Ce n'est pas une preuve, mais une conjecture appuyée par la connaissance. Mais une bonne hypothèse fait avancer les mathématiques, ouvrant la voie à l'obscurité mathématique.
L'auteur de l'article est Robert Dijkgraaf , physicien théoricien, spécialiste de la théorie des cordes, directeur de l'Institute for Advanced Study de Princeton et professeur à l'Université d'Amsterdam.L'escalade est une métaphore populaire pour la recherche mathématique. Une telle comparaison est presque impossible à éviter: un monde gelé, de l'air froid raréfié, la rigidité rigoureuse de l'alpinisme ressemble à un paysage inexorable de nombres, de formules et de théorèmes. Tout comme un grimpeur contraste ses capacités avec un objet inflexible - dans son cas, un mur de pierre -, un mathématicien se bat souvent dans la bataille de l'esprit humain contre une logique rigide.
En mathématiques, le rôle des sommets des montagnes est joué par les grandes hypothèses - des énoncés très formulés, vraisemblablement vrais, mais sans preuves convaincantes. Ces hypothèses ont des racines profondes et de larges conséquences. La recherche de leurs solutions est une grande partie des mathématiques. La gloire éternelle attend leur premier conquérant.
Fait intéressant, les mathématiciens ont élevé la formulation des hypothèses au niveau du grand art. La science la plus rigoureuse aime les formes les plus douces. Une déclaration bien choisie mais non prouvée peut rendre son auteur célèbre dans le monde entier, peut-être même plus que la personne qui en offre la preuve finale.
La conjecture de Poincaré reste la conjecture de Poincaré, même après avoir été prouvée par
Grigory Yakovlevich Perelman . Et après tout, le Britannique George Everest, arpenteur en chef de l'Inde dans la première moitié du XIXe siècle, n'a jamais gravi la montagne qui porte son nom.
Comme dans toute forme d'art, une grande hypothèse doit répondre à plusieurs critères obligatoires. Tout d'abord, cela ne devrait pas être trivial - difficile à prouver. Les mathématiciens disent parfois: «La tâche ne vaut le travail que si elle résiste» ou «Si la tâche ne vous ennuie pas, elle est probablement trop facile pour vous». Si une hypothèse est prouvée en quelques mois, son créateur aurait peut-être réfléchi un peu plus longtemps avant de l'ouvrir au monde.
La première tentative de rassembler une collection complète des plus grands problèmes mathématiques a été faite au début du siècle dernier par
David Hilbert , qui est appelé le dernier mathématicien universel. Bien que sa liste de
23 questions se soit avérée assez influente, avec le recul, il nous semble plutôt mitigé.
Il comprend des favoris universels de longue date, tels que
l'hypothèse de Riemann - souvent considérée comme la plus grande des plus grandes, restant l'Everest pour les mathématiciens pendant plus de cent ans. Lorsqu'on lui a demandé ce qu'il aimerait savoir en premier, Hilbert, se réveillant après un rêve de 500 ans, il s'est immédiatement rappelé cette hypothèse. Il décrit la notion intuitive de base de la distribution des nombres premiers - des atomes de l'arithmétique - et sa démonstration aura de vastes implications pour de nombreuses branches des mathématiques.
Mais Hilbert a énuméré des objectifs beaucoup plus vagues et non rigoureux, comme "une étude mathématique des axiomes de la physique" ou "le développement de méthodes de
calcul des variations ". L'une des hypothèses concernant la composition égale de polyèdres de taille égale a été décidée par son élève Max Dan la même année que la liste a été publiée. Beaucoup des sommets décrits par Hilbert se sont avérés être plus comme des contreforts.
Les pics les plus élevés ne se soumettent pas en une seule tentative. Les expéditions installent soigneusement des camps de base et étirent des cordes, puis montent lentement jusqu'au sommet. En mathématiques, attaquer un problème grave nécessite souvent de construire des structures complexes. Une attaque directe est considérée comme stupide et naïve. La construction de ces constructions mathématiques auxiliaires prend parfois des siècles et, par conséquent, elles s'avèrent parfois plus précieuses que le théorème conquis. Ces forêts deviennent alors un ajout permanent à l'architecture des mathématiques.
Un parfait exemple de ce phénomène sera la preuve
du grand théorème de Fermat , qui a été obtenu en 1994 par Andrew John Wiles. On sait que Fermat a écrit son hypothèse en marge de «l'arithmétique» de Diophantus en 1639. Mais sa preuve a nécessité plus de trois cents ans pour développer des outils mathématiques. En particulier, les mathématiciens ont dû créer une combinaison très avancée de théorie des nombres et de géométrie. Ce nouveau domaine, la
géométrie arithmétique , est maintenant l'une des théories mathématiques les plus profondes et les plus profondes. Il va bien au-delà de l'hypothèse de Fermat et a été utilisé pour résoudre de nombreux problèmes en suspens.
La grande hypothèse doit également être profonde et être au cœur même des mathématiques. En fait, la métaphore de la conquête du pic ne reflète pas toutes les conséquences de l'obtention de preuves. L'obtenir n'est pas le but ultime d'un voyage difficile, mais le point de départ d'une aventure encore plus grande. Un moyen plus approprié serait un col de montagne, une selle, permettant au voyageur de se déplacer d'une vallée à l'autre. C'est ce qui rend l'hypothèse de Riemann si puissante et populaire. Il révèle de nombreux autres théorèmes et idées, et de vastes généralisations en découlent. Les mathématiciens étudient la riche vallée à laquelle elle donne accès, malgré le fait qu'elle reste purement hypothétique.
