L'étude des neutrinos a conduit à une découverte inattendue en mathématiques

Trois physiciens ont voulu calculer le processus de changement des neutrinos. En conséquence, ils ont trouvé une relation inattendue entre certains des objets mathématiques les plus courants.

Un jour d'août, le matin après le petit déjeuner, le mathématicien Terence Tao a ouvert un e-mail écrit par trois physiciens qu'il ne connaissait pas. Trinity lui a expliqué qu'elle était tombée sur une formule simple qui, si elle était vraie, décrirait une relation inattendue entre certains des objets les plus élémentaires et les plus importants de l'algèbre linéaire.

La formule «semblait trop belle pour être vraie», a déclaré Tao, professeur à l'Université de Californie à Los Angeles, gagnant de Fields , l'un des plus grands mathématiciens du monde. "Quelque chose de si court et si simple aurait dû être dans les manuels il y a longtemps", a-t-il déclaré. "Par conséquent, au début, j'ai pensé - non, cela ne peut pas être."

Et puis il a réfléchi un peu plus.

Physiciens - Stephen Park du National Accelerator Laboratory. Fermi, Xining Zhang de l'Université de Chicago et Peter Denton du Brookhaven National Laboratory - ont obtenu cette identité mathématique deux mois auparavant, essayant de faire face au comportement étrange des particules élémentaires appelées neutrinos .

Ils ont remarqué que les « vecteurs propres », difficiles à calculer, décrivant dans leur cas comment les neutrinos se propagent dans la matière, sont assimilés à une combinaison de termes appelés «valeurs propres», qui sont beaucoup plus faciles à calculer. De plus, ils ont réalisé que cette relation entre les vecteurs propres et les valeurs propres - des objets très courants en mathématiques, physique et ingénierie, étudiés depuis le XVIIIe siècle - semble être d'un ordre plus général.

Bien que les physiciens ne pouvaient pas croire qu'ils avaient découvert un fait nouveau lié à de telles mathématiques de base, ils ne pouvaient pas trouver une telle relation ni dans les livres ni dans les articles. Par conséquent, ils ont décidé de tenter sa chance et de contacter Tao, malgré le fait qu'une demande a été faite sur son site Web pour ne pas le déranger dans de tels cas.

"À notre grande surprise, il a répondu deux heures plus tard, et a déclaré qu'il n'avait jamais rien vu de tel auparavant", a déclaré Park. Et en plus de cela, dans la réponse de Tao, il y avait trois preuves indépendantes de cette identité.


Xining Zhang, Peter Denton et Stephen Park avec leur formule ouverte

Une semaine et demie plus tard, les physiciens et Tao, que Park appelle le «tuyau d'incendie des mathématiques», ont publié un article sur Internet faisant état d'une nouvelle formule. Maintenant, ce travail est évalué par des spécialistes de la revue Communications in Mathematical Physics. Dans un article séparé publié dans le Journal of High Energy Physics, Denton, Park et Zhang utilisent cette formule pour simplifier les équations décrivant le comportement des neutrinos.

Les experts disent que cette formule peut avoir plus de façons de s'appliquer, car dans un grand nombre de tâches, le calcul des vecteurs propres et des valeurs propres est nécessaire. "Il a un large éventail d'utilisations", a déclaré John Bickom , spécialiste en physique des particules à l'Université de l'Ohio. "Qui sait quelles portes elle peut ouvrir."

Les mathématiciens pensent de la même façon. "C'est à la fois surprenant et intéressant", a déclaré Van Wu , mathématicien à l'Université de Yale. «Je ne soupçonnais pas qu'il était possible de calculer des vecteurs propres en utilisant uniquement des informations sur les valeurs propres.»

Vu et Tao ont prouvé une identité similaire en 2009 (c'est pourquoi Denton, Park et Zhang ont décidé de contacter Tao), mais la nouvelle formule ne suit évidemment pas l'ancienne. Et bien qu'une formule similaire soit apparue par hasard dans un ouvrage mathématique en mai de cette année, ses auteurs ne l'ont pas associée aux vecteurs propres et aux valeurs propres.

