Entrée

Vous est-il déjà arrivé de vouloir additionner une série infinie, mais vous ne pouvez pas récupérer une somme partielle de la série? N'avez-vous toujours pas utilisé le dérivé discret? Ensuite, nous allons à vous!

Définition

Séquence dérivée discrète $$$a_n$ appeler cette séquence $$$\ Delta a_n$ que pour tout naturel $$$n> 1$ réalisée par:

$$

$$\ Delta a_n = a_n - a_ {n-1}$$

Considérez les exemples suivants:

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = 1 - 1 = 0$$

• $$

  $$a_n = n \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = n - (n - 1) = 1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 2 \\ a_n = n ^ 2 - (n - 1) ^ 2 = n ^ 2 - (n ^ 2 - 2n + 1) = 2n-1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 3 \\ \ Delta {a_n} = n ^ 3 - (n - 1) ^ 3 = 3n ^ 2 - 3n + 1$$

• $$

  $$a_n = k ^ n \\ \ Delta {a_n} = k ^ n - k ^ {n-1} = k ^ {n-1} (k-1)$$

Eh bien, vous obtenez le point. Quelque chose comme un dérivé d'une fonction, non? Nous avons compris comment calculer des dérivées discrètes des séquences "les plus simples". Ahem, mais qu'en est-il de la somme, de la différence, du produit et du quotient des séquences? Le dérivé «ordinaire» a certaines règles de différenciation. Mettons-en un discret!

Tout d'abord, considérez le montant. Il est logique que la somme des séquences soit également une sorte de séquence. Essayons de trouver la dérivée par définition:

$$

$$\ Delta {(a_n + b_n)} = a_n + b_n - (a_ {n - 1} + b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} + b_n - b_ {n - 1 } = \ Delta {a_n} + \ Delta {b_n}$$

Phénoménalement! Nous avons obtenu que la dérivée de la somme des séquences est la somme des dérivées de ces séquences! merci cap
Essayons de prouver la même chose avec la différence

$$

$$\ Delta {(a_n - b_n)} = a_n - b_n - (a_ {n - 1} - b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} - (b_n - b_ {n - 1}) = \ Delta {a_n} - \ Delta {b_n}$$

Et nous passons au travail!
De même, on retrouve par définition:

$$

$$\ Delta {(a_nb_n)} = a_nb_n - a_ {n-1} b_ {n-1} = \\ = a_nb_n-a_ {n} b_ {n-1} + a_nb_ {n-1} - a_ {n -1} b_ {n-1} = \\ = a_n (b_n - b_ {n-1}) + b_ {n-1} (a_n - a_ {n-1}) = \\ = a_n \ Delta {b_n } + b_ {n-1} \ Delta {a_n}$$

Cool, non? Considérez le quotient:

$$

$$\ Delta (\ frac {a_n} {b_n}) = \ frac {a_n} {b_n} - \ frac {a_ {n - 1}} {b_ {n-1}} = \ frac {a_nb_ {n-1 } -a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1}} = \\ = \ frac {a_nb_ {n-1} -a_nb_n + a_nb_n-a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1 }} = \\ = \ frac {b_n \ Delta {a_n} -a_n \ Delta {b_n}} {b_nb_ {n-1}}$$

Cool ...

Mais tout cela est dérivé. Peut-être existe-t-il un antidérivatif discret ? Il s'avère que c'est le cas!

Plus de définitions

Séquence primitive discrète $$$a_n$ appeler une telle séquence $$$A_n$ que pour tout naturel $$$n> 1$ réalisée par:

$$

$$a_n = \ Delta A_n$$

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = n$$

• $$

  $$a_n = n \\ n = \ frac {2n-1} {2} + \ frac {1} {2} = \ frac {\ Delta n ^ 2 + \ Delta n} {2} = \ frac {\ Delta (n ^ 2 + n)} {2} \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = \ frac {n ^ 2 + n} {2}$$

C'est compréhensible. Guo propose un analogue de Newton-Leibniz!

