Bon après-midi
Comme promis dans mon premier article , je veux vous familiariser avec l'une des méthodes de résolution du système d'équations diophantiennes. Le but de l'article est de familiariser les autres lecteurs avec cette technique et de la transmettre d'une manière plus ou moins compréhensible.
Considérons un système de deux équations diophantiennes
et
Nous trouvons toutes les solutions possibles à la première équation. Comment, demandez-vous? Il existe certainement différentes méthodes, mais je partagerai dans l'un des articles suivants comment je résoudrais un problème similaire. Maintenant, nous supposons simplement que la solution générale a la forme
Comment vérifier que je ne mens pas?
Il suffit de rappeler le calcul matriciel et de multiplier le vecteur de valeurs de notre première équation diophantienne (sans terme libre) par la matrice de tous les coefficients .
obtenu en conséquence la valeur du terme libre, et donc les calculs sont corrects
La prochaine étape consiste à remplacer notre solution commune.
dans la deuxième équation
La procédure est la même: on multiplie le vecteur à partir des coefficients de la deuxième équation par la solution générale du premier
on obtient ce résultat
c'est-à-dire que nous avons obtenu une équation de la forme
Du côté droit de la deuxième équation diophantienne, comme il y avait un terme libre égal à -335, il est resté, c'est-à-dire que notre solution finale à ce stade a la forme
Ou déplacer les membres gratuits vers la droite que nous obtenons
Nous avons donc obtenu la prochaine équation diophantienne. Trouvons sa solution générale et testons la vérité.
c'est-à-dire que la solution générale est
Et maintenant, nous faisons la transformation inverse (que cela s'appelle ainsi). Autrement dit, le système
Au lieu de x inconnu, nous substituons ce qui s'est passé à la dernière étape
Dans le calcul matriciel, cela est résolu en multipliant une matrice par une autre.
Mais avec la première matrice, une certaine procédure doit être effectuée: supprimer (temporairement) la dernière colonne avec des termes libres, car ce paramètre ne participe pas à la multiplication, et sera utilisé plus tard.
Le résultat de la multiplication de deux matrices génère
la matrice
La dernière colonne est les membres gratuits de ce système.
Nous prenons en compte la colonne qui a été temporairement supprimée avant la multiplication et les ajoutons
notre réponse finale sous forme de matrice
Vérifiez-le?
Le produit vectoriel des coefficients de la première équation et de la matrice
et le produit vectoriel des coefficients de la deuxième équation et de la matrice
Comme vous pouvez le voir, le résultat coïncide avec le terme libre de chacune des équations.
Ainsi, la solution générale a la forme
où m, p, q - peut prendre n'importe quelle valeur entière
D'une manière aussi simple, il est possible de résoudre des équations diophantiennes linéaires plus complexes. Une vraie calculatrice a été créée à la suite de cet algorithme; cette calculatrice n'aime vraiment pas quand des zéros se produisent au lieu des valeurs dans les coefficients de la première équation du système initial. Mais c'est un problème de ma mise en œuvre spécifique de cet algorithme.
Dans le sujet suivant, je vais vous expliquer comment créer des équations diophantiennes en utilisant la matrice de la solution générale. La tâche est généralement banale et se fait en une seule action, mais soudain, quelqu'un ne sait pas.
Je serais reconnaissant pour les commentaires, commentaires et suggestions.