Le plus beau théorème des mathématiques: l'identité d'Euler

Après avoir regardé une conférence du professeur Robin Wilson sur l'identité d'Euler, j'ai finalement pu comprendre pourquoi l'identité d'Euler est la plus belle équation. Pour partager mon admiration pour ce sujet et renforcer mes propres connaissances, je décrirai les notes prises lors de la conférence. Et ici, vous pouvez acheter son merveilleux livre.

Quoi de plus mystérieux que l'interaction de nombres imaginaires avec des nombres réels, sans résultat? Une telle question a été posée par un lecteur du magazine Physics World en 2004 pour souligner la beauté de l'équation d'Euler "e en degré i fois pi est moins un" .


Figure 1.0 : Identité d'Euler - e en degré i fois pi, plus un est nul.

Plus tôt, en 1988, le mathématicien David Wells, qui a écrit des articles pour la revue mathématique américaine The Mathematical Intelligencer , a compilé une liste de 24 théorèmes mathématiques et a mené une enquête demandant aux lecteurs de son article de choisir le plus beau théorème. Et après l'équation d'Euler gagnée par une large marge, elle a reçu le titre de "la plus belle équation en mathématiques".


Figure 2.0 : la couverture du magazine Mathematical Intelligencer


Figure 3.0 : Sondage de David Wells dans un magazine

Leonhard Euler est appelé le mathématicien le plus productif de l'histoire. D'autres mathématiciens exceptionnels ont été inspirés par son travail. L'un des meilleurs physiciens du monde, Richard Feynman, dans ses célèbres conférences sur la physique, a appelé l'équation d'Euler «la formule la plus remarquable en mathématiques» . Un autre mathématicien formidable, Michael Atiyah, a appelé cette formule "... la contrepartie mathématique de la phrase de Hamlet" être ou ne pas être "- très courte, très concise et en même temps très profonde . "

Il existe de nombreux faits intéressants sur l'équation d'Euler. Par exemple, il a été trouvé dans certains épisodes des Simpsons.


Figure 4.0 : Dans cette scène, l'équation d'Euler est visible sur le deuxième livre de la pile la plus à droite.


Figure 5.0 : Dans cette scène, l'équation d'Euler est écrite sur un T-shirt d'un personnage secondaire.

De plus, l'équation d'Euler est devenue un point clé dans l' affaire pénale . En 2003, Billy Cottrell, étudiant diplômé du California Institute of Technology, a peint l'équation d'Euler sur les voitures de sport d'autres personnes. Au procès, il a déclaré: " Je connais le théorème d'Euler depuis que j'ai cinq ans, et tout le monde doit le savoir ."


Figure 6.0 : Timbre émis en 1983 en Allemagne pour commémorer le bicentenaire de la mort d'Euler.


Figure 7.0 : Timbre émis par la Suisse en 1957 en l'honneur du 250e anniversaire d'Euler.

Pourquoi l'équation d'Euler est-elle si importante?

Vous avez le droit de vous demander: pourquoi Billy Cottrell a-t-il pensé que tout le monde devrait être au courant de l'équation d'Euler? Et était si sûr de cela qu'il a commencé à l'écrire sur les machines des autres? La réponse est simple: Euler a utilisé les trois constantes fondamentales des mathématiques et appliqué les opérations mathématiques de multiplication et d'exponentiation pour écrire une belle formule, ce qui donne zéro ou moins un.

• La constante e est liée aux fonctions de puissance.
• La constante i n'est pas réelle, mais un nombre imaginaire égal à la racine carrée de moins un.
• La fameuse constante π (pi) est liée à des cercles.

L'identité d'Euler est apparue pour la première fois en 1748 dans son livre Introductio in analysin infinitorum . Plus tard, d'autres personnes ont vu que cette formule est associée aux fonctions trigonométriques du sinus et du cosinus, et cette connexion est étonnante, car la fonction de puissance tend vers l'infini et les fonctions trigonométriques vont de -1 à -1.

e à la puissance de i fois ϕ (phi) = cos ϕ + i * sin ϕ

Figure 8.0 : fonction exponentielle y = e ^x .


Figure 8.1 : Graphique d'identité d'Euler.


Figure 8.2 : Fréquences émises par le circuit LC.

Les équations et les graphiques ci-dessus peuvent sembler abstraits, mais ils sont importants pour la physique quantique et les calculs de traitement d'image, et dépendent en même temps de l'identité d'Euler.

1: numéro du compte

Le nombre 1 (unité) est le fondement de notre système de calcul. Avec elle, nous commençons à compter. Mais qu'en pensons-nous? Pour compter, nous utilisons les chiffres de 0 à 9 et un système de chiffres qui détermine la valeur du chiffre.

