🗺️ 🎏 🤳🏻 Une explication abordable de l'hypothèse de Riemann 👨🏽‍✈️ 👳🏿 ☠️

Dédié à la mémoire de John Forbes Nash Jr.

Vous souvenez-vous des "nombres premiers"? Ces nombres ne sont divisibles par aucun autre qu'eux-mêmes et 1. Et maintenant je vais poser une question qui a déjà 3000 ans:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, p . À quoi p est-il égal? 31. Quel sera le prochain p ? 37. Et le prochain p ? 41. Et le suivant? 43. Oui, mais ... comment savons-nous quelle sera la prochaine signification?

Trouvez un jugement ou une formule qui (au moins dans le péché) prédit ce que sera le prochain nombre premier (dans une série donnée de nombres), et votre nom sera toujours associé à l'une des plus grandes réalisations du cerveau humain. Vous serez à égalité avec Newton, Einstein et Gödel. Comprenez le comportement des nombres premiers, puis vous pourrez vous reposer sur vos lauriers toute votre vie.

Présentation

Les propriétés des nombres premiers ont été étudiées par de nombreuses grandes personnes dans l'histoire des mathématiques. De la première preuve de l'infinité des nombres premiers euclidiens à la formule du produit d'Euler, qui relie les nombres premiers à la fonction zêta De la formulation du théorème de Gauss et Legendre à sa preuve inventée par Hadamard et Valle-Poussin. Cependant, Bernhard Riemann est toujours considéré comme le mathématicien qui a fait la plus grande découverte dans la théorie des nombres premiers. Dans son article, publié en 1859, composé de seulement huit pages, de nouvelles découvertes jusqu'alors inconnues ont été faites sur la distribution des nombres premiers. Cet article est toujours considéré comme l'un des plus importants en théorie des nombres.

Après sa publication, l'article de Riemann est resté le principal ouvrage sur la théorie des nombres premiers et est en fait devenu la principale raison de prouver le théorème sur la distribution des nombres premiers en 1896. Depuis lors, plusieurs nouvelles preuves ont été trouvées, y compris des preuves élémentaires de Selberg et Erdös. Cependant, l'hypothèse de Riemann sur les racines de la fonction zêta reste un mystère.

Combien y a-t-il de nombres premiers?

Commençons par un simple. Nous savons tous qu'un nombre est soit premier, soit composé . Tous les nombres composés sont simples et peuvent être décomposés en leurs produits (axb). En ce sens, les nombres premiers sont les «éléments constitutifs» ou «éléments fondamentaux» des nombres. En 300 avant JC, Euclide a prouvé que leur nombre est infini. Sa preuve élégante est la suivante:

Théorème euclidien

Supposons que l'ensemble des nombres premiers ne soit pas infini. Créez une liste de tous les nombres premiers. Soit alors P le produit de tous les nombres premiers de la liste (on multiplie tous les nombres premiers de la liste). Ajouter au résultat 1: Q = P +1. Comme tous les nombres, ce nombre naturel Q doit être simple ou composé:

Si Q est premier, alors nous avons trouvé un nombre premier qui ne figure pas dans notre «liste de tous les nombres premiers».
Si Q n'est pas simple, alors il est composite, c'est-à-dire composé de nombres premiers, dont l'un, p, sera un diviseur de Q (car tous les nombres composés sont des produits de nombres premiers). Chaque p premier dont P est composé est évidemment un diviseur de P. Si p est un diviseur à la fois pour P et Q, alors il doit être un diviseur pour leur différence, c'est-à-dire l'unité. Aucun nombre premier n'est un diviseur de 1, donc le nombre p ne peut pas être dans la liste - une autre contradiction avec le fait que la liste contient tous les nombres premiers. Il y aura toujours un autre premier p qui ne figure pas sur la liste et qui est un diviseur de Q. Par conséquent, il existe une infinité de nombres premiers.

Pourquoi les nombres premiers sont-ils si difficiles à comprendre?

