Un petit guide mathématique pour les étrangers

De quoi s'agit-il

Et comment peut-on constituer le matériel nécessaire des premiers cours de l'université au quatrième dix et avec une aversion pour l'algèbre?

A la folie des braves nous chantons une chanson!

Le public cible du Guide est ceux qui sont soudainement intéressés par les mathématiques ou qui ressentent le besoin d'augmenter leur efficacité professionnelle, mais pour une raison quelconque, ils ne sont pas en mesure de consacrer plusieurs années de leur vie à l'enseignement universitaire. Si vous avez besoin de comprendre, mais que les connaissances fondamentales font cruellement défaut, et que vous vous sentez comme un étranger dans un pays de mathématiques, où ils parlent une langue incompréhensible, essayez de suivre cette voie en tant que touriste. L'itinéraire complet est une visite touristique et est conçu pour plusieurs jours, un maximum de deux semaines. A titre de comparaison: un cours académique complet dure environ cinq ans. Le but ultime de l'itinéraire proposé est de se familiariser avec les principes d'une section hautement spécialisée - la cryptographie elliptique. Cependant, il n'est pas nécessaire d'aller jusqu'au bout si cette section sort du cadre de vos intérêts ou si vous êtes confronté à de graves difficultés ou dangers. Mais, puisque vous avez récupéré le Guide, essayez toujours d'atteindre au moins la fin de la section «Langage de formule».

Comme un dictionnaire, ce guide peut également être utilisé pour la traduction inverse. Il sera peut-être utile aux mathématiciens qui sont obligés de contacter et de travailler en étroite collaboration avec des non-mathématiciens, surmontant constamment le fossé de l'incompréhension. Ce cas semble si difficile que la ligne de Maxim Gorky dans l'épigraphe est une réponse universelle des deux côtés. Dans tous les cas, j'espère avoir des commentaires et essayer de reconstituer nos connaissances sur les raisons pour lesquelles ils ne nous comprennent pas et comment cela peut être résolu.

Et maintenant, sachant qu'il n'y a pas de routes royales ici, nous allons essayer de paver au moins un chemin touristique.

Langage de formule

On m'a dit que chaque formule incluse dans le livre réduirait de moitié le nombre de clients. J'ai alors décidé de me passer de formules. Certes, à la fin, j'ai toujours écrit une équation - la célèbre équation d'Einstein E = mc ^ 2. J'espère que cela n'effraiera pas la moitié de mes lecteurs potentiels.
Stephen Hawking - Une brève histoire du temps

Si l'éditeur Hawking a raison, l'ajout de seulement 33 formules suffit pour rendre le nombre de lecteurs potentiels proche de zéro. Allons-nous essayer?

Tout d'abord, il est nécessaire d'atteindre un niveau de compréhension suffisant de la notation. N'oubliez pas que les mathématiques sont une langue.

En première approximation, plusieurs niveaux de compréhension d'un texte mathématique peuvent être distingués. La première couche est la sélection des lexèmes, la soi-disant analyse lexicale. La seconde est la construction d'expressions et d'autres constructions sémantiques. Les programmeurs appellent cela le mot analyse, c'est-à-dire l'analyse, et les mathématiciens généraux ne l'appellent généralement pas du tout, car ils utilisent ce mécanisme inconsciemment. Viennent ensuite les couches chargées de comprendre le sujet, la signification physique et tout cela.

Certains mathématiciens considèrent les programmeurs comme des non-mathématiciens. C'est injuste. Premièrement, les programmeurs doivent faire face à une machine qui ne pardonne pas les omissions dans le texte des programmes. Comparez avec un article scientifique typique, où les expressions «évident», «facile à montrer», «pas de réflexion», etc. sont souvent utilisées, mais en réalité les transitions ne sont pas profondément évidentes. Ainsi, grâce à la programmation, toute une branche des mathématiques est née consacrée aux langages formels et à leur analyse. Deuxièmement, dans des conditions difficiles, les langages de programmation eux-mêmes et les outils associés ont évolué. Découvrez comment les langages élégamment modernes résolvent le problème de l'adaptation des variables aux objets. Soit dit en passant, un problème sérieux est de ne pas se confondre dans la notation quand ils sont trop nombreux et qu'ils proviennent de sources différentes. Et si vous passez un peu de temps sur un aperçu rapide de langages spécifiques tels que Coq, Agda, Idris, vous verrez la connexion la plus étroite entre les mathématiques et la programmation elle-même.