Par exemple, le nombre 323 signifie 3 centaines, 2 dizaines et 3 unités. Ici, le nombre 3 joue deux rôles différents, qui dépendent de son emplacement.

323 = (3 * 100) + (2 * 10) + (3 * 1)

Il existe un autre système de calcul appelé binaire. Dans ce système, la base 2 est utilisée au lieu de 10. Elle est largement utilisée dans les ordinateurs et la programmation. Par exemple, dans un système binaire:

1001 = (2 ³ ) + (0 ² ) + (0 ¹ ) + (2 ⁰ ) = [9 dans un système avec base 10]

Qui a créé le système de calcul? Comment les premières personnes ont-elles compté des objets ou des animaux?

Comment est né notre système de calcul? Qu'en ont pensé les premières civilisations? Nous savons avec certitude qu'ils n'ont pas utilisé notre système de bits. Par exemple, il y a 4000 ans, les anciens Égyptiens utilisaient un système numérique avec différents symboles. Cependant, ils ont combiné les caractères pour créer un nouveau caractère pour les nombres.


Figure 11 : les hiéroglyphes représentés ici forment le nombre 4622; c'est l'un des chiffres gravés sur le mur du temple de Karnak (Egypte).


Figure 12 : Les hiéroglyphes sont des images représentant des mots et, dans ce cas, des nombres.

Dans le même temps, mais dans un autre endroit, une autre société a découvert une méthode de comptage, mais des symboles y ont également été utilisés. De plus, la base de leur calcul était de 60, et non de 10. Nous utilisons leur méthode de comptage pour déterminer l'heure; par conséquent, 60 minutes dans une minute et 60 minutes dans une heure.


Figure 13 : nombres babyloniens d'un système de nombres hexadécimal (avec base 60).

Mille ans plus tard, les anciens Romains ont inventé les nombres romains. Ils ont utilisé des lettres pour indiquer des nombres. La notation romaine n'est pas considérée comme un système de bits, car pour de nombreuses valeurs de notre système numérique, différentes lettres y ont été utilisées. C'est pour cette raison qu'ils ont utilisé un boulier pour compter.


Figure 14 : Boulier romain dans le système numérique hexadécimal (avec base 16)


Figure 15 : Tableau de conversion de l'arabe vers le romain

Les anciens Grecs n'utilisaient pas non plus le système de chiffres. Les mathématiciens grecs désignaient les nombres par des lettres. Ils avaient des lettres spéciales pour les nombres de 100 à 900. Beaucoup de gens à l'époque considéraient les chiffres grecs comme déroutants.


Figure 15 : Tableau des lettres en grec ancien.

Dans le même temps, les mathématiciens chinois ont commencé à utiliser de petits bâtons de bambou pour les calculs. Cette méthode de comptage chinoise est appelée le premier système de décimales.


Figure 16 : Méthode chinoise de comptage avec des numéros de bâton. Utilisé au moins à partir de 400 avant JC. La table de comptage carrée a été utilisée jusqu'à environ 1500, date à laquelle elle a été remplacée par un boulier.

Cependant, le système de compte le plus unique a été utilisé par les Indiens Mayas. Leur système de numérotation avait une base de 20. Pour indiquer des nombres de 1 à 19, ils utilisaient des points et des lignes. Quelle était la différence entre leur système numérique? Pour chaque nombre, ils ont utilisé des images de tête et un symbole zéro distinct 0.


Figure 17: Le système de nombre maya avec base 20, dans lequel les nombres sont indiqués par des têtes


Figure 18 : Une autre façon d'écrire des nombres mayas.

0: nombre pour ne rien indiquer

Certaines civilisations ont utilisé des espaces pour, par exemple, distinguer le nombre 101 de 11. Après un certain temps, un nombre spécial a commencé à apparaître - zéro. Par exemple, dans une grotte de la ville indienne de Gwalior, des archéologues ont trouvé sur le mur le numéro 270, dans lequel il y avait zéro. La toute première utilisation enregistrée de zéro peut être vue dans la bibliothèque Bodleian.


Figure 19 : Le cercle gravé sur le mur du temple à Gwalior indique zéro. Il a environ 1 500 ans.


Figure 20 : les points noirs dans le manuscrit de Bakhshali indiquent des zéros; c'est l'exemple écrit le plus ancien de l'utilisation des nombres, il a environ 1800 ans.

