🧘🏼 ✍🏼 🐠 Ville sans embouteillage 🕴🏾 🏓 🤒

Ⅰ. L'art applique judicieusement les feux de circulation

Ⅱ. L'art de concevoir des réseaux routiers

Chapitre un

L'art applique judicieusement les feux de circulation

Petite préface

Chaque jour, lorsque nous sommes près de l'intersection, nous voyons la même image, alors que les voitures se précipitent vers l'avant au feu vert et dans le rouge - elles s'accumulent devant le feu de circulation dans de longues files d'attente inutiles. Mais dans quelle mesure est-il nécessaire en même temps et peut-il être fait pour que les automobilistes n'aient presque pas à «se tenir debout» dans le feu rouge? Je pense que beaucoup d'entre nous ont entendu parler des mythiques «vagues vertes». Une fois dans une telle vague et maintenant une certaine vitesse, l'automobiliste conduira miraculeusement jusqu'à chaque intersection juste au moment où le feu de circulation est allumé dans sa direction avec un feu vert. Il est assez simple d'organiser la propagation de telles «ondes» le long d'une route isolée, mais il n'est pas du tout évident que cela puisse se faire sur les routes de toute la ville à la fois.

Dans le premier chapitre de cet article, je vais construire une petite théorie pour les villes avec une disposition "Manheton" et répondre à la question de la meilleure façon de réguler la circulation dans leurs rues à l'aide de feux de signalisation. Le deuxième chapitre sera consacré aux possibilités d'utilisation des échangeurs et autoroutes à plusieurs niveaux.

Le matériel du premier chapitre ne demande formellement au lecteur aucune connaissance qui dépasse le programme scolaire, bien qu'il implique une certaine culture du raisonnement, la présence d'un crayon et d'une soirée libre, peut-être pas la seule. J'espère que le travail accompli sera utile aux personnes qui conçoivent les villes et planifient le trafic urbain.

Description officielle du problème

Imaginez un modèle de ville construit sur une grande table avec des blocs rectangulaires et des routes traversantes (figure 1). Il est pratique de simuler les flux de trafic sur une telle disposition avec de longues bandes étroites de papier empilées le long des rues, coulissant en continu, chacune dans sa propre direction.

Fig. 1

Tout au long du chapitre, on supposera que le mouvement des flux se produit à une vitesse constante et identique pour tous. Dans ces conditions, la modélisation des vagues vertes se réduit à diviser chaque flux (bande de papier) en zones blanches et noires et on pense que les voitures ne peuvent se déplacer avec le flux qu'à l'intérieur de ses zones noires (figure 2).

Fig. 2

Les conflits dans la circulation des voitures seront certainement évités si la situation du code ne se produit pas, la même intersection est bloquée par des zones noires de deux flux qui se croisent à la fois.

Fig. 3

En ce qui concerne la partition en zones, nous exigeons qu'elles soient périodiques, avec la même période spatiale T pour tous les flux, et que pour chacune de ces périodes, il ne doit y avoir qu'une seule zone noire. En pratique, cette exigence signifie que les cycles de tous les feux de circulation ont la même durée et que pendant un cycle, le feu vert dans n'importe quelle direction s'allume au feu de circulation pas plus d'une fois.

Première solution

Maintenant, il a tous les moyens nécessaires pour essayer de trouver le placement (sans conflit) des «vagues vertes» sur une disposition de bloc carré. La bonne nouvelle: au moins un tel arrangement existe, et pour le trouver, vous n'avez même pas besoin de construire de théories - il suffit de s'asseoir dans un fauteuil pendant une demi-heure, en mordant un crayon. La figure 4a montre la position des zones noires de tous les flux de rues du premier logement sans conflit dans cet article à un moment donné. Les flèches indiquent la direction du mouvement.

Fig. 4a

Étant donné que la répartition des flux en zones est périodique dans l'espace et que les débits sont identiques et constants, l'image représentant la position des noirs sur une carte de la ville doit être répétée périodiquement dans le temps. Dans la suite de la demi-période (temporaire) suivant le moment de la figure 4a, rien n'empêche le mouvement sans conflit des «flèches» et elles couvriront chacune une distance d'un quart. Après avoir fait cela (figure 4b), les flèches seront dans un arrangement mutuel, répétant en détail l'emplacement sur la figure 4a (fidèle à la réflexion miroir), ainsi la preuve de l'absence de conflit de leur mouvement ultérieur peut être réalisée par simple induction.

Fig. 4b

Le rôle des feux de circulation, un plan pour placer des vagues vertes dans une ville à circulation bidirectionnelle

Que devraient former les «vagues vertes» dans la pratique, ou, en d'autres termes, diviser correctement les flux en zones noires et blanches?

Comme vous l'avez probablement déjà deviné, ce rôle peut être attribué aux feux de circulation. En fait, il existe une double relation étroite entre la division des flux en zones et le choix d'un calendrier pour le travail des feux de signalisation. Nous appellerons le travail d'un feu de circulation sans conflit s'il ne s'allume jamais simultanément en vert dans deux directions transversales. Que la division sans conflit des flux de trafic en zones noires et blanches soit donnée en premier.

Chaque fois que l'intersection atteint le bord avant de la prochaine zone noire d'un ruisseau, nous allumons le feu de circulation à l'intersection en direction de ce flux avec un feu vert et revenons au rouge au moment où son bord arrière quitte l'intersection derrière - cela créera un horaire sans conflit le travail de tous les feux de circulation. Inversement: en surlignant en noir ces intervalles au sein des flux, dont les points passent tous les feux de circulation rencontrés au feu vert, vous obtiendrez un découpage des flux en zones noir et blanc.

Si le calendrier a prescrit que les feux de circulation fonctionnent sans conflit, la partition induite par ce calendrier sera également sans conflit. Bien sûr, pour que le fractionnement des flux se révèle périodique, avec des périodes identiques pour tous les flux et pour chaque période, il n'y a qu'une seule zone noire, des exigences supplémentaires devront être imposées sur les horaires des feux de circulation.

Pour nous, la simple conséquence du dualisme décrit sera particulièrement importante:

Le calendrier obtenu à partir du partitionnement sans conflit des flux en zones induit exactement la même partition

Il est à noter (essayez de donner un exemple approprié) que l'énoncé symétrique n'est plus vrai.