Analyse lexicale

Je savais comment les lettres sont écrites, je croyais au pouvoir des mots.
Crématorium - Dernière chance

Tout d'abord, demandez à un ami programmeur ce que sont un lexer et un analyseur. Vous n'avez pas besoin d'approfondir, comprenez simplement par des exemples ce qu'est un jeton. Si vous entendez des mots étranges comme «el-er-parser» ou «arbre de syntaxe», quittez tranquillement la pièce. Très probablement, vous en avez déjà assez, le programmeur n'est plus nécessaire. Digérez vos connaissances. Ensuite, vous devez apprendre à distinguer les jetons dans de vrais textes mathématiques. Entraînez-vous sur des articles téléchargés au hasard. Évitez les documents dans des formats autres que le pdf, ainsi que les textes disposés immédiatement sur les pages Web. Cependant, il existe des sites sur lesquels on sait de manière fiable qu'ils peuvent afficher correctement les textes mathématiques (Wikipedia et Habr sont inclus dans la liste blanche). Les livres papier conviennent également généralement. N'essayez pas d'extraire du sens des textes trouvés, entraînez-vous simplement à analyser les formules.

Des lettres

• Les lettres de deux alphabets sont généralement utilisées - latin et grec, mais on trouve parfois des lettres cyrilliques et hébraïques. Il arrive que les lettres de différents alphabets coïncident dans le style. Sur la lettre, cela ne pose pas de problème, car deux lettres différentes de même type ne sont pas utilisées dans le même texte. Cependant, vous pouvez rencontrer la moquerie des mathématiciens si, par exemple, vous lisez B à haute voix comme «être» lorsque vous voulez dire «bêta». Soyez psychologiquement préparé à cela, vous devez endurer.
• Les lettres majuscules et minuscules représentent différents objets. (Pour certains, cela semble trop évident, mais je considère qu'il est nécessaire de le prononcer explicitement. Une fois que j'avais besoin d'expliquer l'essence de mon travail à des collègues du département des brevets. Quand j'ai presque atteint le caractère de l'anecdote "papa, où est la mer?", Je me suis soudain rendu compte que les filles considèrent que mes désignations m et M se réfèrent au même objet. Dès que le malentendu a été levé, tout le processus, grâce à leur professionnalisme dans leur travail, s'est rapidement et résolument soldé par un succès complet.)
• La même lettre, écrite dans différentes polices, signifie différents objets.

En règle générale (en algèbre), une lettre est un jeton indépendant. Si plusieurs lettres sont écrites dans une rangée, alors la multiplication est implicite. Par exemple, abc signifie le produit de a, b et c. Il existe cependant des exceptions. Tout d'abord, c'est le nom de nombreuses fonctions standard et autres notations, qui est un jeton à plusieurs lettres: $$$\ sin, \ cos, \ min, \ max, \ sup, \ lim$etc. Ils sont généralement représentés dans un style droit (romain), contrairement aux autres jetons de lettre écrits en italique. En outre, en informatique et dans certains autres domaines, ils s'écartent de cette règle, où une séquence de lettres désigne un seul mot-jeton. Si, dans un cas particulier, il y a le moindre doute, consultez un spécialiste.

Supports

Le rôle le plus important en termes d'analyse est joué par les parenthèses. Vous savez probablement déjà ou devinez que les parenthèses sont utilisées pour regrouper les jetons. Mais il y a des exceptions. Si la formule vous semble étrange et contient des paires de parenthèses supplémentaires, ou même l'équilibre des parenthèses est rompu, vous rencontrerez probablement un exemple avec une utilisation alternative des parenthèses. Allez voir un spécialiste pour des éclaircissements.

Indices

Faites attention aux indices supérieurs et inférieurs. Voici à quoi ressemble la typographie en exposant et en indice. L'exposant est plus simple: en règle générale, il signifie exponentiation. Avec le fond un peu plus dur. Cela peut être compris de deux manières:

• Comme une opération de mappage. Par exemple $$$x_i$Est une telle fonction $$$x$qui prend comme argument $$$i$. Si maintenant ce point n'est pas clair, ça va, cet endroit peut être ignoré pour l'instant.
• Comme moyen de former un nouveau jeton lorsque les lettres pratiques sont déjà terminées. On peut souvent supposer que $$$a_1, a_2, a_i$- ce ne sont que trois objets différents.

À un moment donné, il peut vous sembler que ces deux points sont essentiellement la même chose. Ne vous inquiétez pas, c'est normal, vous êtes devenu un peu plus proche de l'illumination. Prenez rendez-vous avec un spécialiste.

Autres personnages

Les mathématiciens sont des esthètes. Ils aiment quand non seulement le contenu mais aussi la forme sont beaux. Ils sont satisfaits lorsque les formules sont tapées dans une bonne typographie appropriée. Knut a fait un délicieux pain d'épice appelé $$$\ TeX$. Suivez un didacticiel sur la saisie et la composition de formules et recherchez-y les tables de symboles. Maintenant, il est important pour vous de classer ces symboles: lettres, opérateurs, signes de relation, flèches ... Sans plonger dans la signification mathématique des symboles, essayez de comprendre comment les symboles de chaque classe sont utilisés syntaxiquement. Par exemple, il existe une classe d'opérations binaires pour lesquelles droite et gauche équidistantes du symbole d'opération doivent être une sorte de sous-expression.

