Les mathématiciens ont trouvé un modèle, sachant comment éviter son apparition

Nous avons finalement découvert la taille de l'ensemble de nombres afin qu'il garantisse de contenir un motif appelé "progression polynomiale"

Certains modèles en mathématiques sont si rares qu'ils peuvent être recherchés toute votre vie et ne pas être trouvés. D'autres sont si courants qu'ils semblent impossibles à éviter.

Les nouvelles preuves , présentées par Sarah Pilius de l'Université d'Oxford, montrent qu'un modèle numérique d'un type particulièrement important, en fait, est inévitable: il est garanti de le trouver dans toute collection de nombres suffisamment importante, quelle que soit la façon dont ils sont choisis.

«Il y a une sorte d'indestructibilité inhérente à ces modèles», a déclaré Terence Tao de l'Université de Californie à Los Angeles.

La preuve de Pilyus concerne une séquence de nombres appelée «progressions polynomiales». Ils sont faciles à créer - vous pouvez créer le vôtre très rapidement - et ils concernent la connexion entre l'addition et la multiplication des nombres.

Depuis plusieurs décennies, les mathématiciens savent qu'avec une petite taille d'un ensemble (ou «ensemble») de nombres - c'est-à-dire, quand il contient relativement peu de nombres - il peut ne pas avoir de progressions polynomiales du tout. Ils savaient également qu'à mesure que l'ensemble se développait, il finissait par franchir un certain seuil, après quoi il contenait déjà tellement de nombres qu'une de ces séquences devait s'y rencontrer. Cela ressemble à un bol de soupe avec des lettres de pâte - plus vous avez de lettres, plus il est probable que vous puissiez en ajouter des mots.

Mais avant Pilius, les mathématiciens ne savaient pas ce qu'était ce seuil. Sa preuve apporte une réponse à cette question - une formule exacte qui détermine la taille de l'ensemble pour garantir certaines progressions polynomiales.

Et avant cela, les mathématiciens n'avaient que de vagues idées que des progressions polynomiales se trouvent parmi les entiers (1, 2, 3, etc.). Maintenant, ils savent exactement où les chercher.

A la recherche de motifs

Pour imaginer ces modèles, considérez l'un d'eux, un peu plus simple que celui avec lequel Pilius a travaillé. Commençons par le chiffre 2 et nous ajouterons un triple: 2, 5, 8, 11, 14, etc. Ce modèle - à partir d'un nombre, en ajoutant un autre - est appelé «progression arithmétique». C'est l'une des progressions les plus étudiées et les plus fréquentes en mathématiques.



En ce qui concerne la fréquence d'apparition de la progression arithmétique parmi les nombres entiers, deux choses doivent être comprises.

Endre Cemeredi en a fait la preuve en 1975. D'abord, dit-il, choisissez la durée de votre progression arithmétique. Cela peut être un modèle à quatre membres (2, 5, 8, 11) ou une famille (14, 17, 20, 23, 26, 29, 32), ou en général avec n'importe quel nombre. Après cela, il prouve que dès que l'ensemble des nombres atteindra une certaine taille (qu'il n'a pas pu déterminer), il trouvera certainement une progression arithmétique d'une telle longueur. Ainsi, il a renforcé l'idée que dans des ensembles de nombres suffisamment grands quelque part, il y a nécessairement un modèle.

«Semeredi, en fait, a déclaré qu'un gâchis complet était impossible. Peu importe combien vous en prenez, une structure réussira toujours à y entrer », a déclaré Ben Green d'Oxford.

Cependant, le théorème de Szemeredi ne dit rien sur la taille de la collection de nombres pour que ces modèles deviennent inévitables. Il a simplement dit que pour une progression arithmétique de n'importe quelle longueur choisie, il doit y avoir une multitude de nombres de taille inconnue qui la contiennent.

