Amour mathématique

Basé sur un article de Julien Clinton Sprott. Modèles dynamiques d'amour. Nonlinear Dynamics Psychology and Life Sciences, août 2004.

Je croyais l'harmonie en algèbre ...
La théorie de mon ami est sèche, mais l'arbre de vie est toujours vert ...

Qui ne s'est pas battu pour ce "problème" .... Il a été démantelé dans les tragédies grecques antiques, le grand Shakespeare nous a raconté l'histoire de Roméo et Juliette, Andrzej Wajda l'a démantelé des deux côtés dans l'Anatomie de l'Amour. Mais les gens ne sont jamais allés au fond de la vérité jusqu'à ce que les scientifiques prennent la décision. Certes, tout ne semble pas assez convaincant pour les psychologues. Parfois, même après leur divorce, ils commencent eux-mêmes à analyser l'histoire de leur amour disparu. Eh bien, écrivez des livres qui vont parfois comme des petits pains. Ils sont écrits par des experts! Que puis-je dire? Presque rien de personnel - juste des affaires ...

Et enfin, pas les poètes avec des écrivains et des psychologues ne se sont mis à la gorge. Les mathématiques sont la reine des sciences. Est-elle capable de faire face à un problème éternel? Des livres sont publiés, par exemple, par John Gotman, «The Mathematics of Marriage», et d'autres auteurs. Les mathématiciens considèrent le développement des relations amoureuses comme un processus dynamique ...

Et tout commence, comme prévu, par des définitions. Comment identifier l'amour qualitativement et quantitativement? Les chercheurs classent le problème par type: histoire d'amour, passion, fidélité. De plus, chaque espèce a un ensemble complexe de sentiments. Mais en plus de l'amour pour une autre personne, il y a l'amour pour soi, pour la vie, pour l'humanité ...

Dans le même temps, le contraire de l'amour - dans le modèle mathématique - ne peut pas être la haine, car ces deux sentiments peuvent coexister en même temps. Par exemple, quelqu'un peut aimer certaines manifestations d'un partenaire, mais d'autres peuvent être méchants. Par conséquent, il est irréaliste de supposer que l'amour d'un individu n'est influencé que par ses propres sentiments, et que les sentiments de l'autre partenaire ne dépendent pas d'autres influences, et que les paramètres caractérisant l'interaction de deux personnes restent inchangés et excluent ainsi la possibilité d'apprentissage et d'adaptation.

La complexité, même dans un modèle restreint minimal, augmente considérablement lorsque trois variables ou plus sont introduites dans les équations de non-linéarité et / ou.

* Remarque: traducteur. À mon avis, de telles études peuvent également raviver les mathématiques elles-mêmes, attirer l'attention du public, généralement éloigné de cette science abstraite.

Modèle linéaire simple

L'histoire d'amour de Roméo et Juliette dans le temps (t) peut être représentée en utilisant les fonctions * R (t) - l'amour de Roméo pour Juliette et J (t) - l'amour de Juliette pour Roméo.

Ensuite, un modèle linéaire simple de leur relation est exprimé par les équations (1)



a et b - paramètres du style romantique de Roméo
c et d - Options de style Juliette
a - caractérise comment Roméo est enveloppé dans ses propres sentiments
b - combien Roméo est embrassé par les sentiments de Juliette

L'un des articles (Gottman et al., 2002) utilise le terme «inertie comportementale» pour le premier et la «fonction d'influence» pour le second paramètre. Bien qu'à a = 0, l'inertie devient la plus grande. Le modèle dynamique dans de telles conditions est bidimensionnel et contrôlable par les conditions initiales et quatre paramètres, qui peuvent être positifs ou négatifs.

Un modèle linéaire simple a été proposé par Rinaldi, 1998a. Dans le même temps, un terme gratuit est ajouté à chaque dérivé afin de prendre en compte l'attractivité (ou antipathie à valeur négative) que chacun des partenaires montre à l'autre en l'absence d'autres sentiments. Un tel modèle est plus réaliste car il permet aux sentiments de sortir d'un état d'indifférence et fournit un équilibre qui ne se caractérise pas par une apathie complète. Tout cela n'est décrit de cette manière qu'en entrant deux paramètres supplémentaires. Alors que l'état d'équilibre non apathique peut être très important pour les individus en question, cela ne change pas la dynamique autrement qu'en déplaçant l'espace d'état RJ.

Styles romantiques

Roméo peut présenter l'un des quatre styles romantiques selon les signes a et b, avec la notation donnée par l'auteur de l'ouvrage (Strogatz, 1994) et ses élèves:

1. Désir passionné: a> 0, b> 0 (Roméo est enveloppé dans les sentiments et les sentiments de Juliette.)
2. Type narcissique: a> 0, b <0 (Roméo est plus enveloppé dans ses propres sentiments, il est détaché des sentiments de Juliette.)
3. Prudent (ou amoureux fiable): a <0, b> 0 (Roméo s'éloigne de ses propres sentiments, mais il est submergé par les sentiments de Juliette.)
4. Ermite: a <0, b <0 (Roméo est détaché des sentiments et des sentiments de Juliette.)