Les chiffres

Les non-mathématiciens croient que les mathématiciens croient. En fait, les mathématiciens sont rarement considérés et les nombres sont principalement utilisés pour numéroter les objets. Apparemment, par conséquent, la section "Numéros" a été ajoutée à la hâte et suit illogiquement la section "Autres symboles". Vous-même pouvez dire aux experts comment les jetons numériques sont formés et ce qu'ils signifient.

Conventions de notation

Soit a, b, c, d, e, f des nombres réels, où e n'est pas nécessairement égal à la base des logarithmes naturels, bien qu'il puisse coïncider avec lui.

En mathématiques, il existe des conventions sur les caractères à utiliser dans quels cas. Cependant, dans différentes sections, ces accords peuvent varier. C'est comme les dialectes d'une langue. Il existe des notations normalisées dans toutes les mathématiques. Consultez les conventions acceptées dans votre domaine. De plus, certains chercheurs font preuve de négligence et violent parfois les accords généralement acceptés. Malheureusement, dans la plupart des cas, il n'y a pas de règles à ce sujet, vous pouvez en discuter avec votre spécialiste à l'occasion.

Bien que les mathématiques soient généralement supranationales, il existe des différences culturelles. Vous pouvez les rencontrer si vous vous éloignez trop de l'itinéraire suggéré par le Guide. Par exemple, les désignations anglaise et russe des fonctions tangentes, cotangentes et hyperboliques sont distinguées. En outre, les mêmes lettres peuvent être prononcées différemment selon les traditions culturelles. Pour économiser l'effort, apprenez les noms anglais de toutes les lettres, y compris le grec. Si vous n'avez pas sauté l'école, au moins il n'y aura aucun problème avec l'alphabet latin. Si vous les utilisez en russe, vos interlocuteurs peuvent froncer les sourcils, mais cette fois, ils devront endurer. Si vous voulez les rendre heureux, apprenez les noms des lettres latines et grecques acceptées dans la culture mathématique russophone.

Analyse

Expressions

Vous avez probablement entendu le terme «arbre» ​​non pas dans le sens botanique, mais dans le sens mathématique. C'est une chose assez simple, si nécessaire, rafraîchissez vos connaissances. Ainsi, une expression mathématique a une structure arborescente. Cela signifie que l'expression se compose de sous-expressions qui se composent de sous-expressions ... Mais ce processus n'est pas sans fin, mais se termine par certaines sous-expressions constituées de jetons.

Certains jetons eux-mêmes sont des expressions élémentaires. Par exemple, des nombres (plus précisément, des littéraux numériques) et des variables. Et certains exigent que des arguments leur soient ajoutés dans certaines positions, c'est-à-dire une sorte de sous-expression. Ensuite, ils forment une expression plus large. Par exemple, le symbole d'une opération d'addition nécessite des expressions à droite et à gauche de celle-ci. Nous pouvons dire que le lexème a une certaine arité ou, si vous préférez la chimie, la valence, c'est combien et dans quels endroits vous devez ajouter au lexème des sous-expressions pour former une expression. Pour operation + arity peut être décrit comme suit: $$$\ cdot + \ cdot$

Cette entrée signifie exactement que le jeton + nécessite des arguments à gauche et à droite de celui-ci. Différents jetons nécessitent un nombre d'arguments différent, en outre, l'emplacement des arguments n'est pas limité à "droite" et "gauche", mais peut être, par exemple, "haut", "bas", "bas droit". Il existe également des jetons composés qui existent depuis l' Antiquité, mais les mixfix ont reçu un nom spécial au fur et à mesure du développement des langages de programmation. Par exemple, un produit scalaire de vecteurs est noté comme suit: $$$\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$.

Parfois, les jetons entrent en conflit parce qu'ils ne peuvent pas décider à qui appartient l'argument écrit entre eux. Ensuite, vous devez ajouter des crochets.

Variables

Certains jetons ont une signification qui leur a été attribuée d'en haut - soit quelque part plus haut dans le texte, soit par des liens dans d'autres textes. Ou le sens est implicite comme généralement accepté dans une discipline donnée ou dans toutes les mathématiques. Par exemple, le symbole plus indique une opération d'addition. De plus - il est en Afrique plus. Cependant, peut-être quelque part plus près de la fin de votre itinéraire, vous rencontrerez un symbole plus avec une signification inhabituelle. Il existe encore des jetons (généralement alphabétiques) qui ne sont pas explicitement indiqués par quoi que ce soit, ils sont appelés variables, dont il existe plusieurs types.

