Introduction à la théorie des ensembles

Le concept de l'infini est idéologiquement loin de la terminologie mathématique ordinaire - aucun autre sujet ne va au-delà des mathématiques de telle manière qu'il passe d'un outil analytique pratique à un phénomène d'ordre mythique. Le concept de l' infini sur un pied court avec des thèmes culturels tels que la religion et la philosophie, et est enveloppé d'une mystérieuse aura de divinité.

Il était une fois une conviction fondamentale dans toutes les disciplines académiques - il n'y a qu'un seul infini .

Mais en 1874, un mathématicien assez peu connu a fait une série d'observations révolutionnaires qui ont mis en doute cette croyance universellement acceptée et profondément enracinée. Georg Cantor, dans sa publication (désormais légendaire) On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers, a prouvé que de nombreux nombres réels sont "plus nombreux" que de nombreux nombres algébriques. Il a donc d'abord montré qu'il existe des ensembles infinis de tailles différentes (ne vous inquiétez pas - pour clarifier cela, nous étudierons bientôt son article en détail).


«Beaucoup est une grande quantité qui vous permet de vous percevoir comme un» - Georg Cantor

De 1874 à 1897, Cantor a publié avec véhémence article après article, élargissant sa théorie des ensembles abstraits à une discipline florissante. Cependant, elle a rencontré une résistance et des critiques tenaces; de nombreux pédants croyaient que ses théories se déplaçaient dans le domaine de la philosophie et violaient le principe de la religion.

Cependant, lorsque des applications pratiques de l'analyse mathématique ont commencé à être trouvées, l'attitude envers la théorie a changé et les idées et les résultats de Cantor ont commencé à être reconnus. Au cours de la première décennie du 20e siècle, ses observations, théories et publications ont atteint leur point culminant - la reconnaissance de la théorie des ensembles moderne comme un nouveau domaine de mathématiques tout à fait unique:

La théorie des ensembles est une théorie mathématique sur des ensembles (ensembles) définis avec précision d'objets individuels appelés membres ou éléments d'un ensemble.

Combien de nombres sont compris entre 0 et 1?

La première publication de quatre pages et demie de Cantor est un excellent exemple de brièveté. Il est divisé en deux éléments de preuve distincts, conduisant conjointement à la conclusion qu'il existe au moins deux types uniques d'ensembles.

Dans la première partie de la théorie, nous étudions l'ensemble des nombres algébriques réels et prouvons qu'il s'agit d'un ensemble dénombrable infini . Il ne faut pas confondre - «compter» ne signifie pas nécessairement que le compte est tenu strictement en nombres entiers; dans le contexte de la théorie des ensembles, «dénombrable» signifie qu'un ensemble, même s'il se compose d'un nombre infini d'éléments, peut être décrit par une série répétée, par exemple, une fonction polynomiale ordonnée . Cantor a appelé cette propriété d'un ensemble infini de numéros de correspondance biunivoque avec une série, la présence d'une correspondance biunivoque .

En bref, l'ensemble ou l'ensemble de tous les nombres algébriques réels peut être dérivé en utilisant une série théorique de polynômes avec divers degrés et coefficients; par conséquent, l'ensemble de tous les nombres algébriques réels est un ensemble dénombrable infini .

Dans la deuxième partie des travaux de Cantor, le rôle des nombres réels complexes , également appelés nombres transcendantaux, est analysé. Les nombres transcendantaux (dont les meilleurs exemples sont pi et e) ont une propriété curieuse: il est mathématiquement impossible de les dériver en utilisant une fonction polynomiale - ils ne sont pas algébriques. Quels que soient l'ampleur, le nombre de pièces, les degrés ou les coefficients, aucune série ne peut jamais compter pi dans sa collection d'un ensemble dénombrable infini.

Kantor indique ensuite que dans tout intervalle fermé [ a , b ], il existe au moins un nombre transcendantal qui ne peut jamais être compté dans un ensemble dénombrable infini. Puisqu'un tel nombre existe, on suppose que dans la famille des nombres réels, il existe un nombre infini de nombres transcendantaux.