Dans un sens, il n'est pas surprenant qu'une nouvelle idée sur les objets mathématiques vieux de plusieurs siècles vienne des physiciens. La nature a inspiré la recherche mathématique depuis que les gens ont commencé à compter sur 10 doigts. «Pour que les mathématiques prospèrent, elles doivent être liées à la nature», a déclaré Vu. "Il n'y a pas d'autre moyen."

Astuces de transformation

Les vecteurs propres et les valeurs propres sont si communs car ils caractérisent les transformations linéaires: les opérations qui étirent, compressent, tournent ou de toute autre manière modifient toutes les parties du même objet de manière égale. Ces transformations sont représentées par des tableaux rectangulaires de nombres appelés matrices. Une matrice fait pivoter l'objet de 90 degrés; l'autre le retourne à l'envers et le divise en deux.


L'application de cette matrice à un objet donné la reflétera par rapport au plan et doublera également sa hauteur. Les vecteurs propres de la matrice décrivent les directions dans lesquelles l'objet ne change pas, sauf pour la mise à l'échelle. Les valeurs propres de la matrice décrivent l'ampleur de l'échelle de l'objet le long de ces vecteurs propres.
Le vecteur propre A est parallèle à l'axe vertical. Sa valeur propre est 2, car l'objet double sa hauteur.
Le vecteur propre B est dans le plan de réflexion. Sa valeur propre est 1, car l'objet ne change pas en même temps.
Le vecteur propre C est perpendiculaire au plan de réflexion. Sa valeur propre est -1, ce qui signifie une réflexion par rapport au plan.
En supprimant des lignes et des colonnes d'une matrice, des matrices plus petites peuvent être créées. Leurs valeurs propres ainsi que les valeurs propres des matrices originales peuvent être utilisées pour calculer les vecteurs propres des matrices originales.

Les matrices le font en changeant les «vecteurs» des objets - des flèches mathématiques pointant vers chaque endroit physique de l'objet. Les vecteurs propres d'une matrice sont les vecteurs qui continuent à pointer dans la même direction qu'avant, après application de la matrice. Supposons que nous prenons une matrice qui fait tourner un objet de 90 degrés autour de l'axe des x: les vecteurs propres sont dirigés le long de l'axe des x, car les points situés sur cet axe ne tournent pas lorsque tous les autres tournent autour d'eux.

Une matrice similaire peut faire pivoter des objets autour de l'axe x et les compresser deux fois. Combien la matrice comprime ou étire les vecteurs propres de l'objet, les valeurs propres correspondantes décrivent - dans ce cas, 1/2 (si le vecteur propre ne change pas, sa valeur propre est 1).


Terence Tao

Les vecteurs propres et les valeurs propres sont indépendants et doivent généralement être calculés séparément, en commençant par les lignes et les colonnes de la matrice elle-même. Les élèves apprennent à le faire pour des matrices simples. Mais la nouvelle formule est différente des méthodes existantes. "Ce qui est intéressant à propos de cette identité, c'est que vous n'avez pas besoin de connaître les valeurs contenues dans la matrice pour calculer quelque chose", a déclaré Tao.

L'identité est appliquée aux matrices hermitiennes qui effectuent de réelles transformations de vecteurs propres (contrairement aux nombres imaginaires), et, par conséquent, s'appliquent aux situations qui se produisent dans la réalité. La formule exprime chaque vecteur propre de la matrice hermitienne en termes de valeurs propres de cette matrice et de sa «matrice mineure» - une matrice plus petite, qui est obtenue en supprimant la ligne et la colonne de l'original.

En regardant en arrière, la formule semble raisonnable, a déclaré Tao, car les valeurs propres de la matrice mineure codent en elles-mêmes les informations cachées. Cependant, "par exemple, personnellement, je n'aurais jamais pensé à une telle chose."