• Paramètre. Il s'agit d'une variable dont on dit qu'elle est signifiée par quelque chose, mais on ne dit pas quoi exactement. Si cela vous a paru étrange, vous pouvez le sauter pour l'instant, et lorsque vous rencontrerez les paramètres, vous comprendrez immédiatement tout avec des exemples.
• Variable libre. Si une variable est trouvée dans l'expression à propos de laquelle rien n'est dit, alors une telle variable est appelée libre. À strictement parler, absolument rien ne peut être dit. Vous avez le droit de demander à l'auteur de la formule à partir de laquelle est définie la variable libre. N'hésitez pas à demander, c'est utile: même si les explications s'avèrent incompréhensibles, elles vous prendront un peu plus au sérieux.
• La variable liée. Si vous n'aimez pas le libertin des variables libres, il existe plusieurs façons de limiter leur liberté. Vous pouvez ajouter quelque chose à l'expression, afin d'obtenir une nouvelle expression dans laquelle la variable précédemment libre est verrouillée. Et la nouvelle expression, contrairement à l'ancienne, ne dépendra plus de cette variable. Si vous êtes curieux de savoir ce qu'est ce «quelque chose», allez voir les quantificateurs ou une certaine intégrale. Essayez de ne regarder que la syntaxe, pas de fouiller dans le sens, mais, vous savez, addictif.

Contexte

Il arrive qu'en regardant la formule, il soit impossible de distinguer une variable libre d'un paramètre. Cela signifie que des informations supplémentaires doivent être tirées du contexte, qui est généralement exprimé par d'autres formules ou textes en langage humain. Selon le contexte, la formule peut avoir différentes significations. Si vous avez besoin de comprendre la formule, étudiez toujours le contexte et recherchez la compréhension.

Cependant, les formules peuvent exister sans contexte, simplement comme un objet syntaxique sur lequel des transformations peuvent être effectuées. Les mathématiciens peuvent souvent d'abord généraliser - «oublier» le contexte, puis faire des calculs, puis «se souvenir» du contexte et comprendre à nouveau le sens des formules obtenues.

Symbole égal

Le signe égal est très important. Il est utilisé de différentes manières et vous devez pouvoir les distinguer.

• Évaluation d'une variable par valeur. C'est lorsque la variable est à gauche et l'expression à droite. Dans certaines disciplines, dans de tels cas, au lieu de =, ils écrivent: = ou même :: =.
• Identité. À gauche et à droite se trouvent quelques expressions, et la personne qui a écrit cela affirme que les deux expressions sont égales. Le symbole est également utilisé ici. $$$\ equiv$. Avez-vous pensé à ce que signifie «égal»? Il vaut la peine d'en discuter, mais cela peut vous éloigner de l'itinéraire.
• Équation. C'est une façon de décrire des entités fondamentalement nouvelles. Les mathématiciens le font de cette façon: ils prennent plusieurs variables libres, construisent des expressions sur eux et les conduisent dans une équation ou même dans un système de plusieurs équations, afin qu'ils soient encore plus proches. Et puis ils regardent comment ces variables malheureuses se précipitent dans les contraintes, formant des ensembles bizarres. Et puis ils étudient ces ensembles avec grand intérêt. (Soit dit en passant, votre itinéraire traverse le territoire de la théorie des ensembles, vous devez mieux les connaître.) Décrire l'ensemble obtenu revient à résoudre l'équation. Les enfants à l'école reçoivent généralement des équations qui donnent lieu à des ensembles très simples d'un élément, parfois deux ou aucun. Mais les scientifiques adultes en la matière sont de grands artistes. Et certains physiciens sont capables de générer l'univers entier avec une seule équation.

Extraire le sens des formules

Quelque chose est écrit, mais entre parenthèses OH. Ils ont essayé - et vraiment, OH.

Le cerveau d'un mathématicien dans ses caractéristiques physiques ne diffère pas fondamentalement du cerveau d'un représentant typique de la majorité intellectuelle. Même en termes de mémoire et de vitesse de calcul, la différence n'est pas si grande. Comment les mathématiciens parviennent-ils à comprendre les formules lourdes et à les comprendre?

Une partie de la réponse réside dans la capacité de distinguer l'essentiel et d'abstraire de l'important. Comme vous vous en souvenez, une expression est constituée de sous-expressions. Lorsque vous voyez une expression grande et effrayante, ne vous précipitez pas pour regarder toutes les sous-expressions à la fois, en ouvrant toutes les boîtes, boîtes, boîtes et boîtes. : , . , , . , - , , , — , , , .

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En revenant au bac à sable des ensembles finis, vérifiez à nouveau dans quelle mesure vous vous souvenez de la notation. Jouez avec des ensembles finis de petites tailles. Essayez de leur appliquer des opérations de base. Créez de nombreux sous-ensembles. Si vous avez oublié ce qu'est une bijection , rafraîchissez vos connaissances dans les manuels pour enfants d'âge préscolaire. Après tout, vous connaissiez ce concept de la période précédant le discours, à ce moment-là, il n'a pas été appelé en aucune façon, n'est-ce pas? Assurez-vous que votre intuition est en parfaite harmonie avec les définitions et les énoncés de base. Si ce n'est pas le cas, contactez un spécialiste.

