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प्रमाण तीन-आयामी रूपों के अध्ययन में एक युग के अंत का प्रतीक है।

तीस साल पहले, गणितज्ञ विलियम थर्स्टन ने अपनी दृष्टि के बारे में बात की थी: सभी संभव परिमित तीन आयामी रूपों को व्यवस्थित करना।

थर्डस्टन, फील्ड्स प्राइज़ के धारक, जिन्होंने प्रिंसटन और कॉर्नेल विश्वविद्यालयों में अपने करियर का अधिकांश समय बिताया, में अकल्पनीय का प्रतिनिधित्व करने की एक अलौकिक क्षमता थी: न केवल सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रहने वाले रूपों, बल्कि ऐसे जटिल गुणों वाले बहुत बड़े menagerie के रूप में वे केवल फिट हो सकते हैं। बहुत सारे आयामों के साथ अंतरिक्ष। जहां अन्य गणितज्ञों ने रूपों की शुरुआत देखी, थर्स्टन ने संरचनाओं को देखा: समरूपता, सतहों, विभिन्न आंकड़ों के बीच संबंध।

1991 में बर्कले में विलियम थर्स्टन।

"कई वर्षों के अध्ययन के बाद, कई लोगों की धारणा है कि गणित एक सख्त और औपचारिक विषय है जो जटिल और अस्पष्ट नियमों से संबंधित है," उन्होंने 2009 में लिखा था। "अच्छा गणित इसके ठीक विपरीत है।" गणित मानव की समझ की कला है ... जब हम अपने पूरे मस्तिष्क के साथ इसे महसूस करते हैं तो गणित गाता है। "

थर्स्टन की दृष्टि तीन आयामी आंकड़ों के अध्ययन के लिए दो प्रतीत होता है अलग-अलग दृष्टिकोणों के बीच एक विवाह पर आधारित थी: ज्यामिति, कोणों, लंबाई, क्षेत्रों और संस्करणों का एक परिचित राज्य, और एक टोपोलॉजी जो आकार के गुणों का अध्ययन करती है जो सटीक ज्यामितीय मापों से स्वतंत्र है - वे गुण जो नहीं हैं अगर " स्ट्रेच " की तरह फॉर्म को बढ़ाया या मोड़ दिया गया हो, तो बदलना ।

एक टोपोलॉजिस्ट के लिए, पैन की सतह एक टेबल, पेंसिल या बॉल की सतह के बराबर होती है; कप की सतह डोनट या टोरस के बराबर होती है। एक टोपोलॉजिस्ट के दृष्टिकोण से, दो-आयामी रूपों की विविधताएं - सतहें - श्रेणियों की एक सरल सूची के लिए नीचे आती हैं: गोलाकार, toroidal, और toroidal बड़ी संख्या में छेद के साथ। (हम में से अधिकांश गोले और तोरी को त्रि-आयामी के रूप में प्रस्तुत करते हैं, लेकिन चूंकि गणितज्ञ उन्हें खोखले सतहों के रूप में सोचते हैं, वे इन सतहों को दो-आयामी वस्तु मानते हैं, सतह क्षेत्र द्वारा मापा जाता है, मात्रा नहीं)। 3-कई गुना

समझने के लिए थर्स्टन का महत्वपूर्ण विचार थाज्यामिति और टोपोलॉजी के मिलन से संभव है। उसी तरह से 2-कई गुना के टोपोलॉजिकल श्रेणी, एक फ्राइंग पैन और एक पेंसिल की सतह से युक्त, जिसमें एक आदर्श क्षेत्र भी शामिल है, थर्स्टन ने सुझाव दिया कि 3-कई गुना की श्रेणियों में एक उदाहरण होता है, एक 3-मैनिफ़ेस्ट जिसका ज्यामिति इतनी सजातीय और परिपूर्ण है, बहुत सुंदर है कोलंबिया विश्वविद्यालय के वाल्टर न्यूमन ने कहा कि वह "घंटी की तरह बजती है।" इसके अलावा, थर्स्टन ने सुझाव दिया कि जिन रूपों में ऐसा कोई उदाहरण नहीं है उन्हें टुकड़ों में काटा जा सकता है जिसमें यह पहले से ही होगा।

1982 के पेपर में, थर्स्टन ने 3-मैनिफेस्टों के बारे में 23 सवालों के बीच अपनी "ज्यामितीय परिकल्पना" को सामने रखा जिसने गणितज्ञों को तीन-आयामी रूपों के ज्ञान की दिशा की पेशकश की। (सूची में 24 प्रश्न थे, लेकिन उनमें से एक, अभी भी अनसुलझे हैं, मुख्य सड़क की तुलना में एक दिलचस्प गली की तरह है)।

कैल्ट के गणितज्ञ व्लादिमीर मार्कोविच कहते हैं, "थर्स्टन के पास सही सवाल पूछने की बहुत बड़ी प्रतिभा थी।" "हर कोई सवाल पूछ सकता है, लेकिन यह शायद ही कभी होता है कि एक सवाल अंतर्दृष्टि और सुंदरता की ओर जाता है, जैसे कि थर्स्टन के प्रश्न सफल हुए।"

सवालों ने गणितज्ञों की एक नई पीढ़ी को प्रेरित किया, जिनमें से दर्जनों ने थर्स्टन की दिशा में अपना काम करने का फैसला किया। उनके गणितीय "किड्स" ने अपनी शैली व्यक्त की, जैसा कि रिचर्ड ब्राउन ने लिखा था।विश्वविद्यालय से। जॉन हॉपकिंस। "वे गणित को देखते हैं, जैसे बच्चों को एक मेले में: खुशी और आश्चर्य के साथ, प्रत्येक नई खोज पर मोहित, और वे बस इसका हिस्सा बनने के लिए खुश हैं।"

थर्स्टन के काम की उपस्थिति के दर्जनों साल बाद, गणितज्ञों ने उनके शोध के "मानचित्र" का पालन किया, और उनकी प्रेरणा को उनकी खोजों के संभावित अनुप्रयोगों द्वारा इतनी अच्छी तरह से नहीं खिलाया गया था कि 3-मैनिफोल्ड्स फॉर्म के अध्ययन में व्याप्त थे। द्वि-आयामी रूप काफी सामान्य हैं, उन्हें श्रेणियों में चित्रित और विभाजित करना आसान है। चार-, पाँच, और अधिक बहुआयामी रूपों को व्यावहारिक रूप से बिल्कुल भी प्रशिक्षित करना असंभव है: संभावनाओं की विविधता इतनी महान है कि गणितज्ञों ने केवल अपने विशेष उपवर्गों को जानने तक ही सीमित कर दिया। और संरचना के तीन आयामी रूपों के मामले में, एक तरफ, वे रहस्यमय और कठिन हैं, लेकिन दूसरी ओर, वे मौलिक रूप से पहचानने योग्य हैं।

थर्स्टन के काम को 30 साल बीत चुके हैं, और सभी चार मुद्दों को पहले ही हल कर लिया गया है, जिसमें 2002 में रूसी गणितज्ञ ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा साबित की गई ज्यामितीय परिकल्पना भी शामिल है , जो आधुनिक गणित में एक ऐतिहासिक उपलब्धि थी। लेकिन बाकी बचे चार कार्यों ने डटकर विरोध किया।

"तथ्य यह है कि हम उन्हें इतने लंबे समय तक हल करने में सक्षम नहीं हैं, इसका मतलब है कि येल यूनिवर्सिटी से यार मिन्सकी ने कहा," कुछ बहुत ही गहरा है।

अंत में, मार्च 2012 में, बर्कले में कैलिफ़ोर्निया विश्वविद्यालय के इयान आइगोल ने समझदार परिकल्पना के प्रमाण की घोषणा करके गणित समुदाय को चिंतित कर दिया, जिसने थर्स्टन के आखिरी चार प्रश्नों को एक में समेट दिया।

गणितज्ञ इस परिणाम को एक युग का अंत कहते हैं।

कैल्टेक के डैनी कालेगारी कहते हैं, "उस समय अपने काम में थर्स्टन द्वारा बताई गई 3-गुना की दृष्टि शानदार थी, लेकिन अब यह पूरी तरह से महसूस किया गया है।" "उनके विचार आश्चर्यजनक रूप से सिद्ध थे - और हर विवरण सही था।"

"मुझे ऐसा लगता था कि एक विशेष ज्ञान और सोचने के विशेष तरीके थे जो मेरे लिए अकेले थे," थर्स्टन ने लिखा, अगस्त 2012 में 65 साल की उम्र में उनकी मृत्यु से कुछ महीने पहले स्टील गणितीय पुरस्कार प्राप्त किया था । "और मुझे बहुत खुशी है कि मैं ऐसे स्तर पर पहुंच गया हूं जब ऐसा नहीं है - बहुत से लोगों ने मेरे सोचने के तरीके को साझा किया, और कई लोगों ने यह साबित किया कि मैंने असफलता हासिल की।"

