un nombre premier:
c'est un entier positif qui est divisible par seulement 1 et par lui-même . Le nombre 1 est divisé par 1, et il est divisé par lui-même. Mais se diviser et
1 n'est pas deux facteurs différents ici. Alors, est-ce un nombre premier ou non? Lorsque j'écris la définition d'un nombre premier, j'essaie d'éliminer cette ambiguïté: je parle directement de la nécessité d'exactement deux conditions différentes, divisant par 1 et par lui-même, ou qu'un nombre premier doit être un entier supérieur à 1. Mais pourquoi prendre de telles mesures qui exclure 1?
Mon éducation mathématique m'a appris qu'une bonne raison pour laquelle 1 n'est pas considéré comme simple est le théorème de base de l'arithmétique. Elle prétend que chaque nombre peut être écrit comme le produit de nombres premiers d'une manière exacte. Si j'étais simple, nous perdrions cette unicité. Nous pourrions écrire 2 comme 1 × 2, ou 1 × 1 × 2, ou 1
594827 × 2. L'exception 1 des nombres premiers élimine cela.
Au départ, j'avais prévu d'expliquer le théorème de base de l'arithmétique dans un article et de le terminer. Mais en fait, il n'est pas si difficile de changer l'énoncé du théorème pour résoudre le problème avec l'unité. Finalement, la question de mon ami a éveillé ma curiosité: comment les mathématiciens se sont-ils installés sur cette définition d'un nombre premier? Une recherche rapide sur Wikipédia a montré que l'unité était auparavant considérée comme un nombre premier, mais maintenant ce n'est pas le cas. Mais
un article de Chris Caldwell et Yong Sung révèle une histoire un peu plus complexe. Cela peut être compris dès le début de leur article: «Premièrement, si un nombre (en particulier une unité) est simple est une question de détermination, c'est-à-dire une question de choix, de contexte et de tradition, et non une question de preuve. Cependant, les définitions ne se produisent pas au hasard; le choix est lié à notre utilisation des mathématiques et, en particulier dans ce cas, à notre notation. »
Caldwell et Xiong commencent par des mathématiciens grecs classiques. Ils ne comptaient pas 1 comme un nombre, comme 2, 3, 4, etc. 1 était considéré comme un nombre, et le nombre était composé de plusieurs chiffres. Pour cette raison, 1 ne pouvait pas être simple - ce n'est même pas un nombre.
Al-Kindi , un mathématicien arabe du 9ème siècle, a écrit que ce n'est pas un nombre et, par conséquent, n'est pas pair ou impair. Pendant de nombreux siècles, la notion qu'une unité est la pierre angulaire de la compilation de tous les nombres, mais pas le nombre lui-même, a prévalu.
En 1585, le mathématicien flamand Simon Stevin a souligné que dans le système décimal, il n'y a pas de différence entre 1 et tout autre nombre. À tous égards, 1 se comporte comme toute autre quantité. Bien que pas immédiatement, cette observation a finalement conduit les mathématiciens à accepter 1 comme tout autre nombre.
Jusqu'à la fin du XIXe siècle, certains mathématiciens de renom considéraient l'un comme simple et d'autres non. Pour autant que je sache, ce n'était pas une cause de désaccord; pour les questions mathématiques les plus populaires, la différence n'était pas critique. Caldwell et Xiong citent G.H.Hardy comme le dernier grand mathématicien qui considère que 1 est simple (il l'a explicitement indiqué comme une prime dans les six premières éditions de The Course of Pure Mathematics, publiées entre 1908 et 1933, et en 1938 a changé la définition et appelé 2 le moins simple).
L'article mentionne, mais ne comprend pas en détail, les changements en mathématiques, à cause desquels 1 a été exclu de la liste des nombres premiers. En particulier, l'un des changements importants a été le développement d'ensembles en dehors de l'ensemble des entiers qui se comportent comme des entiers.