Il y a environ 1400 ans, les règles de calcul avec zéro ont été écrites. Par exemple, l'ajout d'un nombre négatif et de zéro produit le même nombre négatif. La division par zéro n'est pas autorisée, car si divisée par zéro, nous obtenons un nombre qui peut être égal à tout nombre dont nous avons besoin, ce qui devrait être interdit.

Peu de temps après, de nombreuses personnes ont publié des livres sur l'arithmétique qui ont répandu l'utilisation de la notation indo-arabe des nombres. Voici l'évolution des nombres indo-arabes. La plupart des pays utilisent le système de numérotation indo-arabe, mais les pays arabes utilisent toujours des chiffres arabes.


Figure 21 : Ce diagramme montre l'évolution des nombres, provenant des nombres de Brahmi et se terminant par les nombres que nous utilisons aujourd'hui.


Figure 22 : Une gravure classique "Arithmétique" de Margarita Philosophica de Gregor Reish, qui représente une compétition entre Boethius, souriant après la découverte de nombres indo-arabes et de calculs écrits, et le Pythagore fronçant les sourcils, essayant toujours d'utiliser un tableau numérique.

Pi (π): le nombre irrationnel le plus célèbre

Pi est le nombre irrationnel le plus populaire que nous connaissons. Pi peut être trouvé de deux manières: en calculant le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, ou le rapport de l'aire d'un cercle au carré de son rayon. Euclide a prouvé que ces relations sont constantes pour tous les cercles, même pour la lune, le sou, le pneu, etc.

π = cercle / diamètre OU π = zone / rayon du cercle²

Figure 22 : Relation animée entre cercle et diamètre par rapport à pi.

Puisque les nombres irrationnels comme pi sont infinis et n'ont pas de répétition, nous ne finirons jamais d'écrire pi. Ça continue pour toujours. Il y a des gens qui se souviennent de plusieurs décimales pi (le record actuel est de 70 000 chiffres! Source: Guinness Book of Records ).


Figure 23 : Données d'enquête de 941 répondants pour déterminer le pourcentage de personnes qui se souviennent des caractères pi après la virgule décimale.


Figure 24 : Des centaines de décharges pi sont enregistrées sur le mur de la station de métro Karlsplatz à Vienne.

Actuellement, les ordinateurs ont pu calculer un total de 2,7 trillions de bits pi. Cela peut sembler beaucoup, mais en fait, ce chemin est sans fin.

Comme je l'ai dit plus haut, le nombre pi a trouvé Euclide. Mais que faisaient les gens avant Euclide quand ils avaient besoin de trouver l'aire d'un cercle? Les historiens ont découvert une tablette d'argile babylonienne, dans laquelle le rapport du périmètre de l'hexagone au diamètre du cercle décrit autour d'elle a été enregistré. Après calculs, le nombre résultant s'est avéré être 3,125. Il est très proche de pi.


Figure 24 : Tablette d'argile babylonienne avec le rapport du périmètre de l'hexagone à la longueur du cercle circonscrit.


Figure 25 : Guerrier numérique

Les anciens Égyptiens étaient également proches de la signification de pi. Les historiens ont découvert un document montrant comment les anciens Égyptiens ont trouvé le nombre pi. Lorsque les historiens ont traduit le document, ils ont trouvé la tâche suivante:

Par exemple, pour trouver l'aire d'un champ d'un diamètre de 9 chapeaux (1 chapeau = 52,35 mètres), vous devez effectuer le calcul suivant:

Soustrayez 1/9 du diamètre, soit 1. Le reste est 8. Multipliez-le par 8, ce qui nous donne 64. Par conséquent, l'aire sera 64 setjat (unité d'aire).

En d'autres termes, le diamètre est 2r et 1/9 du rayon est (1/9 • 2r). Ensuite, si nous soustrayons cela du diamètre initial, nous obtenons alors 2r - (1/9 • 2r) = 8/9 (2r). L'aire du cercle est alors de 256/81 r². Autrement dit, pi vaut presque 3,16. Ils ont découvert cette valeur pi il y a environ 4000 ans.

Figure 26 : Papyrus mathématique d'Achmes .