आइगोल की उपलब्धि सभी कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स के निर्माण के लिए एक सरल योजना के अस्तित्व को दर्शाती है - केवल तीन आयामी रूपों का एकमात्र प्रकार जिसे अभी तक पूरी तरह से समझाया नहीं गया है।

लंदन यूनिवर्सिटी कॉलेज के हेनरी विल्सन ने कहा, "अब हम ठीक-ठीक समझते हैं कि सभी 3-गुना क्या दिखते हैं।" "यह एक बड़ी गणितीय सफलता की कहानी की परिणति है।"

सतह का अध्ययन

थर्स्टन के कार्यक्रम ने 3-गुणा करने की कोशिश की जो गणितज्ञों ने दो-आयामी कई गुना के साथ सौ साल पहले सफलतापूर्वक किया है। तीन आयामी अभिव्यक्तियों को समझने से पहले खुद को फैलाने के लिए, आइए हम "कॉम्पैक्ट ओरिएंटेड" सतहों (पंक्चर के बिना परिमित सतहों और एक निरंतर अभिविन्यास के साथ कटौती) के वर्गीकरण के अंदर पर एक नज़र डालें।

वर्गीकरण की समस्या के दृष्टिकोण के लिए, गणितज्ञों ने दिखाया है कि किसी भी सतह के लिए अपने अनुक्रमिक सरलीकरण को कर्व्स के साथ काटकर तब तक करना संभव है जब तक कि यह एक फ्लैट बहुभुज में नहीं खुलता।

अंजीर। 1

एक टोरस के लिए यह दिखाना आसान है: पहले हमने इसे लूप ए के साथ काट दिया, जैसा कि अंजीर 1 में है, हमें एक सिलेंडर मिलता है। फिर हम लूप बी के साथ काटते हैं, सिलेंडर को एक वर्ग में सीधा करते हैं। अंजीर। 2 यह पता लगाने के लिए थोड़ा अधिक कठिन है, लेकिन वहां भी, चार घटों के साथ काटने से एक डबल टोरस (दो छेद वाला एक टोरस) एक अष्टकोना में बदल जाता है। उसी तरह, n छेद वाले किसी भी टोरस के लिए, हम छोरों में 2n पायदान बना सकते हैं और इसे 4n-gon में विस्तारित कर सकते हैं।

Fig.2

आप एक मनमाने ढंग से अनिश्चित सतह को सरल बनाने की कोशिश कर सकते हैं (और इसे पहचान सकते हैं) इसे इसी तरह से काट कर। यदि यह एक क्षेत्र नहीं है, तो टोपोलॉजिस्ट्स ने दिखाया है कि इसमें आंतरिक लूप्स (लूप्स जो एक दूसरे को काटना नहीं करते हैं) शामिल होने चाहिए जो कि एक बिंदु पर खींचे नहीं जा सकते हैं - जैसे कि ए और बी टोरस पर। इन छोरों में से एक के साथ एक सतह को काटना सतह के कई दिलचस्प सामयिक गुणों को हटा देता है। गणितज्ञों ने दिखाया है कि एक सपाट बहुभुज की सतह को कम करने के लिए, इसे कई बार बारीक रूप से काटना आवश्यक है।

बहुभुज के स्तर तक सतह को सरल बनाने के बाद, यह देखना आसान है कि यदि हम मूल सतह को बहाल करने के लिए इसके किनारों को गोंद करते हैं, तो हमें एक टोरस, या एक डबल टोरस, या ट्रिपल टोरस आदि बनाना होगा। आखिरकार, पहला ग्लूइंग बहुभुज को सुरंग दृश्य की सतह में बदल देगा, और प्रत्येक बाद में या तो एक नई सुरंग जोड़ देगा, या बस खुले भागों को सीवे करेगा। जब हम प्रक्रिया समाप्त करते हैं, तो हमें कुछ छेदों के साथ एक टोरस मिलता है।

इस तरह का दृष्टिकोण न केवल सतह के सामयिक सामर्थ्य को एक क्षेत्र या कुछ टोरस के रूप में प्रदर्शित करता है: यह एक सरल और समान ज्यामितीय संरचना के साथ सतह को बंद करने का एक तरीका भी प्रदान करता है।

क्षेत्र, जाहिर है, पहले से ही एक एकीकृत ज्यामितीय संरचना है: इसका ज्यामिति क्षेत्र में किसी भी जगह से समान दिखता है। डोनट सतह, इसके विपरीत, बिल्कुल भी समान नहीं है: डोनट के बाहरी किनारे का क्षेत्र एक गोले के समान तरीके से मुड़ा हुआ है, और आंतरिक रिंग पर क्षेत्र एक काठी की तरह झुका हुआ है।

और कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप टोरस को अंतरिक्ष में कैसे रखते हैं - कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इसे कैसे खींचते हैं और मोड़ते हैं - आप इसे नहीं बना सकते हैं ताकि ज्यामिति किसी भी स्थान पर समान हो। कुछ भाग एक गोले की तरह गोल होंगे, कुछ काठी की तरह, कुछ सपाट हो सकते हैं।

हालांकि, यह संभव है कि किसी अमूर्त ज्यामितीय संरचना के साथ टोरस प्रदान करने के लिए जो किसी भी बिंदु पर समान हो - बस यह घोषणा करें कि टोरस के प्रत्येक छोटे से भाग पर वर्ग और माप से दूरी तय की जाती है, जिससे हम देखते हैं, टोरस बनाया जा सकता है। साधारण अंतरिक्ष में एक भौतिक टोरस, जिसकी लंबाई और कोण इस अमूर्त नियम के अनुरूप हैं, का निर्माण नहीं किया जा सकता है, लेकिन लंबाई और कोण की यह परिभाषा आंतरिक रूप से सुसंगत है। चूंकि वर्ग में सामान्य फ्लैट (यूक्लिडियन) ज्यामिति है, हम कहते हैं कि टोरस को यूक्लिडियन संरचना से सुसज्जित किया जा सकता है। इस तरह की ज्यामिति के साथ एक टोरस एक वीडियो गेम जैसा दिखता है जिसमें एक चरित्र स्क्रीन के बाईं ओर से गायब हो जाता है और दाईं ओर फिर से दिखाई देता है, और ऊपर की तरफ से गायब हो जाता है, तल पर दिखाई देता है।

इस ऑपरेशन को एक डबल टोरस के साथ करने की कोशिश करते हुए, हम एक बाधा का सामना करेंगे। याद रखें कि हम एक अष्टकोना के किनारों को gluing करके एक डबल टोरस बना सकते हैं। यदि हम घोषणा करते हैं कि डबल टोरस की ज्यामिति को अष्टकोण की ज्यामिति की नकल करना है, तो हम इसके कोणों की समस्या का सामना करेंगे। अष्टकोण को एक डबल टोरस में चमकाने के बाद, कोने के बिंदु एक साथ डबल टोरस के एक बिंदु में चिपके होंगे। इस बिंदु पर आठ कोण होंगे, प्रत्येक 135 डिग्री जोड़ देगा, जो एक साथ 360 के बजाय 1080 डिग्री होगा।

यदि हम अष्टकोण की ज्यामितीय संरचना को डबल टोरस में देने की कोशिश करते हैं, तो यह पता चलता है कि हमारे डबल टोरस में एक बिंदु को छोड़कर हर जगह सामान्य यूक्लिडियन ज्यामिति होगी, जहां इसकी सतह एक नुकीली टोपी की तरह फैलती है (कोने के बिंदु एक समस्या नहीं है यदि हम एक टॉरस में वर्ग को गोंद करते हैं: हम गोंद करते हैं: चार समकोण और पूर्ण 360 डिग्री प्राप्त करें)।

डबल टोरस के कोने बिंदु पर एक चिकनी ज्यामितीय संरचना प्राप्त करने के लिए, यह आवश्यक है कि आठ कोणों में से प्रत्येक 135 के बजाय केवल 45 डिग्री का योगदान दे। यह दिलचस्प है कि इस तरह के एक अष्टकोण मौजूद है, लेकिन सामान्य यूक्लिडिक विमान में नहीं रहता है, लेकिन एक हाइपरबोलिक डिस्क नामक संरचना पर: तीसरा एक प्रकार की ज्यामिति जो समान और आंतरिक रूप से सुसंगत है, जैसे गोलाकार या यूक्लिडियन। लेकिन चूंकि यह कल्पना करना अधिक कठिन है, यह केवल 19 वीं शताब्दी की शुरुआत में गणितज्ञों द्वारा खोजा गया था।

