Résoudre les problèmes d'un article sur le hasard parfait

Y a-t-il une chance objective et idéale, ou est-ce le résultat de notre ignorance?

En septembre, plusieurs problèmes ont été publiés , à l'aide desquels nous avons étudié les processus aléatoires dans les objets du quotidien - serrures pour vélos ou puzzles. Voyons maintenant les solutions à ces problèmes.

Devinette 1: combinaisons aléatoires

La tâche était la suivante:

Considérez un simple verrou à code pour un vélo, similaire à l'image ci-dessous. Il a trois disques rotatifs, chacun affichant 10 chiffres dans l'ordre. Lorsque ces trois disques sont tournés de manière à donner la combinaison souhaitée - 924 - la serrure s'ouvre. Lorsque vous souhaitez le fermer, vous devez mélanger les nombres de sorte qu'ils soient loin de la combinaison donnée. Mais que signifie «loin» dans ce contexte? Si vous déplacez le disque autant que possible de 5 positions, vous définissez le nombre 479. Cependant, il sera facile pour un attaquant de tomber accidentellement sur cette position s'il tourne simplement les cinq disques en même temps et voit si le verrou s'ouvre. Imaginez qu'un cracker ait le temps de tester cinq combinaisons différentes. Dans chaque cas, notre voleur potentiel essaie notre château après l'une des actions suivantes (et en cas d'échec, remet le château dans sa configuration d'origine):

1. Faites pivoter un lecteur à un nombre aléatoire de positions.
2. Faites tourner deux disques simultanément à un nombre aléatoire de positions.
3. Faites pivoter les trois disques en même temps d'un nombre aléatoire de positions.
4. Faites pivoter deux disques selon des angles différents.
5. Faites pivoter les trois disques différemment.

Notre énigme est la suivante: si le code de déverrouillage du verrou est 924, quel ensemble de nombres mixtes sera le plus stable pour les tentatives aléatoires d'ouverture du verrou, et combien de tels ensembles existent-ils? Quelle est la probabilité de détecter du code?

La première formulation du problème s'est avérée quelque peu ambiguë, car au début je n'ai pas indiqué qu'après chaque pas le voleur remet la serrure à sa position d'origine. L'un des lecteurs a analysé ce problème, à condition que le "nombre aléatoire" dans les trois premiers cas ne soit pas égal à zéro et que les angles de rotation "différents" dans les options 4 et 5 ne soient pas nécessairement égaux. Cependant, un autre lecteur a souligné que si vous acceptez la dernière hypothèse et tournez les disques de verrouillage de sorte que deux disques soient tournés d'un angle et le troisième de l'autre - comme, par exemple, dans la combinaison 036 - le voleur ne pourra pas ouvrir le verrou, car aucun d'options ne fonctionne pas sur une telle combinaison.

La solution au problème tient compte du fait qu'aux étapes 4 et 5, les disques peuvent être tournés à différents angles. Nous supposons également que dans les trois premières variantes, le voleur peut tourner les disques sélectionnés d'un tour complet, c'est-à-dire par 10 (ou 0) chiffres, et les remettre à leur état d'origine. Après avoir spécifié cela, nous calculons la probabilité de chacune des actions du voleur. Notez que toute action prise par un voleur pour obtenir une certaine combinaison est potentiellement réversible - pour cela, vous devez effectuer une rotation inverse qui complète la première et a la même probabilité. Par conséquent, la probabilité qu'une rotation aléatoire du disque gauche nous conduise de la combinaison 924 à 624 est de 1 chance sur 10 - tout comme la probabilité qu'une rotation aléatoire nous ramène de 624 à 924. Et cela est vrai que nous tournions nous avons accidentellement un lecteur, deux ou trois. Par conséquent, afin de calculer le nombre de combinaisons qu'un voleur devra trier pour sélectionner celle désirée, s'il effectue une certaine action, nous pouvons commencer avec notre combinaison donnée 924, puis calculer le nombre de combinaisons à trois chiffres que nous pouvons en tirer.

