Dans les problèmes de contrôle, il existe des cas où la loi de mouvement d'un objet contrôlé est connue et qu'il est nécessaire de développer un régulateur avec certaines caractéristiques. Parfois, la tâche est compliquée par le fait que les équations décrivant l'objet contrôlé se révèlent non linéaires, ce qui complique la construction du contrôleur. À cet égard, plusieurs méthodes ont été développées pour prendre en compte les caractéristiques structurelles non linéaires de l'objet de contrôle, dont l'une est la méthode du problème de dynamique inverse.

Présentation

La méthode du problème inverse de la dynamique se pose naturellement lorsque vous essayez de "convertir" un système dynamique en un autre, lorsque le développeur a deux équations, dont l'une décrit un système contrôlé existant, et l'autre exprime la loi du mouvement de ce système très contrôlé, le transformant en quelque chose d'utile. La loi peut sembler différente, mais l'essentiel est qu'elle soit physiquement réalisable. Cela peut être la loi d'un changement de tension sinusoïdale à la sortie du générateur ou du système de contrôle automatique de fréquence, la loi de la vitesse de rotation de la turbine ou le mouvement du berceau de l'imprimante, ou même les coordonnées X, Y de la mine de crayon, que le manipulateur signe les cartes.

Cependant, il est possible «d'imposer» sa loi de contrôle dans le cadre de la réalisabilité physique et de la contrôlabilité d'un objet et ce n'est souvent pas la partie la plus difficile du développement. Mais le fait que la méthode considérée facilite assez la prise en compte de la non-linéarité et de la multidimensionnalité de l'objet augmente à mon sens son attractivité. D'ailleurs, ici, vous pouvez remarquer la connexion avec la méthode de compensation de non-linéarité par rétroaction [1].

Il est connu que dans certains cas, des contrôleurs non linéaires correctement formés, même lorsqu'ils contrôlent un système linéaire, donnent de meilleures caractéristiques de contrôle par rapport aux contrôleurs linéaires [2]. Un exemple est un régulateur qui réduit le coefficient d'amortissement d'un système avec une augmentation de l'erreur d'élaboration d'une commande et l'augmente à mesure que l'erreur diminue, ce qui conduit à une amélioration de la qualité du processus transitoire.

De manière générale, le thème du contrôle associé à la nécessité de prendre en compte les non-linéarités a longtemps attiré l'attention des scientifiques et des ingénieurs, car la plupart des objets réels sont néanmoins décrits par des équations non linéaires. Voici quelques exemples de non-linéarités couramment rencontrées en technologie:


L'énoncé général du problème est le suivant. Soit un objet de contrôle qui peut être décrit comme une équation différentielle d'ordre n

$$

$$F ({{x} ^ {(n)}}, {{x} ^ {(n-1)}}, \ ... \, \ x, \ {{\ xi}}, t) = u , \ quad \ quad \ quad (1)$$

dans lequel il y a une perturbation $$$\ {{\ xi}}$ (cela peut être le bruit de l'appareil de mesure, l'influence aléatoire externe, les vibrations, etc.) et un signal de commande $$$u$ (en technologie, le contrôle s'effectue le plus souvent par tension). Dans ce cas, pour simplifier la perception, nous considérons un objet de contrôle unidimensionnel, qui comprend une perturbation. Dans le cas général, ces quantités sont vectorielles. Il est entendu que les variables de phase $$${{x} ^ {(n)}}, {{x} ^ {(n-1)}}, \ ... \, \ x$ qui décrivent l'état de l'objet de contrôle, les perturbations $$$\ {{\ xi}}$ et gestion $$$u$ dépendent du temps, mais ce fait n'est pas affiché pour la simplicité de la perception. L'expression (1) peut contenir des non-linéarités et être non stationnaire, c'est-à-dire dont les paramètres changent clairement au fil du temps. Un exemple d'une équation instable peut être le nombre de noyaux d'uranium dans un réacteur, qui diminue constamment en raison de la réaction de désintégration, ce qui conduit à un changement continu de la loi de commande optimale des barres de modérateur.