Ainsi, il a démontré une différence très nette entre l'ensemble des nombres indénombrables continus et fluides et l'ensemble des nombres dénombrables, qui peut être représenté comme une série, par exemple, de tous les nombres algébriques réels.

Suivant: enregistrement et opérations

La première publication de Cantor a culminé dans cette étonnante confirmation de l'existence d'au moins deux types différents d'infini. Après son premier article, une vague d'additions est apparue, ouvrant lentement mais sûrement la voie à la théorie des ensembles moderne.


Il vaut également la peine de partager une observation intéressante: la plupart des gens qui utilisent la théorie des ensembles dans la pratique plutôt que de valoriser ce théorème particulier, mais le langage généralisé qu'il définit. En raison de sa nature abstraite, la théorie des ensembles affecte secrètement de nombreux domaines des mathématiques. En analyse mathématique, qui nécessite un calcul différentiel et intégral, une compréhension des limites et de la continuité des fonctions, finalement fixées dans la théorie des ensembles, est nécessaire. Dans l' algèbre de la logique, les opérations logiques «et», «ou» et «non» correspondent aux opérations d'intersection, d'union et de différence dans la théorie des ensembles. Enfin, la théorie des ensembles jette les bases de la topologie - l'étude des propriétés géométriques et des relations spatiales.

Armé d'une compréhension de base de l'histoire des ensembles et ayant fait un bref plongeon dans les profondeurs de son influence, nous pouvons commencer à se familiariser avec les bases du système de notation de la théorie des ensembles.

Deuxième partie Un bref aperçu des opérations, de la notation et des diagrammes de Venn.

Comme indiqué dans la partie précédente, l'un des avantages fondamentaux de la théorie des ensembles ne découle pas d'une théorie particulière, mais du langage qu'elle a créé. C'est pourquoi la partie principale de cette section sera consacrée à la notation, aux opérations et à la représentation visuelle de la théorie des ensembles. Commençons par expliquer les symboles de base de la notation d'un ensemble - les éléments qui lui correspondent. Le tableau ci-dessous montre un exemple d'un ensemble A avec trois éléments:


A est un ensemble avec les éléments "1", "2" et "3"

"1" est un élément de l'ensemble A

La première ligne montre l'ensemble A avec trois éléments distincts ( A = {1,2,3} ); la deuxième ligne montre la bonne façon de désigner un élément concret individuel 1 appartenant à l'ensemble A. Jusqu'à présent, tout est assez simple, mais la théorie des ensembles devient beaucoup plus intéressante lorsque nous ajoutons le deuxième ensemble - le voyage à travers les opérations standard commence.

Pour le tableau ci-dessus, introduisons deux ensembles supplémentaires B et C contenant les éléments suivants: B = {3, A, B, C, D, E} , C = {1,2} . Bien que nous ayons créé trois ensembles (A, B et C), dans les exemples ci-dessous, les opérations sont effectuées simultanément avec seulement deux ensembles, alors faites attention aux ensembles indiqués dans la colonne de gauche . Le tableau ci-dessous présente les cinq opérandes d'ensembles les plus courants:


Opérations: intersection - l'ensemble des éléments appartenant à l'ensemble A et à l' ensemble B;

union - un ensemble d'éléments appartenant à un ensemble A ou à un ensemble B;

sous-ensemble - C est un sous-ensemble de A, l'ensemble C est inclus dans l'ensemble A;

propre (vrai) sous-ensemble - C est un sous-ensemble de A, mais C n'est pas égal à A;

complément relatif - un ensemble d'éléments appartenant à A et non à B.

Les voici, les opérations les plus courantes en théorie des ensembles; ils sont assez populaires dans les domaines en dehors des mathématiques pures. En fait, il est fort probable que vous ayez déjà vu des types d'opérations similaires dans le passé, mais pas tout à fait avec une telle terminologie, et que vous les ayez même utilisées. Bonne illustration: demandez à n'importe quel élève de décrire un diagramme de Venn à partir de deux groupes qui se croisent, et il arrivera intuitivement au résultat correct.