Le fait que tout nouvel arrivant comprenne le problème ci-dessus en dit long sur sa complexité. Même les propriétés arithmétiques des nombres premiers, malgré une étude active, sont mal comprises par nous. La communauté scientifique est si confiante dans notre incapacité à comprendre le comportement des nombres premiers que la factorisation de grands nombres (définissant deux nombres premiers, dont le produit est un nombre) reste l'un des fondements fondamentaux de la théorie du chiffrement. Vous pouvez le regarder comme suit:

Nous comprenons bien les nombres composites. Ce sont tous des nombres qui ne sont pas des nombres premiers. Ils sont constitués de nombres premiers, mais nous pouvons facilement écrire une formule qui prédit et / ou génère des nombres composites. Un tel «filtre numérique composite» est appelé un tamis . L'exemple le plus célèbre est le soi-disant "tamis d'Eratosthène", inventé vers 200 avant JC. Son travail consiste à simplement marquer des valeurs qui sont des multiples de chaque nombre premier jusqu'à une frontière donnée. Supposons que nous prenons le nombre premier 2 et marquons 4,6,8,10, etc. Prenez ensuite 3 et marquez 6,9,12,15, etc. Par conséquent, nous n'aurons que des nombres premiers. Bien qu'il soit très facile à comprendre, le tamis d'Eratosthène, comme vous pouvez l'imaginer, n'est pas particulièrement efficace.

L'une des fonctions qui simplifie grandement notre travail sera 6n ± 1. Cette fonction simple renvoie tous les nombres premiers, à l'exception de 2 et 3, et supprime tous les nombres multiples de 3, ainsi que tous les nombres pairs. Remplacez n = 1,2,3,4,5,6,7 et obtenez les résultats suivants: 5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43. Les seuls nombres non premiers générés par la fonction sont 25 et 35, qui peuvent être factorisés 5 x 5 et 5 x 7. Les prochains nombres non premiers, comme vous pouvez le deviner, seraient 49 = 7 x 7, 55 = 5 x 11, et ainsi de suite. Tout est facile, non?

Pour afficher visuellement cela, j'ai utilisé ce que j'appelle «l'escalier des nombres composés» - un moyen pratique de montrer comment les nombres composites générés par la fonction sont organisés et combinés. Dans les trois premières colonnes de l'image ci-dessous, nous voyons comment les nombres premiers 5, 7 et 11 montent magnifiquement chaque escalier de nombres composites, jusqu'à la valeur 91. Le chaos qui se produit dans la quatrième colonne, montrant comment le tamis a tout supprimé sauf les nombres premiers, est excellent une illustration des raisons pour lesquelles les nombres premiers sont si difficiles à comprendre.

Ressources fondamentales

Comment tout cela est-il lié au concept dont vous pourriez entendre parler - à «l'hypothèse de Riemann»? Eh bien, pour le dire simplement, pour mieux comprendre les nombres premiers, les mathématiciens du 19e siècle ont cessé d'essayer de prédire l'emplacement des nombres premiers avec une précision absolue, et ont plutôt commencé à considérer le phénomène des nombres premiers dans son ensemble. Riemann est devenu le maître de cette approche analytique , et dans le cadre de cette approche, sa célèbre hypothèse a été créée. Cependant, avant de commencer à l'expliquer, il est nécessaire de se familiariser avec certaines ressources fondamentales.

Lignes harmoniques

Les séries harmoniques sont une série infinie de nombres qui ont été explorés pour la première fois au 14ème siècle par Nikolai Orem. Son nom est associé au concept d'harmoniques musicales - des harmoniques plus élevées que la fréquence du ton fondamental. Les lignes sont les suivantes:

Les premiers membres d'une série harmonique infinie

Orem a prouvé que cette somme est divergente (c'est-à-dire sans limite finie; elle ne s'approche pas et ne tend pas vers un nombre particulier, mais est dirigée vers l'infini).

Fonctions Zeta

Les séries harmoniques sont un cas particulier d'un type de fonction plus général appelé fonction zêta ζ (s). La fonction zêta réelle est définie pour deux nombres réels r et n :

Fonction Zeta

Si nous substituons n = 1, alors nous obtenons une série harmonique qui diverge. Cependant, pour toutes les valeurs de n> 1, la série converge , c'est-à-dire que la somme avec r croissant tend vers un certain nombre et ne va pas à l'infini.