Cependant, les mathématiciens grecs ont trouvé une meilleure façon de calculer pi. Par exemple, Archimède a préféré travailler avec des périmètres. Il a commencé à dessiner des cercles décrivant des polygones de différentes tailles. Quand il a dessiné l'hexagone, il a dessiné un cercle d'un diamètre de 1. Ensuite, il a vu que chaque côté de l'hexagone est 1/2 et le périmètre de l'hexagone est 1/2 x 6 = 3. Puis il a augmenté le nombre de côtés du polygone jusqu'à ce qu'il ressemble à un cercle . En travaillant avec un polygone à 96 faces et en appliquant la même méthode, il a obtenu 2 chiffres décimaux pi après la virgule décimale: 3 et 10/71 = 3.14084. De nombreuses années plus tard, le mathématicien chinois Liu Hu a utilisé un polygone à 3072 et a obtenu le nombre 3,14159 (5 chiffres décimaux valides de pi après le point décimal). Après cela, un autre mathématicien chinois Zu Chunzhi a fait un travail encore plus impressionnant. Il a travaillé avec un polygone à 24 000 côtés et a obtenu 3,1415926 - sept chiffres décimaux valides pi après le point décimal.

Mille ans plus tard, le mathématicien allemand Ludolf Zeilen a travaillé avec 2 polygones à ⁶² faces et a reçu 35 chiffres décimaux pi. Ce numéro, appelé Lyudolfov, a été gravé sur sa pierre tombale.




En 1706, l'Anglais John Machin, qui avait longtemps été professeur d'astronomie, a utilisé la formule d'addition pour prouver que pi est égal à


Ne se souciant pas de l'origine de cette formule, Macin a commencé à l'utiliser constamment, puis a noté la série ci-dessous. C'était le plus grand pas à ce moment-là dans le nombre de chiffres pi.


Figure 29 : Formule de Machin pour pi

Cependant, la première mention de pi est apparue en 1706. Le professeur de mathématiques William Jones a écrit un livre et a d'abord proposé pi pour mesurer les cercles. Alors pi est apparu pour la première fois dans les livres!




Figure 30 : Juliabloggers

En 1873, William Shanks a utilisé la formule de John Machin et a reçu 707 chiffres décimaux pi. Ces chiffres sont écrits dans la salle du Palais des Découvertes de Paris. Cependant, les mathématiciens ultérieurs ont découvert que seuls 527 chiffres étaient vrais.


Figure 31 : salle pi

D'un autre côté, Buffon a découvert une façon plus intéressante de trouver pi. Son expérience était basée sur des aiguilles à diffusion aléatoire pour évaluer pi. Il a dessiné plusieurs lignes parallèles sur la planche à une distance D et a pris des aiguilles de longueur L. Puis il a commencé au hasard à lancer des aiguilles sur la planche et a noté la proportion d'aiguilles traversant la ligne.


Figure 32.0 : Vendredi des sciences

Et après cela, un autre mathématicien nommé Lazzarini a lancé l'aiguille 3408 fois et a reçu six chiffres décimaux pi avec un rapport de 355/113. Cependant, si une aiguille ne franchissait pas la ligne, il ne recevrait que 2 chiffres pi.


Figure 32.1 : Lancer 1000 aiguilles pour estimer le pi approximatif

e: historique de la croissance exponentielle

e est un autre nombre irrationnel célèbre. La partie fractionnaire e est également infinie, comme pi. Nous utilisons le nombre e pour calculer la croissance de puissance (exponentielle). En d'autres termes, nous utilisons e lorsque nous constatons une croissance ou une diminution très rapide.

L'un des plus grands, et peut-être le meilleur mathématicien, Leonard Euler a découvert le numéro e en 1736 et a mentionné ce numéro spécial dans son livre Mechanica .



Figure 33 : source

Pour comprendre la croissance exponentielle, nous pouvons utiliser l'histoire d'un inventeur d'échecs. Quand il est venu avec ce jeu, il l'a montré au souverain du Nord. Le roi a aimé le jeu et a promis qu'il donnerait à l'auteur une récompense. L'inventeur a alors demandé quelque chose de très simple: 2 ⁰ grains par première cellule d'un échiquier, 2 ¹ grains par seconde cellule d'un échiquier, 2 ² grains par tiers, et ainsi de suite. À chaque fois, la quantité de céréales a doublé. Le roi du Nord pensait que la demande serait facile à remplir, mais il s'est trompé, car il faudrait mettre 2 ⁶³ grains sur la dernière cellule, soit 9 223 372 036 854 775 808 . Il s'agit d'une croissance exponentielle. Il a commencé à 1, a doublé constamment et après 64 étapes, il est devenu un nombre énorme!

Si un inventeur d'échecs choisissait une équation linéaire, par exemple 2n, il obtiendrait 2, 4, 6, 8, ... 128 ... Par conséquent, à long terme, la croissance exponentielle dépasse souvent de loin le polynôme.

Soit dit en passant, 9 223 372 036 854 775 808-1 est la valeur maximale d'un entier signé 64 bits .