Étant donné que quatre styles de comportement sont également possibles pour Juliette, il existe 16 combinaisons possibles de paires, chacune avec sa propre dynamique, bien que la moitié d'entre elles correspondent à une permutation de R et J.

Les équations (1) déterminent un point d'équilibre unique pour R = J = 0, ce qui correspond à une relation mutuellement indifférente, ou le soi-disant «plateau de l'amour» (dans le modèle Rinaldi, 1988), avec une description du comportement à travers des valeurs propres (2)




Selle fourche Focus
Fig. 1. La situation dynamique près du point d'équilibre dans l'espace bidimensionnel, selon l'équation 1.

Triangle d'amour

Un modèle plus riche en mathématiques est obtenu lorsqu'une troisième personne est ajoutée à un modèle simple, en particulier parce que des alliances peuvent se former dans lesquelles deux individus peuvent s'unir contre la troisième. Supposons que Roméo ait un autre amant, Geneviève, bien que la troisième personne en question puisse être un enfant ou un autre parent. Dans ce cas, l'espace des états devient plus probable en six dimensions qu'en deux dimensions, car chacun des trois a des sentiments pour les deux autres, et douze paramètres apparaissent si chacun peut prendre des styles différents par rapport à l'autre, même si l'attraction naturelle est ignorée ( révisé par Rinaldi, 1998a).

Dans le cas le plus simple, Juliette et Geneviève peuvent ne pas se connaître mutuellement, et Roméo peut montrer le même style romantique en ce qui concerne les deux. Le système quadridimensionnel résultant est ensuite transformé en deux systèmes bidimensionnels divisés, jusqu'à ce que les sentiments de Roméo pour Juliette soient en quelque sorte influencés par les sentiments de Geneviève pour lui, et il en va de même pour Geneviève.

Effets non linéaires

Il existe un nombre infini de façons de saisir des effets non linéaires. Imaginez que Roméo répond positivement à l'amour de Juliette, mais avec une manifestation excessive de son amour, il se sent étranglé et présente une réaction indésirable. À l'inverse, si Juliette montre assez d'aversion, Roméo peut essayer de devenir agréable avec elle.

Dans ce cas, il est possible de remplacer bJ dans l'équation 1 par la fonction logistique bJ (1 - | J |) correspondant à la mesure de J en unités à partir de la condition que J = 1 correspond à la valeur à laquelle son amour devient contre-productif. Des résultats qualitativement similaires découlent de la fonction bJ (1 - J2), qui est le cas considéré par Rinaldi (1998b) pour le modèle d'amour platonicien du poète italien du XIVe siècle pour la belle Laura, liée par le mariage. En supposant la même chose pour Juliette, nous obtenons:
(4)



Il y a 4 états d'équilibre, dont un à l'origine. La figure 3 montre la concentration constante à laquelle Juliette. comme un «désir passionné» (c = d = 1) mène «l'ermite» de Roméo (a = b = –2) à un état d'amour mutuel à R = J = 2. Un modèle similaire pour les amoureux prudents (fiables) avec une non-linéarité sigmoïdale conduit également à équilibre stable (Rinaldi et Gragnani 1998). Les équations 4 ne permettent évidemment pas de cycles limites et le chaos ne se produit pas lorsque le système est bidimensionnel.


Fig. 3. Une des solutions pour le modèle non linéaire selon l'équation 4.

Peut-être l'application d'effets non linéaires à des triangles d'amour.

Postface

Certains des modèles dynamiques linéaires de l'amour présentent une dynamique étonnamment complexe, tandis que la plupart d'entre eux semblent être similaires à une expérience connue dans les relations. S'il y a trois variables ou plus et que même les effets non linéaires les plus simples sont introduits, le chaos peut se produire. Une extension intéressante du modèle peut être imaginée lorsque l'on considère un groupe d'individus en interaction, par exemple pour les cas d'une grande famille ou d'une commune. De tels modèles, bien sûr, sont très simplifiés, car l'amour est pris en compte comme une simple variable scalaire, et les réactions des individus par rapport à leur propre amour et à l'amour d'autres personnalités pour eux sont cohérentes et mécanistes, sans tenir compte des facteurs d'influence externes.

PS Love peut vivre sans mathématiques, mais les mathématiques évoquent l'amour de soi pour les personnes qui apprécient la vraie harmonie.

Références:
Julien Clinton Sprott. Modèles dynamiques d'amour. Psychologie de la dynamique non linéaire et sciences de la vie • Août 2004

Rinaldi, S. (1998a). Dynamique amoureuse: le cas des couples linéaires. Mathématiques appliquées et calcul, 95, 181-192.
Rinaldi, S. & Gragnani, A. (1998). Dynamique d'amour entre individus sécurisés: une approche de modélisation. Dynamique non linéaire, psychologie et sciences de la vie, 2, 283-301.
Rinaldi, S. (1998b). Laura et Petrarch: Un cas fascinant de dynamique d'amour cyclique. Journal SIAM de mathématiques appliquées, 58, 1205-1221