Un nouveau travail sur le problème de «l'alignement égal» explique quand il est possible de couper une figure et d'en assembler une autre
Si vous avez deux morceaux de papier plats et des ciseaux, pouvez-vous couper un morceau et réorganiser les morceaux pour obtenir l'autre? Si vous le pouvez, ces deux chiffres sont «congruents en ciseaux» [
égaux ].
Cependant, les mathématiciens souhaitent savoir s'il est possible de détecter une telle relation en chiffres sans utiliser de ciseaux? En d'autres termes, ces chiffres ont-ils de telles caractéristiques qui pourraient être mesurées à l'avance et déterminer si elles sont congruentes?
Pour les figures à deux dimensions, la réponse est simple. Il vous suffit de mesurer leur surface; s'ils concordent, alors les chiffres sont congruents en ciseaux.
Mais pour les figurines de dimensions supérieures - par exemple, pour une boule en trois dimensions ou un beignet en onze dimensions qui est impossible à imaginer - la question de la découpe et du remontage sous une forme différente devient beaucoup plus compliquée. Et malgré des siècles d'efforts, les mathématiciens n'ont pas pu déterminer les caractéristiques qui confirment la composition égale pour la plupart des figures de dimension supérieure.
Cependant, cet automne, deux mathématiciens ont réalisé la percée la plus importante dans la résolution de ce problème en plusieurs décennies. Dans un article présenté à l'Université de Chicago le 6 octobre,
Jonathan Campbell de l'Université Duke et
Inna Zakharevich de l'Université Cornell ont fait un pas important vers la preuve de la congruence des ciseaux pour les formes de toute dimension.
Mais pas seulement ça. Comme la plupart des problèmes mathématiques importants, l'équanimité est un trou de lapin: une déclaration humble qui attire les mathématiciens dans le trou profond des mathématiques complexes. Pour tenter de comprendre la congruence des ciseaux, Campbell et Zakharevich ont peut-être montré une nouvelle façon de parler d'un domaine complètement différent de cette science: les équations algébriques.
Première coupe
Un alignement égal peut sembler une tâche simple. Il y a plus de 2000 ans, Euclid s'est rendu compte que deux figures bidimensionnelles de la même zone peuvent être réarrangées l'une de l'autre. Il est raisonnable de supposer que des figures de dimensions supérieures d'un même volume peuvent être refaites de la même manière.
Mais en 1900,
David Hilbert a suggéré que cette tâche n'est en fait pas si simple.
Cette année-là, s'exprimant au
Congrès international de mathématiques à Paris, il a identifié
23 problèmes ouverts qui, à son avis, guideront la pensée mathématique au cours du siècle à venir. Le troisième d'entre eux était lié à la congruence des ciseaux [composition égale de polyèdres égaux]. Hilbert a suggéré que toutes les figures en trois dimensions du même volume ne sont pas congruentes - et a mis au défi les mathématiciens en proposant de trouver une paire de figures le prouvant.
Un an après le discours, l’étudiant de Hilbert,
Max Dan , a fait exactement cela. Un tel terme paraissait suspect aux mathématiciens. "Certaines personnes pensent que Hilbert a inclus cette tâche dans la liste uniquement parce que son élève l'a déjà résolue", a déclaré Zakharevich.
Qu'il s'agisse d'une conspiration ou non, le résultat de Dan a transformé l'idée des mathématiciens d'une représentation égale. Il a prouvé qu'un tétraèdre d'un seul volume n'est pas égal à un cube du même volume. Peu importe comment vous coupez le premier, vous ne pouvez jamais assembler les pièces du second.
En plus de démontrer que l'égalité des volumes n'est pas suffisante pour déterminer une composition égale, Den a proposé une nouvelle façon de mesurer les formes. Il a prouvé que toutes les figures tridimensionnelles, égales les unes aux autres, doivent avoir le même volume et coïncider également dans une nouvelle mesure.
Dan s'est concentré sur les coins intérieurs entre les deux faces de la figure tridimensionnelle. Par exemple, à l'intérieur d'un cube, toutes les faces se rencontrent à angle droit. Mais sous des formes plus complexes, les angles sont différents et ont une importance différente. Les angles entre les bords les plus longs influencent davantage la forme de la figure que les angles entre les bords les plus courts, donc Den a attribué aux coins un poids basé sur les longueurs des bords qui les forment. Il a combiné ces informations dans une formule complexe qui a donné un nombre unique - «l'invariant Den» - pour un chiffre donné.
Les mathématiciens veulent savoir quand une figure peut être coupée et en assembler une autre.
Les figures bidimensionnelles sont également espacées si elles ont la même zone.
Les figures tridimensionnelles sont également composées si elles ont le même volume et l'invariant Dehn.
Le cube et le tétraèdre ne sont pas également composés - ils ont le même volume, mais des invariants Den différents.
