D'une fonction mathématique magique - une solution pour les gouverner tous

Il y a trois ans, Marina Vyazovskaya de l' Ecole polytechnique fédérale de Lausanne a émerveillé les mathématiciens en découvrant la manière la plus dense d'emballer des sphères de même taille dans des espaces en huit et 24 dimensions (dans le second cas, avec l'aide de quatre co-auteurs). Et maintenant, eux et leurs co-auteurs ont prouvé quelque chose d'encore plus surprenant: les configurations qui résolvent le problème du remplissage dense des sphères dans les dimensions mentionnées résolvent également un nombre infini d'autres problèmes liés à la meilleure disposition des points essayant de s'éviter.

Les points, par exemple, peuvent désigner un ensemble infini d'électrons qui se repoussent et tentent de s'installer dans la configuration avec l'énergie la plus faible. Ou, ces points peuvent indiquer les centres de longs polymères torsadés en solution, essayant de s'organiser pour ne pas entrer en collision avec les voisins. Il existe de nombreuses options pour de tels problèmes, et il n'est pas évident que chacun aura la même solution. Les mathématiciens pensent que dans la plupart des dimensions, il est très peu probable que ce soit le cas.

Mais les espaces, constitués de 8 et 24 dimensions, contiennent une configuration spéciale, très symétrique de points, qui, comme nous le savons maintenant, résout simultanément tous ces différents problèmes. Dans le langage des mathématiques, ces deux configurations sont appelées «universellement optimales».

Cette nouvelle découverte à grande échelle résume sérieusement les travaux antérieurs de Vyazovskaya et de ses collègues. "Le feu d'artifice ne s'est pas arrêté", a déclaré Thomas Hales , mathématicien à l'Université de Pittsburgh, qui a prouvé en 1998 que l'arrangement pyramidal bien connu des oranges est le moyen le plus dense d'emballer des sphères dans un espace tridimensionnel.

Huit et 24 joignent une dimension dans une petite liste de dimensions contenant des configurations universellement optimales. Sur le plan bidimensionnel, il existe un candidat pour l'optimalité universelle - une grille de triangles équilatéraux - mais il n'y a aucune preuve. Dans un monde en trois dimensions, un zoo complet règne: différentes configurations de points montrent des résultats différents dans différentes circonstances, et pour certaines tâches, les mathématiciens n'ont même pas de suppositions tolérables sur la meilleure configuration.

«Changez la mesure ou changez un peu la tâche, et la situation devient incompréhensible», a déclaré Richard Schwartz , mathématicien à la Brown University de Providence. "Je ne sais pas pourquoi l'univers mathématique est ainsi organisé."

Il est beaucoup plus difficile de prouver l'optimalité universelle que de résoudre le problème de l'emballage des sphères. En particulier, parce que l'optimalité universelle comprend un nombre infini de tâches différentes à la fois, mais aussi parce que ces tâches sont plus compliquées en elles-mêmes. Dans l'emballage des sphères, chaque sphère ne concerne que ses voisins les plus proches, mais dans un problème tel que la distribution des électrons, chacun des électrons interagit avec tous les autres, quelle que soit la distance entre eux. "Même à la lumière de mes premiers travaux, je ne m'attendais pas à ce que cette preuve universellement optimale puisse être faite", a déclaré Hales.

«C'est très, très impressionnant», a déclaré Sylvia Serfati , mathématicienne à l'Université de New York. "Cette chose est à égalité avec les percées mathématiques majeures du 19ème siècle."

Certificat magique

Il peut sembler étrange que les dimensions 8 et 24 se comportent différemment, disons, des dimensions 7, 18 ou 25. Mais les mathématiciens savent depuis longtemps que l'emballage dense d'objets dans l'espace fonctionne différemment dans différentes dimensions. Par exemple, considérons une sphère multidimensionnelle, définie simplement comme un ensemble de points situés à une distance fixe du centre. Si nous comparons le volume de la sphère avec le volume du plus petit cube qui le décrit, alors plus la dimension est élevée, plus le cube occupe la sphère. Si vous vouliez envoyer un ballon de football en huit dimensions dans la plus petite boîte possible, le ballon prendrait moins de 2% du volume de la boîte - et tout le reste serait un espace vide.

Dans chaque dimension supérieure à trois, il est possible de créer une configuration similaire à la pyramide d'oranges, et avec des dimensions croissantes, les écarts entre les sphères se creusent. Ayant atteint la huitième dimension, nous rencontrons soudain le fait que dans ces espaces il y a assez d'espace pour y serrer les sphères. Le résultat est une configuration extrêmement symétrique appelée la calandre E ₈ . Dans la 24e dimension, un réseau de Lich apparaît de manière similaire, lorsque des sphères supplémentaires peuvent être entassées dans les interstices, créant ainsi une autre construction bien connue pour les sphères d'emballage.

Pour des raisons qui ne sont pas complètement comprises par les mathématiciens, ces deux réseaux apparaissent soudainement soit dans un domaine des mathématiques soit dans un autre, de la théorie des nombres et de l'analyse mathématique à la physique mathématique. «Je ne connais aucune raison à cela», a déclaré Henry Cohn du Microsoft Research New England Institute de Cambridge, Massachusetts, l'un des cinq auteurs de l'ouvrage.