Avant de partir, regardez de nouveau autour de vous. Sur le bord du bac à sable, vous pouvez voir un coin d'ultrafinitifs. Tout est simple avec eux. Dites-leur bonjour, ne dites pas simplement que vous êtes sorti du bac à sable.

Encore une fois sur la notation

combien il est difficile de vivre parmi des gens ennuyeux
dit Michael, trois ans
parmi les alésages
corrigé Igor, trente ans et portant des lunettes

Groupes abéliens -> espace linéaire -> opérateurs -> fonctionnels dans l'espace linéaire. Mais après avoir téléchargé cette branche, vous pouvez déclencher sur le mot "fonctionnel" dans la description des fonctionnalités du logiciel.

Vous connaissez déjà quelques termes mathématiques et vous en apprendrez davantage. Essayez de ne pas les utiliser en vain lorsque vous communiquez avec des spécialistes sur des sujets pertinents. Par exemple, au lieu de l'expression "groupe de méthodes", juste au cas où, il vaut mieux dire "ensemble de méthodes" ou "ensemble de méthodes" afin que personne ne pense que vous avez construit une opération sur un ensemble de méthodes qui satisfont les axiomes du groupe. Si, lors d'une communication informelle sur des sujets mathématiques, vous n'avez pas suffisamment de mots couramment utilisés en raison du fait qu'ils se trouvent occupés par des termes, il est préférable d'utiliser les variables dites métasyntaxiques: «ordures», «merde», «shnyaga», etc., elles peuvent également être émotionnellement peindre avec des adjectifs: "maladroit", "lisse", "maladif". Cela ne semble pas si intelligent, mais vous êtes plus susceptible de comprendre. Après un certain temps, vous vous débarrasserez des vilains mots de substitution, et votre discours ne causera de douleur ni aux philologues ni aux mathématiciens.

N'utilisez pas le quantificateur universel en vain. Le quantificateur d'universalité exprimé dans le langage ordinaire est représenté par les mots «toujours», «tous», «tous», «tout le monde», «tout», etc. Les mots «jamais», «nulle part», etc. ils représentent également ce quantificateur, mais avec négation, c'est-à-dire que «jamais» signifie «toujours pas». Les mathématiciens interprètent souvent les déclarations avec le quantificateur de l'universalité littéralement, après quoi, après avoir présenté un contre-exemple, elles prouvent votre erreur formelle. Vous n'avez pas besoin de stress supplémentaire? Bien sûr, il y a des cas où le quantificateur universel peut et doit être utilisé.

En mathématiques, il y a souvent homonymie. C'est quand un seul mot ou symbole désigne plusieurs concepts complètement différents. Tout d'abord, cela est dû au manque de bons mots et de bons caractères. Deuxièmement, contrairement aux langues naturelles, très souvent des concepts différents après une certaine généralisation se révèlent être pratiquement les mêmes. Les mathématiciens qui remarquent que c'est la même chose que cela peuvent souvent ressentir l'orgasme cérébral de cette conscience. Des sensations particulièrement fortes surgissent si le chercheur a fait lui-même une partie importante du chemin vers la prise de conscience. Il est possible que vous ressentiez également les mêmes sensations fortes. Mais sinon, ça va, c'est bien aussi. N'hésitez pas à partager vos sentiments avec des experts.

L'homonymie n'est généralement pas difficile à comprendre, car les mathématiciens s'assurent soigneusement que toutes les définitions sont rigoureuses et correctes.

La logique

Vous devez travailler presque exclusivement avec des objets finaux. Cela signifie que vos idées intuitives sur la logique sont probablement suffisantes et, surtout, ne conduiront pas à des contradictions. Au cas où, lisez les informations sur le modus ponens, même si le nom ne vous est pas familier, vous en connaissez certainement l'essence.

En général, la logique consiste à créer de nouvelles déclarations sur la base des déclarations existantes. Jetez un œil autour. Partout autour de vous des dictons: grands, petits, évidents, incompréhensibles. Vous pouvez supposer que les déclarations sont divisées en deux types: vrai et faux. Et voici les figurines! Comment aimez-vous ça?

$$

$$\ int e ^ x = f (u_n)$$

Cette affirmation n'est ni vraie ni fausse, elle n'a pas de sens (du moins du point de vue des mathématiques), car ce qui est écrit à gauche du signe égal n'est pas une expression. Vous pouvez ajouter dx à l'intégrale, mais il reste alors plusieurs variables libres, à cause desquelles l'expression n'est pas une instruction. Ils devront signifier quelque chose ou les connecter, afin que nous puissions parler de vérité.