Le contrôleur est construit de manière à élaborer une loi de commande précédemment connue, qui peut être décrite par une équation d'ordre différentielle non inférieure à l'ordre d'équation (1), qui décrit l'objet de commande:

$$

$$f ({{x} ^ {(m)}}, \ {{x} ^ {(m-1)}}, \ ... \, \ x, \ \ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, \ t) = 0, \ \ \ \ \ m \ ge n, \ quad \ quad (2)$$

où $$$\ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}$ - le signal de commande et ses dérivés en une quantité qui vous permet de décrire complètement la loi de commande requise. Ainsi, pour le système de stabilisation, il n'est pas nécessaire de mesurer les dérivées du contrôle. Pour un système de poursuite d'un signal d'entrée en rampe, il suffit de mesurer la première dérivée. Pour suivre le signal variant de façon quadratique, vous devez ajouter une dérivée seconde, et ainsi de suite. Il est à noter que ce signal est envoyé à l'entrée du régulateur, contrairement au signal $$$u$ entrer dans l'objet de contrôle du régulateur. Cette équation peut également être non linéaire et non stationnaire.

Pour déterminer le signal de commande souhaité $$$u$ nous exprimons à partir de (2) la dérivée la plus élevée

$$

$${{x} ^ {(n)}} = {{f}} ({{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}}, \ .. . \, \ x, \ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, t)$$

et remplacer l'expression résultante à la place $$$x ^ {(n)}$ dans l'équation (1), tout en exprimant le contrôle:

$$$$ afficher $$ \ commencer {matrice} {u = F \ gauche ({{f}} ({{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}} , \ ... \, \ x, \ psi (t), \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, t) , \\ \ quad \ quad \ quad \ quad {{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}}, \ ... \, \ x, \ { {\ xi}}, t \ droite).} & \ quad \ quad \ quad (3) \ end {matrix} $$ display $$

D'après l'expression (3), il devient clair que pour créer le signal de commande requis, il est nécessaire de mesurer en plus des perturbations externes (si leur influence est significative) comme la quantité contrôlée elle-même $$$x$ et tous ses dérivés sur commande $$$n-1$ inclus, ce qui peut entraîner des difficultés. Premièrement, les dérivées supérieures peuvent ne pas être disponibles pour la mesure directement, comme nous disons la dérivée de l'accélération, à la suite de laquelle nous devrons recourir à l'opération de différenciation, par programmation ou par circuits. Et, comme vous le savez, ils essaient d'éviter cela à cause de l'augmentation du bruit. Deuxièmement, les mesures contiennent inévitablement du bruit, ce qui oblige à recourir au filtrage. Tout filtre est un élément dynamique ou, en d'autres termes, un élément inertiel, ce qui signifie la présence d'une dérivée avec l'équation. Par conséquent, l'ordre de l'ensemble du système de contrôle dans le cas général augmentera d'un nombre égal à la somme des ordres d'équations décrivant tous les compteurs de filtre. Autrement dit, si nous contrôlons un objet de second ordre et utilisons des filtres de second ordre dans chaque canal de mesure (c'est-à-dire seulement deux filtres de second ordre) pour mesurer la quantité de sortie et sa dérivée, alors l'ordre du système de contrôle augmentera de quatre. Bien sûr, si les constantes de temps du filtre sont suffisamment petites, alors l'influence des éléments de lissage peut être négligée. Mais dans tous les cas, ils apporteront les soi-disant petits paramètres dynamiques dans le système et leur contribution combinée peut affecter la stabilité du système de contrôle dans son ensemble [2]. Il faut également comprendre que cette méthode vous permet de spécifier le contrôle uniquement dans le processus de transition et n'est associée à l'optimisation par aucun critère de qualité du contrôle.