Depuis plus de dix ans, les mathématiciens ont des preuves numériques convaincantes que E ₈ et le réseau de Lich sont universellement optimaux dans leurs dimensions - mais jusqu'à récemment, ils n'avaient aucune idée de comment le prouver. Puis, en 2016, Vyazovskaya a fait le premier pas vers cela, prouvant que ces deux réseaux sont les meilleurs moyens pour emballer les sphères.

Et si la preuve Hales pour le boîtier tridimensionnel s'étend sur des centaines de pages et nécessite des calculs coûteux sur l'ordinateur, la preuve de Vyazovskaya pour le boîtier E ₈ tient sur 23 pages. L'essence de ses arguments est liée à la définition d'une fonction «magique» (comme les mathématiciens l'appellent maintenant), qui donne ce que Hales a appelé un «certificat» pour E ₈ pour le meilleur emballage de sphères - cette preuve est difficile à obtenir, mais après son apparition, elle est immédiatement convaincante. Par exemple, si quelqu'un vous demande s'il existe un nombre réel x tel que le polynôme x ² - 6x + 9 devienne négatif, vous pourriez penser à la réponse. Cependant, sachant que ce polynôme est équivalent à (x - 3) ² , vous comprendrez immédiatement que la réponse est «non», car le carré d'un nombre réel ne peut pas être négatif.

La méthode de recherche de la fonction magique de Vyazovskaya s'est avérée puissante - et presque trop puissante. La tâche d'emballage des sphères ne concerne que l'interaction des points voisins, mais l'approche Vyazovskaya semble fonctionner pour les interactions à longue distance, comme c'est le cas avec les électrons éloignés.

Incertitude dans les dimensions supérieures

Pour montrer que la configuration des points dans l'espace est universellement optimale, il faut d'abord déterminer cette universalité. Il n'y a pas de configuration de points optimale pour n'importe quel but: par exemple, lorsque la force de gravité agit sur les points, la configuration avec l'énergie la plus faible n'est pas un treillis, mais un tas massif dans lequel tous les points sont en un seul endroit.

Vyazovskaya, Cohn et leurs collègues ont limité la portée de leur étude à l'universalité des forces répulsives. Plus précisément, ils ont considéré les forces monotones, c'est-à-dire celles dans lesquelles la répulsion devient plus forte lorsque les points se rapprochent. Cette vaste famille comprend bon nombre des forces communes du monde physique. Cela inclut les lois de puissance de l'Univers - y compris la loi de Coulomb pour les particules chargées électriquement et les Gaussiennes, des fonctions graphiques basées sur des cloches qui décrivent le comportement d'entités avec de nombreuses parties répulsives indépendantes, telles que les longs polymères. La tâche d'emballage des sphères se trouve sur le bord extérieur de cet univers: l'exigence que les sphères ne se croisent pas se transforme en répulsion infiniment forte lorsque la distance entre leurs centres est inférieure à leur diamètre.

Pour l'une de ces forces monotones, la question se pose - quelle sera la configuration avec l'énergie la plus basse - "l'état fondamental" - pour un ensemble infini de particules? En 2006, Kon et Kumar ont développé une méthode pour trouver une limite d'énergie plus petite de l'état fondamental en comparant une fonction qui décrit l'énergie avec des fonctions «auxiliaires» plus petites avec des propriétés très pratiques. Ils ont trouvé une offre infinie de fonctions auxiliaires pour chaque dimension, mais ne savaient pas comment trouver la meilleure fonction auxiliaire.


Cinq auteurs de la nouvelle œuvre: Henry Cohn, Abkhinav Kumar, Marina Vyazovskaya, Stephen Miller et Danilo Radchenko

Dans la plupart des mesures, les limitations numériques découvertes par Kohn et Kumar ne ressemblent pas à l'énergie de la meilleure configuration possible. Mais dans les dimensions 8 et 24, les limites se sont avérées incroyablement proches de l'énergie E ₈ et du réseau de Lich pour chaque force répulsive sur laquelle Kon et Kumar ont testé leur méthode. Il était naturel de se demander s'il existait, pour toute force répulsive, une fonction auxiliaire idéale qui donnerait une frontière coïncidant exactement avec l'énergie E ₈ ou le réseau de Lich. Pour la tâche d'emballage des sphères, c'est exactement ce que Vyazovskaya a fait il y a trois ans: elle a découvert une fonction auxiliaire idéale, «magique», étudiant une classe de fonctions appelées fonctions modulaires , dont les propriétés de symétrie spéciales il y a des siècles en ont fait un objet d'étude.

En ce qui concerne d'autres problèmes de points répulsifs, par exemple le problème des électrons, les chercheurs savaient quelles propriétés toute fonction magique devrait satisfaire: à certains points, elle devait prendre des valeurs spéciales, et sa transformée de Fourier , qui mesure les fréquences naturelles de la fonction, devait prendre des valeurs spéciales à d'autres points. Ce qu'ils ne savaient pas, c'était si une telle fonction existait.