Les formes peuvent être coupées en morceaux et les graphiques d'équations peuvent être coupés en sous-graphiques. Les mathématiciens recherchent un analogue de l'invariant de Dehn, qui montre que deux équations sont constituées de pièces identiques.Deng a prouvé que toute figure tridimensionnelle équidistante doit avoir le même volume et l'invariant Deng. Mais il ne pouvait pas répondre à une question plus complexe: si les figures tridimensionnelles ont le même volume et l'invariant Dan, cela signifie-t-il qu'elles sont nécessairement égales? Jean-Pierre Sidler l'a finalement prouvé en 1965. Trois ans plus tard, Björg Jessen a montré que ces deux mêmes caractéristiques déterminent l'équidimensionnalité en quatre dimensions.
Les résultats de Sidler et Jessen sont de sérieux pas en avant, mais les mathématiciens sont un peuple avide: y a-t-il suffisamment de volume et l'invariant de Dan pour déterminer la composition égale des figures dans toutes les dimensions? Ces mesures sont-elles suffisantes dans des espaces géométriques autres qu'euclidiens - en géométrie sphérique (imaginez la latitude et la longitude à la surface de la Terre) ou dans l'univers en forme de selle de la géométrie hyperbolique?
À la fin du 20e siècle, le mathématicien Alexander Borisovich Goncharov a proposé une approche qui, à son avis, pourrait résoudre le problème une fois pour toutes - et en même temps relier l'égalité avec un domaine mathématique complètement différent.
Connexions étranges
Les mathématiques regorgent de connexions inattendues. Zakharevich dit que faire des mathématiques, c'est comme tomber sur quelque chose d'étrange dans la nature et essayer de comprendre pourquoi c'est.
"Si vous rencontrez un anneau de champignons dans une forêt et ne savez pas comment les champignons poussent, vous penserez à la façon dont ils savent comment pousser autour? Dit-elle. "La raison en est que les champignons ont un mycélium qui pousse sous terre."
En 1996, Goncharov a formulé un ensemble d'hypothèses suggérant l'existence d'une structure mathématique, également cachée sous la surface. Si cette structure existe, elle pourra expliquer pourquoi certains phénomènes mathématiques - y compris une composition égale - fonctionnent de cette façon.
Une hypothèse stipule que le volume de la
figure et son invariant Dan est suffisant pour déterminer la composition égale de figures de n'importe quelle dimension et dans n'importe quel espace."Goncharov a déclaré que les mêmes principes qui s'appliquent en trois dimensions s'appliquent à tous", a déclaré Charles Weibel de l'Université Rutgers.
Mais Goncharov, maintenant employé à Yale, a également prédit que cette structure cachée expliquerait bien plus que cela. Il a dit que l'alignement égal est un concept plus universel, et qu'il s'applique non seulement à la découpe de formes géométriques, mais aussi à la découpe de formes générées par des solutions d'équations algébriques - par exemple, le graphique de l'équation x
2 + y
2 + z
2 = 1. Et les informations nécessaires pour classer par composition égale reflètent les informations nécessaires pour classer les équations algébriques - de telle sorte que les équations de la même classe sont constituées de pièces identiques.
La connexion était choquante, comme si un principe adapté à la systématisation des animaux vous permettait en quelque sorte de systématiser également les éléments chimiques. De nombreux mathématiciens trouvent cette idée aussi étrange que cela puisse paraître à première vue.
«C'est complètement mystérieux. À première vue, ces choses ne devraient pas du tout être liées », a déclaré Campbell.
Trancher des équations
Pour comprendre comment les formes géométriques et les équations algébriques peuvent être similaires, il sera d'abord utile de comprendre comment les solutions d'équations peuvent être divisées en parties. Pour ce faire, revenons à notre exemple précédent et dessinons un graphique de l'équation x
2 + y
2 + z
2 = 1.
Ce sera une sphère. Cependant, cette surface n'est pas seulement un ensemble de solutions à cette équation: c'est aussi un ensemble de nombreux graphiques plus petits, ou sous-graphiques, de solutions à d'autres équations. Par exemple, à la surface d'une sphère, vous pouvez dessiner un cercle à la manière de l'équateur terrestre. Ceci est un sous-graphique représentant les solutions de l'équation algébrique x
2 + y
2 = 1. Ou, vous pouvez isoler un seul point sur le pôle nord de la sphère correspondant à l'équation z = 1. En étudiant les différents sous-graphiques qui peuvent être dessinés dans un graphique plus grand - quelque chose comme ses parties constituantes - vous pouvez découvrir certaines propriétés d'un graphique plus grand.
Depuis plus de 50 ans, les mathématiciens ont développé la théorie des sous-graphes d'équations algébriques. Tout comme la matière ordinaire est constituée d'atomes, de même, selon les mathématiciens, les équations algébriques sont constituées de parties fondamentales appelées «motifs». Le terme vient du mot français motif, désignant les éléments de base de la mélodie.
Inna Zakharevich de l'Université Cornell«Les motifs sont des éléments fondamentaux. Ils parleront de tout ce que les équations algébriques consistent, comme une mélodie, se compose de diverses composantes », a déclaré Zakharevich. Une sphère, par exemple, est constituée de cercles, de points et de plans. Chacun d'eux se compose de composants (qui se manifestent à la suite d'actions mathématiques sur eux), et ainsi de suite, de plus en plus bas, jusqu'à ce que nous arrivions aux motifs, le prétendu fondement des équations algébriques.