La relation entre le contrôleur et l'objet de contrôle peut être décrite par le schéma suivant:

Commande d'oscillateur Van der Pol

Prenons un exemple de synthèse de contrôleur pour contrôler un système auto-oscillant. Il s'agit d'un exemple fictif qui explique bien l'essence de la méthode. Supposons que vous souhaitiez contrôler un système dont l'équation est la suivante:

$$

$$\ ddot {x} - \ gamma (1 - {{x} ^ {2}}) \ dot {x} + {{\ omega} ^ {2}} x = u. \ quad \ quad (4)$$

La loi de gestion devrait être la suivante:

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {x} + 2T \ xi \ dot {x} + x = \ psi, \ quad \ quad (5)$$

où $$$\ psi$ - notre signal de commande de conduite (consigne). Autrement dit, nous voulons «transformer» notre générateur non linéaire en une liaison oscillatoire linéaire. Il convient de noter que dans le même [2] ce système est un système de stabilisation, car la sortie $$$x$ cherche à répéter le signal d'entrée $$$\ psi$ c'est-à-dire, stabilise la sortie du système à un niveau constant donné $$$\ psi$ qui peut être affiché comme

$$

$$x \ rightarrow \ psi.$$

Il est important que le signal d'entrée $$$\ psi$ était constante ou changeait lentement (si lentement que l'erreur de décalage $$$x$ de $$$\ psi$ s'adapter à nos exigences de précision) avec une valeur ou une fonction constante par morceaux, car tout le système a un astatisme d'ordre 0 (c'est-à-dire est statique) et pour tout signal de réglage en constante évolution $$$\ psi$ une erreur dynamique apparaîtra certainement à la sortie du système, ce qui ressemblera à l'ajout d'une certaine valeur constante à la valeur de sortie qui dépend de façon monotone du taux de changement de l'action de contrôle. Cette fonctionnalité sera supprimée à l'avenir.

Donc, nous exprimons la dérivée la plus élevée de l'équation (5):

$$

$$\ ddot {x} = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} - \ frac {2 \ xi \ dot {x}} {T} - \ frac {x} {{{T } ^ {2}}}$$

et le remplacer en (4), exprimant $$$u$ :

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} ^ {2}} - \ frac {1} {{{{{}} {{}}} } \ droite) x- \ gauche (\ frac {2 \ xi} {T} + \ gamma (1 - {{x} ^ {2}}) \ droite) \ dot {x}. \ quad \ quad (6)$$

Il s'agit du signal de commande, qui sera formé par le régulateur à partir du signal de commande souhaité $$$\ psi$ . De (6) découle également la nécessité de mesurer la quantité de sortie $$$x$ et son premier dérivé.

Oscillations de Van der Pol avec paramètres $$$\ gamma = 0,6, \ omega = 3$ ressemble à ceci:


Ayons un signal de type "step":


et nous voulons que le système le répète.

Nous le nourrissons à l'entrée de l'oscillateur et voyons la réponse:


Sous l'action du signal unique d'entrée, seule une petite polarisation constante a été ajoutée aux oscillations de l'oscillateur.

Supposons maintenant que nous ayons besoin d'obtenir une telle réponse d'oscillateur à un signal maître qui correspondrait à la réaction de la liaison vibrationnelle (5) avec une constante de temps $$$T = 0,125$ et facteur d'amortissement $$$\ xi = 0,8$ . Réponse $$$x_ {mp} (t)$ d'une telle liaison oscillatoire par pas d'unité est présentée ci-dessous:


Donnons maintenant le signal de commande à l'oscillateur $$$u$ décrit par l'expression (6):


On peut voir que l'oscillateur se comporte conformément à la loi requise. Regardons le signal de commande $$$u$ :


La figure montre une forte augmentation au moment du processus de transition. Dans un système réel, très probablement, soit le système entrera en saturation (destruction), soit pour éviter cela, nous devrons limiter le signal d'entrée. On en tient compte en limitant l'amplitude de l'action de contrôle $$$u$ au niveau $$$\ pm$ 15. Le signal de commande ressemble maintenant à ceci:


et la sortie de l'oscillateur est comme ceci:


La conséquence de la limitation du signal est une grande erreur transitoire qui, selon les propriétés souhaitées du système, peut être assez importante. Avec une augmentation de la constante de temps requise, les émissions transitoires diminuent. Vous devez faire attention à ce que le signal de contrôle maximal à l'état stationnaire (qui sur ce graphique commence à partir de la sixième seconde environ) ne soit pas limité, sinon il y aura un processus de transition sans fin et le système ne fonctionnera pas. Gain du régulateur, c'est-à-dire rapport du signal de commande $$$u$ à la sortie du régulateur $$$\ psi$ déterminé par les paramètres du système contrôlé, à savoir le facteur $$$\ oméga ^ 2$ .