Plus de deux décennies plus tard, les mathématiciens ont déterminé cette taille, prouvant ainsi le deuxième fait fondamental concernant les lois arithmétiques.

En 2001, Timothy Gowers de l'Université de Cambridge a prouvé que si vous voulez trouver, par exemple, une progression arithmétique de cinq membres, vous avez besoin de beaucoup de nombres d'au moins une certaine taille - et de déterminer quelle taille ce sera (il est difficile de décrire la taille exacte, ce la formule comprend d'énormes nombres exponentiels).

Pour comprendre ce que Gowers a fait, vous devez comprendre ce que les mathématiciens veulent dire en parlant de la "taille" d'un ensemble de nombres et de l'idée d'une "taille assez grande".

Tout d'abord, sélectionnez un intervalle sur une droite numérique, par exemple, de 1 à 1000, ou quelque chose de plus aléatoire, comme de 17 à 1016. Le début et la fin de l'intervalle n'ont pas d'importance, seule sa longueur est importante. Déterminez ensuite la fraction de nombres de cet intervalle que vous souhaitez ajouter à l'ensemble. Par exemple, si vous créez un ensemble de 100 nombres de 1 à 1000, la taille de votre ensemble sera de 10% de l'intervalle.

La preuve de Gowers fonctionne quelle que soit la façon dont vous choisissez les numéros dans cet ensemble. Vous pouvez prendre les 100 premiers nombres impairs dans la plage de 1 à 1000, les 100 premiers nombres se terminant par 6, ou même 100 nombres aléatoires. Et Gowers a prouvé que quelle que soit la méthode, dès que l'ensemble occupe un espace suffisamment grand (pas nécessairement 10%) dans un intervalle suffisamment long, une progression arithmétique de cinq membres y apparaîtra inévitablement. Il a prouvé la même chose pour la progression arithmétique de n'importe quelle longueur.

"Après Gowers, nous savons que s'ils me donnent une progression arithmétique de n'importe quelle longueur, alors tout sous-ensemble de" nombres d'une certaine taille contiendra nécessairement cette progression, a déclaré Pilius.

Le travail de Pilius est similaire à la réussite de Gowers, seulement elle s'est concentrée sur les progressions polynomiales.

Dans la progression arithmétique, nous sélectionnons un nombre initial et nous en ajoutons un autre. Sous la forme de la progression polynomiale étudiée par Pilius, vous sélectionnez la valeur initiale et y ajoutez les pouvoirs d'un autre nombre. Par exemple: 2, 2 + 3 ¹ , 2 + 3 ² , 2 + 3 ³ , 2 + 3 ⁴ . C'est-à-dire 2, 5, 11, 29, 83. Dans sa progression, il n'y avait également qu'un seul membre pour chaque degré - cette exigence simplifie le travail avec eux.

Ces progressions polynomiales sont étroitement liées à une régularité aussi importante que la progression géométrique, qui se forme en augmentant le nombre à un degré croissant: 3 ¹ , 3 ² , 3 ³ , 3 ⁴ , ... Elles apparaissent naturellement dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique, et ravissent les mathématiciens depuis plusieurs millénaires. Les progressions géométriques sont moins courantes même dans de grands ensembles de nombres, cependant, si vous le corrigez un peu - par exemple, en ajoutant une constante à chaque terme - vous obtenez une progression polynomiale. Mais ils semblent juste apparaître partout.



«Vous pouvez créer de grands ensembles de nombres qui ne contiennent pas de progressions géométriques. Mais si vous vous donnez un peu de liberté et déplacez la progression géométrique, "créant une progression multi-polynomiale, alors les grands ensembles semblent obligés de les contenir", a déclaré Sean Prendeville de l'Université de Lancaster, qui a travaillé avec Pilius sur les progressions polynomiales.