Eh bien, considérons uniquement les déclarations significatives. Doivent-ils être vrais ou faux? Il s'avère que non. Certaines déclarations ne peuvent être ni prouvées ni réfutées; elles sont qualifiées d'insolubles. Il est peu probable que des remarques insolubles soient rencontrées sur votre chemin. Cependant, ils rencontreront sûrement ceux sur la vérité dont aucun des vivants ne sait jusqu'à présent.

Si vous n'avez pas obéi la dernière fois et examiné l'abîme des fondements des mathématiques, vous pourriez probablement remarquer qu'il y a plus d'une logique, et il y en a beaucoup de différentes. Heureusement, sur votre chemin, ces connaissances, générant de nombreuses peines, ne seront pas nécessaires. Si vous vous sentez à l'aise de croire que la vérité est toujours la même, continuez à le penser.

Théorie des catégories

«Désoxyribonucléique», ai-je dit. - C'est un tel acide. Désoxyribonucléique.
Il sourit misérablement, ajusta son pince-nez.
"Acide", répéta-t-il d'une voix interceptée. "Pourquoi est-elle comme ça?"
"Vous ne pouvez pas l'appeler autrement", dis-je avec sympathie. "Sauf abrégé en ADN." Oui, tu le manques, Fedya, lisez la suite.
"Oui, oui", at-il dit. "Je préfère le manquer."
Arkady et Boris Strugatsky - Le conte des trois

Bien que la théorie des catégories elle-même soit presque aussi dangereuse que la théorie des ensembles, nous devons extraire quelques concepts qui se rapportent formellement à cette section.

• Cours d'adjacence. C'est l'une des façons de construire de nouvelles structures à partir de celles existantes. Lisez la définition, voyez quelques exemples. Si ce n'est pas clair, vous pouvez sauter. Mais si vous pénétrez toujours, vous obtiendrez un bonus pour comprendre d'autres choses. Par exemple, à propos de l'anneau $$$\ mathbb {Z} _n$(cette chose sera nécessaire un peu plus tard) il est plus commode de penser comme une classe de déductions, et non comme le résultat de l'opération de prise du reste de la division. De plus, la définition de l'école d'un vecteur comme un segment avec une flèche vous semblera ridicule et même erronée. Vous pouvez apprendre à vos amis qu'un vecteur n'est pas un segment, mais une classe de segments.
• Morphismes. Le morphisme est une relation entre une paire d'objets. Vous connaissez un tel type de morphisme vers l'âge de trois ans - c'est une bijection entre des ensembles finis. Lisez la définition de l' isomorphisme et réalisez qu'il s'agit d'un cas plus général de bijection. Obtenez une bonne compréhension, c'est important. Si nécessaire, consultez un spécialiste. De plus, vous pouvez lire sur l'homomorphisme (à ne pas confondre avec l'homéomorphisme!). S'il y a homomorphismophobie ou autres difficultés, vous pouvez sauter.

En général, toute la théorie des catégories est la section la plus abstraite des mathématiques; il n'y a rien d'autre que de petites choses et des flèches. Malgré un certain danger pour la psyché, la théorie des catégories peut être recommandée pour la thérapie de substitution d'autres types de toxicomanie. Cependant, ne vous auto-médicamentez pas, dans votre ville, il y a très probablement des spécialistes disponibles.

Algèbre

Honnêtement, je ne soupçonnais pas que depuis plus de quarante ans je parle en prose.
Jean-Baptiste Moliere - Artisan dans la noblesse

Le nom de la discipline devrait vous être familier depuis l'école. En fait, l'algèbre fonctionne avec des structures algébriques, et dans une école, seuls les nombres entiers et rationnels passent des structures, ainsi que (sous une forme fortement tronquée) réelles. La bonne nouvelle, c'est que vous n'avez plus à résoudre les équations algébriques qui vous tourmentaient à l'école. Si des problèmes surgissent sur votre chemin, c'est déjà décidé. Si quoi que ce soit, l'ordinateur comptera pour vous, c'est du fer. Vous devez vous familiariser avec quelques structures algébriques spécifiques.

Tout d'abord, il est important de bien comprendre le concept de structure algébrique . Lisez la définition, obtenez une bonne compréhension. Vérifiez la définition du groupe . Dans la charge, il y a les définitions de tous les sous-groupes, tels que les monoïdes, les semi-groupes, les groupoïdes. Lisez-les aussi, mais ne vous en souciez pas. Vous avez seulement besoin de groupes. Ensuite, étudiez la définition d'un anneau et d'un champ .

Attention! Évitez les endroits où les structures avec un support infini sont explicitement indiquées. Nous avons encore besoin de tels objets sans fin, mais vous les connaissez. A savoir: un anneau d'entiers $$$\ mathbb {Z}$, domaine des nombres rationnels $$$\ mathbb {Q}$et le domaine des nombres réels $$$\ mathbb {R}$. Jouez avec eux, rappelez-vous les règles de l'école comme «le montant ne change pas de changer les termes des termes» et justifiez par eux le fait que ces structures sont vraiment des anneaux / champs. Expliquez pourquoi les entiers ne forment pas un champ.

