Généralisation du problème Brokar

L'histoire

Hilbert en 1900 au IIe Congrès international des mathématiciens à Paris a noté l'importance pratique de la théorie des nombres. La solution des problèmes abstraits a souvent conduit à l'émergence d'un nouvel appareil mathématique. Un exemple frappant est le grand théorème de Fermat, au cours duquel des preuves ont été menées à la fin du XXe siècle sur les fonctions méromorphes utilisées par les ingénieurs de conception modernes dans les usines automobiles et aéronautiques, ainsi que par les informaticiens dans le cadre de la simulation. Les problèmes des "beaux nombres" - des jumeaux simples et des nombres parfaits, qui étaient considérés comme presque inutiles dans la Grèce antique, fournissent maintenant une cryptographie moderne avec des algorithmes de génération de clés stables.

En 1913, Ramanujan a popularisé l'équation indéfinie:

$$

$$n! + 1 = m ^ 2 (1)$$

Auparavant, il figurait dans les œuvres d'Henri Brocard. Selon les historiens, deux mathématiciens ont commencé à étudier cette équation indépendamment l'un de l'autre. De toute évidence, la factorielle croît plus vite que le carré, de sorte que les premières solutions peuvent être rapidement obtenues en énumérant les valeurs de n. Nous obtenons:

$$

$$

$$

En 2000, les valeurs ont été vérifiées par dénombrement informatique $$$n$ avant $$ et aucune nouvelle solution n'a pu être trouvée. L'article propose mon approche pour vérifier des cas particuliers du problème de Brokar, et formule également une version généralisée du problème mathématique, dont la solution permet, quelle que soit l'hypothèse ABC, de résoudre des équations de la forme:

$$

$$n! = P (x)$$

Prérequis

L'arithmétique modulaire est un outil puissant pour une évaluation préliminaire de la complexité d'un problème et pour mettre en évidence des cas particuliers. Par exemple, il est facile de montrer que même $$$m$ Le problème de Brokar n'a pas de solution, car la factorielle de tout nombre naturel, à l'exception de l'unité, est paire. Une condition préalable pour une paire de valeurs $$$(n, m)$ dans l'équation de Brokard est la divisibilité de la factorielle par l'expression:

$$

$$m ^ 2-1$$

La factorielle, par définition, est un produit de nombres naturels consécutifs. En utilisant les propriétés de la série naturelle, on peut déterminer le degré de l'un ou l'autre nombre premier dans la factorisation canonique de la factorielle. Par exemple $$ contient 16 facteurs consécutifs. Chaque deuxième facteur est divisé par 2, chaque 4ème est divisé par 4, chaque 8ème est 8 et chaque 16ème est 16. Ainsi, la décomposition $$ par facteurs contient 2 à la puissance de $$ . D'ici s'il y a une paire $$$(16, m)$ étant une solution au problème de Brokar, alors $$$m ^ 2$ doit donner un reste de 1 lors de la division par n'importe quelle puissance de deux jusqu'au 15, inclus. Nous formulons la condition nécessaire pour $$$m$ lors de la résolution de l'équation 1:

Soit $$$n!$ ne dépasse pas dans une certaine mesure $$$k$ nombre premier $$$p$ et il y a un certain nombre $$$m$ à laquelle la paire $$$(n, m)$ est une solution à l'équation 1. Alors $$$m ^ 2-1$ doit être divisé en tous les degrés $$$p$ avant $$$F (k)$ où $$$F$ - fonction de calcul des degrés $$$p$ en décomposition $$$n!$ . (2)

Propriété P

Supposons qu'il existe un algorithme A vérifiant la condition nécessaire 2 pour un certain nombre premier $$$p$ . Nous appelons un tel algorithme un test P. Qu'il y ait aussi un naturel $$$n$ satisfaisant à la condition: $$$(n-1)! <m ^ 2 <n!$
Ensuite, nous disons que le nombre $$$m$ possède une propriété P.

Envisagez un processus à 2 tests pour arbitraire $$$m$ entre $$ et $$ . Pour $$$m ^ 2$ Les affirmations suivantes seront vraies:

1. $$$m ^ 2$ donne un reste de 1 lors de la division par tous les pouvoirs de deux à $$ inclusivement;
2. $$$m ^ 2-1$ non divisé par $$ .