Dans l'exemple le plus simple, nous pouvons demander si le nombre -2 est premier. La question peut sembler inutile, mais elle nous invite à exprimer par des mots le rôle unique de l'unité entre les nombres entiers. L'aspect le plus inhabituel de 1 est que son inverse est également un entier (l'inverse de
x est le nombre qui, multiplié par
x, donne 1. Pour 2, l'inverse de 1/2 est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels ou réels, mais n'est pas entier: 1/2 × 2 = 1). Le nombre 1 s'est avéré être son propre nombre inverse. Aucun autre entier positif n'a une valeur inverse dans l'ensemble des entiers. Un nombre avec une valeur inverse est appelé un
élément inversible . Le nombre -1 est également un élément réversible dans l'ensemble des entiers: encore une fois, c'est un élément inversible pour lui-même. Nous ne considérons pas les éléments réversibles comme simples ou composés, car vous pouvez les multiplier par d'autres éléments réversibles sans trop de changements. On peut alors supposer que le nombre -2 n'est pas si différent de 2; en termes de multiplication. Si 2 est premier, alors −2 doit être le même.
J'ai soigneusement évité dans le paragraphe précédent la définition d'une
simple en raison du fait malheureux qu'une telle définition ne convient pas à ces grands ensembles! Autrement dit, c'est un peu illogique, et je choisirais un autre. Pour les entiers positifs, chaque
p premier
a deux propriétés:
Il ne peut pas être écrit comme le produit de deux entiers, dont aucun n'est un élément réversible.
Si le produit
m × n est divisible par
p , alors
m ou
n doit être divisible par
p (par exemple,
m = 10,
n = 6 et
p = 3.)
La première de ces propriétés est la façon dont nous pourrions caractériser les nombres premiers, mais, malheureusement, un
élément irréductible est obtenu ici. La deuxième propriété est un
élément simple . Dans le cas des nombres naturels, bien sûr, les mêmes nombres satisfont aux deux propriétés. Mais cela ne s'applique pas à tous les ensembles de nombres intéressants.
À titre d'exemple, considérons un ensemble de nombres de la forme
a + b√ - 5 ou
a + ib√5 , où
a et
b sont des entiers et
i est la racine carrée de −1. Si vous multipliez les nombres 1 + √ - 5 et 1-√ - 5, vous obtenez 6. Bien sûr, vous obtenez également 6, si vous multipliez 2 et 3, qui sont également dans cet ensemble de nombres avec
b = 0 . Chacun des nombres 2, 3, 1 + √ - 5 et 1 - √ - 5 ne peut pas être représenté comme le produit de nombres qui ne sont pas des éléments réversibles (si vous ne me croyez pas sur parole, ce n'est pas trop difficile à vérifier). Mais le produit (1 + √ - 5) (1 - √ - 5) est divisible par 2, et 2 n'est pas divisible par 1 + √ - 5 ou 1 - √ - 5 (encore une fois, vous pouvez vérifier si vous ne me croyez pas ) Ainsi, 2 est un élément irréductible, mais pas simple. Dans cet ensemble de nombres, 6 peut être décomposé en éléments irréductibles de deux manières différentes.
Le nombre ci-dessus, que les mathématiciens peuvent appeler Z [√-5], contient deux éléments réversibles: 1 et -1. Mais il existe des ensembles de nombres similaires avec un nombre infini d'éléments réversibles. Ces ensembles étant devenus des objets d'étude, il est logique de distinguer clairement les définitions des éléments réversibles, irréductibles et simples. En particulier, s'il existe des ensembles de nombres avec un nombre infini d'éléments réversibles, il devient de plus en plus difficile de comprendre ce que nous entendons par la factorisation unique des nombres, à moins qu'il ne soit précisé que les éléments inversibles ne peuvent pas être simples. Bien que je ne sois pas historien des mathématiques et que je ne traite pas de la théorie des nombres et que j'aimerais en savoir plus sur la façon dont ce processus s'est produit, je pense que c'est l'une des raisons pour lesquelles Caldwell et Xiong considèrent la raison de l'exclusion de 1 des nombres premiers.
Comme cela arrive souvent, ma réponse initiale nette et concise à la question de savoir pourquoi tout est arrangé tel quel, n'est finalement devenue qu'une partie du problème. Merci à mon ami d'avoir posé une question et de m'avoir aidé à en apprendre davantage sur l'histoire complexe de la simplicité.