Et donc, comme la division des flux en zones et la définition des horaires des feux de circulation sont des moyens interchangeables de décrire le trafic urbain, nous sommes libres d'utiliser n'importe lequel d'entre eux pour trouver les emplacements des vagues vertes. Habituellement, le premier est plus visuel et pratique, mais parfois, comme dans l'exemple suivant, il est utile de combiner les deux points de vue.

Notre première solution a été de placer des vagues vertes dans les rues à sens unique. Essayons maintenant d'obtenir son option "bilatérale". Tout d'abord, notez que les feux de circulation de la First Solution peuvent être divisés en deux catégories. Dans chaque catégorie, tous les feux de circulation fonctionnent de manière synchrone, tandis que le travail des feux de circulation de différentes catégories est en antiphase. Par exemple, dans la prochaine moitié de la période suivant le moment indiqué sur la figure 4a, tous les feux de circulation de la première catégorie s'allumeront en vert pour les rues longeant l'horizontale (par rapport à la position sur la figure) et en rouge - le long de la verticale, et les feux de circulation de la seconde, au contraire, sont les mêmes la moitié de la période pour les rues horizontales sera rouge et pour les rues verticales vertes. Il est à noter que dans la situation décrite, le fait de tourner un feu de circulation à 180 degrés ne modifie pas le calendrier de ses travaux.

À ce stade de la narration, il sera commode d'imaginer la disposition de la ville, avec ses feux de circulation et ses flux de circulation, comme une image animée sur un écran transparent.

Que deux de ces écrans diffusent de façon synchrone le mouvement des flux de la première solution se superposent précisément. Si l'un des écrans est maintenant tourné de 180 degrés autour du centre d'une intersection, la disposition des rues de l'écran supérieur chevauchera à nouveau exactement avec la disposition de l'écran inférieur, mais en même temps, les directions des flux de trafic superposées deviendront opposées sur toutes les rues combinées. La chose la plus remarquable ici est le fait que le mouvement des flux à partir de différents écrans ne créera toujours pas de conflits de zone aux intersections combinées.

En effet, la répartition des flux en zones sur le premier et sur le deuxième écran est entièrement déterminée par le travail des feux de circulation, mais lors du virage, comme on peut le voir sur la figure 4a, tous les feux de circulation qui se combinent entre eux tombent toujours dans les mêmes catégories, et, en raison de l'invariance de catégorie mentionnée ci-dessus, virage à 180 degrés, devrait fonctionner de manière absolument synchrone. Après les commentaires formulés, la circulation sans conflit des flux devient une conséquence de l'horaire sans conflit de chacun des feux de circulation. Pour les lecteurs à qui ma preuve semblait trop déroutante, je dirai le bon vieux «look» grec (figure 5)

Fig. 5

Avantages évidents de l'agencement de Manhattan, restrictions cachées du régime des vagues vertes

Et alors, pourquoi les blocs rectangulaires et les routes qui s'étendent d'un bout à l'autre de la ville sont-ils bons?

1) L'objectivité de la perception des distances au sein de la ville.

Je pense que l'une de ces situations amusantes s'est produite lorsque beaucoup de gens voyagent pendant quarante minutes d'un endroit à un autre pendant une année entière, puis il s'avère qu'ils sont les uns des autres en quinze minutes de marche le long d'une place pittoresque. Dans une ville franchement «carrée», au contraire, il est difficile de se tromper dans la distance entre les rues numérotées. Il s'ensuit

2) Facilité de navigation personnelle et de transports publics.

Aucun navigateur ou application mobile n'est nécessaire: entre tous les quartiers, il y a toujours un itinéraire à partir de pas plus d'une section de mouvement vertical et pas plus d'une section de mouvement horizontal. Si un tramway ou un trolleybus circule dans chacune des rues, alors en utilisant les transports en commun, vous n'aurez pas à effectuer plus d'un changement en un seul voyage.

3) L'utilisation économique de l'espace urbain, la tolérance globale aux pannes du réseau routier.

Curieusement, une grande partie des routes construites dans les villes organiquement formées est utilisée avec une efficacité extrêmement faible. Par exemple, au milieu de nombreuses petites rues, souvent des ruelles aveugles, d'une manière ou d'une autre, vous devez poser deux bandes d'asphalte, même si la voiture ne les traverse qu'une fois par quart d'heure. Dans les villes avec un tracé de Manhattan, ce problème est absent: chaque rue contribue peu au transit total des transports et, par conséquent, il n'y a pas besoin de grandes autoroutes artérielles, tout accident pouvant facilement entraîner une perte de communication entre des zones entières.

4) L'absence de toute perte de temps significative en prévision des feux de circulation.
Pour ce faire, il suffit d'organiser un régime de vagues vertes le long de chaque route. Si cela est fait, alors au cours d'un voyage, la perte de temps aux feux de circulation n'est possible qu'au début du voyage et lors du virage d'une rue à l'autre.

Après cela, j'espère, une bonne publicité de l'urbanisme de Manhattan, discutons des difficultés que l'organisation du trafic en mode de vagues vertes entraîne.

Le plus important d'entre eux est peut-être la restriction imposée à l'utilisation efficace des routes ou, officiellement, la part du flux de trafic occupée par les zones noires. Puisqu'aucune des deux rues ne traverse une intersection à la fois, il est impossible d'utiliser toutes les rues à la fois avec une efficacité de plus de 50%. Il est à noter que dans ce sens, la Première Solution et sa modification pour une ville à double sens empruntaient des routes avec la plus grande efficacité possible.

Essayons maintenant d'estimer la longueur des vagues vertes (la valeur de la période spatiale de division en zones) en général et la taille des quartiers dans les deux solutions déjà trouvées en particulier. Dans mon expérience étroite, un cycle de feux de circulation pratique ne peut pas avoir une durée inférieure à une minute et une vitesse de conduite confortable ne peut pas être inférieure à 60 kilomètres par heure (1 km / min). En multipliant la durée du cycle par la vitesse, nous constatons que les longueurs d'onde vertes de toute solution devraient être d'au moins 1 km. Dans les deux endroits que nous avons trouvés, la longueur des quartiers était la moitié de la longueur d'onde, c'est-à-dire que la plus petite pouvait atteindre 500 mètres.