En pratique, la plupart des nombres carrés entre $$ et $$ échouer le test 2 dans les 200 premières itérations. Si le nombre $$$m ^ 2$ à partir de l'intervalle spécifié et $$$m$ possède alors une propriété 2 dans le système binaire $$$m ^ 2$ se termine dans $$ , où les zéros sont exactement 1012. Ensuite, pour vérifier la condition 2, nous pouvons calculer $$$m ^ 2$ jusqu'aux 8 derniers chiffres et vérifiez les 8 derniers chiffres. S'il existe une séquence autre que $$ puis le test 2 a échoué. Calcul séquentiel de chaque valeur testée avec une précision de 8, 16, 24, etc. caractères, vous pouvez rapidement vérifier la condition 2 pour un grand ensemble de valeurs en utilisant un minimum de ressources système. Les tailles de chaînes multiples de 8 sont justifiées par la structure en octets de la RAM des ordinateurs modernes: un octet entier sera utilisé pour stocker des chaînes plus petites. Pour les grandes chaînes non multiples de 8, il y aura également des bits de mémoire inutilisés.

Qu'il soit nécessaire de vérifier l'énoncé:
Parmi $$$n$ d'un segment $$$[k_1, k_2]$ il n'y a pas de solution à l'équation 1 pour tout $$$m$ où $$$n, m, k_1, k_2$ - naturel.

En utilisant la formule de Stirling, nous définissons les écarts $$$(a_1, b_1), (a_2, b_2), .., (a_l, b_l)$ où $$$l = k_2-k_1 + 1$ . Pour le i-ème écart:

$$

$$a_i = {(s / e)} ^ s e ^ {1 / {12s + 1}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$$

$$

$$b_i = {(s / e)} ^ s e ^ {1 / {12s}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$$

$$

$$s = k_1 + i-1$$

Alors l'énoncé est vrai:
Si parmi les nombres carrés de $$$(a_1, b_1), (a_2, b_2), .., (a_l, b_l)$ aucun n'a réussi le test 2, puis l'équation 1 n'a pas de solution sur l'intervalle $$$[k_1, k_2]$ . L'inverse n'est pas vrai.

Une généralisation du problème Brokar sous la condition nécessaire

En général, un nombre carré avec une propriété p a une base dans le calcul $$$p$ vue: $$$t00..001$ , avec le nombre de zéros $$$F (k) -1$ . Ensuite, nous pouvons généraliser le problème de la propriété P:
Décrivons deux fonctions: $$$F$ et $$$G$ renvoyer des valeurs naturelles pour tout argument naturel, et $$$G$ ne peut pas être représenté comme un polynôme avec des coefficients entiers. Ensuite, il est nécessaire de formuler un critère pour lequel parmi les nombres $$$m$ entre $$$G (t)$ et $$$G (t + 1)$ et ayant dans la notation du calcul à base p la forme:

$$

$$k_100..00k_2 (3)$$

vous ne pouvez choisir que ceux qui ont une racine naturelle du nième degré, où le nombre de zéros dans l'enregistrement 3 est donné par la fonction $$$F$ dépendant $$$t$ . Ce faisant, $$$k_1$ peut être un paramètre, une valeur arbitraire ou une constante, et $$$k_2$ - toujours une constante. (4)

Par exemple, vous pouvez poser le problème de l'extractibilité de la racine cubique à partir de nombres $$$n$ avoir en notation hexadécimale $$$k00..001$ où $$$k$ tout nombre hexadécimal est supérieur à 1, et le nombre de zéros pour un particulier $$$n$ égal au plus grand $$$t$ pour lequel l'inégalité tient:

$$

La base de la rédaction de l'article était la déclaration concernant une relation directe entre le nombre de zéros dans l'enregistrement 3 dans un calcul arbitraire pour la valeur du côté gauche de l'équation 1 en remplaçant les racines déjà trouvées et le nombre $$$n$ . Si l'équation 1 a exactement 3 racines, ce fait peut être prouvé en résolvant le cas spécial correspondant du problème 4. L'inverse n'est pas vrai.

Conclusion

Parlant de l'importance pratique des problèmes abstraits de la théorie des nombres, en tant que facteur stimulant le développement de l'appareil mathématique, il convient de mentionner une équation intéressante en nombres entiers, dont la solution est impossible dans le cadre de la généralisation ci-dessus:

$$

Cette équation découle logiquement des tentatives d'approximation des nombres de Luke par la méthode non récurrente. La solution du problème 5 permettra de découvrir de nouvelles propriétés des nombres de Mersenne et de formuler les conditions nécessaires pour accélérer le travail des programmes de recherche distribuée pour les grands nombres premiers basés sur le test de Luc-Lemer.

Par analogie avec le problème de Goldbach faible, on suppose que les tests P aideront à obtenir une large borne inférieure pour l'ensemble des racines de l'équation 1, autre que $$$(4, 5), (5, 11)$ et $$$(7, 71)$ , et l'étude du problème 3 conduira à la preuve de l'insolvabilité de l'équation 1 en nombres entiers pour des valeurs suffisamment grandes de n.

Les sources

Les problèmes de Hilbert
Le défi de Brokar