Maintenant, nous alimentons l'oscillateur avec un signal qui change linéairement:


La réaction du lien vibrationnel:


et oscillateur:


On voit qu'un décalage constant est apparu - une erreur dynamique, car le système est conçu pour suivre uniquement un signal de référence constant $$$\ psi$ . Afin de pouvoir suivre un signal variant linéairement, il est nécessaire d'évaluer le taux de son changement et de le prendre en compte dans le contrôleur. Pour ce faire, nous composons la loi de contrôle requise comme suit:

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0, \ quad \ quad (7)$$

où $$$\ delta = \ psi-x$ - erreur de suivi du signal de référence par l'oscillateur.
Nous exprimons également la dérivée la plus élevée de (7), la substituons dans l'équation de l'objet de contrôle (4) et obtenons un signal de contrôle:

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{{T} ^ {2}}} + \ frac {2 \ xi} {T} \ dot {\ psi} + \ left ({{\ omega} ^ {2} } - \ frac {1} {{{T} ^ {2}}} \ right) x- \ left (\ frac {2 \ xi} {T} + \ gamma (1 - {{x} ^ {2} }) \ droite) \ dot {x}. \ quad \ quad (8)$$

Dans la nouvelle structure du régulateur correspondant à l'expression (8), le taux de variation de l'action réglée $$$\ dot {\ psi}$ . Nous regardons la sortie du système lorsqu'un point de consigne variant linéairement est appliqué à l'entrée:


L'oscillateur suit le signal défini $$$\ psi$ .

Mais ceci est un exemple complètement synthétique. En réalité, il y aura un système dont la structure n'est probablement pas suffisamment précise - cette fois. Nous déterminerons également les paramètres du système avec une certaine erreur - ce sont deux. Le contrôle comprend des variables de phase $$$x, \ dot {x}$ qui devra être mesurée avec une sorte de bruit sont trois. Et les paramètres du système peuvent flotter dans le temps, c'est-à-dire qu'un système stationnaire sur une période de temps suffisamment longue peut montrer une non-stationnarité. Bien qu'il soit plus correct de le dire - sur un intervalle de temps assez court, un système non stationnaire peut sembler stationnaire. Dans cet exemple, nous supposons que le système est identifié avec une précision suffisante et que son évolution dans le temps est très insignifiante. Ensuite, pour plus de clarté, nous réécrivons l'expression pour controller (6) comme suit:

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2} - \ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \ right) \ hat {x} - \ left (\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\ text {id}}} (1- { {{\ \ hat {x}}} ^ {2}}) \ right) \ hat {\ dot {x}}, \ quad \ quad (9)$$

où $$$\ hat {x}, \ hat {\ dot {x}}$ - valeur contrôlée mesurée et sa dérivée; $$${\ omega} _ {\ text {id}}, {\ gamma} _ {\ text {id}}$ - fréquence naturelle identifiée et coefficient d'atténuation non linéaire, respectivement.

Ajouter une erreur de 10% dans l'identification des paramètres de l'oscillateur en réglant $$$\ gamma_ {id} = 0,66, \ omega_ {id} = 3,3$ . Regardons le résultat:


On peut voir sur la figure qu'une erreur statique est apparue, qui augmente avec une augmentation de l'erreur d'identification $$$\ delta \ omega = \ omega- \ omega_ {id}$ et en régime permanent est indépendant de l'erreur $$$\ delta \ gamma = \ gamma- \ gamma_ {id}$ . Mais cette dernière influence la déviation de l'oscillateur transitoire par rapport à celle de la liaison vibrationnelle idéale. Vous pouvez essayer de faire la même chose que dans la conception des contrôleurs PID ( Habr et non Habr ) - ajouter l'intégrale de l'erreur au signal de contrôle (sans oublier une ou deux fois la saturation intégrale). Mais pour l'instant, omettons cette question et considérons l'expression (9), où l'on peut voir que plus la fréquence naturelle est basse $$$\ omega$ par rapport à la constante de temps requise $$$\ frac {1} {T}$ , plus l'influence de l'erreur d'identification du même $$$\ frac {1} {T}$ . Réduire $$$T$ de 0,125 à 0,05. L'erreur statique a également diminué:


Essayons maintenant de compenser l'erreur statique en ajoutant l'intégrale de l'erreur au contrôleur $$$\ delta$ (comme dans le contrôleur PI). L'expression (9) se transformera en

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2} - \ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \ right) \ hat {x} - \ left (\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\ text {id}}} (1- { {{\ \ hat {x}}} ^ {2}}) \ right) \ hat {\ dot {x}} + k_ {int} \ int_0 ^ {t_1} {(\ psi-x) dt}, \ quad \ quad (10)$$

où $$$k_ {int}$ - coefficient de la composante intégrale; $$$t_1$ - heure actuelle.

L'intégrale ici est formellement écrite comme expliquant l'idée générale, plutôt que la description mathématique d'un algorithme spécifique, car dans un vrai contrôleur, il est nécessaire de prendre des mesures pour limiter l'erreur accumulée, sinon des problèmes avec le transitoire peuvent survenir. Examinons la réaction du système sous l'action du régulateur résultant correspondant à l'expression (10):


La figure montre que l'erreur statique diminue avec le temps, mais le processus transitoire est retardé. Par analogie avec le contrôleur PID, vous pouvez essayer d'ajouter des composants proportionnels et différenciants. Le résultat est le suivant (les coefficients n'ont pas été soigneusement choisis):


Naturellement, l'ajout des composantes intégrales et différentielles ne fait plus partie de la méthode du problème de dynamique inverse, mais met en œuvre une certaine méthode pour optimiser le processus de transition.

Analysons l'effet des mesures de bruit des variables $$$\ hat {x}, \ hat {\ dot {x}}$ . Encore une fois, nous introduisons une étape à l'entrée du système et regardons la sortie en l'absence de bruit (il y a toujours la même erreur d'identification de 10%):


Maintenant, ajoutez aux mesures $$$\ hat {x}, \ hat {\ dot {x}}$ bruits gaussiens blancs avec une attente nulle et des variances égales $$$\ sigma_x ^ 2 = \ sigma_ \ dot {x} ^ 2 = 0,01$ passé par des liaisons apériodiques avec des constantes de temps $$$T_x = T_ \ dot {x} = 0,01$ qui simulent un capteur de mesure + un filtre passe-bas . L'une des implémentations de bruit résultantes:


Maintenant, la sortie du système a également commencé à faire du bruit:


à la suite d'un signal de commande bruyant:


Jetez un œil à l'erreur lors de l'exécution de la tâche:


Essayons d'augmenter les constantes de temps des capteurs $$$T_x = T_ \ dot {x} = 0,04$ et regardez à nouveau la sortie du système:


Des fluctuations importantes sont apparues - le résultat de l'action de ceux qui ne sont pas pris en compte pour les petits paramètres dynamiques [2] qui décrivent les capteurs (leur inertie). Ces paramètres dynamiques rendent le filtrage du bruit difficile, obligeant à décrire des capteurs à «grandes» constantes de temps, qui, d'une manière générale, ne peuvent pas toujours donner un résultat positif.

Contrôle d'un moteur à courant continu en tenant compte du frottement visqueux non linéaire

Il s'agit d'un cas plus réel d'application de la méthode du problème de dynamique inverse. Considérons l'organisation du contrôle d'un moteur à collecteur CC avec excitation d'aimants permanents (ala moteurs chinois de jouets). En principe, le thème du contrôle de tels moteurs est bien couvert et ne pose pas de difficultés particulières. La méthode du problème de dynamique inverse sera largement utilisée pour compenser la non-linéarité dans l'équation de dynamique du moteur. Nous supposons que le moteur lui-même pourrait être décrit par des équations différentielles linéaires, mais il y a une influence significative du frottement visqueux non linéaire de l'arbre, proportionnel au carré de sa vitesse de rotation. L'équation du système électromécanique est la suivante:

$$

$$\ begin {matrix} \ dot {\ omega} = \ frac {1} {J} \ left (k_t \ Phi I - B \ omega - D \ omega ^ 2 - M_ {l} \ right) \\ \ dot {I} = \ frac {1} {L} \ left (U - k_e \ omega - RI \ right) \\ \ end {matrix}, \ quad \ quad (11)$$

où $$$\ omega$ - vitesse angulaire de rotation de l'arbre; $$$J$ - moment d'inertie de l'ensemble du système rotatif (ancres avec charge attachée); $$$k_t$ - une constante machine, définie pour une conception de moteur spécifique, reliant le flux magnétique et la vitesse de rotation de l'arbre; $$$\ Phi$ - flux magnétique, qui peut être à peu près considéré comme constant pour une conception de moteur particulière dans la plage des courants de fonctionnement (mais dans le cas de courants élevés qui ne dépendent pas linéairement du courant d'enroulement); $$$I$ - courant à travers l'enroulement d'induit; $$$B$ - coefficient de frottement visqueux linéaire; $$$D$ - coefficient de frottement visqueux non linéaire; $$$M_l$ - moment de chargement; $$$L$ - inductance de l'enroulement d'induit; $$$U$ - tension appliquée à l'enroulement; $$$k_e$ - coefficient de contre-EMF, constant pour une conception de moteur spécifique; $$$R$ - résistance de l'enroulement d'induit. En principe, il suffirait de faire uniquement un frottement visqueux non linéaire, mais il a été décidé de présenter la dépendance non linéaire du frottement sur la vitesse de rotation de l'arbre comme un binôme pour plus de généralité.

Nous allons essayer de faire un tel régulateur par la méthode du problème inverse de la dynamique, de sorte que la dynamique de l'erreur dans l'accomplissement de la tâche de vitesse par le moteur corresponde à celle du lien vibrationnel décrit par l'expression

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ omega} + 2T \ xi \ dot {\ omega} + \ omega = \ psi, \ quad \ quad (12)$$

où $$$\ omega$ - vitesse angulaire de rotation de l'arbre moteur; $$$\ psi$ - réglage de la vitesse.

L'équation (12) pourrait être compilée en utilisant l'erreur de travailler la commande comme une variable dynamique $$$\ delta = \ psi- \ omega$ :

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0,$$

mais alors les termes avec des dérivés de la consigne apparaîtront dans l'équation, comme on peut le voir à partir de l'expression

$$

$$\ frac {1} {T ^ 2} (\ psi- \ omega) + \ frac {2 \ xi} {T} (\ dot {\ psi} - \ dot {\ omega}) + \ ddot {\ psi } - \ ddot {\ omega} = 0,$$

Cela, à son tour, augmenterait la composante de fluctuation de l'erreur. Et comme nous voulons que le système ne fonctionne que sur un point de consigne constant et changeant brusquement (c'est-à-dire en considérant sa vitesse, son accélération et toutes ses dérivées comme étant nulles), alors nous devons suivre l'erreur maximale de position, sans tenir compte de ses dérivées, ou, si c'est plus facile à comprendre , avec zéro dérivé de l'erreur, ce qui conduirait à l'expression (12).

Pour obtenir une expression décrivant enfin le régulateur, il faut réduire le système de deux équations du premier ordre (11) à une équation du second ordre. Pour ce faire, nous différencions la première équation (11) en fonction du temps (en supposant que le moment de charge est inchangé):

$$

$$J \ ddot {\ omega} = \ Phi \ dot {I} -B \ dot {\ omega} -2D \ omega \ dot {\ omega}$$

et y substituer l'expression de la deuxième équation du système (11) $$$\ dot {I}$ , ce qui donne une équation de second ordre

$$

$$\ ddot {\ omega} + \ left (\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} \ right) \ dot {\ omega} +2 \ frac {D} {J} \ omega \ point {\ omega} + \ frac {\ Phi K_t K_e + RB} {JL} \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} = \ frac {\ Phi K_t} {JL} U. \ quad \ quad (13)$$