Les quartiers d'une longueur de 500 mètres ne sont pas rares dans nos villes, bien qu'une telle longueur ne puisse pas être qualifiée de confortable pour la vie. Dans les zones avec des immeubles de grande hauteur, en raison de la forte densité de résidents, il est préférable que chaque bâtiment soit un quartier indépendant.

Existe-t-il un moyen de maintenir le régime des vagues vertes dans un réseau de transport à forte densité de localisation routière?

Laissez-nous, dans les emplacements représentés sur les figures 4 et 5, barrer chaque deuxième «flèche» dans chaque flux dans l'ordre (il serait possible de barrer tous les deux sur trois, ou n - 1 sur n). Les flux mis à jour ne seront toujours pas en conflit et la durée de leur période spatiale doublera. Maintenant, serrez la disposition entière en deux, verticalement et horizontalement. À la suite de la compression, les périodes spatiales des verts reviendront à leur taille d'origine et la longueur de chaque quart sera réduite de moitié.

Bien que l'utilisation de l'astuce décrite vous permette d'augmenter de manière illimitée la densité de l'emplacement des routes, elle entraîne malheureusement des coûts inacceptables: le coefficient d'efficacité de l'utilisation des routes diminue proportionnellement à leur densité. Par exemple, en comparaison avec une efficacité de 50% sur un réseau routier avec un quart de bloc de 500 mètres, pour réduire la taille des blocs à 250 mètres, vous devrez payer une diminution de l'efficacité à 25%, et les blocs de 150 mètres avec cette approche seront délimités par les routes utilisées seulement 15%.

Bien sûr, deux questions me viennent à l'esprit. Le premier d'entre eux est purement pratique:

1) Comment, tout en maintenant le régime des vagues vertes, augmenter la densité des routes à une valeur confortable et ne pas perdre beaucoup dans l'efficacité de leur utilisation?

La seconde est plutôt le fruit de l'amour des mathématiciens pour les objets idéaux et les cas extrêmes:

2) Est-il possible d'augmenter de façon illimitée la densité des routes afin que l'efficacité d'utilisation de l'une d'entre elles ne soit pas inférieure à une certaine valeur limite (une pour toutes)?

Une légère digression

J'ai été obligé de m'attaquer au problème du contrôle optimal du trafic à l'occasion de mon autre article sur les transports urbains, et dans le seul but de rembourser ma dette historique à ce titre, me semble-t-il, d'organisation du trafic désuète. Lorsque je me suis interrogé pour la première fois sur la valeur du coefficient d'efficacité marginale (question numéro deux), j'étais prêt à dire à quiconque que sa valeur doit simplement être égale à zéro, et toute augmentation de la densité des routes du réseau entraînera certainement une diminution de l'efficacité de l'application du mode vert sur eux. vagues, mais, comme cela se produit souvent dans les travaux de recherche, l'échec à essayer de prouver une fausse déclaration a donné la clé pour comprendre le véritable état des choses. Dans le reste de cette section, vous découvrirez une méthode qui vous permet de construire le placement des vagues vertes sur des réseaux qui sont intéressants du point de vue de l'application pratique, et sur des réseaux irréalistes avec une densité de routes arbitrairement élevée. À la fin de ce chapitre, je vais vous laisser un problème ouvert que je n'ai pas pu traiter, et maintenant je vous demande de prêter attention à une petite et élégante théorie.

Bandes d'ombrage

La figure 6 montre à trois moments différents dans le temps deux écoulements verticaux et un écoulement horizontal les traversant. Comme déjà mentionné, les vitesses de tous les flux sont supposées être les mêmes, et le mouvement - ne conduisant pas à des conflits entre leurs zones noires. Le fragment A du flux horizontal, étant noir, interdit ainsi aux fragments noirs B et C des flux verticaux d'apparaître noirs.

Nous associons au fragment A une bande oblique synchrone se déplaçant de manière synchrone avec lui, dont les lignes de démarcation forment un angle de 45 degrés avec la verticale de la figure. Par analogie avec l'ombre que A projeterait dans les rayons obliques du soleil, s'il s'agissait d'un objet opaque, nous appelons cette bande «ombre». Comme on peut le voir sur la même figure, la région d'intersection de la bande d'ombre associée à A et tout courant vertical ascendant (vers le haut) reste absolument stationnaire par rapport à ce dernier et, surtout, ne peut pas être noire.

En fait, avec chaque segment noir de n'importe quel flux horizontal, il vaut la peine de relier deux bandes d'ombres à la fois: l'une d'entre elles sera inclinée vers le mouvement du segment (comme un arbre est incliné vers le vent), et l'autre le rencontrera. Nous conviendrons d'appeler les bandes du premier type «rouges» et les secondes - bleues (figure 7).

Fig. 7

Le rôle des bandes d'ombres rouges et bleues dans la théorie créée est déterminé par leurs propriétés: pas un seul segment du flux ascendant qui est tombé dans «l'ombrage» d'au moins une bande bleue, et pas un seul segment du flux descendant (le flux vertical dirigé vers le bas) qui est tombé dans l'ombrage d'au moins un les bandes rouges ne doivent pas être noires.

Voyons maintenant comment en général l'ensemble de toutes les bandes d'ombres ressemble, par exemple, à la couleur rouge d'un flux horizontal (figure 8).

Fig. 8

Situées le long du flux T-périodiquement, ses zones noires génèrent un motif de lignes périodiques de bandes parallèles de même largeur. Plus précisément, ce motif est T-périodique (coïncide pleinement avec lui-même lorsqu'il est décalé d'une distance T) dans le sens horizontal, périodique avec une période t = T / √2 dans le sens de la
normale (commune) aux frontières de ses bandes et «résiste» à tout décalage en parallèle les groupes eux-mêmes. Il est intéressant d'observer comment l'ensemble du motif, avec le flux, se déplace vers la droite. Le mouvement de chaque bande individuelle (vecteur ʋ ) peut être représenté comme la somme vectorielle de son déplacement le long d'elle-même (vecteur q ) et du mouvement simultané dans une direction perpendiculaire à sa frontière (vecteur p) Comme vous pouvez l'imaginer, il est difficile pour notre vision de remarquer le mouvement d'une bande d'ombre sans fin le long de celle-ci, si cela a du sens, sauf pour le formel, il y a donc une illusion que le motif ne se déplace pas vers la droite avec le courant, mais dans la direction perpendiculaire aux bords de ses rayures, se déplaçant par rapport à l'image en diagonale vers la droite vers le bas. Selon les lois de la géométrie, la vitesse du front d'attaque de chaque bande est exactement √2 fois inférieure à la vitesse de la zone noire à laquelle elle est associée.