Les mathématiciens doivent classer les équations algébriques en fonction de leurs motivations afin d'obtenir une image complète et systématique des équations appartenant aux objets mathématiques les plus importants. Il s'agit d'une tâche difficile et inachevée. Mais en 1996, Goncharov a suggéré que le tri des figures par composition égale et le tri des équations algébriques par motif sont les deux faces d'une tâche - c'est-à-dire que la classification de l'une vous donnera un principe selon lequel l'autre peut être classé.
Il a suggéré que cette connexion est basée sur l'analogue de l'invariant Dehn. Seulement au lieu d'apparaître à partir des calculs géométriques les plus simples, cet analogue devrait résulter d'un calcul similaire des motifs des équations algébriques («
coproduit moteur»).
"L'idée est que le problème invariant de Dan est parallèle à un autre problème lié aux motifs", a déclaré Weibel.
Mais pour découvrir une telle connexion, les mathématiciens doivent d'abord prouver que l'invariant de Dehn trie les chiffres par groupes égaux. Den lui-même a montré que toutes les figures tridimensionnelles équidistantes ont des volumes égaux et l'invariant Den. Cependant, Den, et tout le monde après lui, n'a pas réfuté la possibilité qu'il existe certaines figures de dimensions supérieures du même volume et avec le même invariant Dan, qui ne sont pas également égales. Dans leur nouveau travail, Campbell et Zakharevich ont tenté de fermer définitivement cette opportunité.
Deux pour le prix d'un
En juin 2018, Campbell et Zakharevich ont travaillé ensemble pendant trois semaines à l'Advanced Research Institute de Princeton, New Jersey. Ils étaient depuis longtemps intéressés par l’égalité de traitement, mais Zakharevich pensait que les hypothèses de Goncharov étaient trop complexes pour être traitées en si peu de temps. Mais Campbell voulait toujours essayer, et Zakharevich n'a pas eu à convaincre pendant longtemps.
"Jonathan a déclaré:" Nous avons trois semaines, essayons d'aborder cela et de voir ce qui s'est passé, à la fin de la première ", a déclaré Zakharevich. Deux semaines plus tard, ils ont développé de nombreuses idées clés qui sous-tendent leur nouveau travail.
Dans le travail, ils mènent une expérience de pensée contre-intuitive. Pour le comprendre, imaginez que vous disposez d'un hôtel avec de nombreuses chambres. Vous devez disposer toutes les figures égales les unes avec les autres dans la même pièce. Nous ne savons pas comment déterminer que les chiffres sont également espacés - c'est la racine du problème. Cependant, pour notre expérience de pensée, imaginons que cela soit possible. Ou, comme le dit Zakharevich, "nous prétendrons qu'il y a une certaine personne omnisciente qui sait si deux chiffres sont égaux ou non".
Après avoir trié les figures par pièces, nous vérifions que toutes les figures d'une même pièce ont le même volume et le même invariant Den. Il est également important de vérifier que toutes les figures du même volume et avec le même invariant Den étaient dans la bonne pièce - que les figures tombées du collectif ne traînaient pas dans le bar de l'hôtel. Le but d'une expérience de pensée est de prouver l'existence d'une correspondance univoque idéale entre des groupes de figures égales et des groupes de figures ayant le même volume et le même invariant Dan. L'existence d'une telle correspondance prouvera que seuls le volume et l'invariant Dan vous suffiront vraiment pour déterminer la composition égale des chiffres.
Goncharov a prédit l'existence d'une telle correspondance, et Campbell et Zakharevich ont prouvé sa présence - sous une condition. La correspondance existe si un autre résultat non prouvé lié aux hypothèses de
Beilinson est vrai.
Les deux hypothèses de Goncharov - la classification des chiffres égaux en volume et l'invariant de Dehn, ainsi que la classification des équations algébriques par l'analogue de l'invariant de Dehn - ne sont pas entièrement prouvées par Campbell et Zakharevich. Cependant, leur travail fournit néanmoins aux mathématiciens une idée plus claire de la façon de les prouver tous: si vous pouvez prouver les hypothèses de Beilinson, alors grâce au travail de Campbell et Zakharevich, vous recevrez également l'égalité gratuite.
"Leur travail repense vraiment cette tâche", a déclaré Weibel. "Lorsque vous connectez deux hypothèses de cette manière, cela met en lumière la structure de l'objet étudié."
Campbell et Zakharevich travaillent maintenant avec un autre mathématicien,
Daniil Rudenko de l'Université de Chicago, essayant de déterminer la relation entre la coupe des chiffres et l'analyse en parties des équations proposées par Goncharov. Rudenko avait déjà fait quelques progrès dans cette direction. Maintenant, avec Campbell et Zakharevich, il espère aller beaucoup plus loin.
«Je pense que nous avons toutes les chances de réaliser des progrès significatifs. Peut-être que cela pourrait même prouver les hypothèses de Goncharov », a déclaré Rudenko.