3 चित्र

मोटे तौर पर, हाइपरबोलिक ज्यामिति (या लोबाचेव्स्की ज्यामिति) प्राप्त की जाती है यदि हम यह घोषणा करते हैं कि चित्र 3 में सभी मछलियाँ एक ही आकार की हैं। एक कल्पना कर सकता है कि अंजीर। 3 वास्तव में एक डिस्कोर्टिंग लेंस के माध्यम से प्राप्त एक डिस्क छवि है, जो मछली को किनारे की तुलना में बीच की मछली की तुलना में छोटी बनाता है। लेंस के सामने एक सच्चे हाइपरबोलिक डिस्क पर, सभी मछली एक ही आकार की होती हैं।

साधारण स्थान पर, एक नियमित और चिकनी हाइपरबोलिक डिस्क बनाना असंभव है ताकि सभी मछलियां वास्तव में समान हों। लेकिन एक सार बिंदु से, मछली का आकार नियम ज्यामिति देता है जो आंतरिक रूप से सुसंगत है और किसी भी बिंदु पर समान दिखता है - एक विकृत लेंस के साथ पर्यवेक्षक के लिए नहीं, बल्कि एक हाइपरबोलिस्क डिस्क के निवासी के दृष्टिकोण से।

हाइपरबोलिक ज्यामिति में, सबसे छोटा रास्ता, या "जियोडेसिक", दो बिंदुओं के बीच मछली की सबसे छोटी संभव संख्या के माध्यम से पथ है। इस तरह का मार्ग हमेशा डिस्क सीमा के लिए एक अर्धवृत्त लंबवत होता है। उदाहरण मछली के रीढ़ के साथ चलने वाले अर्धवृत्त हैं। हमारे विकृत दृष्टिकोण से, ये मार्ग घुमावदार हैं, लेकिन डिस्क के निवासी के लिए ये सीधी रेखाएं हैं। जैसा कि थर्स्टन ने कहा, इसके साथ ड्राइव करने के लिए, आपको स्टीयरिंग व्हील को चालू करने की आवश्यकता नहीं है। यूक्लिडियन विमान के विपरीत, जिस पर समानांतर रेखाएं हमेशा एक ही दूरी पर रहती हैं, हाइपरबोलिक डिस्क पर दो असमान रेखाएं एक-दूसरे से बहुत जल्दी विचलन कर सकती हैं।

हाइपरबोलिक ज्यामिति के दृष्टिकोण से, अंजीर में 4 सीधी भुजाओं वाले साधारण अष्टक हैं। इनमें से एक अष्टकोण में, सभी 45-डिग्री के कोण बस एक डबल टोरस के लिए आवश्यक हैं। यदि हम इस अष्टकोण के किनारों को सही ढंग से गोंदते हैं, तो हमें एक आदर्श और समान हाइपरबोलिक संरचना के साथ एक डबल टोरस मिलता है।

चित्र 4

उसी तरह, हम ट्रिपल टोरस को हाइपरबोलिक संरचना से लैस कर सकते हैं। ट्रिपल टोरस को 12-गॉन से चिपकाया जा सकता है, इसलिए यदि हम 30 डिग्री के आंतरिक कोण के साथ एक हाइपरबोलिक 12-गॉन बनाते हैं, तो इसकी हाइपरबोलिक ज्यामिति को आसानी से ट्रिपल टोरस में स्थानांतरित किया जा सकता है। विषय को जारी रखते हुए, हम 5 वें और इतने पर, हाइपरबोलिक ज्यामिति के साथ 4 छेद के साथ एक टोरस प्रदान कर सकते हैं। कॉम्पैक्ट सतहों का हमारा वर्गीकरण इस प्रकार है: गोलाकार ज्यामिति (गोला) के साथ एक सतह, यूक्लिडियन (टोरस) के साथ एक, और हाइपरबोलिक ज्यामिति के साथ असीम रूप से कई सतह (एक से अधिक छेद वाले सभी तोरी)।

पिछले सौ वर्षों में, इस वर्गीकरण ने गणितज्ञों को ज्यामितीय डोमेन में सतहों के बारे में सामयिक प्रश्नों को स्थानांतरित करने का एक बहुत ही उपयोगी तरीका दिया है, और इसके विपरीत। सतहों का वर्गीकरण द्वि-आयामी रूपों के अध्ययन में मुख्य विचार है, एक शुरुआती बिंदु के रूप में अन्य सभी अध्ययनों द्वारा उपयोग की जाने वाली एक खोज।

अगला माप

3-मैनिफ़ेस्ट 2-मैनिफ़ेस्ट की तुलना में बहुत अधिक विविध हैं, और उनके साथ समस्याएं अधिक जटिल हैं। यहां तक कि प्रसिद्ध पोइंकेरे अनुमान की तरह एक सरल-दिखने वाला प्रश्न - जो पूछता है कि क्या गोले का त्रि-आयामी संस्करण एकमात्र कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी रूप है, जिस पर प्रत्येक लूप को छेद पर पकड़े बिना एक बिंदु में खींचा जा सकता है - 1904 में हेनरी पोइंकेरे द्वारा इसके निर्माण के लगभग सौ साल बाद तक अनसुलझे रहे। साल।

लेकिन थर्स्टन ने साहसपूर्वक सुझाव दिया कि दो आयामी के मौजूदा वर्गीकरण के समान तीन आयामी रूपों का वर्गीकरण बनाना संभव है।

दो आयामी यूक्लिडियन, गोलाकार और हाइपरबोलिक ज्यामितीय तीन आयामों में जोड़े हैं। लेकिन तीन आयामों में, "सुंदर" ज्यामितीयों की सूची उनके लिए सीमित नहीं है। हाइब्रिड ज्यामिति हैं जो कुछ दिशाओं में हाइपरबोलिक या गोलाकार हैं और दूसरों में यूक्लिडियन हैं। सामान्य तौर पर, तीन आयामों में आठ अलग-अलग प्रकार के ज्यामितीय होते हैं, इस अर्थ में समान है कि ज्यामिति अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर समान दिखती है।

थर्स्टन ने सुझाव दिया कि, सतहों की तरह, 3-कई गुना की तुलना प्राकृतिक ज्यामितीय संरचनाओं के साथ की जा सकती है। विशेष रूप से, उन्होंने सुझाव दिया कि यदि आप किसी विशेष रूप से टुकड़ों में किसी भी कॉम्पैक्ट 3-गुना को काटते हैं, तो प्रत्येक टुकड़ा आठ ज्यामितीय में से एक के साथ जोड़ा जा सकता है।

"लक्ष्य तीन आयामों में टोपोलॉजी और ज्यामिति को पूरी तरह से एकजुट करना था," मिनस्की कहते हैं।

इस "जियोमेट्रिज़ेशन परिकल्पना" के लिए प्राकृतिक दृष्टिकोण कुछ ऐसी ही कोशिश करना था जो हमने सतहों के साथ किया था, जो हम घटता के साथ काटते हैं जब तक कि वे सभी दिलचस्प सामयिक गुणों का खुलासा नहीं करते, और जब तक वे एक सपाट बहुभुज तक सरल नहीं हो जाते। 3-कई गुना के लिए, एक समान दृष्टिकोण उन्हें सतहों के साथ काट रहा होगा जब तक, उम्मीद है, वे एक पॉलीहेड्रोन को सरल करते हैं, जिसके विपरीत पक्षों को मूल आकार प्राप्त करने के लिए एक साथ चिपकाया जा सकता है। और अगर हम सही ज्यामिति का उपयोग करके इस पॉलीहेड्रॉन का निर्माण कर सकते हैं, तो हम इस ज्यामिति को उसके मूल आकार में बदल सकते हैं, जैसा कि सतहों के मामले में था।

याद रखें कि सतहों के मामले में, प्रत्येक वक्र को दो आवश्यकताओं को पूरा करना था: वक्र स्वयं के साथ अंतर नहीं करता है (गणितज्ञ कहते हैं कि यह "एम्बेडेड" होना चाहिए), और यह होना चाहिए, जैसा कि हम इसे कहते हैं, टोपोलॉजिकल रूप से दिलचस्प है, अर्थात्, कुछ को घेरें सतह का टोपोलॉजिकल विवरण ताकि इसे एक बिंदु तक नहीं खींचा जा सके (यह आवश्यकता सुनिश्चित करता है कि इस वक्र को काटने से सतह टोपोलॉजी सरल हो जाए)।

