👾 👏 🎩 La somme de tous les nombres naturels: 1 + 2 + 3 + 4 + .... 2e partie 👕 🧝🏾 📬

Beaucoup de gens savent que

1 + 2 + 3 + d o t s = - d f r a c 112 .

$1 + 2 + 3 + \ dots = - \ dfrac {1} {12}.$

Mais en réalité

1 + 2 + 3 + d o t s = - d f r a c 18 .

$1 + 2 + 3 + \ dots = - \ dfrac {1} {8}.$

Examinons plus en détail le premier résultat. Bien sûr, une série de nombres naturels diverge au sens classique (au sens de convergence d'une séquence de sommes partielles: elle n'a bien sûr pas de limite). Dans cet article, l'auteur mentionne d'autres méthodes de sommation, telles que la méthode Cesaro et la méthode Abel. Voici quelques exemples: la somme d'une telle série

s u m l i m i t s_{n g e q s l a n t 0} (- 1)^{n} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + p o i n t s

$\ sum \ limits_ {n \ geqslant 0} (-1) ^ n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ points$

en utilisant la méthode cesaro sera égal

d f r a c 12

$\ dfrac12$ .

Un autre exemple:

1 - 2 + 3 - 4 + 5 + d o t s = d f r a c 14.

$1 - 2 + 3 - 4 + 5 + \ dots = \ dfrac14.$

À mon avis, il est faux de dire que la somme de la première ligne est égale à

d f r a c 12

$\ dfrac12$ ; dire correctement que la somme de la première ligne dans le sens de Cesaro est égale à

d f r a c 12

$\ dfrac12$ . De même pour le second: sa somme au sens d'Abel est égale à

d f r a c 14

$\ dfrac14$ .

Compte tenu de cela, dans le premier résultat (que

- d f r a c 112

$- \ dfrac {1} {12}$ ) il y a une substitution de concepts, ce qui conduit à une contradiction avec le bon sens.

Nous examinons maintenant plus en détail le deuxième résultat. Tout d'abord, notez le montant total pour

X

$X$ :

1 + 2 + 3 + 4 + p o i n t s = X .

$1 + 2 + 3 + 4 + \ points = X.$

Maintenant, nous effectuons les transformations suivantes:

1 + 2 + 3 + 4 + d o t s = 1 + u n d e r b r a c e {2 + 3 + 4}_{9} + u n d e r b r a c e {5 + 6 + 7}_{18} + u n d e r b r a c e {8 + 9 + 10}_{27} + d o t s =

$1 + 2 + 3 + 4 + \ dots = 1 + \ underbrace {2 + 3 + 4} _ {9} + \ underbrace {5 + 6 + 7} _ {18} + \ underbrace {8 + 9 + 10} _ {27} + \ dots =$

1 + 9 + 18 + 27 + d o t s = 1 + 9 u n d e r b r a c e {l e f t (1 + 2 + 3 + d o t s r i g h t)}_{X} = X .

$1 + 9 + 18 + 27 + \ dots = 1 + 9 \ underbrace {\ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right)} _ X = X.$

D'ici

1 + 9 X = X R i g h t a r r o w X = - d f r a c 18 .

$1 + 9X = X \ Rightarrow X = - \ dfrac {1} {8}.$

Il y a une autre solution. Combinez les termes d'une autre manière:

1 + 2 + u n d e r b r a c e {3 + 4 + 5 + 6 + 7}_{25} + u n d e r b r a c e {8 + 9 + 10 + 11 + 12}_{50} + d o t s =

$1 + 2 + \ underbrace {3 + 4 + 5 + 6 + 7} _ {25} + \ underbrace {8 + 9 + 10 + 11 + 12} _ {50} + \ dots =$

= 1 + 2 + 25 u n d e r b r a c e {l e f t (1 + 2 + 3 + d o t s r i g h t)}_{X} = X,

$= 1 + 2 + 25 \ underbrace {\ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right)} _ X = X,$

c'est

1 + 2 + 25 X = X R i g h t a r r o w X = - d f r a c 324 = - d f r a c 18 .

$1 + 2 + 25X = X \ Rightarrow X = - \ dfrac {3} {24} = - \ dfrac {1} {8}.$

En fait, à partir des trois, nous pouvons distinguer 7 termes, dont la somme sera de 49, et nous arriverons à l'équation

$display$ ce qui donnera le même résultat.En général, vous devez agir comme ceci: sélectionnez le premier $n$ termes, puis entre parenthèses prendre $inline$ termes:

1 + d o t s + n + u n d e r b r a c e {l e f t (n + 1 + d o t s + 3 n + 1 r i g h t)}_{(2 n + 1)^{2}} + u n d e r b r a c e {l e f t (3 n + 2 + d o t s + 5 n + 2 d r o i t e)}_{2 (2 n + 1)^{2}} + d o t s =

$1 + \ dots + n + \ underbrace {\ left (n + 1 + \ dots + 3n + 1 \ right)} _ {(2n + 1) ^ 2} + \ underbrace {\ left (3n + 2 + \ dots + 5n + 2 \ droite)} _ {2 (2n + 1) ^ 2} + \ dots =$

1 + d o t s + n + (2 n + 1)^{2} l e f t (1 + 2 + 3 + d o t s r i g h t) = X .

$1 + \ dots + n + (2n + 1) ^ 2 \ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right) = X.$

Progression arithmétique

1 + p o i n t s + n

$1 + \ points + n$ est égal à

d f r a c n (n + 1) 2

$\ dfrac {n (n + 1)} {2}$ , par conséquent, nous obtenons l'équation

d f r a c n (n + 1) 2 + (2 n + 1)^{2} X = X,

$\ dfrac {n (n + 1)} {2} + (2n + 1) ^ 2X = X,$

où se trouve-t-il que

X = - d f r a c 18 .

$X = - \ dfrac {1} {8}.$

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