Soit dit en passant, l'utilisation d'ailes balayées dans l'aviation supersonique est très probablement basée sur le même phénomène: un mouvement d'air parallèle à l'aile elle-même ne devrait en aucun cas affecter la force de levage, et la composante normale de la vitesse à laquelle le flux supersonique atteint son bord d'attaque, en raison de l'angle de balayage, moins de vitesse sonore, permettant à l'aile de travailler dans un mode subsonique qui lui est confortable.

La description de l'illusion nous permet de conclure que les trois types de mouvement suivants ne peuvent être distingués par aucune bande d'ombre rouge, et peuvent donc être considérés comme équivalents:

* mouvement le long de l'horizontale avec le courant avec la vitesse ʋ ;
* mouvement le long de la diagonale de la figure vers le bas avec la vitesse ʋ / √2;
* mouvement vers le bas à une vitesse de ʋ .

Après avoir remplacé le mot «bas» par le mot «haut», tout ce qui est dit sur les propriétés du mouvement des rayures rouges et des motifs de lignes rouges devient valable par rapport au mouvement des bleus.

Rayures globales et motifs de lignes.

Qu'un arrangement de vagues vertes soit donné sur un réseau routier. Les bandes d'ombre de la même couleur, se référant à des flux se déplaçant dans une direction, sont nécessairement parallèles les unes aux autres, mais peuvent soit se séparer, soit être partiellement ou même superposées complètement (Figure 9). Comme leur mouvement est dirigé dans la même direction et à la même vitesse, ces bandes restent absolument immobiles les unes par rapport aux autres. Combinons des bandes d'une seule couleur à la fois de tous les flux (horizontaux) se déplaçant dans une direction. En raison du chevauchement, les bandes d'ombres entrecroisées de différents flux fusionnent pour former des bandes d'ombres globales . Les nouvelles bandes seront également parallèles les unes aux autres, formant ensemble un motif de ligne global .

Fig. 9

Le motif de ligne global est t-périodique dans l'une des directions diagonales de la disposition et peut résister à tout déplacement le long de l'autre, car tous les motifs de ligne des flux individuels à partir desquels il a été formé possédaient cette propriété. Pour les mêmes raisons, le modèle global est T-périodique dans les directions horizontale et verticale, bien que T le long de ces directions ne soit plus sa période la plus courte.

Au total, quatre motifs de lignes globales sont formés, différant par la couleur et la pente des rayures: composé de rouge droit, rouge gauche, bleu droit et bleu gauche. Sur la figure 10a, tous les modèles globaux générés par les flux de la figure 4a sont combinés, et sur la figure 10b, leur position après un quart de la
période ( temporelle).

Fig. 10a

Figure 10b

Une caractéristique des deux illustrations est le motif entre la disposition des flèches et les différentes zones de couleur: les flèches droites apparaissent toujours à l'intersection des bandes rouges rouges et bleues droites, les flèches gauches - rouges rouges et bleues droites, les flèches vers le haut se trouvent exclusivement à l'intérieur de zones exemptes d'ombres rouges, et les flèches vers le bas sont à l'intérieur des zones sans bleu. L'explication de cette observation est contenue dans la règle de construction des bandes d'ombre.

Motifs à carreaux

Toute paire de motifs de lignes, dont les rayures ombrées sont étirées le long de différentes diagonales du motif, est un motif à carreaux , comme un motif de kilt écossais, une nappe de style provençal ou votre chemise de bureau. Les motifs en damier ont des propriétés simples et en même temps utiles pour nos recherches, regardons-les.

Fig. 11

Si deux bandes d'ombres situées en diagonale se déplacent dans la même direction avec la même vitesse ʋ , alors, évidemment, le rectangle, qui est la zone de leur intersection, se déplace dans la même direction avec la vitesse ʋ (figure 11a). Laissez maintenant le mouvement de ces bandes se produire le long d'une ligne horizontale avec des vitesses égales ʋ , mais dans des directions opposées.

Deux cas sont possibles ici: les deux bandes se déplacent soit vers leur pente (comme toutes les bandes globales rouges), soit contre elle (comme toutes les bandes globales bleues). Dans le premier cas, le mouvement de chacun d'eux ne se distingue pas du mouvement vertical vers le bas, où il se déplace à une vitesse ʋzone rectangulaire de leur intersection. Le deuxième cas est complètement similaire au premier, mais avec la différence que la zone d'intersection se déplace verticalement vers le bas.

Une autre propriété importante des motifs en damier est la périodicité héritée à la fois dans les directions diagonales et le long des axes principaux. Que le motif en damier soit formé par l'intersection de deux motifs de lignes diagonales, le premier étant p-périodique le long de la direction nord-est et le second q-périodique le long du nord-ouest. Dans une telle situation, le motif en damier lui-même sera p-périodique le long du nord-est, q-périodique le long des directions nord-ouest et peut être représenté comme une mosaïque rectangulaire de cellules p × q (figure 12). Si p = q = T / √ 2, alors ce modèle est également T-périodique verticalement et horizontalement.

Fig. 12

Mouvement synchronisé des motifs en damier et des vagues vertes

Comme déjà mentionné, quatre motifs en damier sont associés à tout arrangement périodique d'ondes vertes: rouge-bleu - à l'intersection des bandes globales droite rouge et gauche bleu, bleu-rouge - à l'intersection des bandes globales droite bleu et gauche rouge, et deux symétriques - rouge- rouge et bleu bleu .

Si tous les flux de trafic Voyage à la vitesse ʋ , les résultats du paragraphe précédent dans l'annexe à associer des moyens de motif en damier que le rouge et le bleu modèle se déplaçant à une vitesse de ʋ juste en face, bleu-rouge - avec une vitesse ʋ horizontale gauche, rouge-rouge, et bleu - motifs bleus avec vitesse ʋse déplacer strictement verticalement, le premier vers le bas et le second vers le haut.