1962 में, गणितज्ञ वोल्फगैंग हेकन ने साबित किया कि 3-कई गुना बहुभुज को सरल बनाया जा सकता है यदि 3-मैनिफोल्ड में एक सतह होती है, जिसकी कट दो स्थितियों को संतुष्ट करती है: इसे एम्बेड किया जाना चाहिए और "असंगत", अर्थात कोई भी टोपोलॉजिकल दिलचस्प सतह पर एक वक्र भी आसपास के 3-गुना के अधिक सामान्य संदर्भ में स्थलाकृतिक रूप से दिलचस्प होगा।

उदाहरण के लिए, एक टोरस साधारण त्रि-आयामी अंतरिक्ष में अयोग्य नहीं होगा, क्योंकि टोर के उद्घाटन के माध्यम से गुजरने वाला लूप टॉरस की सतह के दृष्टिकोण से स्थैतिक रूप से दिलचस्प है, लेकिन तीन-आयामी अंतरिक्ष में इसे एक बिंदु तक संकुचित किया जा सकता है। इसके विपरीत, एक टोरस 3-मैनिफोल्ड के अंदर असंगत होता है, जिसे टोरस की सतह को मोटा करके प्राप्त किया जा सकता है ताकि यह असीम रूप से पतला हो। अतुलनीय होने के लिए, सतह के प्रत्येक टोपोलॉजिकल विशेषता को 3-कई गुना के कुछ आंतरिक टोपोलॉजी को प्रतिबिंबित करना चाहिए। अब एक 3-मैनिफोल्ड जिसमें एक अंतर्निहित अतुलनीय सतह होती है, जिसे हेक मैनिफोल्ड कहा जाता है।

यदि हमारे 3-मैनिफोल्ड में एक अंतर्निहित अतुलनीय सतह है, तो इसके साथ काटने से कुछ दिलचस्प टोपोलॉजी का पता चल जाएगा और हमें एक सरलीकृत कई गुना मिलेगा। इसके अलावा, होकेन ने दिखाया कि यदि कई गुना सतह में एक ऐसी सतह होती है, तो उसके साथ काटकर प्राप्त की गई नई मैनिफोल्ड भी एक होकेड मैनिफोल्ड होगी: इसमें एक अंतर्निहित अतुलनीय काटने की सतह भी होगी। और इस तरह के चरणों की एक सीमित संख्या के बाद, जैसा कि हेकन ने दिखाया है, मूल कई गुना के सभी दिलचस्प सामयिक विशेषताओं को काट दिया जाएगा, और एक साधारण पॉलीहेड्रॉन रहेगा।

1970 के दशक के उत्तरार्ध में, थर्स्टन ने दिखाया कि परिणामस्वरूप पॉलीहेड्रोन को आठ आठ आयामी ज्यामितिओं में से एक से इस तरह से लैस करना संभव है कि यह आसानी से नए चिपके बहुभुज में स्थानांतरित हो जाता है, पूरी तरह से पॉलीहेड्रोन के कोनों और किनारों पर मेल खाता है। दूसरे शब्दों में, थर्स्टन ने अपनी ज्यामितीय परिकल्पना को उन मैनिफ़ेस्टों के लिए सिद्ध किया, जिनके मानक अपघटन से वे टुकड़े निकलते हैं जो हॉक्स मैनिफोल्ड हैं।

दुर्भाग्य से, 3-मनमाने ढंग से कॉम्पैक्ट के लिए, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि इसकी सतह ऐसी है। 1970 के दशक के अंत और 1980 के दशक के प्रारंभ में, थर्स्टन ने समुदाय को आश्वस्त किया कि 3-मैनिफ़ेस्ट्स में एक एम्बेडेड असंगत सतह (हूक मैनिफोल्ड्स) अपवाद हैं, नियम नहीं।

Haken मैनिफोल्ड्स के अलावा कई गुना के लिए geometrization परिकल्पना के सबूत की खोज ने गणितज्ञों को बीस से अधिक वर्षों के लिए रोक दिया है। अंत में, 2002 में, पेरेलमैन ने थुरस्टन के अधिकांश अनुयायियों द्वारा अध्ययन किए गए गणित से दूर किए गए गणित के क्षेत्रों के आधार पर अपना प्रमाण प्रस्तुत किया। (पेर्लमैन के प्रमाण की तरह, पॉइंकेयर की शताब्दी परिकल्पना को भी छुआ, जिससे क्ले के गणित संस्थान ने उन्हें 2010 में एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार देने की पेशकश की - जिसे उन्होंने जटिल कारणों से तुरंत खारिज कर दिया)।

पेरेलमैन का प्रमाण एक मोड़ था, संयोजन, जैसा कि थर्स्टन ने सपना देखा, टोपोलॉजी और ज्यामिति। अब 3-कई गुना से जुड़ी प्रत्येक सामयिक समस्या में एक ज्यामितीय जोड़ी है, और इसके विपरीत। लेकिन पेरेलमैन के प्रमेय ने कई महत्वपूर्ण सवालों को छोड़ दिया कि 3 प्रकार के कई प्रकार क्या हो सकते हैं।

कॉम्पैक्ट 2-मैनिफोल्ड्स (सतहों) को वर्गीकृत करके, गणितज्ञ न केवल यह दिखा सकते हैं कि प्रत्येक सतह को एक ज्यामितीय संरचना से सुसज्जित किया जा सकता है, बल्कि सभी संभव 2-कई गुना की पूरी सूची भी बना सकते हैं। तीन आयामों में, इस तरह की सूची में कमी थी।

आठ तीन आयामी ज्यामिति के सात - सभी लेकिन अतिशयोक्तिपूर्ण - अच्छी तरह से ज्ञात थे, और पेरेलमैन के काम से पहले भी, टोपोलॉजिस्ट ने इन सात ज्यामितीयों में से एक को स्वीकार करने वाले कई प्रकार के कई प्रकारों का पूरा विवरण संकलित किया था। ये रूप अपेक्षाकृत सरल और कुछ हैं।

लेकिन, जैसा कि सतहों के मामले में, तीन आयामों में यह पता चला है कि कई गुना अधिक हाइपरबोलिक हैं। और हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स की भारी संख्या की संभावनाओं का कवरेज गणितज्ञों के बीच अन्य सात मेमोत्रियों की तुलना में बहुत खराब था।

पेरिस के पियरे और मैरी क्यूरी विश्वविद्यालय के निकोलस बर्जरॉन ने कहा, "आठ प्रकार के ज्यामितीय, हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड सबसे रहस्यमय और समृद्ध हैं।"

पेरेलमैन के परिणाम ने गणितज्ञों को बताया कि हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड्स पिछले सीमांत थे - केवल 3-प्रकार का एक ही प्रकार जो समझा जाना बाकी था। लेकिन उसने उन्हें यह नहीं बताया कि ये हाइपरबोलिक रूप क्या दिखते हैं।

कवर स्टोरी

एक बार फिर, गणितज्ञ मार्गदर्शन के लिए थर्स्टन के काम की ओर रुख करने में सक्षम थे। उनके सवालों की प्रसिद्ध सूची में हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स के गुणों के बारे में कई परिकल्पनाएं शामिल थीं, जिसमें दो परिकल्पनाएं शामिल थीं जो सीधे उनकी उपस्थिति से संबंधित थीं: "हेंड वर्चुअल परिकल्पना" और "वर्चुअल बंडल" परिकल्पना।

Haken वर्चुअल परिकल्पना (HHC) बताती है कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड एक निश्चित अर्थ में लगभग एक Haken मैनिफोल्ड है: इसे एक निश्चित तरीके से कई बार विस्तार से Haken मैनिफोल्ड को कई बार बदलना संभव है। इस नए अनफोल्डेड मैनिफोल्ड को ओरिजिनल मैनिफोल्ड का "परिमित आवरण" कहा जाता है।

गणितज्ञों का कहना है कि एक किस्म एन एक अन्य किस्म एम को कवर करती है, अगर, मोटे तौर पर बोलें, तो एन को एम के चारों ओर एक निश्चित संख्या में लपेटना संभव है (संभवतः अनंत) ताकि एम के प्रत्येक भाग को दूसरों की तरह कई बार कवर किया जा सके। एक कवर होने के लिए, इस लपेट में अन्य गुणों का एक गुच्छा होना चाहिए - उदाहरण के लिए, एन को खुद पर झुकना नहीं चाहिए, या लपेट के दौरान आंसू नहीं होना चाहिए। एम का प्रत्येक टुकड़ा एन। में समान प्रतियों के एक समूह के साथ कवर किया गया है।

अंजीर । 5

उदाहरण के लिए, अंजीर में छह-पंखुड़ी फूल। 5 एक तीन पंखुड़ी फूल को कवर करता है: बस तीन पंखुड़ी के चारों ओर दो बार छह पंखुड़ी फूल लपेटें। तीन-पंखुड़ी के रंग के प्रत्येक बिंदु को छह-पंखुड़ी के दो बिंदुओं के साथ कवर किया गया है। गणितज्ञ इसे दो परतों वाली कोटिंग कहते हैं।

