La traduction de l'article a été préparée spécialement pour les étudiants des cours de base et avancés «Mathématiques pour la science des données» .
Au cours de la dernière année, les mathématiciens et les informaticiens ont fait de grands progrès dans la théorie des nombres, la théorie des graphes, l'apprentissage automatique et l'informatique quantique, et ont même révisé nos concepts fondamentaux des mathématiques et des réseaux de neurones.
Pour les mathématiciens et les spécialistes de l'informatique, 2019 a été une année de redoublement et d'étude approfondie. Certains ont révisé les principes fondamentaux, tandis que d'autres ont trouvé des preuves d'une simplicité étonnante, de nouvelles méthodes pour résoudre les problèmes ou ont compris des solutions inattendues à des problèmes de longue date. Certaines de ces réalisations ont déjà trouvé une large application en physique et dans d'autres disciplines scientifiques. D'autres existent uniquement en tant que théorie (ou juste pour le plaisir), et d'un point de vue pratique, aujourd'hui, ne présentent aucun avantage.
Quanta a décidé de mettre en évidence une tentative d'une décennie pour débarrasser les mathématiques du signe égal et dur et le remplacer par un concept plus souple «d'équivalence». Nous avons également parlé de nouvelles idées dans la théorie générale des réseaux de neurones qui pourraient donner aux spécialistes en informatique les bases théoriques convoitées pour le succès des algorithmes d'apprentissage en profondeur.
Pendant ce temps, des objets mathématiques ordinaires, tels que des matrices et des réseaux, ont révélé de nouvelles idées inattendues dans de courtes preuves élégantes, et des problèmes de théorie des nombres sur dix ans ont finalement trouvé des solutions. Les mathématiciens ont appris davantage sur la façon dont la régularité et l'ordre se produisent dans les systèmes chaotiques, les nombres aléatoires et d'autres domaines apparemment aléatoires. D'une manière ou d'une autre, l'apprentissage automatique devenait plus puissant, changeant les approches et les domaines de la recherche scientifique, tandis que les ordinateurs quantiques étaient susceptibles d'atteindre un point critique.
Jeter les bases de la compréhension
Et si le signe égal - le fondement de toutes les mathématiques - n'était qu'une erreur? Un nombre croissant de mathématiciens, dirigés en partie par Jacob Lurie de l'Institute for Advanced Study, veulent réécrire la science en remplaçant «égalité» par un langage plus libre
«d'équivalence» . «Aujourd'hui, les bases des mathématiques reposent sur des ensembles d'objets appelés ensembles, mais il y a dix ans, plusieurs mathématiciens ont commencé à travailler avec des groupes plus universels appelés catégories, qui transmettent plus d'informations que les ensembles et reflètent plus de relations possibles que« l'égalité ». Depuis 2006, Lurie a publié plus de mille pages de théorie mathématique sur la façon de traduire les mathématiques modernes dans le langage de la théorie des catégories.
Il n'y a pas si longtemps, d'autres mathématiciens ont commencé à établir les principes fondamentaux d'un domaine dans lequel aucun dogme dominant ne peut être écarté: le domaine de l'apprentissage automatique. La technologie qui sous-tend les algorithmes d'apprentissage automatique les plus performants d'aujourd'hui devient de plus en plus nécessaire dans la science et la société, mais peu de gens comprennent vraiment comment cela fonctionne. En janvier, nous avons écrit sur les tentatives de création d'une
théorie des réseaux de neurones , qui explique l'effet de la structure sur les capacités des réseaux.
Un nouveau regard sur les anciens problèmes
Tout simplement parce que le chemin semble familier, on ne peut pas dire qu'il n'y a plus de secret. Pendant des siècles, les mathématiciens, les physiciens et les ingénieurs ont travaillé avec des termes mathématiques, tels que «valeurs propres» et «vecteurs propres», en les utilisant pour des matrices qui reflètent les transformations d'objets de différentes manières. En août, trois physiciens et un mathématicien ont déduit une nouvelle
formule simple qui relie les deux ensembles de quantités d'une manière nouvelle, cela a grandement simplifié le travail des physiciens dans l'étude des neutrinos et a donné lieu à de nouvelles découvertes mathématiques. Après la publication de leur étude, les scientifiques ont appris que cette relation avait été découverte il y a longtemps, mais qu'elle était constamment ignorée.
La routine de l'informatique a un jour été éclairée par la découverte d'un mathématicien qui a soudainement résolu l'un des plus gros problèmes ouverts dans ce domaine, prouvant l'hypothèse de sensibilité (https://www.quantamagazine.org/mathematician-solves-computer-science-conjecture -en-deux-pages-20190725 /), qui décrit la probabilité que vous puissiez affecter la sortie de la puce en modifiant les données sur une entrée. La preuve s'est avérée d'une simplicité désarmante et suffisamment compacte pour être généralisée dans un seul tweet. Dans le même temps, dans le monde de la théorie des graphes, un autre article spartiate (ne pesant cette fois que trois pages) a réfuté l'
hypothèse d'il y a dix ans sur la façon de choisir les couleurs des nœuds de réseau, hypothèse qui affecte les cartes, la disposition des sièges et le sudoku.