Formule d'Euler

La première connexion entre les fonctions zêta et les nombres premiers a été établie par Euler lorsqu'il a montré que pour deux nombres naturels (entier et supérieur à zéro) n et p , où p est premier, ce qui suit est vrai:

Produit d'Euler pour deux nombres n et p, où les deux sont supérieurs à zéro et p est premier.

Cette expression est apparue pour la première fois dans un article de 1737 intitulé Variae observationses circa series infinitas . Il résulte de l'expression que la somme de la fonction zêta est égale au produit des quantités inverses à l'unité, moins l'inverse des nombres premiers de degré s . Cette connexion étonnante a jeté les bases de la théorie moderne des nombres premiers, dans laquelle la fonction zêta ζ (s) a depuis commencé à être utilisée comme moyen d'étudier les nombres premiers.

La preuve de la formule est l'une de mes preuves préférées, je vais donc la présenter, bien que pour nos besoins ce ne soit pas nécessaire (mais c'est tout aussi merveilleux!):

Preuve de la formule du produit Euler

Euler commence par une fonction zêta commune

Fonction Zeta

D'abord, il multiplie les deux parties par le second terme:

Fonction Zeta multipliée par 1/2 ^s

Puis il soustrait l'expression résultante de la fonction zêta:

Fonction zêta moins 1/2 ^s fois la fonction zêta

Il répète ce processus, multipliant encore les deux côtés par le troisième mandat

Fonction zêta moins 1/2 ^s fois la fonction zêta fois 1/3 ^s

Et puis soustrait l'expression résultante de la fonction zêta

Fonction zêta moins 1/2 ^s fois la fonction zêta moins 1/3 ^s fois la fonction zêta

Si vous répétez ce processus indéfiniment, à la fin, nous aurons l'expression:

1 moins toutes les valeurs inverses aux nombres premiers multipliés par la fonction zêta

Si ce procédé vous est familier, c'est parce qu'Euler a essentiellement créé un tamis très similaire au tamis d'Eratosthène. Il filtre les nombres non premiers de la fonction zêta.

Ensuite, nous divisons l'expression en tous ses termes, qui sont inverses aux nombres premiers, et obtenons:

Relation fonctionnelle de la fonction zêta avec les nombres premiers pour les premiers nombres premiers 2,3,5,7 et 11

Pour simplifier l'expression, nous avons montré ce qui suit:

La formule du travail d'Euler est une égalité montrant la relation entre les nombres premiers et la fonction zêta

N'était-ce pas beau? Nous substituons s = 1, et nous trouvons une série harmonique infinie, prouvant à plusieurs reprises l'infinité des nombres premiers.

Fonction Mobius

August Ferdinand Mobius a réécrit le travail d'Euler, créant un nouveau montant. En plus des quantités inverses aux nombres premiers, la fonction Mobius contient également chaque nombre naturel, qui est le produit d'un nombre pair et impair de facteurs premiers. Les nombres exclus de sa série sont des nombres qui sont divisibles par un nombre premier au carré. Sa somme, notée μ (n) , a la forme suivante:

La fonction Mobius est une version modifiée du produit Euler donnée pour tous les nombres naturels

La somme contient les valeurs inverses:

À chaque nombre premier;
À chaque nombre naturel, qui est le produit d'un nombre impair de nombres premiers différents, pris avec un signe moins; et
À chaque nombre naturel, qui est le produit d'un nombre pair de nombres premiers différents, pris avec un signe plus;

Les premiers membres sont indiqués ci-dessous:

Série / somme d'unités divisée par la fonction zêta ζ (s)

La somme ne contient pas les valeurs réciproques qui sont divisées par le carré de l'un des nombres premiers, par exemple, 4.8.9, etc.