En 1996, Vitaly Bergelson et Alexander Leibman ont prouvé que lorsqu'ils atteignent une taille suffisamment grande par une multitude, il doit nécessairement apparaître des progressions polynomiales - c'est l'équivalent polynomial du travail de Cemeredi. Cependant, les mathématiciens n'avaient aucune idée de la taille d'un ensemble «suffisamment grand».

Pilius a répondu à cette question d'une manière contre-intuitive - en réfléchissant aux propriétés que de nombreux nombres devraient avoir pour qu'il n'y ait pas de tels modèles.

Combattre des motifs avec des motifs

Pilius voulait déterminer la taille de l'ensemble - quel pourcentage des nombres dans l'intervalle devrait y être contenu - pour s'assurer qu'il contiendrait la progression polynomiale donnée. Pour ce faire, elle a présenté toutes les façons dont beaucoup de chiffres peuvent éviter l'apparition de progression en elle - et a ensuite prouvé que même le dépassement d'une certaine taille ne fonctionne pas, même la plus ingénieuse de ces stratégies.

Cette tâche peut être considérée comme une compétition. Supposons que quelqu'un vous demande de créer un ensemble contenant la moitié des nombres de 1 à 1000. Vous gagnez si l'ensemble n'a pas les quatre premiers membres de la progression polynomiale. Comment choisiriez-vous les chiffres?


Sarah Pilius de l'Université d'Oxford

Vous pouvez instinctivement essayer de sélectionner des nombres au hasard. Mais cet instinct sera erroné.

«La plupart des ensembles sont au milieu d'une distribution normale . Ils contiennent le nombre moyen de progressions polynomiales », a déclaré Prendeville. Et cette valeur moyenne est bien plus que zéro exigée de vous.

C'est comme si vous deviez choisir une personne au hasard parmi toute la population de la planète et en obtenir une dont la croissance est proche de la moyenne. Si votre objectif est de trouver un spécimen plus rare de plus de 2 m de haut, vous devez effectuer des recherches de manière plus directionnelle.

Par conséquent, pour gagner le concours de sélection de numéros, vous avez besoin d'une manière plus organisée de décider quels numéros inclure dans votre ensemble de 500 pièces. Par exemple, vous pouvez remarquer que si vous ne sélectionnez que des nombres pairs, vous pouvez éliminer la probabilité que l'ensemble contienne des progressions polynomiales contenant des nombres impairs. Progrès! Naturellement, vous augmentez ainsi la probabilité que votre ensemble contienne des progressions polynomiales composées de nombres pairs.

Cependant, l'essentiel est qu'ayant trouvé une manière structurée de sélectionner 500 nombres, vous pouvez éliminer la probabilité d'être dans un ensemble de certaines progressions polynomiales. En d'autres termes, il est nécessaire d'observer un motif afin d'éviter un motif.

Pilius a décidé de prouver qu'en atteignant une certaine taille, même les ensembles très intelligemment composés devront toujours inclure des progressions polynomiales. En fait, elle voulait déterminer le point critique auquel vous, en évitant à chaque fois l'inclusion de progressions polynomiales d'un type, arrivez à la présence de progressions polynomiales d'un autre type - comme c'est le cas pour les nombres pairs et impairs.

Pour ce faire, elle devait trouver un moyen de quantifier la structuration de l'ensemble.

Mesure de structure

Avant les travaux de Pilius, de nombreux mathématiciens tentaient de comprendre exactement quand les progressions polynomiales apparaissent en grand nombre. Beaucoup de mathématiciens très performants y ont participé, mais aucun d'entre eux n'a été en mesure de faire des progrès significatifs vers la taille de l'ensemble qu'il doit atteindre afin de contenir des progressions polynomiales de différentes longueurs.

Le principal obstacle pour eux était que les mathématiciens ne savaient pas comment caractériser les structures qui évitent l'apparition de progressions polynomiales. Il y avait une technique potentielle pour cela, mais lorsque Pilius a commencé à travailler dans ce domaine, elle ne pouvait pas être appliquée aux questions concernant les progressions polynomiales.