Il est généralement assez simple de construire une fonction qui fait ce dont vous avez besoin à vos points préférés, mais il est étonnamment difficile de contrôler à la fois la fonction et son image de Fourier en même temps. "Lorsque vous commencez à faire quelque chose faire l'un d'eux, l'autre fait quelque chose de complètement différent de vos désirs", a déclaré Cohn.

En fait, ce capricieux n'est rien de plus qu'un principe déguisé d'incertitude en physique. Le principe d'incertitude de Heisenberg est qu'il dit que plus vous en savez sur l'emplacement d'une particule, moins vous en savez sur son élan, et vice versa, est un cas particulier de ce principe général, car l'onde de mouvement de la particule est la transformée de Fourier de son onde de localisation.

Dans le cas d'une force répulsive en dimensions 8 ou 24, Vyazovskaya a avancé une hypothèse audacieuse: les restrictions que l'équipe a voulu imposer à leur fonction magique et à son image de Fourier sont exactement à la frontière entre le possible et l'impossible. Elle soupçonne que si vous ajoutez d'autres restrictions, il n'y aurait pas une telle fonction; si vous réduisez les restrictions, il peut y avoir de nombreuses fonctions de ce type. Elle a suggéré que dans la situation qui intéressait l'équipe, il devrait y avoir exactement une fonction appropriée.

"Je pense que c'est l'une des grandes caractéristiques de Marina", a déclaré Cohn. "Elle est très perspicace et aussi très courageuse."

A cette époque, Kon était sceptique - le pressentiment de Vyazovskaya semblait trop beau pour être vrai - mais l'équipe l'a finalement prouvé. Ils ont non seulement montré que pour chaque force répulsive il y avait exactement une fonction magique, mais ont également donné une recette pour sa fabrication. Comme dans le cas des sphères d'emballage, cette conception a immédiatement donné des certificats d'optimalité pour le réseau E ₈ et le réseau Lich. "C'est une sorte de résultat monumental", a déclaré Schwartz.

Grille triangulaire

En plus de résoudre le problème de l'optimalité universelle, une nouvelle preuve répond à la question urgente à laquelle les mathématiciens sont confrontés depuis que Vyazovskaya a résolu le problème de l'emballage des sphères il y a trois ans: d'où venait sa fonction magique? "Je pense que beaucoup étaient perplexes", a déclaré Vyazovskaya. "Ils ont demandé: à quoi ça sert?"

Dans un nouveau travail, Vyazovskaya et ses collègues ont montré que la fonction magique des sphères d'emballage est la première d'une série de blocs de construction de formes modulaires qui peuvent être utilisées pour créer des fonctions magiques pour chaque force répulsive. «Maintenant, elle a de nombreux frères et sœurs», a déclaré Vyazovskaya.

Il semble toujours merveilleux à Kon que l'image ait si bien fonctionné. «En mathématiques, certaines choses doivent être accomplies grâce à la persévérance et à la force brute», a-t-il déclaré. "Et il y a des moments, comme c'est le cas actuellement, comme si les mathématiques voulaient que quelque chose se passe."

La question naturelle suivante est de savoir si ces méthodes peuvent être adaptées pour prouver l'optimalité universelle pour le seul candidat restant: les réseaux de triangles équilatéraux sur un plan bidimensionnel. Pour les mathématiciens, le fait que personne n'ait pu témoigner dans des conditions aussi simples est considéré comme "une honte terrible pour toute la communauté", a déclaré Edward Saff , mathématicien à l'Université Vanderbilt de Nashville.

Contrairement à E ₈ et au réseau Leach, un réseau triangulaire bidimensionnel apparaît à différents endroits de la nature, des structures cellulaires à l'emplacement des entonnoirs dans les supraconducteurs. Les physiciens impliquent déjà l'optimalité de ce réseau dans un large éventail de contextes basés sur une montagne d'expériences et de simulations. Mais, dit Cohn, personne n'a d'explication conceptuelle de la raison pour laquelle un réseau triangulaire devrait être universellement optimal - quelque chose qui, espérons-le, fournira une preuve mathématique.

La dimension 2 est la seule, à l'exception de 8 et 24, dans laquelle la limite inférieure numérique de Kohn et Kumar fonctionne bien. Cela suggère clairement qu'une fonction magique doit exister en deux dimensions. Cependant, la méthode de commande pour construire des fonctions magiques peut difficilement être transférée dans cette nouvelle zone: elle dépend fortement du fait que les nombres indiquant les distances entre les points dans E ₈ et le réseau de Lich se comportent particulièrement bien, ce qui ne se produit pas en deux dimensions. Jusqu'à présent, cette dimension "semble dépasser les capacités humaines", a déclaré Cohn.

Jusqu'à présent, les mathématiciens célèbrent leur nouvelle vision associée aux mondes étranges des espaces à 8 et 24 dimensions. Comme l'a dit Schwartz, c'est «l'une des meilleures choses que je verrai très probablement dans ma vie».