Étant donné que le but ultime de ce guide est précisément la cryptographie elliptique, vous devrez vous familiariser avec le concept d'un polynôme sur un champ . Afin de ne pas étudier les définitions générales, contactez un spécialiste afin qu'il ne vous dise que ce qui est pertinent au but de votre voyage.

Si vous aimez la géométrie plus que l'algèbre, vous pouvez aller regarder les courbes elliptiques au-dessus du champ $$$\ mathbb {R}$. Mais gardez à l'esprit que, malgré leur nom, ces objets visuels sont complètement éloignés de votre chemin.

Par intérêt, vous pouvez également méditer sur les définitions d'autres structures algébriques: l'algèbre (oui, l'algèbre est une telle structure algébrique; ne vous inquiétez pas, ce n'est pas de la récursivité, mais juste de l'homonymie), un espace vectoriel (linéaire) ...

Revenez à l'itinéraire. Vous attendez le dernier champ . Lisez un article à leur sujet. En fait, tout n'est pas nécessaire. Il s'agit d'un autre cas où, pour économiser les efforts, il vaut mieux demander immédiatement l'avis d'un spécialiste. Réaliser la classification des champs finis, c'est simple. Soit dit en passant, il sera intéressant de savoir pourquoi les champs finis sont également appelés champs de Galois. Rappelez-vous ce que vous avez fait en 20 ans et ayez honte.

Si vous aimez la pêche à la traîne et que vous appréciez vos capacités, essayez de reconnaître les bourbacistes et les anti-bourbacistes lors du forum thématique et de les mettre ensemble.

Théorie de l'information

Si vous êtes né après 1970, vous avez probablement été informé au lycée des bits et des octets. Les octets en science fondamentale ne sont pas particulièrement nécessaires, mais le concept d'un bit doit être clairement connu. Jetez un œil au manuel si nécessaire.

Comptez ou découvrez dans le manuel le nombre total de séquences de bits d'une longueur donnée. Jouez avec l'alphabet en encodant les lettres dans une séquence de bits. Réfléchissez ou lisez dans le manuel comment coder des entiers. Considérez ce qui est utile en théorie de l'information est le logarithme de la base deux.

Théorie des probabilités

Quiconque a une faiblesse dans les méthodes arithmétiques pour obtenir des nombres aléatoires est un péché hors de tout doute.
John von Neumann

L'incompréhension de la théorie des probabilités et son application à des questions pratiques est la source la plus importante d'erreur humaine. C'est un sujet très important, essayez de consacrer un peu de temps à vous familiariser avec ses bases. Pas nécessairement en ce moment, car pour l'objectif ultime de notre itinéraire, une seule de ses sous-sections appliquées suffit - la génération de nombres aléatoires.

Maintenant, il vous suffit de réaliser que la question de la génération de nombres aléatoires est très compliquée, des instituts entiers y font face depuis des décennies. Même déterminer quelle est la chance est très compliqué. Vous ne pouvez pas simplement prendre et prendre un nombre aléatoire. Malheureusement, il existe un piège linguistique qui rend difficile la compréhension du sujet. Le mot aléatoire, ainsi que son équivalent russe, «aléatoire», bien que dans une moindre mesure, signifie essentiellement «horrible», tandis que pour de nombreuses applications, en particulier pour la cryptographie, vous devez choisir loin d'être aléatoire.

S'il vous semble que vous comprenez bien la théorie des probabilités, consultez un spécialiste. Si le temps le permet, allez voir l'interprétation multi-mondes (Everett) de la mécanique quantique. Ne vous laissez pas emporter, vous attendez chez vous.

Théorie de la calculabilité

Est-il possible que ce compilateur prévienne toujours que le programme peut aller en cycles?

Vous n'aurez pas besoin de cette section pour le moment. Il est simplement utile de réaliser que, pour aucune fonction définie mathématiquement, il n'y a un algorithme qui le calcule. Si vous sentez la force en vous-même, faites une excursion à travers l'histoire du problème, essayez de comprendre les définitions de base et les résultats. Ne surchargez pas, cette rubrique est facultative.

Juste pour réduire votre stress de la réalisation de votre propre ignorance, je vous informerai que la question posée dans l'épigraphe m'a été posée par un professeur respecté de physique et de mathématiques, dont la sphère d'intérêt est éloignée de l'informatique. Si vous comprenez la situation anecdotique, votre excursion a été utile. Encouragez-vous.