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \\ = A_1 - A_0 + A_2 - A_1 + ... + A_n - A_ {n-1} = \ \ = A_ {n} - A_0$$

Allez! Cette blague est une coïncidence! Et maintenant la même plus jolie:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n a_ = \ sum_ {i = 1} ^ n \ Delta A_i = A_i \ bigg | _ {1} ^ {n}$$

Et généraliser à l'ensemble des nombres naturels de $$$a$ avant $$$b$ :

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} f (i) = F_i \ bigg | _a ^ b$$

Candidature

Qui se souvient de la formule même de la somme d'une série de carrés de nombres naturels de $$$1$ avant $$$n$ ? Et ici, je ne me souviens pas. Sortons-la!
Mais vous devez d'abord trouver l'antidérivatif de la séquence $$$a_i = i ^ 2$ :

$$

$$i ^ 2 = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3} + i - \ frac {1} {3} = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3 } + i - \ frac {1} {3} = \\ = \ frac {1} {3} \ Delta i ^ 3 + \ frac {1} {2} \ Delta (i ^ 2 + i) - \ frac {1} {3} \ Delta i = \\ = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + 3i-2i} {6} = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} { 6}$$

Et maintenant, en fait, la somme elle-même:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 2 = \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6} \ bigg | _0 ^ n = \ frac {2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n} {6}$$

Et la somme des cubes?

On calcule d'abord

$$

$$\ Delta i ^ 4 = i ^ 4 - (i-1) ^ 4 = i ^ 4- (i ^ 4 - 4 i ^ 3 + 6i ^ 2-4i + 1) = 4i ^ 3 - 6i ^ 2 + 4i-1$$

Antidérivatif pour $$$i ^ 3$ :

$$

$$i ^ 3 = \ frac {1} {4} (4i ^ 3-6i ^ 2 + 4i-1) + \ frac {3} {2} i ^ 2-i + \ frac {1} {4} = \ \ = \ frac {\ Delta i ^ 4} {4} + \ frac {3} {2} \ Delta {\ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6}} - \ Delta {\ frac { i ^ 2 + i} {2}} + \ frac {\ Delta {i}} {4} = \\ = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i-2i ^ 2 -2i + i} {4}} = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + i ^ 2} {4}} = \\ = \ Delta {\ bigg (\ frac {i (i + 1 )} {2} \ bigg) ^ 2} \\ \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 3 = \ bigg (\ frac {i (i + 1)} {2} \ bigg) ^ 2 \ bigg | _0 ^ n = \ bigg (\ frac {n (n + 1)} {2} \ bigg) ^ 2$$

Ahem, il semblerait, rien de compliqué ...

Pour avancé

Trouver l'intégrale n'est pas toujours aussi simple, non? Que faisons-nous dans les cas difficiles? C'est vrai, intégrez en parties. Peut-être qu'il y a un analogue? Je ne vous tourmenterai pas, il l'est, et maintenant nous allons le faire sortir.

Supposons que nous devons calculer la somme d'une série

$$

$$p = const \\\ sum_ {i = 1} ^ {n} ip ^ {i} =?$$

Que faire Il est peu probable que vous puissiez ramasser si facilement l'antidérivé discret de la séquence. Regardons.

Nous savons déjà que:

$$

$$\ Delta {(f (n) g (n))} = f (n) \ Delta {g (n)} + g (n-1) \ Delta f (n)$$

Alors

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) + \ sum_ {i = a } ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i) \ iff \\ \ iff \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = \ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

Et maintenant une étape non triviale:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = f (a) g (a) -f (a-1) g (a-1) + f (a +1) g (a + 1) - f (a) g (a) + \\ + ... + f (b) g (b) -f (b-1) g (b-1) = f ( b) g (b) -f (a-1) g (a-1)$$

Remplacer l'égalité obtenue avant:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = f (b) g (b) -f (a-1) g (a-1) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

Finita la comédie.