Jetez un autre regard sur la dernière ligne, l' addition relative - quelle combinaison inhabituelle de mots, est-ce? Par rapport à quoi? Si le complément relatif A - B est défini comme A et non B , alors comment désigner tout ce qui n'est pas B?

Ensemble universel - ensemble vide

Il s'avère que si nous voulons obtenir une réponse significative, nous devons d'abord fournir le contexte de l'ensemble de notre problème d'ensembles d'ensembles. Il est souvent explicitement défini au début d'une tâche lorsque les éléments admissibles de l'ensemble sont limités à une classe fixe d'objets dans laquelle il existe un ensemble universel , qui est un ensemble commun contenant tous les éléments de cette tâche particulière. Par exemple, si nous voulons travailler avec des ensembles uniquement à partir des lettres de l'alphabet anglais, alors notre ensemble universel U serait composé de 26 lettres de l'alphabet.

Pour tout sous-ensemble A de l' ensemble U, le complément de l' ensemble A (noté A ou U - A ) est défini comme l'ensemble de tous les éléments de la population générale U qui ne sont pas en A. Si nous revenons à la question posée ci-dessus, alors le complément de l'ensemble B est tout dans l'ensemble universel qui n'appartient pas à B , y compris A.

Avant de poursuivre, nous devons mentionner un autre ensemble de principes, qui est suffisamment important pour une compréhension de base: zéro ou ensemble vide . Gardez à l'esprit qu'il n'y a qu'un seul ensemble vide, par conséquent, ils ne disent jamais «ensembles vides». Bien que nous ne considérions pas l'équivalence dans cet article, la théorie de base est que deux ensembles sont équivalents s'ils ont les mêmes éléments; par conséquent, il ne peut y avoir qu'un seul ensemble sans éléments. Par conséquent, il existe un seul ensemble vide.

Diagrammes de Venn et le reste

Les diagrammes de Venn, inventés officiellement en 1880 par John Venn, sont exactement ce que vous imaginez, bien que leur définition scientifique ressemble à ceci:

Représentation schématique de toutes les relations possibles de plusieurs ensembles

Ci-dessous, une image des six diagrammes de Venn les plus courants, et presque tous montrent des opérandes récemment étudiés:


Union, intersection, complément relatif, différence symétrique, sous-ensemble approprié, complément absolu.

En commençant par une notation très simple pour un ensemble et ses éléments, nous avons ensuite appris les opérations de base qui nous ont permis de dessiner cet indice visuel. Nous avons examiné toutes les opérations à l'exception de la différence symétrique (en bas à gauche). Afin de ne pas laisser de lacunes dans les connaissances, nous disons qu'une différence symétrique, également appelée union disjonctive , est simplement un ensemble d'éléments qui se trouvent dans l'un des ensembles mais n'entrent pas dans leur intersection .

Nous concluons cette section en introduisant le concept de pouvoir (nombre cardinal) . La puissance d'un ensemble, indiquée par un symbole de valeur absolue, est simplement le nombre d'éléments uniques contenus dans un ensemble particulier. Pour l'exemple ci-dessus, la puissance de trois ensembles est égale à: | A | = 3, | B | = 6, | C | = 2.

Avant de continuer, je vais vous donner matière à réflexion - quelle est la relation entre le pouvoir et le nombre de sous-ensembles possibles?

Partie 3. Ensembles de puissance et exponentiels

Dans les deux parties précédentes, nous avons compris les bases de la théorie des ensembles. Dans la troisième partie, nous renforcerons notre compréhension en nous concentrant sur la propriété la plus importante de tout ensemble: le nombre total d'éléments uniques qu'il contient .