Théorie de la complexité

Malheureusement, la science classique a évolué de sorte que la théorie de la complexité, à proprement parler, est basée sur la théorie des limites de l'analyse mathématique. C'est parce que les mathématiciens égoïstes n'ont pas pris soin de vous. Ils ont abordé la complexité, se tenant déjà sur les épaules des géants, et ont utilisé à la perfection les outils qu'ils possédaient eux-mêmes. Pour nos objectifs modestes, il a été possible de construire notre propre petite théorie de la complexité, que même les ultrafinitifs aimeraient. Mais, par exemple, je n'ai ni la force ni la motivation pour finir de construire une belle partie du paysage. Par conséquent, vous devez toujours vous tourner vers ce qu'on appelle le mot matan.

Analyse mathématique

Je ne suis pas un botan, j'adore Matan.

Lisez la définition de la limite de séquence (vous n'avez pas besoin d'une limite de fonction). Remplacez toutes les expressions comme «tel ou tel espace» par «un ensemble de nombres réels», les mathématiciens aiment généraliser, mais vous n'en avez pas besoin. Assurez-vous que vous pouvez analyser les expressions qui ont un mot $$$\ lim$. Très probablement, vous aurez des difficultés, c'est normal. Croyez-moi, le concept de limite est très intuitif, il vous suffit de stimuler la partie correspondante de votre intuition. Demandez à un spécialiste de commenter le texte de la définition. Dessinez des graphiques, jouez avec des séquences simples. Si le temps le permet, partez en excursion pour voir la deuxième merveilleuse limite.

Même si vous ne comprenez pas complètement la limite, vous pouvez immédiatement passer à la notation O. Vous avez seulement besoin de «O» gros , mais la charge va «O» petit et toutes sortes de thêta et oméga. Ne surchargez pas, pour commencer, il vous suffit de comprendre à peu près ce qu'ils sont $$$O (1), O (N), O (\ log N)$. Découvrez, mais essayez plutôt de deviner par vous-même pourquoi $$$O (\ log N)$juste un logarithme, pas un logarithme pour une raison quelconque. Ensuite, reposez-vous un peu et tenez entre vos mains $$$O (N ^ 2)$et $$$O (2 ^ N)$. Regardez $$$O (N ^ k)$(rappelez-vous du contexte: ici N est une variable, k est un paramètre). Réfléchissez à la raison pour laquelle ils parlent de croissance polynomiale quand $$$N ^ k$- juste un monôme, c'est-à-dire un cas particulier d'un polynôme, mais ils ne mettent pas beaucoup de polynômes à part entière sous "O". (Même si vous ne parlez pas latin, vous avez probablement déjà deviné qu'un polynôme est le même qu'un polynôme, et un monôme est un monôme.) Indice: la raison est très similaire à celle qui "est simplement un logarithme" et non "quel logarithme au sol. " Contactez un spécialiste pour clarifier ces problèmes. Apprenez à comparer ces «O» les uns avec les autres.

Remarque: la notation o est un exemple rare lorsque la notation mathématique n'est pas cohérente. Dans le dossier $$$f (N) = O (N)$le signe égal est utilisé, alors qu'il implique autre chose, à savoir: «fonction $$$f (N)$appartient à la classe $$$O (N)$". Autrement dit, un signe asymétrique doit être utilisé $$$\ in$mais c'est la tradition. Eh bien, maintenant vous voyez que les mathématiciens ne sont pas sans péché. Il deviendra peut-être un peu plus facile pour vous de réaliser ce fait.

Théorie de la complexité informatique - suite

Logarithme - une fonction, en principe, limitée.

Après une petite insertion du matan, vous pouvez facilement maîtriser l'échelle de mesure de la complexité asymptotique. La complexité des algorithmes est généralement mesurée en fonction de leur temps d'exécution: parfois, ils parlent du temps habituel mesuré à l'aide de l'horloge (enfin, quand cet onglet de navigateur se chargera-t-il?), Parfois du nombre de cycles de processeur ou d'étapes d'un ordinateur abstrait. Ceux qui sont plus enclins à la physique préfèrent mesurer la complexité des unités d'énergie, par exemple, la quantité de carburant diesel consommée pour une machine de Turing. Toutes ces méthodes de mesure sont à peu près équivalentes. Il est important de savoir comment le temps passé (ou l'énergie) dépend de la taille des données d'entrée de l'algorithme. C'est N sous «O» grand dans l'estimation asymptotique et c'est la taille des données d'entrée, exprimée en bits. Les spécialistes ont convenu de considérer que si la complexité de l'algorithme ne croît pas plus vite qu'un polynôme, alors il est «facile», sinon «difficile». Il convient ici de revenir un peu en arrière et de se rappeler comment comparer les fonctions entre elles en termes de fraîcheur, c'est-à-dire en termes de vitesse de croissance asymptotique.

Si vous remarquez que la déclaration faite dans l'épigraphe est fausse, encouragez-vous. Il a été délivré par un professeur d'université en méthodes informatiques. Connaissant ce contexte, pensez précisément à ce qu'il avait en tête.

Fonctions à sens unique. Lisez la définition. . , , , .

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Remerciements

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