Il a dit qu'un outil sans rapport avec une tâche apparaît rarement en mathématiques. Cependant, il pense que l'interconnexion des vecteurs propres et des valeurs propres doit être importante. "C'est tellement beau que je suis sûr que la formule trouvera une application dans un proche avenir", a-t-il déclaré. "Jusqu'à présent, nous n'avons qu'une seule utilisation pour elle."

Particules de loup-garou

Et cette application est associée aux neutrinos: les particules fondamentales connues les plus étranges, les moins étudiées et les plus secrètes. Chaque seconde, des milliards de ces particules traversent le corps humain, mais comme elles ne montrent pratiquement pas leur présence, nombre de leurs propriétés restent inconnues.

Fait intéressant, la théorie affirme que ce sont précisément les différences de comportement des neutrinos et des antineutrinos qui peuvent faire en sorte que la matière domine l'antimatière dans l'Univers . Si les deux opposés apparaissaient en quantités égales après le Big Bang, ils s'anéantiraient et il ne resterait plus rien dans l'espace que la lumière. La différence entre un neutrino et un antineutrino pourrait donner lieu à un excès vital de matière. «S'ils se comportent différemment, cela nous donnera une idée de la raison pour laquelle l'Univers est rempli de matière», a déclaré Deborah Harris , physicienne à l'Université York et au Fermilab, travaillant dans l'expérience DUNE (Deep Underground Neutrino Experiment, un neutrino souterrain profond). expérience) conçu pour mesurer ces différences.

L'expérience, qui mesurera les caractéristiques des neutrinos lancés depuis Fermilab dans l'Illinois vers un détecteur souterrain situé à 1300 km de la source dans le Dakota du Sud, utilise le fait qu'il existe trois types différents de neutrinos - électron, muon et tau. Cependant, chaque type est un mélange quantique-mécanique, et les neutrinos oscillent, changeant leurs types lors de leurs déplacements. Au fur et à mesure que les neutrinos quittent le Fermilab, leur mélange change, de sorte que le neutrino muon peut se transformer en neutrino électronique ou tau.

Ces oscillations sont décrites par une matrice 3x3 extrêmement complexe. Sur la base des vecteurs propres et des valeurs propres, les physiciens peuvent calculer une expression décrivant la probabilité qu'un neutrino à muons se transforme en neutrino électronique au moment de son arrivée dans le Dakota du Sud. Ils calculent également la probabilité qu'un neutrino muon devienne un antineutrino électronique.


Les particules éphémères d'un neutrino traversent non seulement la matière, mais changent également de type à la volée. Dans l'expérience DUNE, un faisceau de neutrinos sera lancé, dont beaucoup changeront de type sur le chemin de la source à la cible. Ces changements seront mesurés par les physiciens.
Le diagramme montre la probabilité de détecter des neutrinos de différents types en fonction de leur distance de déplacement en km. Jaune - muon, bleu - électronique, marron - tau.

Ces expressions contiennent l'inconnu: la «phase de violation de l'invariance CP », qui montre comment les lois des oscillations des neutrinos et des antineutrinos diffèrent les unes des autres. En mesurant et en comparant les rapports d'oscillation réels, les scientifiques avec DUNE peuvent calculer cette inconnue. Si la phase de perturbation est suffisamment importante, cela aidera à expliquer pourquoi l'univers est rempli de matière.

Et comme si ces difficultés ne suffisaient pas, un effet étrange, dont les conditions préalables ont été découvertes pour la première fois en 1978 par le physicien Lincoln Wolfenstein, rend la matrice neutrino encore plus complexe. Les neutrinos interagissent rarement avec la matière au sens habituel du terme, mais Wolfenstein a constaté que leur passage à travers la matière, contrairement à l'espace vide, change encore la façon dont ils se propagent. Parfois, un neutrino pénétrant dans la matière interagit avec les électrons d'un atome, changeant essentiellement de place avec lui: un neutrino électronique se transforme en électron et vice versa.