उसी तरह, एक अनंत सिलेंडर टोरस को कवर करता है: बस टोरस के चारों ओर सिलेंडर को एक अनंत संख्या में हवा दें (छवि 6)। सिलेंडर के प्रत्येक बिंदु को कवर किया गया है: लूप ए को सिलेंडर पर समान रूप से वितरित छोरों के एक अनंत सेट द्वारा कवर किया गया है, और लूप बी सिलेंडर पर तैनात है जो एक लाइन में चल रहा है।

अंजीर। 6

विविधता और इसके आवरणों की टोपोलॉजी निकटता से संबंधित हैं। एन-लेयर कोटिंग से कई गुना अधिक बनाने के लिए, आपको केवल एन बार द्वारा कोटिंग को मोड़ना होगा। और इसके विपरीत, विविधता के आधार पर कोटिंग को फिर से बनाने के लिए, आप इसे काटते हैं, एन कॉपी बनाते हैं, और इसे एक साथ गोंद करते हैं सीमाओं के साथ (प्राप्त कंक्रीट कोटिंग gluing अनुक्रम की पसंद पर निर्भर करता है)।

एक आवरण कई गुना गुणों को संरक्षित करता है और दूसरों को प्रकट करता है। एक अनंत सिलेंडर, उदाहरण के लिए, याद है कि टोर पर लूप ए बंद है, लेकिन यह भूल जाता है कि लूप बी भी बंद है।

इस परिनियोजन प्रक्रिया ने थर्स्टन को इस आशा के लिए प्रेरित किया कि 3-गुना के लिए परतों की एक सीमित संख्या के साथ कवर करना संभव है, जो एक हॉक्स कई गुना होगा। हम पहले ही बता चुके हैं कि किसी को यह उम्मीद नहीं करनी चाहिए कि एक मनमाना कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड एक Haken मैनिफोल्ड होगा (कि इसमें एक अंतर्निहित अतुलनीय सतह होगी)। लेकिन 1968 में, जर्मन गणितज्ञ फ्रेडेलम वाल्डहॉसन ने सुझाव दिया कि इस तरह के कई गुना कम से कम एक अतुल्य सतह होना चाहिए, हालांकि यह खुद से गुजर सकता है और एम्बेड नहीं किया जा सकता है।

यदि ऐसा है, तो थर्स्टन ने तर्क दिया, एक अंतिम कोटिंग हो सकती है जिसमें सतह इस तरह से सामने आती है जो सभी आत्म-चौराहों को समाप्त करती है। समाप्त कोटिंग्स को अक्सर इस तरह से सरलीकृत किया जाता है। उदाहरण के लिए, अंजीर में तीन पंखुड़ी फूल में वक्र के बाद से 7 केंद्रीय छेद के चारों ओर दो बार जाता है, कोई भी खिंचाव और शिफ्टिंग का कारण यह स्वयं के साथ नहीं हो सकता है। लेकिन अगर हम इस वक्र को छह पंखुड़ी वाले फूल पर मोड़ते हैं, तो एक निश्चित बिंदु P से शुरू होता है, जिसके परिणामस्वरूप लाल वक्र (जिसे गणितज्ञ मूल वक्र का "उदय" कहते हैं) केवल एक बार केंद्रीय छेद के चारों ओर जाएगा और खुद के साथ प्रतिच्छेद नहीं करेगा। (एक दूसरी वृद्धि भी है, एक नीला वक्र दो बिंदुओं पर लाल को पार करता है, तीन-पंखुड़ी के फूल में चौराहे के बिंदु को बंद करता है)।

चित्र 7

1982 के एक पेपर में, थर्स्टन ने सुझाव दिया कि यदि हमारे पास एक कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड है, तो इसे विस्तारित करने का एक तरीका होना चाहिए ताकि हमारे पास परिमित आवरण में एम्बेडेड सतहें हों - अर्थात, 3-मैनिफ़ोल्ड "वस्तुतः हील" होना चाहिए।

जैसा कि हमने पहले ही देखा है, एक निश्चित तरीके से पॉलीहेड्रोन के चेहरों की सीमाओं को देखकर एक हेक मैनिफोल्ड का निर्माण किया जा सकता है। वीजीएच का तात्पर्य है कि किसी भी कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड का निर्माण पहले पॉलीहेड्रोन को सही ढंग से ग्लूइंग करके किया जा सकता है, और फिर परिणामी रूप को अपने आप में एक परिमित संख्या में लपेटकर।

थर्स्टन ने एक और सख्त धारणा बनाई: प्रत्येक कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड को लगभग स्तरीकृत किया जा सकता है, अर्थात्, एक परिमित स्तरीकृत आवरण होता है। एक विविधता जो "एक वृत्त पर स्तरीकृत होती है" (जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं) सतह को थोड़ा मोटा करके बनाया गया है, जो इसे तीन आयामी बनाता है, और आंतरिक और बाहरी सीमाओं को किसी भी तरह से एक साथ जोड़ देता है जो प्रत्येक बिंदु पर सतहों का एक सहज कनेक्शन सुनिश्चित करता है। (एक दूसरे के साथ कई गुना परिणामी भागों के चौराहे के बिना साधारण स्थान में ऐसी gluing असंभव है, लेकिन अब भी इसका अध्ययन किया जा सकता है)। मैनिफ़ेस्ट्स का स्तरीकरण इसलिए कहा जाता है, क्योंकि कोई कल्पना कर सकता है कि एक मोटी सतह को कैसे बढ़ाया जाता है ताकि सीमा की सतह एक दूसरे से दूर हो जाए?और फिर चमकाने से पहले उन्हें एक दूसरे की ओर खींचे और खींचे, और परिणामस्वरूप विविधता कंगन के धागे के प्रत्येक बिंदु पर सतह के आकार में एक असीम पतले मनके के साथ एक कंगन जैसा दिखता है। ये मोतियों की परतें हैं।

प्रत्येक स्तरित मैनिफोल्ड एक Haken मैनिफोल्ड है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। इसलिए, वर्चुअल बंडलों की परिकल्पना वीजीएच से अधिक मजबूत है, और थर्स्टन को यकीन नहीं था कि यह सच था। "यह विचारणीय प्रश्न, जाहिरा तौर पर, एक सकारात्मक जवाब पाने के लिए एक निश्चित मौका है," वह सब है जो वह 1982 के काम में लिख सकता है।

थर्स्टन ने शुरू में अपनी ज्यामितीय परिकल्पना से संपर्क करने के शुरुआती प्रयास में वीजीएच को कहा था, जिसे उन्होंने पहले ही हॉक 3-कई गुना के लिए साबित कर दिया था। यदि वीजीएच सच था, और प्रत्येक कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड एक हॉक परिमित कवरिंग था, तो शायद (थर्स्टन ने उम्मीद की) यह मूल मैनिफ़ेस्ट के ज्यामितीय संरचना के निर्माण के लिए ज्यामितीय आवरण संरचना का उपयोग करना संभव होगा।

30 साल बाद, पेरेलमैन की तुलना में बहुत बाद में पूरी तरह से अलग तरीकों से ज्यामितीय परिकल्पना साबित हुई, वीजीएच और वर्चुअल बंडल परिकल्पना अप्रमाणित रही। वे, उनसे संबंधित दो अन्य परिकल्पनाओं के साथ, 23 में से एकमात्र अनुत्तरित प्रश्न बने रहे। कंप्यूटर गणना वीजीएच की वैधता के पक्ष में बोली गई - हेकन के परिमित कवरिंग 10,000 कंप्यूटर-चयनित हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स में से प्रत्येक के लिए पाए गए थे। यह काम थर्स्टन और नाथन डनफील्ड ने अर्बाना यूनिवर्सिटी ऑफ अर्बाना-शैंपेन से किया था। लेकिन कंप्यूटर का पर्दाफाश इसका सबूत नहीं है।

“जब थर्स्टन ने इस आभासी हेक परिकल्पना को सामने रखा, तो यह सवाल आसान लग रहा था। लेकिन उन्होंने इस निर्णय का डटकर विरोध किया, जो इस क्षेत्र में हम कितना कम समझते हैं, इस पर प्रकाश डालते हैं, मिंस्की ने कहा। "यह पता चला कि इस दिशा में हमारी अज्ञानता गहरी थी।"