Figure 34 : source: Wikipedia

Le nombre e a été découvert par Euler. Cependant, Jacob Bernoulli a également travaillé avec le numéro e lorsqu'il a calculé l'intérêt composé afin de gagner plus d'argent. Si vous investissez 100 $ à 10% du revenu, comment ce montant augmentera-t-il? Tout d'abord, cela dépend de la fréquence à laquelle la banque calcule les intérêts. Par exemple, s'il calcule une fois, nous recevrons 110 $ à la fin de l'année. Si nous changeons d'avis et prenons intérêt tous les 6 mois, dans ce cas, nous recevrons plus de 110 dollars. Le fait est que le pourcentage reçu au cours des 6 premiers mois recevra également son pourcentage. Le montant total sera égal à 110,25 dollars. Vous pouvez deviner que nous pouvons obtenir plus d'argent si nous prenons de l'argent chaque trimestre de l'année. Et si nous raccourcissons l'intervalle de temps, les montants finaux continueront de croître. Un tel intérêt composé infini nous rendra riches! Cependant, notre chiffre d'affaires total tend à la valeur limitée associée à e .

Bernoulli n'a pas appelé le numéro 2.71828 par le nom e . Quand Euler a travaillé avec 2,71828, il a élevé la fonction exponentielle e à la puissance de x . Il a décrit ses découvertes dans le livre The Analysis of Infinite .

En 1798, Thomas Malthus a utilisé une fonction exponentielle dans son essai sur la carence nutritionnelle du futur. Il a créé un graphique linéaire montrant la production alimentaire et un graphique exponentiel montrant la population mondiale. Malthus a conclu qu'à long terme, la croissance exponentielle triomphera et que le monde est confronté à une grave pénurie alimentaire. Ce phénomène a été appelé la «catastrophe malthusienne». Newton a également utilisé ce modèle pour montrer comment une tasse de thé refroidit.


Figure 35 : Loi de Newton-Richmann


Figure 36 : Catastrophe malthusienne

Nombre imaginaire: i, racine carrée -1

Pendant longtemps, les mathématiciens avaient suffisamment de nombres ordinaires pour résoudre leurs problèmes. Cependant, à un moment donné pour leur développement, ils avaient besoin de découvrir quelque chose de nouveau et de mystérieux.Par exemple, le mathématicien italien Cardano a essayé de diviser le nombre 10 en 2 parties, dont le produit serait égal à 40. Pour résoudre ce problème, il a noté l'équation: x (10-x) = 40. Lorsqu'il a résolu cette équation quadratique, il a obtenu deux solutions: 5 plus √-15 et 5 moins √-15, ce qui à l'époque n'avait aucun sens. Ce résultat était vide de sens, car par la définition de la racine carrée, il avait besoin de trouver un nombre dont le carré serait négatif. Cependant, les nombres au carré positifs et négatifs ont une valeur positive. Quoi qu'il en soit, il a trouvé son numéro unique. Cependant , Euler a été le premier mathématicien à appeler √-1 (la racine carrée de moins un) le nombre imaginaire i .

Leibniz a fait un tel commentaire sur le nombre imaginaire √-1:

Les nombres complexes sont un refuge magnifique et merveilleux de l'esprit divin, presque un amphibien d'être avec le néant.

Nous pouvons additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres imaginaires. L'addition, la soustraction et la multiplication sont simples et la division est un peu plus compliquée. Les parties réelles et imaginaires sont pliées séparément. En cas de multiplication, i ² sera égal à -1.

Après Euler, le mathématicien Caspar Wessel a introduit géométriquement des nombres imaginaires et créé un plan complexe. Aujourd'hui, nous représentons chaque nombre complexe a + bi comme un point avec des coordonnées (a, b).



Figures 37 et 38 : nombres complexes

À l'époque victorienne, beaucoup se méfiaient des nombres imaginaires. Cependant, le mathématicien et astronome irlandais William Rowan Hamilton a mis fin à ces doutes en définissant les nombres complexes appliqués aux quaternions .

La plus belle équation: l'identité d'Euler

L'identité d'Euler relie une fonction exponentielle aux fonctions sinus et cosinus, dont les valeurs vont de moins un à un. Pour trouver une connexion avec des fonctions trigonométriques, nous pouvons les représenter sous la forme d'une série infinie, vraie pour toutes les valeurs



Figure 39 : Découverte de l'identité d'Euler


Figure 40 : Identité d'

Euler Euler n'a jamais enregistré cette identité de manière explicite et nous ne savons pas qui l'a enregistrée en premier. Néanmoins, nous l'associons au nom d'Euler par déférence pour ce grand pionnier des mathématiques.