La fonction Mobius μ (n) ne peut prendre que trois valeurs possibles: le préfixe (1 ou -1) ou la suppression (0) de membres de la somme:

Trois valeurs possibles de la fonction Mobius μ (n)

Bien que ce montant délicat ait été formellement déterminé par Mobius pour la première fois, il est à noter que 30 ans avant lui, Gauss a écrit à propos de ce montant dans des notes marginales:

«La somme de toutes les racines primitives (prime p) ou ≡ 0 (lorsque p-1 est divisible par carré), ou ≡ ± 1 (mod p) (lorsque p-1 est le produit de nombres premiers inégaux); si leur nombre est pair, alors le signe est positif, mais si le nombre est impair, alors le signe est négatif. »

Fonction de distribution des nombres premiers

Revenons aux nombres premiers. Pour comprendre comment les nombres premiers sont distribués lors du déplacement vers le haut de la droite numérique, sans savoir exactement où ils se trouvent, il sera utile de calculer combien d'entre eux se produisent jusqu'à un certain nombre.

C'est précisément cette tâche que remplit la fonction de distribution des nombres premiers π (x) proposée par Gauss: elle nous donne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel donné. Comme nous ne connaissons pas les formules de recherche des nombres premiers, la formule de distribution des nombres premiers ne nous est connue que sous forme de graphique ou de fonction de pas qui augmente de 1 lorsque x est un nombre premier. Le graphique ci-dessous montre la fonction jusqu'à x = 200.

La fonction de distribution des nombres premiers π (x) jusqu'à x = 200.

Théorème de distribution des nombres premiers

Le théorème sur la distribution des nombres premiers, formulé par Gauss (et indépendamment Legendre), énonce:

Théorème de distribution des nombres premiers

En langage ordinaire, cela peut être dit comme suit: "Lorsque x se déplace vers l'infini, la fonction de distribution des nombres premiers π (x) se rapprochera de la fonction x / ln (x)." En d'autres termes, si vous montez suffisamment loin et que le graphique de distribution principale monte à un très haut x , puis en divisant x par le logarithme naturel x, le rapport de ces deux fonctions tendra à 1. En dessous du graphique, deux fonctions sont x = 1000:

La fonction de distribution des nombres premiers π (x) et une estimation approximative par le théorème de distribution des nombres premiers jusqu'à x = 1000

Du point de vue des probabilités, le théorème de la distribution des nombres premiers dit que si nous choisissons au hasard un entier positif x, alors la probabilité P (x) que ce nombre soit premier est approximativement égale à 1 / ln (x). Cela signifie que l'écart moyen entre des nombres premiers consécutifs parmi les x premiers entiers est d'environ ln (x).

Logarithme intégral

La fonction Li (x) est définie pour tous les nombres réels positifs, à l'exception de x = 1. Elle est définie par l'intégrale de 2 à x :

La représentation intégrale de la fonction logarithme intégrale

Après avoir tracé cette fonction à côté de la fonction de distribution principale et de la formule du théorème de distribution principale, nous voyons que Li (x) est en fait une meilleure approximation que x / ln (x):

Le logarithme intégral de Li (x) , la fonction de distribution des nombres premiers π (x) et x / ln (x) sur le même graphique

Pour savoir à quel point cette approximation est meilleure, nous pouvons construire un tableau avec de grandes valeurs de x, le nombre de nombres premiers jusqu'à x et l'erreur entre les anciennes fonctions (théorème sur la distribution des nombres premiers) et les nouvelles fonctions (logarithme intégral):

Le nombre de nombres premiers jusqu'à une puissance donnée de dizaines et les erreurs correspondantes pour deux approximations

Comme vous pouvez facilement le voir, le logarithme intégral est beaucoup mieux en approximation que la fonction du théorème sur la distribution des nombres premiers, il a «fait une erreur» de seulement 314 890 nombres premiers pour x = 10 à la puissance de 14. Néanmoins, les deux fonctions convergent vers fonctions de distribution des nombres premiers π (x). Li (x) converge beaucoup plus rapidement, mais lorsque x tend vers l'infini, le rapport entre la fonction de distribution des nombres premiers et les fonctions Li (x) et x / ln (x) approche 1. Nous le montrons clairement:

La convergence des rapports de deux valeurs approximatives et la fonction de distribution des nombres premiers à 1 à x = 10 000