De plus, des preuves suffisamment solides devraient soutenir l'hypothèse. Un dicton bien connu de Niels Bohr: «Le contraire d'une déclaration correcte est une fausse déclaration. Mais l'opposé de la vérité profonde peut être une autre vérité profonde. " Cependant, pour la grande hypothèse, ce n'est clairement pas le cas. Étant donné que de nombreuses preuves indirectes parlent généralement en sa faveur, son refus semble peu probable. Par exemple, les 10 premiers billions de cas de l'hypothèse de Riemann ont été vérifiés numériquement sur un ordinateur. Qui peut encore douter de sa fidélité? Cependant, ces supports ne satisfont pas les mathématiciens. Ils exigent une certitude absolue et veulent savoir pourquoi l'hypothèse est vraie. Seules des preuves convaincantes peuvent donner une telle réponse. L'expérience montre qu'il est facile de tromper une personne. Les contre-exemples peuvent se cacher assez loin, comme celui que Noam Elkis a trouvé, un mathématicien de Harvard qui a réfuté l'hypothèse d'Euler, une variation de l'hypothèse de Fermat, qui disait qu'un nombre au quatrième degré ne peut pas être écrit sous la forme de trois autres nombres au quatrième degré. Qui aurait deviné que dans le premier contre-exemple, il y aurait un nombre de 30 chiffres?
20 615 673
4 = 2 682 440
4 + 15 365 639
4 + 18 796 760
4Les meilleures hypothèses ont généralement des racines plutôt modestes, comme la fugace remarque de Fermot en marge d'un livre, mais leurs conséquences se multiplient au fil des années. Il est également utile que l'hypothèse puisse être exprimée brièvement, de préférence à travers une formule avec un petit nombre de caractères. Une bonne hypothèse devrait tenir sur un t-shirt. Par exemple, l'
hypothèse de Goldbach dit: "Tout nombre pair, commençant par 2, peut être représenté comme la somme de deux nombres premiers." Cette hypothèse, formulée en 1742, n'a pas encore été prouvée. Elle est devenue célèbre grâce à l'histoire «Oncle Petros et le problème de Goldbach» de l'auteur grec Apostolos Doksiadis, notamment parce que l'éditeur a offert comme stratagème publicitaire 1 million de dollars à quiconque pourrait le prouver dans les deux ans suivant la publication du livre. La concision de l'hypothèse se développe avec sa beauté extérieure. Vous pouvez même définir l'esthétique mathématique comme «la quantité d'influence par personnage». Cependant, une telle beauté élégante peut être trompeuse. Les formulations les plus concises peuvent nécessiter les preuves les plus longues, ce qui démontre à nouveau l'observation trompeusement simple de Fermat.
À cette liste de critères, on peut peut-être ajouter la réponse du célèbre mathématicien
John Conway à la question de savoir ce qui rend l'hypothèse géniale: "Elle doit être flagrante". Une hypothèse intéressante est également quelque peu ridicule ou fantastique, avec une zone d'influence et de conséquences imprévues. Idéalement, il combine des composants de zones éloignées les uns des autres, qui ne figuraient pas auparavant dans une déclaration, en tant qu'ingrédients inattendus dans un plat expressif.
Enfin, il sera utile de comprendre que l'aventure n'est pas toujours réussie. Tout comme une fente insurmontable peut survenir devant un grimpeur, les mathématiciens peuvent être vaincus. Et s'ils perdent, ils perdent complètement. La preuve à 99% n'existe pas. Pendant deux millénaires, les gens ont essayé de prouver l'hypothèse que le cinquième axiome euclidien - le fameux
axiome du parallélisme , qui dit que les lignes parallèles ne se coupent pas - peut être déduit des quatre axiomes précédents de la planimétrie. Et puis, au début du XIXe siècle, les mathématiciens ont créé des exemples concrets de géométrie non euclidienne, réfutant cette hypothèse.
Mais la géométrie ne s'arrête pas là. Dans un sens perverti, la réfutation de la grande hypothèse peut s'avérer être une nouvelle encore meilleure que sa preuve, car l'échec indique que notre compréhension du monde mathématique est très différente de la réalité. La perte peut être productive, quelque peu opposée à une victoire à la Pyrrhus. La géométrie non euclidienne s'est avérée être un prédécesseur important de l'espace-temps incurvé d'Einstein, qui joue un rôle si important dans la compréhension moderne de la gravité et de l'espace.
De même, lorsque
Kurt Gödel a publié son célèbre
théorème d'incomplétude en 1931, qui montrait que dans tout système mathématique formel, il existe de véritables affirmations qui ne peuvent pas être prouvées, il a en fait répondu négativement à l'un des problèmes de Hilbert concernant la cohérence des axiomes de l'arithmétique. Cependant, le théorème d'incomplétude - qui est souvent considéré comme la plus grande réalisation de la logique depuis Aristote - n'a pas proclamé la fin de la logique mathématique. Au lieu de cela, cela a conduit à un âge d'or qui a conduit au développement d'ordinateurs modernes.
Ainsi, au final, la recherche d'une solution aux grandes hypothèses présente des similitudes légèrement différentes avec les expéditions en montagne vers les plus hauts sommets. Ce n'est que lorsque tout le monde est rentré chez lui, en toute sécurité - que l'objectif ait été atteint ou non - que la véritable étendue de l'aventure devienne claire. Et puis vient le temps des histoires d'ascension héroïques.