Théorie des probabilités. Formule Bayes

Qu'une expérience soit menée.

$$$w_1, ..., w_N$ - événements élémentaires (résultats élémentaires d'une expérience).
$$$\ Omega = \ {w_i \} _ {i = 1} ^ N$ - l' espace des événements élémentaires (l'ensemble de tous les résultats élémentaires possibles de l'expérience).

Définition 1:

Définir le système $$$\ Sigma$ est appelée algèbre sigma si les propriétés suivantes sont satisfaites:

1. $$$\ Omega \ in \ Sigma;$
2. $$$A \ in \ Sigma \ Rightarrow \ overline {A} \ in \ Sigma;$
3. $$$A_1, A_2, ... \ in \ Sigma \ Rightarrow \ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma.$

Des propriétés 1 et 2 de la définition 1, il s'ensuit que $$$\ emptyset \ in \ Sigma$ . Des propriétés 2 et 3 de la définition 1, il s'ensuit que $$$\ bigcap \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma \ space ($ parce que $$$A_i \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ overline {A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {sv.2} \\ \ Rightarrow_ {sv.2} \ overline {\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i}} \ in \ Sigma \ Rightarrow \ bigcap \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma).$

Définition 2:

• $$$A$ - événement $$$\ forall A \ in \ Sigma;$
• $$$P \ colon \ Sigma \ to \ mathbb R$ - mesure probabiliste (probabilité) si:
  
  1. $$$P (\ Sigma) = 1;$
  2. $$$\ forall A \ in \ Sigma \ space \ space P (A) \ geqslant 0;$
  3. $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty, \ space A_i \ in \ Sigma, \ space A_i \ cap A_j = \ emptyset$ à $$$i \ not = j \ Rightarrow P (\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i) = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ \ infty P (A_i).$

Propriétés de probabilité:

1. $$$P (A) \ leqslant 1;$
2. $$$P (A) = 1-P (\ overline {A});$
3. $$$P (\ emptyset) = 0;$
4. $$$A \ subseteq B \ Rightarrow P (A) \ leqslant P (B);$
5. $$$P (A \ cup B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B);$
6. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ N \\ \ space \ space P (\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ N A_i) = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ NP ( A_i) - \ sum \ limits_ {i <j} P (A_i \ cap A_j) + \ sum \ limits_ {i <j <k} P (A_i \ cap A_j \ cap A_k) -... + \\ + ( -1) ^ {n-1} P (A_1 \ cap A_2 \ cap ... \ cap A_n);$
7. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty \ colon (A_ {i + 1} \ subseteq A_i, \ space \ bigcap \ limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i = \ emptyset) \ espace \ espace \ espace \ lim \ limites_ {i \ à \ infty} P (A_i) = 0.$

Définition 3:

$$$(\ Omega, \ Sigma, P)$ - espace de probabilité .

Définition 4:

$$$\ forall A, B \ in \ Sigma: P (B)> 0$
$$$\ qquad P (A | B) = \ frac {P (AB)} {P (B)}$ - probabilité conditionnelle d'un événement $$$A$ sous réserve de l'événement $$$B$ .

Définition 5:

Soit pour $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ où $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} A_i \ in \ Sigma$ est exécuté $$$\ forall i, j \ in \ overline {1, N} \ space A_i \ cap A_j = \ emptyset$ et $$$\ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ N A_i = \ Omega$ . Alors $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ appelé une partition de l' espace des événements élémentaires.

Théorème 1 (formule de probabilité totale):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - partition de l'espace des événements élémentaires, $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} \ espace P (A_i)> 0$ .
Alors $$$\ forall B \ in \ Sigma \ quad P (B) = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)$ .

Théorème 2 (formule de Bayes):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - partition de l'espace des événements élémentaires, $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} \ espace P (A_i)> 0$ .

Alors $$$\ forall B \ in \ Sigma \ colon P (B)> 0 \ quad P (A_i | B) = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {\ sum \ limits_ {i = 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)} = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {P (B)}$ .

En utilisant la formule de Bayes, nous pouvons surestimer les probabilités a priori ( $$$P (A_i)$ ) sur la base d'observations ( $$$P (B | A_i)$ ), et acquérir une toute nouvelle compréhension de la réalité.

Un exemple :

Supposons qu'un test soit appliqué à une personne individuellement et détermine: est-elle infectée par le virus "X" ou non? Nous supposons que le test a réussi s'il a rendu le verdict correct pour une personne en particulier. Il est connu que ce test a une probabilité de succès de 0,95 et 0,05 est la probabilité à la fois des erreurs du premier type (faux positif, c'est-à-dire que le test a passé un verdict positif et que la personne est en bonne santé) et des erreurs du deuxième type (faux négatif, c'est-à-dire le test a passé un verdict négatif et la personne est malade). Pour plus de clarté, un verdict positif = test "dit" qu'une personne est infectée par un virus. On sait également que 1% de la population est infectée par ce virus. Laissez une personne obtenir un verdict positif du test. Quelle est la probabilité qu'il soit vraiment malade?

Dénote: $$$t$ - résultat du test, $$$d$ - la présence du virus. Ensuite selon la formule de probabilité totale:

$$

$$P (t = 1) = P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0).$$

Par le théorème de Bayes:

$$

$$P (d = 1 | t = 1) = \ frac {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1)} {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0)} = \\ = \ frac {0.95 \ times0.01} {0.95 \ times0.01 + 0.05 \ times0.99} = 0.16$$

Il s'avère que la probabilité d'être infecté par le virus «X» sous condition d'un verdict de test positif est de 0,16. Pourquoi un tel résultat? Initialement, une personne avec une probabilité de 0,01 est infectée par le virus «X» et même avec une probabilité de 0,05, le test échouera. Autrement dit, dans le cas où seulement 1% de la population est infectée par ce virus, la probabilité d'une erreur de test de 0,05 a un impact significatif sur la probabilité qu'une personne soit vraiment malade, à condition que le test donne un résultat positif.

Liste de la littérature utilisée:

• «Fondements de la théorie des probabilités. Manuel ", M.E. Joukovski, I.V. Rodionov, Institut de physique et de technologie de Moscou, MOSCOU, 2015;
• «Apprentissage profond. Immersion dans le monde des réseaux de neurones », S. Nikulenko, A. Kadurin, E. Arkhangelskaya, PETER, 2018.