De ces derniers, on peut conclure que le mouvement des zones noires des flux routiers, indiqué par des flèches sur les figures, et les cellules correspondant aux zones de motifs quadrillés se révèlent synchronisés. Donc, toute flèche droite se déplace tout le temps à l'intérieur du rectangle rouge-bleu, tout en restant stationnaire par rapport à ses frontières, toute flèche gauche est dans une relation similaire avec un rectangle bleu-rouge, toute flèche vers le haut est avec le rectangle blanc-blanc du motif bleu-bleu, et toute flèche vers le bas - avec un rectangle blanc et blanc d'un motif rouge - rouge.

Le synchronisme du mouvement des flèches et des cellules ouvre la possibilité fondamentale d'utiliser des modèles cellulaires pour construire des vagues vertes.

Rétro-ingénierie

Lemme de génération:

marquer un plan de lignes horizontales et verticales avec une direction indiquée, indiquant les flux de trafic. Soit également la position des deux motifs en damier diagonaux initiaux: rouge-rouge et bleu-bleu, dont chacun est t-périodique dans le sens de la longueur de ses rayures.

Il existe un moyen canonique (standard) de construire le placement des ondes vertes sur le réseau mentionné, dans lequel:

*) les zones noires de chaque flux sont localisées T-périodiquement sur celui-ci (T = t × √2);
**) au moment zéro, le motif global rouge-rouge associé au placement sera entièrement contenu à l'intérieur du motif rouge-rouge d'origine, et le bleu-bleu global à l'intérieur du motif bleu-bleu d'origine (le terme «motif à damier A contenu à l'intérieur du motif à damier B» signifie l'exigence que chaque bande incluse dans le motif A se trouve entièrement à l'intérieur d'une bande du motif B);

Immédiatement, nous notons la périodicité T des motifs initiaux le long des directions horizontale et verticale (voir le paragraphe précédent). En croisant les rayures de droite (inclinées vers la droite) de l'un des motifs originaux avec les rayures de gauche de l'autre, on distingue ainsi deux motifs en damier dérivés: bleu-rouge et rouge-bleu. Les motifs dérivés seront également t-périodiques le long des deux directions diagonales du plan, et donc T-périodiques le long de ses lignes verticales et horizontales. Par conséquent, les intervalles dans lesquels une ligne verticale ou horizontale est divisée par son intersection avec les cellules de l'un des motifs originaux ou dérivés remplissent cette ligne avec une régularité T-périodique.

À chaque flux ascendant, parmi les intervalles auxquels le flux croise les cellules blanc-blanc du motif initial bleu-bleu, nous prenons un intervalle d'une longueur maximale. Lorsque l'intervalle sélectionné est décalé d'un multiple de T vers le haut ou vers le bas, il coïncidera à nouveau avec l'intersection de son écoulement et la cellule blanc-blanc du motif bleu-bleu. Examinons toutes ces zones et considérons les zones noires des flux ascendants (figure 13).

Fig. 13

Afin de construire des zones noires sur les flux descendants, la procédure qui vient d'être décrite doit être effectuée en ce qui concerne les intervalles de leur intersection avec les cellules blanches-blanches du motif d'origine rouge-rouge, pour les flux à droite, en ce qui concerne les intervalles de leur intersection avec le rouge-bleu et pour les flux à gauche - avec des cellules bleu-rouge de motifs dérivés.

Tous les flux sont désormais divisés en zones, il reste à montrer qu'au cours du mouvement il n'y aura pas de conflit entre elles.

Au point zéro dans le temps, il n'y a pas de conflits entre les flux selon la règle d'interdiction des couleurs: les zones noires des flux horizontaux, situées à l'intérieur des cellules rouge-bleu et bleu-rouge, ne peuvent pas être en intersection avec les zones noires des flux dirigés vers le haut, car elles se trouvent dans des cellules exemptes de bleu, tout comme ils ne peuvent pas être en intersection avec les zones noires de flux dirigés vers le bas, car ces dernières sont à l'intérieur de cellules exemptes de rouge.

Une fois mises en mouvement, les zones de tous les écoulements, par condition, doivent avoir la même vitesse ʋ . Faites bouger le motif original rouge-rouge à une vitesse ʋvers le bas et bleu-bleu - à la même vitesse, mais vers le haut. Si vous déplacez les motifs d'origine, le motif dérivé rouge-bleu se déplace le long de l'horizontale à une vitesse de ʋ vers la droite et bleu-rouge - exactement la même, mais vers la gauche. Il s'avère que les zones noires des flux se déplaceront de manière synchrone avec les cellules des motifs colorés dans lesquels ils ont été initialement construits, ce qui signifie que la preuve basée sur la règle de l'interdiction des couleurs peut être répétée à tout moment.

Une propriété importante de la procédure de construction canonique des emplacements est son «involution»: si elle est appliquée au réseau routier et aux modèles en damier associés à un certain modèle de trafic, le résultat est le même modèle.

Le lecteur est invité à prouver indépendamment le second:

Lemme sur l'optimalité des allocations construites canoniquement

Parmi tous les arrangements de vague verte satisfaisant aux exigences *) et **) du lemme de génération, il n'y en a pas un qui serait plus efficace que l'arrangement construit canoniquement sur au moins un thread.

L'un des modèles de trafic prometteurs dans les zones avec des immeubles de grande hauteur

Auparavant, une méthode était décrite comment obtenir un modèle de trafic avec un coefficient d'efficacité de 25 à partir du modèle de trafic bidirectionnel de la figure 5, avec la taille des trimestres à la moitié d'une période (500 mètres) et un niveau d'efficacité de 50% de l'utilisation de chaque route, en barrant chaque seconde flèche dans chaque flux % et la taille des quartiers sur un quart de la période (250 mètres).

En utilisant une vue délicate des modèles cellulaires et du lemme de génération, nous allons maintenant construire un placement de vague verte avec la même valeur d'efficacité dans 25% de l'utilisation de la route, mais sur un réseau de la taille des quartiers en seulement 1/8 de la période (125 mètres). Une telle densité de routes peut être préférable dans certaines parties de la ville, qui sont principalement construites avec des bâtiments de gratte-ciel, qui, comme vous le savez, en termes de nombre de personnes et de nombre de voitures, sont assez comparables à des blocs entiers dans les zones traditionnelles.