Fonction gamma

La fonction gamma Γ (z) est devenue un objet d'étude important depuis que Daniel Bernoulli et Christian Goldbach ont étudié le problème de la généralisation de la fonction factorielle à des arguments non entiers dans les années 1720. Il s'agit d'une généralisation de la fonction factorielle n ! (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x .... N ) rétrogradé de 1:

La fonction gamma définie pour z

Son emploi du temps est très curieux:

Graphique de la fonction gamma Γ (z) dans l'intervalle -6 ≤ z ≤ 6

La fonction gamma Γ (z) est définie pour toutes les valeurs complexes de z supérieures à zéro. Comme vous le savez probablement, les nombres complexes sont une classe de nombres avec la partie imaginaire , écrite comme Re ( z ) + Im ( z ), où Re ( z ) est la partie réelle (nombre réel ordinaire), et Im ( z ) est la partie imaginaire désigné par la lettre i . Le nombre complexe est généralement écrit sous la forme z = σ + it , où sigma σ est la partie réelle et il est imaginaire. Les nombres complexes sont utiles en ce qu'ils permettent aux mathématiciens et aux ingénieurs de travailler avec des problèmes inaccessibles aux nombres réels ordinaires. Sous une forme complexe, les nombres complexes étendent la ligne numérique unidimensionnelle traditionnelle dans un plan numérique bidimensionnel, appelé plan complexe , dans lequel la partie réelle du nombre complexe est disposée le long de l'axe x, et l'imaginaire - le long de l'axe y.

Pour que la fonction gamma Γ (z) puisse être utilisée, elle est généralement réécrite sous la forme

Relation fonctionnelle de la fonction gamma Γ (z)

En utilisant cette égalité, nous pouvons obtenir des valeurs pour z inférieures à zéro. Cependant, il ne donne pas de valeurs pour les entiers négatifs, car ils ne sont pas définis (formellement, ce sont des dégénérations ou de simples pôles).

Zeta et gamma

La relation entre la fonction zêta et la fonction gamma est donnée par l'intégrale suivante:

Fonction Riemann Zeta

Après nous être familiarisés avec toutes les ressources fondamentales nécessaires, nous pouvons enfin commencer à établir le lien entre les nombres premiers et l'hypothèse de Riemann.

Le mathématicien allemand Bernhard Riemann est né en 1826 à Brezlenets. Élève de Gauss, Riemann a publié un article dans le domaine de l'analyse mathématique et de la géométrie. On pense qu'il a apporté la plus grande contribution dans le domaine de la géométrie différentielle, où il a jeté les bases du langage de la géométrie, utilisé plus tard par Einstein dans la théorie générale de la relativité.

Son seul travail sur la théorie des nombres, un article de 1859 d' Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse ("Sur des nombres premiers inférieurs à une quantité donnée") est considéré comme l'article le plus important dans ce domaine des mathématiques. En seulement quatre pages, il a décrit:

Définition de la fonction zêta de Riemann ζ (s) - fonction zêta à valeurs complexes;
La continuation analytique de la fonction zêta à tous les nombres complexes s ≠ 1;
La définition de la fonction xi Riemann ξ (s) - la fonction entière associée à la fonction zêta de Riemann via la fonction gamma;
- ;
J(x) ;
, - .

, , , . .

-

Nous avons vu la relation étroite entre les nombres premiers et la fonction zêta montrée par Euler dans son travail. Cependant, à l'exception de cette connexion, on savait peu de choses sur leur relation, et l'invention de nombres complexes était nécessaire pour les montrer.

Riemann a été le premier à considérer la fonction zêta ζ (s) pour la variable complexe s , où s = σ + i t.

- n, s = σ + it — , σ t .

, - ζ(s), ( ) 1 (Re(s) > 1). .

( s 1), . , Re(s) > 0.

- , {x} = x — |x|

- Re(s) > 0, s = 1, / . , ( ), s = 1. , L- .

. - ζ(s) , - Γ(z). , , , .

Γ(z) - ϑ(x), , -. , :

s = 0 s = 1

, ψ(s) x, , s.

, , (-1 / s(1 — s) ) ( ), s 1 — s. , s=0 s=1, - ξ(s) :

- ξ(s)

-

/ -, ζ(s)=0, , «» «» - .