Cette technique est apparue dans l'article de Gowers de 2001 sur les progressions arithmétiques. Gowers a créé le test, l'appelant la «norme Gauers», qui détecte les structures d'un certain type dans une multitude de nombres. Le test produit un nombre unique qui détermine la quantité de structure dans l'ensemble - c'est-à-dire qu'il montre numériquement dans quelle mesure l'ensemble s'est éloigné d'un simple ensemble de nombres aléatoires.

"Le concept de" set semble aléatoire "n'est pas clairement défini mathématiquement", a déclaré Green. Gowers a trouvé un moyen de quantifier ce concept.

Beaucoup peuvent être plus ou moins structurés. Les ensembles contenant des nombres aléatoires n'ont pas de structure, par conséquent, avec une forte probabilité contiennent des motifs numériques. Ces ensembles ont une norme Gowers faible. Les ensembles contenant uniquement des nombres impairs, ou uniquement des nombres divisibles par 10, ont une structure rudimentaire. Il est facile de prouver que si une certaine taille est dépassée, diverses régularités apparaîtront également dans des ensembles d'une structure aussi simple.

Le plus difficile est de travailler avec de nombreuses structures très complexes. Ils peuvent sembler aléatoires, mais en même temps être construits selon une règle très délicate. Leur norme Gowers est élevée et ils donnent les meilleures chances d'éviter systématiquement les modèles lorsque la taille de l'ensemble augmente.

Étant donné que Gowers a utilisé ces techniques pour rechercher des réponses aux questions liées aux progressions arithmétiques, elles ne pouvaient pas être appliquées aux questions concernant les progressions polynomiales. Les progressions arithmétiques ont des intervalles égaux et les nombres dans les progressions polynomiales sautent très activement. Les normes de Gowers ont été utiles pour étudier les progressions polynomiales ainsi qu'un coupe-herbe pour nettoyer la vieille peinture d'une maison: l'idée est similaire, bien qu'elle ne convienne pas entièrement à ce travail.

Dans les nouvelles preuves, Pilius a utilisé l'idée de base de la norme de Gowers pour créer une nouvelle façon d'analyser les structures associées aux progressions polynomiales. Elle a utilisé la technique de «l'abaissement du degré» pour prouver que dans les procédures avec des progressions polynomiales qui l'intéressent, vous ne devriez vous soucier que des structures simples avec une norme de Gowers faible. Le fait est que les progressions polynomiales changent tellement au cours de la transition d'un terme à un autre qu'elles franchissent inévitablement des obstacles numériques moins durables - comme un éléphant poussant à travers les vitrines d'un magasin de porcelaine.

La formule de Pilius est difficile à décrire en termes simples. Cela implique le double logarithme de la longueur de l'intervalle d'origine à partir duquel vous sélectionnez des nombres pour votre ensemble. La taille minimale obtenue par elle ne sera pas nécessairement la plus petite de toutes - dans les travaux futurs, il se peut que le vrai seuil soit encore plus bas. Mais jusqu'à ce que sa preuve apparaisse, les mathématiciens n'avaient pas une compréhension quantitative de l'apparition d'une garantie de l'existence de progressions polynomiales.

"Elle a été la première personne à montrer la taille de l'ensemble", a déclaré Prendivil.

La preuve Pilius répond quantitativement à une question liée aux progressions polynomiales. Maintenant, les mathématiciens l'utilisent dans l'espoir d'obtenir une réponse à une autre question - concernant quand les progressions polynomiales apparaissent dans des ensembles entièrement de nombres premiers, les nombres les plus importants en mathématiques, résistant obstinément à tout type de séquences. Avant que cette preuve n'apparaisse, les mathématiciens ne savaient pas comment aborder cette question.

"Il y a de l'espoir que certains des arguments de mon travail puissent être appliqués dans le domaine des nombres premiers", a déclaré Pilius.