La figure 14a représente des fragments «élémentaires» des motifs mentionnés, et sur la figure 14b, ils sont tous les deux superposés simultanément au sommet du réseau routier, ce qui nous permet de diviser de manière transparente ses flux en zones noires et blanches.

Fig. 14a

Fig. 14b

Le réseau routier proposé pour utilisation, si vous le souhaitez, peut être reconstitué avec un nombre illimité de flux horizontaux et verticaux (routes), et le lemme de génération garantit la possibilité de placer des vagues vertes sur de nouvelles routes afin qu'elles n'entrent pas en conflit entre elles ou avec des vagues vertes sur les flux présents sur le réseau initialement.

Essayez de déterminer quelles positions des nouvelles routes vous permettront de les utiliser avec une efficacité de 25% pour la direction de déplacement sélectionnée et pour lesquelles - cette valeur sera nettement inférieure. Trouvez des emplacements où l'utilisation de la route est nulle.

Modèles de trafic extrêmement efficaces

L'utilisation généralisée du système de circulation décrit dans le paragraphe précédent sera sans doute entravée par son efficacité relativement faible de l'utilisation des routes: deux fois inférieure au niveau théoriquement réalisable de 50%. Il est alors naturel de se poser la question: "Quels peuvent être les schémas de circulation qui soutiennent le régime des vagues vertes et utilisent chaque route avec une efficacité de 50%". Nous appellerons tout schéma de mouvement de ce type extrêmement efficace .

Nous allons maintenant décrire une méthode générale qui vous permet de créer tous les modèles de trafic les plus efficaces, et à la fin de la section, ceux qui sont les plus prometteurs pour une application pratique sont dessinés séparément.

Que l'on donne un schéma de mouvement extrêmement efficace.

De l'exigence de périodicité T, il s'ensuit que chacun de ses écoulements est composé de zones blanches et noires alternées de même amplitude égales à T / 2. Dans le schéma de mouvement considéré, comme dans tout autre, au moins un flux horizontal se déplaçant vers la droite est nécessairement présent. Le motif de lignes des bandes d'ombres rouges associées à ce flux devrait ressembler à la figure 16a.

Fig. 16a

De plus, au moins un flux horizontal se déplaçant vers la gauche est nécessairement présent dans le schéma. Ses bandes d'ombres rouges sont représentées sur la figure 16b.

Fig. 16b

Il est certainement impossible d'être sûr que le motif de ligne des barres d'ombre rouges d'un seul flux pris au hasard se déplaçant vers la droite coïncidera avec le modèle de toutes les bandes d'ombre globales rouges droites , tout comme on ne peut pas être sûr que le modèle de ligne des barres d'ombre rouges d'un seul flux pris au hasard se déplaçant vers la gauche , correspondra au motif de toutes les barres d'ombre globales rouges gauches . Mais regardons le motif en damier (figure 16c) que les bandes d'ombres rouges de ces deux flux sélectionnés au hasard forment ensemble (figure 16c).

Fig. 16c

Ce motif s'avère être composé de carrés de taille égale avec une valeur diagonale de T / 2, de sorte qu'une efficacité de 50% peut être obtenue par n'importe quel flux dirigé vers le bas, à condition que la route qui lui est réservée passe exactement à travers les diagonales verticales des cellules blanches-blanches du motif . Le motif à damier examiné, généré par des zones noires d'une partie seulement de tous les flux du motif de mouvement, est lié à être contenu dans le motif rouge-rouge global associé à ce motif. Mais, comme nous pouvons le voir, en jetant à nouveau un coup d'œil à la figure 16, ajoutez au moins une bande rouge au motif en damier qui y est représenté, ou étendez un peu les motifs existants - et aucun flux descendant ne peut déjà être efficace à 50%.

La dernière observation nous permet de tirer plusieurs conclusions sur les propriétés de tout schéma de mouvement extrêmement efficace:

Le motif de ligne (rouge et bleu) de tout écoulement horizontal coïncide avec celui global.
Les cellules de couleur des quatre motifs en damier associés au motif de mouvement sont des carrés égaux avec une longue diagonale T / 2.
La distance entre les flux les plus proches les uns des autres se déplaçant dans la même direction est un multiple de T / 2.
Le schéma de mouvement représenté sur la figure 5 a la plus petite taille de bloc parmi tous les schémas bidirectionnels d'efficacité maximale par rapport à la période des vagues vertes.

Quelques chaînes de nos conclusions peuvent être tirées, obtenant ainsi:

Lemme sur la génération de schémas de mouvement extrêmement efficaces

Prenons deux motifs en damier situés arbitrairement l'un par rapport à l'autre avec une disposition diagonale de rayures, dont la première est rouge-rouge et la seconde est bleu-bleu. Soit les cellules de couleur des deux motifs des carrés égaux avec une longueur diagonale égale à T / 2. Nous appliquons à l'avion tout réseau d'écoulements horizontaux et verticaux, si seulement leurs positions satisfont aux exigences suivantes:

Chaque courant dirigé vers le bas doit traverser les diagonales verticales des cellules blanc-blanc du motif rouge-rouge;
Chaque flux dirigé vers le haut doit traverser les diagonales verticales des cellules blanc-blanc du motif bleu-bleu;
Chaque flux dirigé vers la droite doit traverser les diagonales horizontales des cellules rouge-bleu du motif dérivé rouge-bleu;
Chaque flux dirigé vers la gauche doit traverser les diagonales horizontales des cellules bleu-rouge du motif dérivé bleu-rouge.

Si nous construisons canoniquement le placement des ondes vertes à partir de ces modèles pour un réseau routier posé sur un avion, alors un modèle de trafic extrêmement efficace sera obtenu (Prouvez-vous). Le fait que, de la manière décrite, il est possible d'obtenir tout schéma de mouvement extrêmement efficace découle immédiatement de la propriété d'involution de la procédure de construction canonique.

Donc, nous avons déjà un système de circulation extrêmement efficace avec des rues à double sens, mais la taille des quartiers qu'il suppose peut atteindre 500 mètres. Les schémas de circulation extrêmement efficaces sont les plus attrayants du point de vue des coûts de construction de routes et d'économie d'espace en ville, cependant, il existe une limitation de la distance entre les flux dans une direction: elle ne peut pas être inférieure à la demi-onde de la vague verte, ou tout de même 500 mètres .