Substitution en expression (13) $$$\ ddot {\ omega}$ obtenu à partir de (12) nous pouvons trouver le contrôle requis $$$U$ pour appliquer la loi de mouvement souhaitée (12):

$$

$$\ small U = \ frac {JL} {\ Phi K_t} \ left [\ left (\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} - \ frac {2 \ xi} {T} \ à droite) \ dot {\ omega} + \ frac {2D} {J} \ omega \ dot {\ omega} + \ left (\ frac {\ Phi K_t K_e + RB} {JL} - \ frac {1} {T ^ 2} \ droite) \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} + \ frac {\ psi} {T ^ 2} \ right]. \ \ (14)$$

Nous appliquons aux entrées de deux moteurs, dont l'un est complété par un régulateur mis en œuvre selon le principe du problème dynamique inverse, une étape d'amplitude unitaire selon le schéma suivant:


et voir la dépendance de la fréquence de rotation des arbres des moteurs dans le temps:


Réaction à une étape d'une amplitude de 10 volts:


La dépendance non linéaire de l'indice d'oscillation du système initial de l'amplitude du signal d'entrée est visible sur les figures.

Comparez maintenant deux moteurs avec des contrôleurs PID, dont le schéma structurel est illustré dans la figure suivante:


Fréquences de rotation de l'arbre des moteurs:


et plus:


On peut voir sur les figures que, grâce au contrôleur PID construit en utilisant la méthode du problème de dynamique inverse, la réponse du système au signal de contrôle étagé est accélérée, ce qui n'a pas pu être obtenu en utilisant le contrôleur PID conventionnel en raison de la non-linéarité de l'objet de contrôle. Cependant, l'utilisation de coefficients variables du contrôleur PID résoudrait probablement mieux ce problème et rendrait le système plus robuste. Mais c'est une histoire complètement différente.

Conclusion

L'article a considéré une méthode qui vous permet de construire un contrôleur pour contrôler des systèmes non linéaires, qui a été montré par des exemples de commandes de l'oscillateur Van der Pol et d'un moteur à courant continu.

Les principaux avantages de cette méthode incluent:

• facilité de mise en œuvre de la loi de contrôle requise (analytiquement);
• la capacité de contrôler des systèmes non linéaires;
• la capacité de contrôler des systèmes non stationnaires.

Cependant, cette méthode présente également un certain nombre d' inconvénients importants:

• la nécessité de connaître l'ensemble du vecteur d'état du système contrôlé (ce qui peut nécessiter une différenciation, un filtrage);
• la nécessité d'une identification suffisamment précise des paramètres du système contrôlé, ce qui peut réduire la robustesse;
• la nécessité d'étudier le système d'instabilité résultant de l'action combinée de petits paramètres dynamiques (filtres, capteurs) non inclus dans le modèle.

En général, c'est une méthode assez intéressante, mais en comparant sa mise en œuvre pour contrôler un moteur à courant continu (en utilisant un contrôleur PID) avec un moteur contrôlé uniquement par un contrôleur PID, il est devenu clair qu'il ne serait pas possible d'en obtenir des chignons importants. Mais la structure du dispositif de commande est beaucoup plus compliquée, obligeant, entre autres, à lutter contre les bruits de différenciation d'une part, et empêchant la limite de stabilité d'atteindre d'autre part. C'est peut-être avec cela qu'un petit nombre d'ouvrages sur ce sujet sont liés. Une des applications possibles de la méthode du problème inverse de la dynamique peut être la construction de trajectoires de référence (idéales) de systèmes pour comparaison avec des trajectoires correspondant à différents contrôleurs, par exemple linéaires ou linéarisés.

Littérature utilisée:

1. Kim D.P. Théorie du contrôle automatique. T.2. Systèmes multidimensionnels, non linéaires, optimaux et adaptatifs: manuel. allocation. - M.: FIZMATLIT, 2004 .-- 464 p.
2. Boychuk L.M. La méthode de synthèse structurelle des systèmes de contrôle automatique non linéaire. M., "Energy", 1971.
3. Systèmes non stationnaires de contrôle automatique: analyse, synthèse et optimisation / Ed. K.A. Pupkova et N.D. Egupova. - M .: Maison d'édition du MSTU. N.E. Bauman, 2007 .-- 632 p.