भवन की सतह

2009 में, जल-जल भंडारण के आसपास के अशांत जल को शुद्ध किया जाने लगा। उस वर्ष, मार्कोविच और जेरेमी काह्न ने, फिर स्टोनी ब्रुक विश्वविद्यालय में काम करते हुए, वीएचसी को साबित करने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम के प्रमाण की घोषणा की। परिणाम, जिसे हम "अयोग्य सतहों पर प्रमेय" कहेंगे, यह बताता है कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड में एक असंगत सतह होती है (जो संभवतः, स्वयं के साथ प्रतिच्छेदन करती है, और एम्बेडेड नहीं होती है)।

कान और मार्कोविच का प्रमाण त्रि-आयामी टोपोलॉजी और ज्यामिति की बातचीत के केंद्रीय उदाहरणों में से एक है: अयोग्य सतहों पर प्रमेय एक विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल स्टेटमेंट है, लेकिन कान और मार्कोविच ने इसे साबित करने के लिए हाइपरसोनिक ज्यामिति से ली गई एक और संरचना का सक्रिय रूप से उपयोग किया।

3-मैनिफोल्ड के अंदर सतह का निर्माण करने के लिए, कहन और मार्कोविच ने "एक्सपोनेंट मिक्सिंग" नामक हाइपरबोलिक रूपों की संपत्ति का उपयोग किया। इसका मतलब यह है कि यदि आप कई गुना छोटे क्षेत्र में एक पथ शुरू करते हैं, तो एक दिशा चुनें, और कल्पना करें कि आपका क्षेत्र लगभग चयनित दिशा में बहने वाली नदी के साथ चलना शुरू करता है, फिर आपका क्षेत्र धीरे-धीरे फैल जाएगा और लगभग 3-गुना बढ़ जाएगा, इसे मिल जाएगा किसी भी संभावित दिशा से किसी भी संभावित स्थान पर। इसके अलावा, यह सटीक "घातीय" अर्थों में बहुत जल्दी कर देगा।

मिश्रण संपत्ति हाइपरबोलिक 3-मैनिफ़ेस्ट्स के लिए अद्वितीय है और बढ़ती है, मोटे तौर पर बोलती है, इस तथ्य से कि, यूक्लिडियन रिक्त स्थान के विपरीत, एक हाइपरबोलिक स्पेस में "सीधी रेखाएं" या जियोडेसिक्स एक दूसरे के सापेक्ष झुकते हैं। यदि आप हाइपरबोलिक डिस्क के एक छोटे से क्षेत्र का चयन करते हैं और इसे चयनित दिशा में जाने की अनुमति देते हैं, तो यह तेजी से तेजी से बढ़ेगा। 3-कॉम्पैक्ट के अंदर, कई गुना बढ़ता क्षेत्र भी तेजी से बढ़ेगा, लेकिन चूंकि कई गुना का आकार परिमित है, यह क्षेत्र अंततः बार-बार इसके चारों ओर लपेटेगा, खुद को कई बार ओवरलैप करेगा। इसके अलावा - और यह पहले से ही साबित करने के लिए और अधिक कठिन है - क्षेत्र समान रूप से लगभग समान आवृत्ति के साथ सभी बिंदुओं से गुजरते हुए, कई गुना के आसपास लपेटेगा।

गणितज्ञों ने 25 साल से अधिक समय पहले घातीय मिश्रण की इस संपत्ति से निपटा और इस "जियोडेसिक प्रवाह" के आंकड़ों का सावधानीपूर्वक अध्ययन किया, जिसमें पाया गया कि किसी दिए गए क्षेत्र में कब और कितनी बार एक निश्चित बिंदु पर पास होगा। लेकिन जब तक कहन और मार्कोविच ने असंगत सतह प्रमेय को ठीक से नहीं लिया, तब तक गणितज्ञ इस संपत्ति का उपयोग कई गुना में सामयिक संरचनाओं के निर्माण के लिए नहीं कर सकते थे (टेक्सास ए एंड एम विश्वविद्यालय से एक और गणितज्ञ, लुईस बोवेन) ने घातीय मिश्रण का उपयोग करने की कोशिश की 3-कई गुना में अतुलनीय सतहों का निर्माण, लेकिन उनका काम तकनीकी बाधाओं के पार आया)।

यह देखने के लिए कि घातीय मिश्रण की संपत्ति टोपोलॉजिकल और ज्यामितीय संरचनाओं को बनाने में कैसे मदद करती है, हम इसे सतहों के निर्माण की तुलना में एक सरल कार्य पर लागू करते हैं: एक बंद जियोडेसिक लूप का निर्माण, जिसकी लंबाई हमारी पसंदीदा बड़ी संख्या के करीब है (हम इसे आर द्वारा निरूपित करते हैं)।

एक लूप का निर्माण करने के लिए, हम कई शुरुआती बिंदु और किसी भी प्रारंभिक दिशा का चयन करते हैं, और फिर प्रारंभिक बिंदु सहित एक छोटे से क्षेत्र में स्थित एक काल्पनिक पानी की नली को चालू करते हैं और इसे चयनित दिशा में मोटे तौर पर निर्देशित करते हैं। पानी की बूंदें जियोडेसिक पथ के साथ उड़ेंगी, और जब तक आर काफी बड़ा हो जाता है, प्रवाह को मिलाकर इसका मतलब होगा कि जब तक बूंदों ने आर पार कर लिया है, तब तक उन्हें लगभग पूरी तरह से समान रूप से वितरित किया जाएगा। विशेष रूप से, कम से कम एक बूंद को शुरुआती बिंदु के क्षेत्र में लौटना होगा। फिर हम सिर्फ एक छोटे से पुल का निर्माण करते हैं, जो इस ड्रॉप के जियोडेसिक को शुरुआती बिंदु पर एक लूप मिलता है, जो लगभग पूरी तरह से जियोडेसिक है, जिसकी लंबाई लगभग R है। यह दिखाना आसान है कि इस लूप को कई गुना तंग करके,आप सही जियोडेसिक लूप प्राप्त कर सकते हैं।

ध्यान दें कि विधि हमें आर के करीब एक से अधिक जियोडेसिक लूप देती है। इस प्रक्रिया में, आप किसी भी शुरुआती बिंदु और किसी भी दिशा का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए आप बहुत सारे लूप बना सकते हैं। घातीय मिश्रण का उपयोग करके संरचनाओं के निर्माण के लिए यह मूल सिद्धांत है।

खलगारी कहती हैं, '' मिश्रण का दावा है कि विविधता में जो भी संरचनाएं आपको मिलती हैं, आप उन्हें पर्याप्त मात्रा में पाएंगे।

चित्र 8

कान और मार्कोविच ने "पतलून के जोड़े" बनाने के लिए हमारे व्यायाम के समान एक दृष्टिकोण का उपयोग किया - सतह जो स्थैतिक रूप से तीन छेद के साथ एक क्षेत्र के बराबर होती है (इसलिए बोलने के लिए, बेल्ट के लिए एक और पैरों के लिए दो)। ये पतलून गोले और टोरस को छोड़कर सभी कॉम्पैक्ट सतहों के निर्माण के लिए शुरुआती सामग्री हैं - उदाहरण के लिए, gluing (या सिलाई) दो पतलून हमें एक डबल टोरस (छवि 8) देते हैं।

कान और मार्कोविच ने दिखाया कि किसी भी पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में आर के लिए इस तरह के पतलून के कई जोड़े बनाना कई गुना संभव है, कि उनके तीन "कफ" आर की लंबाई तक पहुंचेंगे और लगभग पूरी तरह से जियोडेसिक होंगे, यानी पतलून की सतह का प्रत्येक टुकड़ा लगभग उसी से दिखेगा। हाइपरबोलिक ज्यामिति का दृश्य।

उन्होंने यह भी दिखाया कि किसी भी कफ के लिए, पतलून में पतलून की एक और जोड़ी होती है, जो कफ़ से लगभग विपरीत दिशा में जाती है। कफ़न में इन पतलूनों को एक साथ सिलाई करते हुए, कान और मार्कोविक को कॉम्पैक्ट सतहों का एक बड़ा परिवार मिला, जो लगभग पूरी तरह से भूगर्भिक था, जिसमें सीम पर छोटी झुर्रियाँ थीं। लगभग 3-मैनिफेस्टो के अंदर लगभग जियोडेसिक सतह असंगत हैं, इसलिए, कान और मार्कोविच के निर्माण ने असंगत सतहों के प्रमेय को साबित किया।

इस पद्धति ने यह भी दिखाया कि 3-गुना में न केवल एक अचूक सतह होती है, बल्कि "विभिन्न स्थानों में लगभग जियोडेसिक सतहों की एक समृद्ध संरचना", कलगी कहते हैं।

काह्न और मार्कोविच के काम ने उन्हें 2012 क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथेमेटिक्स अवार्ड दिलाया, जो गणितीय सफलताओं के लिए दिया गया था।