Re(s) < 0

Les zéros triviaux sont des zéros faciles à trouver et à expliquer. Ils sont plus visibles sous la forme fonctionnelle suivante de la fonction zêta:

Variation de l'équation zêta fonctionnelle de Riemann:

ce produit devient nul lorsque le sinus devient nul. Cela se produit aux valeurs kπ. Autrement dit, avec un entier pair négatif s = -2n, la fonction zêta devient nulle. Cependant, pour des entiers pairs positifs s = 2n, les zéros sont annulés par les pôles de la fonction gamma Γ (z). Il est plus facile à voir dans sa forme fonctionnelle d'origine; si nous substituons s = 2n, alors la première partie du terme devient indéfinie.

Ainsi, la fonction zêta de Riemann a des zéros dans chaque entier pair négatif s = -2n. Ce sont des zéros triviaux, et ils peuvent être vus sur le graphique de la fonction:

- ζ(s) s= -2, -4, -6

Re(s) > 1

ζ(s) s 1, . .

0 ≤ Re(s) ≤ 1

, Re(s) < 0, , Re(s) > 1 .

, , .

- ζ(s) -5 < Re < 2, 0 < Im < 60

ζ(s) , — . , s -2 -4. 0 1 ζ(s). - . , , s .

- ζ(s) -5 < Re < 2, 0 < Im < 120

-

- ξ(s) ( , , s) :

-

, Re( s ) = 1/2, ξ(1) = ξ(0), ξ(2) = ξ(-1), . ( s 1- s ) , - 0 ≤ Re( s ) ≤ 1. , - - . , R(s) = 1/2 - ζ( s ) (Im( s ) = 0) - ξ( s)

En regardant les deux graphiques ci-dessus, vous pouvez immédiatement remarquer que pour tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ζ ( s ) (zéros de la fonction xi de Riemann), la partie réelle de Re (s) est 1/2. Dans son article, Riemann a brièvement mentionné cette propriété, et sa note superficielle s'est avérée être l'un de ses plus grands héritages.

Hypothèse de Riemann

Pour les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ζ (s), la partie réelle a la forme Re (s) = 1/2.

, . , , (ζ(s) = 0) 0 ≤ Re(s) ≤ 1, Re(s) = 1/2. , ζ(1/2 + i t).

( ) , - ξ(s) .

Re(s) = 1/2 . Re( s ) ζ( s ) , Im( s ) — . — .

Les premiers zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann sur la droite Re (s) = 1/2.

Si l'hypothèse de Riemann se révèle être vraie, alors tous les zéros non triviaux de la fonction se produiront sur cette ligne comme l'intersection de deux graphiques.

Raisons de croire à une hypothèse

-. , , . , . , , , , , . , , . (2004) — , , Li( x ) , . , , — , , 34. , , . , « » .

-

Sur la base de la vérité de l'hypothèse de Riemann, Riemann lui-même a commencé à étudier ses conséquences. Dans son article, il a écrit: "... il y a une forte probabilité que toutes les racines soient matérielles. Bien sûr, une preuve rigoureuse est nécessaire ici; après avoir fait plusieurs tentatives infructueuses, je vais reporter sa recherche, car elle semble être facultative pour le prochain objectif de mes recherches . " Son prochain objectif était de relier les zéros de la fonction zêta aux nombres premiers.

Rappelons la fonction de distribution des nombres premiers π ( x ), qui compte le nombre de nombres premiers jusqu'à un nombre réel x . Riemann a utilisé π ( x ) pour déterminer la fonction propre de la distribution des nombres premiers, à savoir la fonction de distribution des nombres premiers Riemann J ( x ). Il est défini comme suit:

Fonction de distribution des nombres premiers de Riemann

La première chose que vous pouvez remarquer dans cette fonction est qu'elle n'est pas infinie. Pour certains membres, la fonction de distribution sera nulle, car il n'y a pas de nombres premiers pour x <2. C'est-à-dire, en prenant J (100) comme exemple, nous obtenons que la fonction se compose de sept membres, car le huitième membre contiendra la huitième racine 100, qui est approximativement égal à 1,778279 .., c'est-à-dire que ce membre de la distribution des nombres premiers devient égal à zéro, et la somme devient égale à J (100) = 28,5333 ...