1. À partir du numéro 924 et en tournant un cadran, vous pouvez obtenir des combinaisons à trois chiffres de la forme x24, 9x4 et 92x, où x est l'un des 10 chiffres. Il y a 10 combinaisons de ce type chacune. Cependant, il ne serait pas nécessaire d'inclure la même combinaison 924 dans les deuxième et troisième variantes, donc en réalité nous obtenons 10 + 9 + 9 = 28 combinaisons différentes. Et si nous avons accidentellement tourné les numéros du château pour le fermer, nous avons obtenu l'une de ces 28 combinaisons, puis le voleur aura 1/28 chance d'ouvrir le château.
2. Tourner deux disques ensemble nous donne des combinaisons possibles de la forme 9 ##, # 2 # et ## 4, où les signes # indiquent la différence entre les chiffres de la combinaison résultante et les chiffres initiaux (et cette différence sera la même pour les deux disques). Il y a aussi 10 pièces chacune, et en excluant 924 des deuxième et troisième formes, nous obtenons également 28 combinaisons et une 1/28 chance de succès.
3. La rotation des trois disques vous permet d'obtenir 10 combinaisons - 035,146, 257, 368, 479, 580, 691, 702, 813 et 924 - et 1/10 de chance de succès.
4. Une rotation aléatoire de deux disques, pas nécessairement aux mêmes angles, donne accès à toutes les combinaisons commençant par 9 (de 900 et plus), toutes les combinaisons avec 2 au milieu et toutes les combinaisons se terminant par 4. Chacun des types peut être 100 pièces. Cependant, dans les combinaisons 9xx, 10 combinaisons ont déjà été comptées, se terminant par 4 et 10 variantes de la combinaison x2x; en outre, neuf autres combinaisons se terminant par 4 sont déjà comptées dans des combinaisons x2x. Par conséquent, le nombre total de combinaisons sera de 300 - 10 - 19 = 271 pour cette étape, et il aura 1/271 chances de succès.
5. La rotation des trois disques selon un angle aléatoire nous donne toutes les combinaisons à trois chiffres et une chance de réussite de 1/1000.

Nous avons deux ensembles de numéros «sûrs», les plus résistants aux tentatives de piratage. Ils ne peuvent pas être obtenus par les quatre premières méthodes, mais vous ne pouvez trébucher que dans la cinquième méthode, où la probabilité de succès est de 1/1000. La première combinaison persistante peut être obtenue en tournant chacun des trois disques à un angle différent de sorte qu'aucun d'entre eux ne reste dans sa position d'origine. De telles positions seront 9 × 8 × 7 = 504. Un autre ensemble de combinaisons stables peut être obtenu en tournant deux disques d'un angle non nul et le troisième d'un autre angle non nul. Il s'agit de 3 x 9 x 8 = 216 combinaisons, et un total de 720 est obtenu. Par conséquent, 720 combinaisons sont plus sûres que les autres.

Devinette 2: du hasard à l'ordre des devinettes

La tâche était la suivante:

Supposons que nous résolvions un puzzle composé de pièces hexagonales - comme des nids d'abeilles. L'image du puzzle est une vigne sinueuse. Étant donné que le motif se répète et se ressemble, il ne peut pas être garanti que deux pièces adjacentes s'emboîtent physiquement, même si elles s'insèrent dans l'image. Supposons que trois autres puissent aller à chaque bord d'une pièce donnée. Par conséquent, lorsque deux pièces s'emboîtent dans l'image, la probabilité qu'elles s'adaptent physiquement sera de 33,33%. Cependant, si vous pouvez trouver une autre pièce qui correspond à ces deux, c'est-à-dire qui a un bord commun avec chacun de ces deux, alors votre confiance dans le succès augmentera. Essayons d'évaluer combien il grandit.

1. Vous avez trouvé trois pièces qui semblent s'emboîter à première vue, sans le déplacement évident du motif de liane à leurs bords adjacents. Quelle est la mesure de votre confiance dans la bonne sélection de pièces?
2. Vous avez trouvé une pièce hexagonale centrale, et six l'entourant, et dans l'image, ils semblent coïncider. Quelle est la mesure de votre confiance dans la bonne sélection de pièces?

Plus les groupes de pièces sont grands, plus votre confiance dans le bon assemblage est forte. Il est raisonnable de supposer que trois groupes isolés, dans lesquels il y a un total de sept pièces connectées, ne sont pas comparables au seul hexagone entouré décrit ci-dessus.

La troisième partie de cette énigme a des corrections et est une tentative de quantifier la différence ci-dessus. Est-il possible de trouver une mesure du degré d'achèvement d'un puzzle partiellement résolu? Cette méthode devrait vous permettre d'attribuer un numéro de 0 à 100 à n'importe quel puzzle partiellement assemblé de 10x10 hexagones. Ce nombre devrait indiquer le degré d'achèvement, en corrélation approximative avec la proportion de l'état actuel du puzzle par rapport à la version finale.