Trouvez le même montant:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i}} = S_n \\ p ^ i = \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ S_n = \ sum_ {i = 1} ^ ni \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ $$

Il peut sembler à quelqu'un que la formule est devenue encore plus lourde, et nous avons seulement compliqué notre travail. Mais ce n'est pas le cas. Soit $$$f (i) = i, g (i) = \ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}$ puis:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nf (i) \ Delta g (i) = f (n) g (n) -f (0) g (0) - \ sum_ {i = 1} ^ {n} g (i-1) \ Delta f (i) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - 0 - \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {p ^ {i}} {p-1} = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1} ^ {n} p ^ i \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1 } ^ {n} \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {p ^ {n + 1} -p} {(p-1) ^ 2} \ bigg) = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

Puzzle cool

Je propose de pratiquer cela avec l'exemple d'une tâche allant de la sélection dans Tinkoff Generation aux cours de Machine Learning . Voici le problème lui-même:

Vous en avez assez de résoudre les problèmes des sélections aux cours Tinkoff Generation et vous avez décidé de faire une pause en regardant plusieurs épisodes de la nouvelle série dont tout le monde parle.

Vous commencez à regarder toutes les séries, en commençant par la première. Chaque épisode dure une heure. Après avoir regardé la prochaine série, vous avec une probabilité constante ppp commencez à regarder la suivante, sinon votre pause se terminera et vous retournerez au travail.

La famine, le sommeil et d'autres besoins ne vous arrêtent pas, et la série compte un nombre infini d'épisodes; en théorie, votre pause peut durer éternellement.

Combien de temps durera votre pause moyenne ?

À strictement parler, nous devons trouver ici l'attente mathématique. Faisons les choses correctement.

Solution

La probabilité que la pause dure 1 heure est:

$$

$$P (1) = 1 - p$$

2 heures

$$

$$P (2) = p (1-p) \\ ...$$

n heures:

$$

$$P (n) = p ^ {n-1} (1-p)$$

Alors l'attente est:

$$

$$E [X] = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * P (i)} = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * (1-p) p ^ {i-1}} = \\ = (1-p) \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * p ^ {i-1}}$$

C'est familier, non?

Nous avons déjà constaté que

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

alors la ligne dont nous avons besoin est assez évidente:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i-1} = \ frac {1} {p} \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

Et la tâche se résume à trouver la limite de séquence

$$

$$\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

où $$$p <1$ depuis $$$p$ - probabilité de l'événement.
Nous prouvons maintenant que

$$

$$\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0, \ space \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} p ^ n (n + 1) = 0$$

• $$

  $$f (x) = p ^ {x + 1} x, \ espace x \ dans \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ espace 0 <p <1 \ ssi q> 1 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {p ^ {x + 1} x} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty } {\ frac {x} {q ^ {x + 1}}} = \\ = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {x '} {(q ^ {x + 1})' }} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x + 1} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} f ( x) = 0 \ implique \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0$$
  
  

• $$

  $$f (x) = p ^ {x} (x + 1), \ espace x \ en \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ espace 0 <p <1 \ ssi q> 1 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {p ^ {x} (x + 1)} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {x + 1} {q ^ {x}}} = \\ = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {(x + 1) '} {(q ^ {x}) '}} = \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limits_ {x \ to \ infty} f (x) = 0 \ implique \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} (n + 1) p ^ {n} = 0$$
  
  

Maintenant, il est facile de comprendre que

$$

$$\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} { (p-1) ^ 2}$$

Et

$$

$$E [X] = (1-p) \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i-1}} = (1-p) \ frac {1 } {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} {1-p}$$

Certains

Fuh ... C'était difficile, même pour moi, chers lecteurs. Liste des réalisations d'aujourd'hui:

1. Nous avons compris ce qu'est un dérivé discret.
2. Dérivé les règles inhérentes de différenciation
3. Nous avons compris ce qu'est un antidérivatif discret.
4. Nous avons dérivé un analogue de la formule de Newton-Leibniz
5. Dérivé d'un analogue d'intégration par parties
6. Nous avons résolu la tâche difficile de sélectionner pour un cours de Machine Learning en Tinkoff Generation

Pas mal pour commencer, qu'en pensez-vous?

Les commentaires sont les bienvenus!