Comme la fonction de distribution des nombres premiers, la fonction de Riemann J ( x ) est une fonction de pas dont la valeur augmente comme suit:

Valeurs possibles de la fonction de distribution des nombres premiers de Riemann

Pour relier la valeur de J ( x ) au nombre de nombres premiers jusqu'à x , y compris, nous reviendrons sur la fonction de distribution des nombres premiers π ( x ) en utilisant un processus appelé inversion de Mobius (je ne le montrerai pas ici). L'expression résultante ressemblera à

La fonction de distribution des nombres premiers π (x) et sa relation avec la fonction de distribution des nombres premiers de Riemann et la fonction Mobius μ (n)

Rappelons que les valeurs possibles de la fonction Mobius sont de la forme

Trois valeurs possibles de la fonction Mobius μ (n)

Cela signifie que maintenant nous pouvons écrire n'importe quelle fonction de distribution des nombres premiers en tant que fonction de distribution des nombres premiers de Riemann, ce qui nous donnera

La fonction de distribution des nombres premiers, écrite comme la fonction de distribution des nombres premiers de Riemann pour les sept premières valeurs de n

Cette nouvelle expression est toujours la somme finale, car J ( x ) est égal à zéro pour x <2, car il n'y a pas de nombres premiers inférieurs à 2.

Si maintenant nous considérons à nouveau l'exemple avec J (100), nous obtenons la somme

Fonction de distribution des nombres premiers pour x = 100

Comme nous le savons, le nombre de nombres premiers est inférieur à 100.

Transformer la formule du produit Euler

Riemann a ensuite utilisé le produit d'Euler comme point de départ et obtenu une méthode d'estimation analytique des nombres premiers dans un langage de calcul non calculable. À partir d'Euler:

Produit d'Euler pour les cinq premiers nombres premiers

Tout d'abord, en prenant le logarithme des deux côtés, puis en réécrivant les dénominateurs entre parenthèses, il a dérivé la relation

Logarithme d'une formule réécrite pour un produit Euler

Puis, en utilisant la célèbre série Taylor-Maclaurin, il a développé chaque terme logarithmique sur le côté droit, créant une somme infinie de sommes infinies, une pour chaque terme dans une série de nombres premiers.

Extension de Taylor pour les quatre premiers termes du logarithme du produit Euler

Considérez l'un de ces membres, par exemple:

Le deuxième terme est la décomposition de la maclaurine pour 1/3 ^ s

Ce membre, comme tous les autres membres du calcul, représente une partie de l'aire sous la fonction J ( x ). Sous la forme d'une intégrale:

La forme intégrale du deuxième terme de l'expansion de Maclaurin pour 1/3 ^ s

En d'autres termes, en utilisant le produit d'Euler, Riemann a montré qu'il est possible de représenter une fonction de distribution discrète par étapes de nombres premiers sous la forme d'une somme continue d'intégrales. Dans le graphique ci-dessous, l'exemple du terme que nous avons pris est montré comme faisant partie de l'aire sous le graphique de la fonction de distribution des nombres premiers de Riemann.

La fonction de distribution des nombres premiers de Riemann J (x) jusqu'à x = 50, dans laquelle deux intégrales sont distinguées

Ainsi, chaque expression dans une somme finie, constituant une série de quantités inverses aux nombres premiers du produit d'Euler, peut être exprimée sous forme d'intégrales constituant une somme infinie d'intégrales correspondant à l'aire sous la fonction de distribution des nombres premiers de Riemann. Pour un nombre premier 3, ce produit infini d'intégrales a la forme:

Un produit infini des intégrales qui composent l'aire sous la fonction de distribution des nombres premiers représentés par un entier 3

Si nous rassemblons toutes ces sommes infinies en une seule intégrale, alors l'intégrale sous la fonction de distribution des nombres premiers de Riemann J ( x ) peut être écrite sous une forme simple:

Le logarithme de zêta, exprimé comme une série infinie d'intégrales

Ou mieux connu

L'équivalent moderne du produit Euler, reliant la fonction zêta à la fonction de distribution des nombres premiers de Riemann

Grâce à cela, Riemann a réussi à relier dans le langage de la matanalyse sa fonction zêta ζ ( s ) avec la fonction de distribution des nombres premiers de Riemann J ( x ) dans une égalité équivalente à la formule du produit d'Euler.