Est-il possible de faire des blocs plus petits?

La seule échappatoire logique qui nous reste est d'abandonner le trafic bidirectionnel et d'essayer d'alterner les flux dans des directions opposées: en cas de succès, la longueur des blocs ne sera que d'un quart de la période des vagues vertes, soit 250 mètres tout à fait acceptable.

Heureusement, un tel modèle de trafic existe vraiment et, apparemment, c'est lui qui est le plus prometteur pour une application pratique. L'une des positions instantanées de ses flux est illustrée à la figure 17.

Fig. 17

Comment le visage des villes modernes devrait-il changer

Estimons combien de routes supplémentaires devront être construites pour que chaque employé puisse se rendre à son lieu de travail dans une voiture personnelle. Pour commencer, prenez une ville relativement petite avec 150 000 habitants avec une densité standard de 10 000 habitants par kilomètre carré. L'ensemble du territoire d'une telle ville peut facilement s'insérer dans une matrice de blocs 16 × 16 (carré de 4 × 4 km), et un trajet entre ses deux points les plus éloignés sur des routes libres ne prendra pas plus de dix minutes.

Nous faisons l'hypothèse simplificatrice que dans tous les quartiers le même nombre d'emplois est concentré, tout comme les citoyens qui y vivent en permanence, alors qu'il n'y a pas de relation statistique entre l'adresse de la maison et du travail. Dans ce cas, presque tous les résidents quitteront leur quartier pendant la migration matinale, et environ le même nombre de personnes suivra de chaque quartier à chacun. Nous supposerons que pour l'organisation du trafic, le schéma de transport de la figure 17 est utilisé avec une restriction autorisant la sortie des quartiers uniquement sur les routes horizontales et l'arrivée uniquement sur les routes verticales.

Essayons de trouver quel sera le débit maximum de voitures dans une rue donnée aux heures de pointe du matin.

Fig. 18

La figure 18 montre un fragment d'une carte avec un modèle de trafic similaire, mais plus petit. Sur cette carte sont marqués tous les itinéraires qui, commençant à l'intérieur du quartier sélectionné, divergent ensuite le long de différentes rues verticales. Chaque quartier a le même nombre de ces itinéraires (en fonction du nombre de rues verticales), et chaque itinéraire a le même nombre de voitures qui le suivront.

Si vous tracez une ligne à travers la route horizontale avec un mouvement vers la droite, sur le côté droit
d'où il restera X quartiers et le champ Y rues verticales, alors cette ligne traversera les routes X × Y. La valeur maximale de leur nombre sera observée exactement au milieu de la route et dans le cas où la rue s'étend sur 16 blocs de longueur, elle sera égale à 108 (16 blocs à gauche × 8 routes verticales à droite). Dans chaque quartier, 1/4 × 1/4 × 10 000 = 625 personnes vivent, selon les statistiques, environ 320 d'entre elles travaillent, donc, pour chacun des 16 itinéraires partant du quartier, il y a 20 personnes, ainsi, le milieu de chaque rue horizontale est traversé par 108 × 20 = 2200 voitures.

Imaginez que dans notre ville hypothétique, il existe un mode de vie conservateur, lorsque la journée de travail pour la plupart des résidents commence à 9 heures du matin. Tous les employés se rendront au travail à peu près au même moment, mais sous l'influence de l'âge, des traits de caractère et des circonstances aléatoires, la période du début de la migration matinale est susceptible de s'étirer d'environ un quart d'heure.

Donc, 2200 voitures devraient vous dépasser le long de la rue en un quart d'heure, combien de voies devez-vous construire pour cela?

Dans une voie à une vitesse de 1 kilomètre par minute, des distances de 30 mètres et l'efficacité de l'utilisation de la route en mode vagues vertes, seulement 250 voitures parviennent à rouler à 50% en un quart d'heure, et pour 2200 voitures, il faudra jusqu'à 10 voies, en d'autres termes, " Leninsky Prospekt »dans chaque rue d'une ville de province moyenne.

Une fois que les calculs effectués montrent qu'il vaut la peine de se débarrasser des vues conservatrices, nous allons faire commencer la journée de travail pour différentes personnes à différents moments. Dans des conditions d'un nouveau rythme de vie, le nombre de bandes peut être réduit à une valeur tout à fait acceptable. Par exemple, l'arrivée des employés, répartis entre quatre points: 9h00, 9h15, 9h30 et 9h59, ne coûtera que des routes à trois voies dans chaque rue.

Malheureusement, pour les mégalopoles, comment ne pas enduire le début de journée avec une tasse de café, le nombre de rayures reste monstrueux. Pour une ville de 15 millions d'habitants construite avec tout son esprit, la longueur des rues, et avec elle le nombre de voies sur les routes, augmentera d'environ 10 fois (sans l'utilisation de viaducs, la racine carrée du nombre de fois où la population a augmenté).

30 voies tous les 250 mètres - est-ce vraiment la ville de vos rêves?

Pour résumer, je voudrais partager ma vision de la situation:

Une voiture est une invention utile qui, dans l'état actuel de la technologie, devrait être accessible à tous les citoyens d'une société civilisée.
Avec une approche raisonnable, il n'est pas du tout difficile d'organiser la libre circulation, le stockage et l'accès des piétons aux voitures personnelles, sans perturber le confort des villes de taille raisonnable. Pour les villes de moins d'un million d'habitants, cela peut être réalisé sans la construction de survols.
Le problème de la circulation automobile dans les mégalopoles ne peut être résolu que dans le cadre de routes avec feux de circulation et reste ouvert jusqu'à présent.

Le moment est venu d'aborder la question de la relation entre la densité des routes et la possibilité de leur utilisation efficace.

Mesures de densité et d'efficacité

Tout d’abord, nous allons nous débarrasser de la nécessité d’utiliser la phrase: «par rapport à la taille de la période spatiale des vagues vertes» et convenir que désormais la période de toutes ces vagues est égale à un.

Une mesure quantitative de la densité de l'emplacement des routes dans le réseau est la longueur du quartier le plus long de la ville. Nous convenons d'appeler cette valeur la minorité majeure du réseau . La finesse majoritaire est correctement définie pour tous les modèles de ville (même avec un nombre infini de quartiers) de longueur finie.

