Le hasard complique, semble-t-il, la preuve des théorèmes. Mais en fait, souvent son effet est le contraire
De tous les outils dont disposent les mathématiciens, l'aléatoire semble avoir le moins d'avantages. Les mathématiques fonctionnent avec une logique et des concepts stricts. Ses objectifs communs sont la recherche de l'ordre et de la structure dans une vaste mer d'objets. Toute l'histoire mathématique semble possible précisément parce que le monde des mathématiques n'est pas accidentel.
Pourtant, le récent article, «
Les surfaces aléatoires cachent un ordre complexe », traitait d'une nouvelle preuve dans laquelle le hasard décide de tout. Le résultat comprend l'apparition de motifs tels que des cellules d'échecs qui apparaissent sur des espaces géométriques construits de manière aléatoire. Les auteurs de la preuve ont constaté que le caractère aléatoire dans l'espace géométrique simplifie la description de ces motifs. "De façon assez inattendue, l'ajout de hasard vous permet d'en faire plus", que sans lui, a déclaré
Nicholas Curien , mathématicien à l'Université Paris-Sud XI, co-auteur de ce travail.
Et il s'avère que le hasard aide en mathématiques à bien des égards.
Par exemple, les mathématiciens veulent souvent prouver qu'il existe un objet avec certaines propriétés, par exemple une figure géométrique avec certaines symétries. Le moyen le plus direct de résoudre le problème de l'existence est de trouver un exemple d'objet qui possède les propriétés dont vous avez besoin. Cependant, essayez de le faire. «Il peut être très difficile d'imaginer un objet spécifique avec la propriété souhaitée», a déclaré
Martin Hairer , titulaire de la médaille Fields, dont le travail est associé à des processus aléatoires.
Si une attaque frontale sur un problème a peu de chances de réussir, vous pouvez essayer de partir du flanc. Par exemple, il peut être démontré que si nous examinons tous les objets d'un certain type puis en sélectionnons un au hasard, il y a une chance non nulle de sélectionner un objet avec les propriétés souhaitées. Une telle "méthode probabiliste" a d'abord été appliquée par le mathématicien
Pal Erdös .
L'aléatoire peut également être utilisé pour trouver des solutions à des problèmes non aléatoires. Cela a été fait dans des preuves récentes concernant les modèles d'échecs sur la grille. Les chercheurs sont intéressés par un processus appelé infiltration, lorsque vous devez comprendre dans quelles conditions il est possible de passer par des points d'une seule couleur d'une partie de la grille à une autre.
Dessiner un tel modèle selon des règles déterministes - le long de lignes clairement définies du réseau correct - chaque étape suivante sur le chemin dépendra de chacune des étapes précédentes. Dans le cas d'un réseau complexe, cette exigence devient une charge. Cela ressemble à la facilité avec laquelle il est possible de placer les tout premiers éléments dans le jeu Tetris - vous pouvez les placer n'importe où - mais les derniers sont plus difficiles à placer, car ils doivent satisfaire la situation de tous les précédents.
Et lorsque votre chemin est aléatoire, vous n'avez plus à vous soucier des étapes précédentes. Dans chaque sens, chaque nouvelle étape devient la première: lancer une pièce pour décider où aller ensuite.
Les mathématiciens essaient d'utiliser ce fait. Il existe une
relation hypothétique , connue sous le nom d'équation de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), qui permet aux mathématiciens de convertir un résultat obtenu sur un réseau aléatoire en un résultat déterministe, et vice versa. "En théorie, cela signifie que vous pouvez faire à la fois là-bas et là-bas", soit de façon aléatoire, soit déterministe, a expliqué
Olivier Bernardi , mathématicien à l'Université de Brandeis et co-auteur d'un ouvrage récent. Ce travail est cohérent avec les résultats précédents (qui sont beaucoup plus difficiles à prouver) concernant les fuites le long d'un réseau standard, ce qui confirme la validité de l'équation CSW.
Si les mathématiques étaient plus simples, les mathématiciens pourraient ne pas avoir à recourir au hasard. Cependant, il est trop difficile pour les mathématiciens de trouver des réponses aux questions mathématiques les plus importantes. "Cela peut sembler évident, mais il est utile de se rappeler que dans la plupart des cas, lors de la définition d'un problème en mathématiques ou en physique théorique, il ne peut pas être résolu", a déclaré
Paul Burgad , mathématicien à l'Université de New York. "Nous n'avons tout simplement pas les outils pour le résoudre." Dans certaines de ces situations, le caractère aléatoire simplifie la situation juste assez pour rendre une solution possible.