Le lecteur a répondu aux deux premières questions comme suit:

1. Pour trois pièces disposées en triangle, la réponse sera p = (2/3) ³ , car il y a trois faces qui peuvent être supprimées, et la probabilité de supprimer chacune d'elles est 2/3. Cela nous donne 1 - p = 0,7037, c'est-à-dire une confiance à 70,37%.
2. Six pièces peuvent ne pas avoir 6 + 6 = 12 faces, ce qui nous donne 1 - p = 1 - (2/3) ¹² = 0,9923 ou une confiance de 99,23%.

En utilisant de telles données de confiance, nous pouvons choisir une métrique simple basée sur la somme des valeurs de confiance pour les parties finies du puzzle afin qu'un puzzle entièrement complété donne 100% de confiance. C'est fait comme ça. Prenez tous les groupes terminés de deux pièces connectées ou plus. Additionnez la quantité de confiance pour chacune des pièces individuelles. Autrement dit, pour un groupe de trois pièces avec un sommet commun, nous obtenons 3 × 0,7037 = 2,11%, et pour un hexagone complet, nous obtenons 7 × 0,9923 = 6,95%. Un puzzle partiellement terminé de trois groupes de trois pièces et un hexagone vous donnera 6,95 + 2,11 + 2,11 + 2,11, soit 13,3%. En revanche, si vous avez deux hexagones pleins, votre total sera de 6,95 + 6,95 = 13,9%, même si dans ce cas vous avez utilisé deux pièces de moins.

Le lecteur a développé cette idée et a proposé une mesure qui utilise des logarithmes et est associée au concept d'entropie - une mesure naturelle du désordre et de l'aléatoire. Sa mesure pour une grille 10 × 10 est n - 100 × (log m) / (log 100), où m est le nombre de dispositions alternatives et n est le nombre total de pièces placées sur le terrain.

Devinette 3: une coïncidence parfaite est-elle possible?

Aujourd'hui, l'opinion dominante est que la physique quantique est basée sur la nature intrinsèque, le hasard objectif et idéal. J'ai encouragé les lecteurs à partager leurs points de vue sur cette énigme philosophique en rejoignant soit l'équipe Einstein (E), soit l'équipe Bohr (B). L'équipe B accepte le caractère aléatoire objectif du monde quantique, et l'équipe E considère le caractère aléatoire physique comme une impossibilité logique, révélant notre ignorance des phénomènes déterministes occasionnels se produisant à des échelles de sous-planches. Les voix des lecteurs étaient divisées à peu près également [comme dans notre vote / env. trad.].

Un lecteur avec le surnom RRG a décrit ma motivation pour offrir une telle discussion:

En mécanique quantique, si nous considérons l' expérience standard à deux fentes , nous ne pouvons pas prédire exactement où une particule particulière apparaîtra à l'écran, mais nous pouvons prédire la probabilité qu'elle pénètre dans un endroit particulier. Et ces probabilités peuvent être extrêmement précises et fiables. Cette fiabilité et cette précision des probabilités sont un signe clair de la présence d'une sorte de processus caché.

Ce qui se passe est similaire à la thermodynamique. Nous pouvons mesurer très précisément la température dans une pièce, sans savoir exactement ce que fait chacune des molécules d'air. Comme les probabilités en physique quantique, la température se manifeste sur la base d'un niveau physique plus profond.

Voilà comment j'ai raisonné! Pourquoi une certaine particule passant par une double fente frappe-t-elle, disons, la partie supérieure gauche de l'écran, et non la partie inférieure droite? Une certaine chaîne causale (peut-être des fluctuations de masse-énergie au niveau de la gravité quantique) aurait dû conduire au choix d'un certain endroit dans un certain cas. Si c'est le cas, le hasard quantique n'est pas une partie idéale, objective et magique de l'Univers, mais une conséquence de notre ignorance des principes de la physique qui le sous-tendent - tout comme un hasard classique.