Pour un emplacement spécifiquement sélectionné des vagues vertes, la valeur de l'efficacité de l'utilisation des routes par ses débits peut être différente pour différents débits. Il est raisonnable d'appeler la limite inférieure de l'ensemble de ces valeurs l' efficacité mineure du placement sélectionné. Pour les emplacements de vagues vertes sur des réseaux avec un nombre fini de routes, la valeur de l'efficacité des mineurs coïncide avec la valeur de l'efficacité de la route la plus inefficacement utilisée.

Je ferai quelques déclarations liées à ce concept, que le lecteur, je l'espère, pourra facilement prouver de manière indépendante.

Dans n'importe quel agencement de vagues vertes, il est ainsi possible de couper les zones noires de tous les flux, de sorte qu'après tout, ils deviennent la même longueur, et l'efficacité de placement des mineurs ne change pas.
Pour certains emplacements, prenez les modèles cellulaires qui lui sont associés et appliquez-leur le lemme de génération canonique. L'efficacité multiple du placement résultant ne sera pas inférieure à celle de l'original.
Que l'efficacité minérale d'un arrangement soit D. Nous supprimons des motifs en damier rouge-rouge et bleu-bleu qui lui sont associés d'abord toutes les bandes colorées dont la largeur est inférieure à D / √2, en les remplaçant par un fond blanc. Ensuite, nous supprimons toutes les bandes blanches d'une largeur inférieure à D / √2, en les peignant dans chaque cas avec la couleur principale du motif, après quoi nous utilisons deux motifs déjà modifiés comme premiers pour la génération canonique Lemme - la valeur de l'efficacité mineure du placement résultant sera supérieur ou égal à D.

Prenons tout le placement possible des ondes vertes (avec une seule période) sur un réseau sélectionné particulier. La limite supérieure de l'ensemble des efficacités mineures de ces dispositions est appelée efficacité mineure du réseau lui-même.

En d'autres termes, si E est l'efficacité mineure du réseau routier, alors il y a des dispositions de vagues vertes sur ce réseau avec une efficacité mineure arbitrairement proche de E.

Un fait beaucoup plus non trivial est que, au moins pour un endroit, la proximité se transforme en égalité exacte. Un plan de preuve pour cette déclaration est donné à la fin de l'article.

Objet universel dans le monde des réseaux routiers

Imaginez que le mouvement dans les deux directions soit autorisé le long de chaque ligne horizontale et verticale. Il est peu probable qu'au moins une ville dans le monde puisse se vanter d'un tel réseau routier, mais en tant qu'objet mathématique, il est bien réel et, en outre, a la propriété utile de l'universalité: il contient tout autre réseau routier de type Manhattan comme sous-réseau. Chaque placement d'ondes vertes sur le réseau universel qui a une efficacité mineure D (induit) génère sur chaque sous-réseau son placement d'ondes vertes avec une efficacité mineure supérieure ou égale à D. Par conséquent, l' efficacité mineure de tout réseau routier de type Manhattan est supérieure ou égale à la valeur de l'efficacité mineure pour Réseau universel.

L'intrigue principale réside maintenant dans la question: l'efficacité du minirate du réseau universel est-elle égale à zéro, et sinon, quelle est sa vraie valeur.

Meilleur score

L'efficacité multiple de tout placement de vagues vertes sur le réseau routier universel ne dépasse pas 1/4.

La preuve est suffisante pour ne tenir que pour de tels emplacements, dont chacun utilise toutes les routes avec une efficacité égale (déclaration 1 du paragraphe précédent). Nous choisissons arbitrairement l'un de ces arrangements et désignons son efficacité comme δ (période T = 1). Chaque flux de cet arrangement est composé d'une alternance de zones noires de longueur δ et de zones blanches de longueur 1 - δ. Nous construisons des bandes d'ombres rouges pour deux flux venant en sens inverse de l'emplacement sélectionné. Intersectant, ces rayures forment un motif à damier, dont vous pouvez voir un fragment sur la figure 18.

Fig. 19

La cellule unitaire de ce motif aura la forme d'un carré avec une diagonale de longueur unitaire, et ses rayures rouges couperont toute ligne droite horizontale ou verticale le long d'un segment de taille δ.

Les zones noires de flux descendant ne peuvent être situées qu'à l'intérieur de cellules blanches-blanches, par conséquent, chaque ligne verticale doit avoir une zone d'intersection avec des cellules blanches-blanches d'une longueur supérieure ou égale à δ. La position la moins avantageuse, de ce point de vue, est celle des lignes passant exactement au milieu entre les diagonales verticales des carrés blancs (figure 20).

Fig. 20

En notant par x les longueurs des segments le long desquels chacune de ces lignes intersecte avec les cellules blanches-blanches et en utilisant la similitude des triangles, nous obtenons l'équation:

x + δ = 1/2. D'où, étant donné l'inégalité x ≥ δ, on trouve δ ≤ 1/4. Limite

inférieure

La multiplicité d'efficacité du réseau routier universel est supérieure ou égale à 1/6.

Conséquence:
sur tout réseau routier de type Manhattan, peu importe sa densité et son caractère non périodique, il y aura toujours un placement de vagues vertes avec une efficacité mineure supérieure ou égale à 1/6.

Sur le réseau universel, j'ai pu suivre le placement des vagues vertes avec une efficacité 1/6. Le motif en damier générateur de cet agencement est illustré à la figure 21:

Fig. 21

Comme le montre la figure 21, toute ligne verticale sur son chemin coupera nécessairement l'un des rectangles rouge-rouge le long du plus grand segment possible, dont la longueur n'est que de 1/6. Avec la périodicité du modèle, cela sert de preuve que l'efficacité de tous les flux dirigés vers le bas est égale à 1/6. Pour les flux d'autres directions, l'efficacité est également égale à 1/6, ce qui peut être fait en utilisant la symétrie du motif à damiers.

Fig. 22

Un bon défi de recherche:

quelle est la véritable signification de l'efficacité multipoint du réseau universel?
On peut répondre à cette question en utilisant une programmation linéaire - le programme sortira assez délicat, mais avec un nombre modeste de restrictions. Il serait intéressant de trouver d'une manière élégante la valeur de l'efficacité. Peut-être que l'un d'entre vous pourra faire cette tâche.

Merci pour votre attention et bonne chance!
Sergey Kovalenko.

Année 2019.

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