ब्राउन विश्वविद्यालय से 2011 के एक लेख में जेफ्री ब्रॉक ने कहा, "केहन और मार्कोविच की तकनीक उनके परिणामों के लिए हीन नहीं हैं, और यह काम निस्संदेह इससे संबंधित अनुसंधान के कई अन्य क्षेत्रों को प्रेरित करेगा।"

छिपी हुई संरचना

कान और मार्कोविच ने गणितज्ञों के लिए शुरुआती बिंदु बनाया जो वीएचसी को साबित करने की कोशिश कर रहे थे।

उन्होंने दर्शाया कि प्रत्येक मैनिफोल्ड को एक असंगत सतह समाहित करने की गारंटी है। लेकिन यह सतह स्वयं के माध्यम से गुजर सकती है, संभवतः कई स्थानों पर, और एम्बेड नहीं किया जाना चाहिए। कान और मार्कोविच के काम के आधार पर वीजीएचवाईयू प्राप्त करने के लिए, गणितज्ञों को कई गुना के परिमित कवर को खोजने की जरूरत थी, जिसमें, उदाहरण के रूप में छह और तीन-पंखुड़ियों वाले रंगों के साथ, सतह उन सतहों के एक सेट तक बढ़ जाती है जो खुद को अंतर नहीं करती (हालांकि वे एक-दूसरे को प्रतिच्छेद कर सकते हैं)। यदि यह संभव था, तो उनमें से प्रत्येक कोटिंग में एक अंतर्निहित अतुलनीय सतह होगी, जिसका अर्थ है कि कोटिंग हेक होगी।

लेकिन ऐसी कवरेज कैसे पाएं?

डैनफील्ड का कहना है, "कान और मार्कोविच और डब्ल्यूएचसी के काम के बीच एक बड़ा अंतर है।" "उनकी खोज महत्वपूर्ण थी, लेकिन यह स्पष्ट नहीं था कि क्या यह एम्बेडेड सतहों की खोज में मदद करेगा।"

काह्न और मार्कोविच के काम ने मैकगिल विश्वविद्यालय के डैनियल वाइज का ध्यान आकर्षित किया। समझदार ने परिमित आवरणों का उपयोग करके स्थलाकृतिक वस्तुओं के आत्म-चौराहों को हटाने पर शोध में अपना कैरियर बनाया, लेकिन उन्होंने "क्यूबिक कॉम्प्लेक्स" के संदर्भ में काम किया, जो कि पहली नज़र में 3-कई गुना अलग हैं। काह्न और मार्कोविच के काम ने अन्य गणितज्ञों को दिखाने में मदद की कि ये दोनों संदर्भ इतने अलग नहीं हैं।

क्यूबिक कॉम्प्लेक्स - यह क्यूबिक कॉम्प्लेक्स (CC) है: यह क्यूब्स का एक सेट है, न केवल तीन-आयामी क्यूब को "क्यूब" कहा जाता है, बल्कि किसी भी संख्या में आयामों में एक आकृति होती है, जिसमें सभी बिंदुओं से मिलकर एक आयाम होता है जिसका समन्वय झूठ होता है, उदाहरण के लिए, बीच के अंतराल पर - 1 और +1। उदाहरण के लिए, एक वर्ग एक दो आयामी घन है, और एक खंड एक आयामी है। अंतरिक्ष यान में क्यूब्स कोनों, किनारों, चेहरों और उच्च आयामों के किनारे एक दूसरे से जुड़े होते हैं।

अंजीर। 9

सीसी 3-कई गुना से बहुत अलग हैं - वे भी कई गुना नहीं हैं, क्योंकि विभिन्न आयामों के दो क्यूब्स के चौराहों में किसी भी आयाम के सामान्य स्थान के समान नहीं हैं। लेकिन CC सरलीकृत ऑब्जेक्ट हैं जिसमें 3-मैनिफोल्ड्स में निहित सतह के एक प्रमुख पहलू का अध्ययन किया जाता है: यह तथ्य कि ऐसी सतह कम से कम स्थानीय रूप से अपने पर्यावरण को दो भागों में विभाजित करती है।

यदि आपको उन वस्तुओं का पता लगाने की आवश्यकता है जो आकार को दो भागों में विभाजित करते हैं, तो क्यूब्स शुरू करने के लिए प्राकृतिक क्षेत्र हैं, सभी संभावित रूपों के कारण, उनके पास ऐसी वस्तुओं का सबसे सरल है: हाइपरप्लेन जो उन्हें बीच में काटते हैं। वर्ग में दो हाइपरप्लेन (GP) हैं - ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएं, इसे आधे में काटते हुए। घन में तीन GPs हैं (चित्र 9 देखें)। एक एन-डायमेंशनल क्यूब में अपने केंद्र में एनपी इंटरसेक्टिंग है।

"हाइपरप्लेन 3-मैनिफोल्ड्स में सतहों के समान हैं, लेकिन आप उन्हें तुरंत देखते हैं," समझदार कहते हैं। "सतहों की खोज करना कठिन है, लेकिन हाइपरप्लेन आपको शुरू से ही उपलब्ध हैं।"

यदि हम क्यूसी में क्यूब के अंदर जीपी के साथ शुरू करते हैं, तो पड़ोसी क्यूब्स में जीपी को जीपी का विस्तार करने का एक तरीका है; उसके बाद, पड़ोसी लोगों के लिए उनका विस्तार करने का एक तरीका है; और इसी तरह। इसलिए, CC में प्रत्येक प्रारंभिक GP के लिए पूरे CC में GP में इसे विस्तारित करने का एक अनूठा तरीका है (देखें। 10)।

चित्र १०। सही वर्ग में लाल हाइपरप्लेन विशिष्ट रूप से पूरे क्यूबिक परिसर में एक हाइपरप्लेन तक फैलता है।

यह गुण 3-कई गुना के साथ दृढ़ता से विरोधाभास करता है, जिसमें एक छोटे से सतह क्षेत्र को कई तरीकों से पूरी सतह तक बढ़ाया जा सकता है। अपने जीपी के साथ सीसी "सुंदर, क्रिस्टल स्पष्ट और सख्त" है, इगोल कहता है, और उनके पास 3-गुना और उनकी सतहों की "चंचलता" नहीं है।

जब हम अंतरिक्ष यान में जीपी का विस्तार करते हैं, तो यह उस क्यूब पर ठोकर खा सकता है, जहां से यह सब शुरू हुआ था और इसके माध्यम से प्रारंभिक जीपी (चित्र 11) देखें। दूसरे शब्दों में, एक विस्तारित जीपीयू आवश्यक रूप से अंतर्निहित नहीं होगा। जैसा कि 3-कई गुना के अंदर सतहों के मामले में है, एक पूछ सकता है कि क्या क्यूसी में एक परिमित आवरण है जिसमें ये आत्म-प्रतिच्छेदिंग जीपी एम्बेडेड वाले होते हैं - यह केके के लिए हूक आभासी परिकल्पना का संस्करण है।

चित्रा 11

कुछ साल पहले, यूनिवर्सिटी ऑफ पेरिस-साउथ XI के समझदार और फ्रेडेरिक हेग्लंड ने "विशेष" क्यूसी की एक श्रेणी की पहचान की, जो अन्य गुणों के अलावा, केवल अंतर्निहित जीपीयू है। पिछले दशक में, समझदार ने "विशेष QCs" की पहचान करने के लिए अनुकूलित तकनीकों का एक शस्त्रागार विकसित किया है। 2009 में, वाइज ने एक 200-पृष्ठ "मुख्य नौकरी" जारी की, जैसा कि डैनफील्ड ने कहा, जिसमें उन्होंने विशेष QCs से संबंधित खोजों का एक सेट वर्णित किया, जैसे कि "संयोजन प्रमेय," यह दिखाते हुए कि नए QCs की गारंटी के लिए विशेष QCs को कैसे एक साथ रखा जाए, भी एक "विशेषता।" अपने काम में, समझदार ने एक परिकल्पना तैयार की है जो कहा गया है, मोटे तौर पर बोल रहा है कि हाइब्रिडिक ज्यामिति के समान तरीके से झुकने वाली ज्यामिति के साथ कोई भी क्यूसी "वस्तुतः" विशेष है - अर्थात, इसका एक विशेष परिमित आवरण है। इस परिकल्पना को समझदार परिकल्पना कहा जाता था।

समझदार आश्वस्त था कि अगर यह फॉर्म किसी तरह से क्यूसी के समान है - जब इसे "क्यूबेड" किया जा सकता है - तो क्यूसी संरचना मूल रूप के कई गुणों की खोज करने के लिए महत्वपूर्ण होगी।