Comme l'a écrit le lecteur Mark Thomas, l'espace de probabilité défini par l'énergie de masse de Planck peut être énorme. Il peut être suffisamment grand pour atteindre des indicateurs proches de l'aléa parfait au sens de Kolmogorov (merci à un autre lecteur pour le lien avec les explications concernant la complexité et l'aléatoire de Kolmogorov). Mais dans ce cas, l'équation de Schrödinger sera une approximation, et elle ne peut pas être interprétée comme quelque chose d'intouchable, et ne peut pas être utilisée comme base pour «l'interprétation multi-monde» désormais populaire basée sur des considérations de simplicité mathématique. Cette dernière approche est préconisée par le physicien Sean Carroll .

Le lecteur Rob McChern a commenté ce passage: "Si vous connaissiez toutes les forces agissant sur une pièce retournée ou un dé, si vous aviez une puissance de calcul suffisante, vous pouviez prédire le résultat" comme suit:

Cette déclaration est incorrecte. Vous devez également connaître toutes les conditions initiales associées à cette expérience. Et c'est là que réside le problème. Dans toute situation difficile, le contenu informationnel des conditions initiales est beaucoup plus important que le contenu informationnel de toutes les forces ou lois de la nature. En conséquence, il est beaucoup plus difficile (et souvent même impossible en principe) d'obtenir toutes les informations nécessaires sur les conditions initiales que d'avoir une connaissance précise de toutes les lois.

Je conviens qu'une connaissance idéale des conditions initiales ne peut être obtenue avec une précision infinie. Mais je pense que la plupart des physiciens conviendront qu'il est possible d'acquérir des connaissances concernant le lancement d'une pièce dans une pièce avec une précision suffisante et de prédire le résultat dans la plupart des cas. Bien sûr, cela ne sera pas possible si un ouragan vole soudainement par la fenêtre et organise le chaos. Il est possible que les fluctuations susmentionnées de l'énergie de masse sur les échelles de Planck soient les ouragans qui font constamment des ravages, ce qui est la véritable cause du hasard quantique. Mais même dans ce cas, en principe, une chaîne causale doit exister. L'équipe E dira simplement que nous ne connaissons pas tous les détails.

Le lecteur Abhinav Deshpande a donné une description belle, équilibrée, complète et étayée par des preuves de la situation actuelle dans ce domaine, ainsi que des liens vers des articles très intéressants. Il déclare à juste titre: "Je ne pense pas que le fondateur de la théorie de la relativité soit bien disposé envers la non-localité (même si la non-localité ne permet pas la transmission d'informations plus rapidement que la lumière)". Mais nous devons nous rappeler que le théorème de Bell a été prouvé dix ans après la mort d'Einstein. Et face à des preuves expérimentales convaincantes des inégalités de Bell, l'équipe E n'avait d'autre choix que de modifier l'opinion initiale d'Einstein et d'accepter le fait de la non-localité et d'une «action effrayante à long terme». Cela signifie que l'existence de connexions superluminales ou superespaces entre les composants d'un objet quantique enchevêtré est possible, même si la transmission externe d'informations est limitée par la vitesse de la lumière selon la théorie de la relativité, et que la non-localité ne donne jamais de fuite visible.

D'une certaine manière, je suis tombé sur une image si brillante: imaginez un lac avec une surface opaque. Un énorme éléphant en bois à l'envers flotte dedans, presque la taille de tout le lac, et ses jambes dépassent vers l'extérieur aux quatre coins du lac comme des colonnes, et son corps est caché sous l'eau et n'est pas visible. Vous pouvez d'abord décider que les quatre colonnes sont des objets indépendants. Cependant, alors vous voyez que leurs mouvements sont parfaitement corrélés entre eux - ils sont confus. De la même manière, les particules enchevêtrées forment une entité unique qui peut s'étendre à tout l'Univers, et ses connexions internes peuvent être super-légères ou super-spatiales. Une idée intéressante est liée à cela, connue sous le nom ER = EPR - une hypothèse mystérieuse avancée par de brillants physiciens théoriciens, Juan Maldasena et Leonard Sasskind . L'idée est que les particules enchevêtrées (EPR) sont reliées par un trou de ver, le pont Einstein-Rosen (ER). Initialement, il a été proposé dans le cadre de l'étude des trous noirs, mais peut-être qu'il fonctionne pour toutes les particules enchevêtrées. Comme le montre la théorie de Bohm , le déterminisme et la mécanique quantique peuvent coexister et nier la localité avec les connexions supraluminiques internes sans avoir besoin de hasard objectif.