Erreur

Ayant obtenu cette forme analytique du produit d'Euler, Riemann entreprit de formuler son propre théorème sur la distribution des nombres premiers. Il l'a présenté sous la forme explicite suivante:

«Le théorème de distribution des amorces de Riemann», qui prédit le nombre de nombres premiers inférieurs à une quantité donnée x

Il s'agit d'une formule explicite de Riemann. C'est devenu une amélioration du théorème sur la distribution des nombres premiers, une estimation plus précise du nombre de nombres premiers jusqu'au nombre x . La formule se compose de quatre membres:

Le premier terme ou «principal» est le logarithme intégral de Li ( x ), qui est une approximation améliorée de la fonction de distribution des nombres premiers π ( x ) à partir du théorème de distribution des nombres premiers. C'est le terme le plus grand, et comme nous l'avons vu, il gonfle le nombre de nombres premiers à une valeur donnée de x .
Le second terme, ou terme «périodique», est la somme du logarithme intégral de x à la puissance ρ , additionnée à ρ , qui sont des zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. Ce membre contrôle la surestimation du membre principal.
Le troisième membre est la constante -log (2) = -0,6993147 ...
Le quatrième et dernier terme est l'intégrale, égale à zéro pour x <2, car il n'y a pas de nombres premiers inférieurs à 2. Sa valeur maximale est 2, lorsque son intégrale est d'environ 0,1400101 ....

L'influence des deux derniers termes sur la valeur de la fonction avec l'augmentation de x devient extrêmement faible. La «contribution» principale pour les grands nombres est faite par la fonction logarithme intégrale et la somme périodique. Voir leur effet sur le graphique:

Fonction pas à pas de la distribution des nombres premiers π (x) , approximée par la formule explicite de la fonction de distribution des nombres premiers de Riemann J (x) en utilisant les 35 premiers zéros non triviaux de la fonction zêta de ρ Riemann.

Dans le graphique ci-dessus, j'ai approximé la fonction de distribution principale π ( x ) en utilisant la formule explicite de la fonction de distribution principale Riemann J ( x ) et j'ai additionné les 35 premiers zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ζ (s). Nous voyons que le terme périodique fait «résonner» la fonction et commençons à approcher la forme de la fonction de distribution des nombres premiers π ( x ).

Vous trouverez ci-dessous le même graphique utilisant des zéros plus triviaux.

La fonction pas à pas de la distribution des nombres premiers π (x) approximée par la formule explicite de la distribution des nombres premiers de Riemann J (x) en utilisant les 100 premiers zéros non triviaux de la fonction zêta de ρ Riemann.

En utilisant la fonction explicite de Riemann, nous pouvons approximer très précisément le nombre de nombres premiers jusqu'à un nombre donné x . En fait, en 1901, Niels Koch a prouvé que l'utilisation de zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann pour corriger l'erreur de la fonction logarithme intégrale équivaut à la «meilleure» limite pour l'erreur dans le théorème de distribution des nombres premiers.

"... Ces zéros agissent comme des poteaux télégraphiques, et la nature particulière de la fonction zêta de Riemann ordonne exactement comment le fil (son graphique) doit être suspendu entre eux ...", - Dan Rockmore

Épilogue

Après la mort de Riemann en 1866, seulement à l'âge de 39 ans, son article pionnier continue d'être un guide dans le domaine de la théorie analytique des nombres et de la théorie des nombres premiers. À ce jour, l'hypothèse de Riemann des zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann n'est toujours pas résolue, malgré les recherches actives de nombreux grands mathématiciens. Chaque année, divers nouveaux résultats et conjectures sont publiés concernant cette hypothèse dans l'espoir qu'un jour les preuves deviennent réelles.

Une explication abordable de l'hypothèse de Riemann