De telles substitutions introduisent un nouveau terme dans la matrice, affectant les neutrinos électroniques, ce qui complique grandement les mathématiques. C'est cet effet de Mikheev - Smirnov - Wolfenstein [qui a été prédit et étudié théoriquement par les physiciens soviétiques Stanislav Mikheev et Alexey Smirnov en 1985 sur la base du cas des oscillations de neutrinos dans un milieu avec une densité constante considérée dans Wolfenstein] a poussé Park, Zhang et Denton à trouver un moyen de simplifier le calcul .

L'expression pour calculer les valeurs propres est plus simple que l'expression pour les vecteurs propres, donc Park, Zhang et Denton l'ont utilisé comme point de départ. Avant cela, ils ont développé une nouvelle méthode pour le calcul approximatif des valeurs propres. Sur cette base, ils ont remarqué que les expressions longues pour les vecteurs propres des travaux précédents étaient égales aux combinaisons de ces valeurs propres. Dans l'ensemble, «vous pouvez facilement et rapidement calculer les oscillations des neutrinos dans la matière», a déclaré Zhang.

En ce qui concerne la façon dont ils ont vu le modèle dont découle la formule, les physiciens ne sont pas entièrement sûrs. Park dit qu'ils ont simplement remarqué des manifestations individuelles du modèle et l'ont généralisé. Il admet également qu'il est bon pour résoudre des énigmes. Il est le co-auteur d'une autre régularité importante , découverte en 1986, qui a facilité les calculs dans le domaine de la physique des particules, et qui inspire aujourd'hui encore les scientifiques à de nouvelles découvertes.

Et pourtant, le fait que l'étrange comportement du neutrino puisse conduire à l'émergence de nouvelles idées liées à la matrice en a choqué beaucoup. «Les gens résolvent l'algèbre linéaire depuis très, très longtemps», a déclaré Park. "J'attends toujours que quelqu'un m'envoie un e-mail où il est dit: Si vous regardez ce travail peu connu de Cauchy , alors il y a cette formule dans la note de la troisième annexe."

Différence mineure

En fait, une formule similaire était déjà connue, mais personne ne l'a remarquée, car elle était masquée.

En septembre, Tao a reçu un autre e-mail inattendu, cette fois de Jiyuan Zhang, un étudiant diplômé en mathématiques de l'Université de Melbourne en Australie. Zhang a souligné l'existence d'une formule équivalente dans un travail qu'il a écrit avec son conservateur Peter Forester en mai, avant l'apparition des travaux de Tao et de trois physiciens. Zhang et Forrester ont travaillé dans le domaine des mathématiques pures, la théorie des matrices aléatoires. Ils ont appliqué cette formule, explorant le problème associé à la solution de Tao et de ses collègues en 1999.

Forester nous a expliqué que pour la première fois cette formule est apparue sous une autre forme dans les travaux de 2001, rédigés par Julia Baryshnikova , une mathématicienne travaillant maintenant à l'Université de l'Illinois à Urbana-Champaign, sur la base de laquelle Forester et Zhang étaient basés. Mais ces mathématiciens ont décrit les objets de leur identité non pas comme des vecteurs propres, mais comme des termes nécessaires au calcul des valeurs propres de certaines matrices mineures qui apparaissent au cours de la résolution de leur problème.

Forester a appelé la formule dans son travail avec Zhang «identique» à celle utilisée par Tao et les trois physiciens. Tao a appelé les formules «presque identiques», se référant les unes aux autres de la même manière que les deux côtés de l'illusion de lapin / canard. «Certaines personnes ont cherché des lapins, d'autres n'ont recherché que des canards», a-t-il déclaré.



Denton a écrit dans un e-mail que la formule qui existait auparavant est "proche de notre résultat, mais pas parfaite". Il a ajouté que "à la lumière de l'importance des vecteurs propres pour de nombreux problèmes, nous pensons toujours que notre résultat est assez différent des autres pour le considérer comme nouveau".

Il n'est peut-être pas si étrange que dans cette région en un seul été après plusieurs siècles, une telle excitation soudaine puisse survenir. "Il existe de nombreux exemples de découvertes simultanées en mathématiques", a déclaré Tao. - Les résultats sont en quelque sorte suspendus dans l'air. Et les gens commencent juste à les chercher aux bons endroits. »