Le nombre d'éléments uniques dans un ensemble, également connu sous le nom de puissance , nous fournit un point de référence fondamental pour une analyse plus approfondie et plus approfondie de cet ensemble. Premièrement, le pouvoir est la première des propriétés uniques que nous considérons qui nous permet de comparer objectivement différents types d'ensembles, en vérifiant si une bijection (avec quelques mises en garde, est simplement un terme plus raffiné pour la fonction ) existe d'un ensemble à l'autre. Une autre façon d'utiliser le pouvoir, ainsi que le sujet de cette partie de l'article, le pouvoir nous permet d'évaluer tous les sous-ensembles possibles existant dans cet ensemble . Qui peut littéralement être appliqué dans les problèmes quotidiens de distribution des décisions, que ce soit la planification budgétaire pour un voyage dans une épicerie ou l'optimisation d'un portefeuille de stocks.


Exemples de cardinalité

Par exemple, le tableau ci-dessus montre cinq ensembles distincts avec leur puissance indiquée sur la droite. Comme nous l'avons déjà dit, le symbole du pouvoir ressemble au symbole de la valeur absolue - la valeur comprise entre deux lignes verticales. Tous les exemples sont compréhensibles, à l'exception peut-être de la dernière ligne, qui souligne le fait que seuls des éléments uniques de l'ensemble influencent le pouvoir.

Rappelez-vous les sous-ensembles de la partie précédente de l'article? Il s'avère que la cardinalité d'un ensemble A et le nombre de sous-ensembles possibles de A ont une connexion étonnante. On montre ci-dessous que le nombre de sous-ensembles pouvant être composés d'un certain sous-ensemble augmente avec l'ordre de puissance d'une valeur prévisible:

Le nombre de sous-ensembles possibles dans C = 2 ^{| C |}

Examinons de plus près l'exemple ci-dessous. Cependant, pour commencer, réfléchissons à la formule. Imaginons la puissance comme le nombre total de «positions», qui est un ensemble. Lors de la création d'un sous-ensemble pour chaque position possible, une décision booléenne est prise (oui / non) . Cela signifie que chaque élément unique ajouté à l'ensemble (c'est-à-dire en augmentant la puissance d'un) augmente le nombre de sous-ensembles possibles d'un facteur deux. Si vous êtes un programmeur ou un scientifique, vous pouvez comprendre cette logique un peu plus profondément si vous comprenez que tous les sous-ensembles de l'ensemble peuvent être calculés à l'aide d'une table de nombres binaires.

Ensemble exponentiel (bulean)

Avant de calculer tous les sous-ensembles pour un exemple de l'ensemble C , je voudrais présenter le dernier concept - le booléen .

Un buléen est désigné par la lettre majuscule S , suivi de l'ensemble initial S (C) entre parenthèses. Un booléen est l'ensemble de tous les sous-ensembles de C, y compris l'ensemble vide et l'ensemble lui-même. Le tableau ci-dessous montre le booléen S (C) avec toutes les permutations des sous-ensembles possibles pour l'ensemble C contenu dans un grand ensemble.


Pour des raisons de formatage, j'ai supprimé les virgules entre les ensembles ***

Comment une boulée peut-elle être utile? En fait, vous avez probablement utilisé intuitivement de nombreuses fois les booléens sans même vous en rendre compte. Chaque fois que vous sélectionnez un sous-ensemble d'éléments dans un ensemble plus grand, vous sélectionnez un élément booléen. Par exemple, un enfant étudie attentivement une pâtisserie avec un billet de 5 $ - quel élément de la boulée de l'ensemble des bonbons disponibles choisira-t-il? Ou si vous prenez un exemple plus technique: vous, en tant que développeur de logiciels, devrez peut-être demander à tous les utilisateurs de base de données possibles qui ont également les propriétés X et Y - un autre cas dans lequel un sous-ensemble est sélectionné parmi tous les sous-ensembles possibles.

Équivalence et fonction bijective

Nous comprenons maintenant quelle est la puissance de l'ensemble, pourquoi il est important et sa connexion avec le booléen. Revenons donc brièvement à ce qui a été mentionné au tout début: qu'est - ce qui définit spécifiquement l' équivalence dans la théorie des ensembles?