Signal dans le bruit
Les mathématiques impliquent souvent de trouver une sorte d'ordre à l'intérieur du gâchis, extrayant des motifs cachés de l'aléatoire apparent. En mai, une équipe a utilisé les soi-disant
fonctions magiques pour montrer que les meilleures façons d'organiser des points dans des espaces à huit et à 24 dimensions sont également universellement optimales, c'est-à-dire qu'elles résolvent un nombre infini de tâches qui vont au-delà de l'emballage serré de sphères égales. On ne sait toujours pas pourquoi les fonctions magiques sont si universelles. «Il y a des problèmes en mathématiques qui sont résolus grâce à la persévérance et à la force brute», a déclaré le mathématicien Henry Cohn. «De plus, il y a des moments où il semble que les mathématiques veulent que quelque chose se passe.»
Cependant, d'autres scientifiques ont trouvé des modèles dans l'imprévisible. Sarah Paluse a prouvé que les séquences numériques appelées
«progressions polynomiales» sont inévitables dans des ensembles de nombres suffisamment grands, même si les nombres qu'ils contiennent sont sélectionnés au hasard. Même les mathématiciens ont prouvé que dans certaines
conditions, les schémas se produisent dans un processus deux fois aléatoire d'analyse des formes de manière aléatoire si les formes elles-mêmes sont également aléatoires. En outre, renforçant le lien entre le chaos et l'ordre, Tim Austin a prouvé en mars que toutes les descriptions mathématiques des changements sont finalement un mélange de
systèmes ordonnés et aléatoires - et même ceux ordonnés ont besoin d'un élément de hasard. Enfin, dans le monde réel, les physiciens s'efforcent de comprendre quand et comment les systèmes chaotiques, des lucioles vacillantes au déclenchement des neurones, peuvent se synchroniser et se déplacer dans
leur ensemble .
Jeu avec des nombres
À l'école primaire, nous avons tous appris à multiplier comme à l'ancienne, mais en mars 2019, deux mathématiciens ont décrit
une méthode de multiplication plus rapide . Au lieu de multiplier chaque chiffre du premier nombre par chaque chiffre du second, ce qui est plutôt inutile pour les grands nombres, la calculatrice peut combiner un certain nombre de méthodes, qui incluent l'addition, la multiplication et la permutation des nombres, afin d'obtenir finalement le résultat en un nombre d'étapes beaucoup plus petit. C'est en fait le moyen le plus efficace pour multiplier de loin les nombres.
Cette année, d'autres découvertes intéressantes dans le monde des nombres expliquent comment exprimer le nombre 33 comme la
somme de trois cubes , prouvant ainsi une hypothèse de longue date sur la façon d'
approximer les nombres irrationnels , tels que Pi, et d'approfondir la relation entre les sommes et les
produits de l'ensemble. chiffres .
Les défis croissants de l'apprentissage automatique
Les scientifiques se tournent de plus en plus vers les machines pour obtenir de l'aide, non seulement pour obtenir des données, mais aussi pour les comprendre. En mars, nous avons parlé de l'apprentissage automatique modifiant le
taux de croissance de la science . Un processus appelé modélisation générative, par exemple, peut être la «troisième façon» de formuler et de tester des hypothèses après les méthodes traditionnelles d'observation et de modélisation, bien que beaucoup le considèrent encore simplement comme une méthode simplifiée de traitement de l'information. En tout cas, comme l'a écrit Dan Falk, l'apprentissage automatique "change le goût de la découverte scientifique et, bien sûr, simplifie le chemin vers celle-ci".
Si nous parlons de ce que l'apprentissage automatique nous a aidé au cours de la dernière année, il convient de noter que les chercheurs ont trouvé des algorithmes qui pourraient potentiellement
prédire les tremblements de
terre dans le nord-ouest de l'océan Pacifique, tandis que l'équipe multidisciplinaire a compris le fonctionnement de la vision, créant un modèle mathématique basé sur
anatomie cérébrale . Mais cela est encore loin: une équipe allemande a annoncé que les
machines ne peuvent souvent pas reconnaître les images car elles se concentrent sur les textures plutôt que sur les formes, et le réseau neuronal, surnommé BERT, a appris à vaincre les gens lors de
tests de compréhension de la lecture , uniquement pour les chercheurs se sont demandé si la machine comprenait vraiment quelque chose ou était tout simplement meilleure pour les tests.
Prochaines étapes du développement des ordinateurs quantiques
Après de nombreuses années d'ignorance l'année dernière, les chercheurs ont finalement atteint une étape importante dans la compréhension de la question de l'informatique quantique - bien que, comme dans l'ensemble du quantum, cette compréhension soit truffée d'incertitude. Les ordinateurs classiques classiques sont construits sur un système numérique binaire et fonctionnent sur des bits, tandis que les ordinateurs quantiques fonctionnent sur des qubits, qui utilisent des règles quantiques pour augmenter la puissance de calcul. En 2012,
John Preskill a inventé le terme de supériorité quantique pour décrire le point auquel un ordinateur quantique surpasse un ordinateur classique. Les rapports de
systèmes quantiques plus rapides ont fait soupçonner de nombreux initiés que nous pourrions
atteindre ce point en 2019 , et en octobre, Google a annoncé que
ce moment était enfin arrivé . Cependant, IBM, en tant que rival de Google dans cette affaire, n'était pas d'accord avec cette déclaration, affirmant qu'elle provoque "beaucoup de scepticisme". Cependant, les progrès évidents dans la création d'ordinateurs quantiques viables au fil des ans ont également incité des chercheurs, tels que Stephanie Vener, à commencer à construire la
prochaine génération d'Internet quantique .
Sur cette traduction de l'article a pris fin. Et nous vous invitons à ouvrir des journées sur les cours de
base et
avancés "Mathématiques pour la science des données" , pour une connaissance plus détaillée du programme.