Évidemment, deux ensembles avec la même puissance ont une propriété commune, mais les similitudes s'arrêtent là - et s'il y a un élément multiple dans l'un des ensembles? Et si deux ensembles ont la même puissance et le même nombre d'éléments? On ne peut nier qu'ils sont «équivalents» dans une certaine mesure, mais même dans ce cas, il y a toujours la possibilité de différences, car chaque ensemble peut avoir des éléments différents qui sont répétés le même nombre de fois. Le point ici est que le concept d'équivalence dans la théorie des ensembles est un peu étranger à d'autres domaines des mathématiques. L'établissement de l'équivalence dans ce monde nécessite une familiarité avec ce concept et un nouveau langage. Dans la dernière partie de cet article, nous introduisons le concept d'équivalence, ainsi que des propriétés de base telles que les fonctions injectives, bijectives et surjectives.

Partie 4. Fonctions.

Dans cette partie, nous parlerons davantage des fonctions au sein de la théorie des ensembles. Comme dans le cas des concepts précédents, la terminologie des fonctions standard dans la théorie des ensembles est légèrement différente des autres domaines des mathématiques, et nécessite donc une explication. Il y a beaucoup de terminologie, alors commençons immédiatement! Le premier tableau ci-dessous reflète les concepts d'un domaine de définition, d'un domaine de valeurs et d'une valeur de fonction:


Une fonction dans le monde de la théorie des ensembles est simplement la correspondance de certains (ou de tous) les éléments de l'ensemble A avec certains (ou tous) les éléments de l'ensemble B. Dans l'exemple ci-dessus, l'ensemble de tous les éléments possibles de A est appelé domaine de définition ; les éléments de A utilisés comme valeurs d'entrée sont appelés arguments en particulier. À droite, l'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles (appelé dans d'autres domaines des mathématiques le «domaine des valeurs») est appelé la co-région ; l'ensemble des éléments de sortie réels B correspondant à A est appelé une image .

Jusqu'à présent, rien de vraiment compliqué, juste une nouvelle façon de définir les paramètres de fonction. Ensuite, nous allons expliquer comment décrire le comportement de ces fonctions de correspondance à l'aide de types de fonctions courants.

Injection, surjection et bijection

En théorie des ensembles, trois concepts sont généralement utilisés pour classer la correspondance des ensembles: l' injection , la surjection et la bijection . Malheureusement, ces concepts ont plusieurs noms différents qui renforcent la confusion, nous allons donc d'abord examiner chaque définition, puis regarder des exemples visuels. Les trois termes décrivent la façon dont les arguments sont mappés sur les images:

• Une fonction est injective ( ou «un à un» ) si chaque élément de la co-région n'est pas mappé à plus d' un élément dans la zone de définition.
• , . ( .)
• , .

«», «» «». (), ; () . , — , — .

. — , ; , surjectif. La fonction injective ne doit pas être surjective, et la surjective ne doit pas être injective. Voici un exemple visuel dans lequel ces trois classifications ont conduit à la création de fonctions d'ensemble définies par quatre combinaisons possibles de propriétés injectives et surjectives:


Bijection (injection + surjection), injection (injection + non-injection), surjection (non-injection + injection), sans classification (non-injection + non-injection)

C'est tout! Nous avons maintenant une compréhension élémentaire des relations les plus courantes dans le monde des décors. Cependant, ce n'est en aucun cas la fin de notre voyage: au contraire, c'est le tout début.

Les fondements fondamentaux de la théorie des ensembles sont la clé pour comprendre les domaines mathématiques de niveau supérieur. Pour poursuivre notre mouvement ascendant vers ces différents domaines, nous devrons utiliser nos connaissances de la théorie des ensembles pour clarifier l'une des théories les plus révolutionnaires de l'histoire des mathématiques: le système d'axiomes de Zermelo-Frenkel .