"सीसी एक रहस्य था जो लोगों को यह भी नहीं पता था कि क्या पूछना है," उन्होंने कहा। "यह एक मूलभूत छिपी हुई संरचना है।"

घनघोर जंगल

रूपों की घनघोरता को लेकर वेइस बेहद चिंतित थे, लेकिन पहले तो उनके साथी इस उन्माद के कारण उन पर हंसते थे।

तब कहन और मार्कोविच ने असंगत सतह प्रमेय को साबित कर दिया, और वाइज और बर्जरॉन ने तुरंत एक पेपर प्रकाशित किया, जिसमें दिखाया गया कि कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3 में अयोग्य सतहों का अस्तित्व इसे प्रदर्शित करने के लिए एक तरीका देता है - और इसलिए कि 3-कई गुना की सतह परिणामस्वरूप क्यूबिक परिसर में हाइपरप्लेन के अनुरूप होती हैं। ।

वाइज और बर्जरोन के डिजाइन की कुंजी यह तथ्य था कि काह्न और मार्कोविच ने दिखाया कि कैसे एक नहीं, बल्कि कई सतहों का निर्माण करना है। क्यूबिंग के दृष्टिकोण के बाद, पहली बार 2003 में माइकल सागेव द्वारा तैयार किया गया, जो अब टेक्नीन (इज़राइल) में काम कर रहा था, समझदार और बर्जरॉन ने काह्न-मार्कोविच सतहों का एक विशाल संग्रह लेकर शुरू किया - जो कि कॉम्पैक्ट पॉलीगॉन में 3-गुना को विभाजित करने के लिए पर्याप्त है।

अब इन सतहों के एक चौराहे के बिंदुओं की कल्पना करें - उदाहरण के लिए, इसमें n सतहें हैं। सगेव का अनुमान इस प्रतिच्छेदन को एक छाया के रूप में माना जाता था, इसलिए बोलने के लिए, एन-हाइपरप्लेन के चौराहे से एक एन-आयामी क्यूब में। 3-मैनिफोल्ड के अनुरूप एक केके का निर्माण किया जाता है, मोटे तौर पर बोलना, एन सतहों के प्रत्येक चौराहे के लिए एक एन-डायमेंशनल क्यूब जोड़कर (वास्तव में, यह सब अप्रत्याशित रूप से सामयिक परिस्थितियों को ध्यान में रखते हुए अधिक सूक्ष्म रूप से निर्मित होता है)। यदि एक 3-गुना में उनके संबंधित चौराहे बिंदु एक पॉलीओपॉप्स के चेहरे से जुड़े होते हैं, तो एक परिसर में दो क्यूब्स आसन्न होते हैं।

डैनफील्ड का कहना है, "क्यूबिक कॉम्प्लेक्स को एक-दूसरे के साथ और एक-दूसरे के साथ सतहों को एक दूसरे के साथ कैसे जोड़ा जाता है, इसकी सही-सही गणना करने की जरूरत है।"

समझदार और बर्जरोन ने दिखाया कि यह केके मूल गुणक के लिए "समरूप रूप से समरूप" है, अर्थात, जब तक केके कई गुना और उलटा नहीं हो जाता, तब तक केके को संपीड़ित और बढ़ाया जा सकता है (कुछ आयामों और व्युत्क्रम प्रक्रिया में चपटा हो जाता है)। इसके अलावा, यह होमोटॉपिक समतुल्य केकेके के समरूप समरूप जीपी में 3-गुना की प्रत्येक सतह को बदल देता है।

इस तरह से निर्मित क्यूसी समझदार परिकल्पना की ज्यामितीय आवश्यकताओं को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि यदि समझदार परिकल्पना सच है, तो इस QC में एक परिमित आवरण है जिसमें सभी GPs सन्निहित होंगे।

यदि इस तरह की अंतिम कोटिंग वास्तव में मौजूद है (उदाहरण के लिए, एम शीट्स को कवर करना), तो हमें यह याद रखना होगा कि कोटिंग को क्यूसी से ही बनाया जा सकता है, इसे एक विशेष तरीके से काटकर, फिर इस क्यू की एम प्रतियां बनाकर उन्हें कट लाइनों के साथ एक साथ gluing किया जा सकता है। यह दिखाना आसान है कि एक कोटिंग के निर्माण के लिए यह नुस्खा 3-मैनिफोल्ड के अंतिम कवर के निर्माण में स्थानांतरित किया जा सकता है, और इस फाइनल में सीसी के निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले कान-मार्कोविच सतहों को कवर करके एम्बेडेड सतहों तक बढ़ जाएगा। दूसरे शब्दों में, यदि समझदार परिकल्पना सत्य है, तो IHC भी सत्य है।

"यह एक बहुत ही अजीब समझौता है: आपका QC उदाहरण के लिए, 10,000-आयामी हो सकता है, और यह आपको लग सकता है कि कुछ अर्थों में आप स्थिति को खराब कर रहे हैं," समझदार कहते हैं। "लेकिन क्यूसी मूल्य के बावजूद, इसके कई गुण समझने में बहुत आसान हैं, इसलिए यह प्रक्रिया बहुत मूल्यवान है।" "हम 3-गुना के बजाय कुछ बड़ा, लेकिन अच्छी तरह से संगठित करना पसंद करते हैं।"

समझदार और बर्जरोन ने QC और VGH के बीच संबंध स्थापित करने के बाद भी, 3-कई गुना अध्ययन करने वाले अधिकांश टोपोलॉजिस्ट QC से दूर रहे। शायद इसलिए कि समझदार 200 पेज का काम हतोत्साहित करने वाला था, या क्योंकि सीसी अपने सामान्य स्थानों से बहुत अलग थे।

"ये विचार अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति से उभरने वाले लोगों के लिए बहुत गूढ़ थे," बर्जरोन कहते हैं।

लेकिन एक गणितज्ञ पहले से ही 3-मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी में पारंगत था, साथ ही साथ अधिक अमूर्त कॉम्बिनेटरियल चीजें जो समझदारी अपने दृष्टिकोण में उपयोग करता था।

"मुझे लगता है कि जन आइगोल केवल 3-कई गुना विशेषज्ञ था, जो शुरुआती समय में ही समझ गया था कि 3-कई गुना के टोपोलॉजी के लिए समझदार विचारों का उपयोग कैसे किया जा सकता है," बर्जरोन कहते हैं।

आइजोल समझदार के "मुख्य कार्य" के अध्ययन में गहराई से चला गया और आश्वस्त हो गया कि समझदार की परिकल्पना से संबंधित इसके सभी भाग सही थे। Aigol कुछ समय के लिए VHC में शामिल रहा है; उन्होंने महसूस किया कि समझदार दृष्टिकोण, स्फटिक सतहों को क्रिस्टलीय हाइपरप्लेन में बदलना, वास्तव में उनकी आवश्यकता थी।

"केके हमें अंतिम कोटिंग के निर्माण के लिए जंगल देता है," उन्होंने कहा।

वाइज-बर्जरोन अंतरिक्ष यान पर एक विशेष अंतिम कोटिंग बनाने के लिए, ऐगोल ने जीपी के साथ अंतरिक्ष यान को "लेगो क्यूब्स" में काटना शुरू किया। फिर उसने ब्लॉकों के चेहरों को रंग सौंपा, ताकि कोने पर पाए गए दो चेहरों में अलग-अलग रंग हों। फिर, ईगोल ने दिखाया कि मोटे तौर पर बोलना, लेगो क्यूब्स की प्रतियों की एक सीमित संख्या को गोंद करने का एक तरीका है, जिसमें समान रंगों के साथ चेहरे इस तरह से होते हैं कि इन चेहरों के किनारों पर रंग भी मेल खाएंगे। नतीजतन, प्रत्येक विस्तारित जीपी एक ही रंग होगा। परिणामस्वरूप क्यूसी मूल की अंतिम कोटिंग होगी, और इसके सभी जीपी को एम्बेडेड किया जाएगा, क्योंकि किसी भी दो इंटरसेक्टिंग जीपी अलग-अलग रंगों के होंगे, इसलिए यह एक जीपी इंटरसेक्टिंग नहीं होगा।

12 मार्च को, ऐजोल ने समझदार परिकल्पना के प्रमाण की घोषणा की, और इसलिए हूक आभासी परिकल्पना की।

डैनफील्ड ने कहा कि पेरेलमैन ने ज्यामितीय परिकल्पना साबित की, यह सबसे रोमांचक खबर थी।

जानकारी 3-कई गुना शोधकर्ताओं के समुदाय के माध्यम से चली गई, और क्यूसी तुरंत सभी टोपोलॉजिस्ट के लिए एक सामान्य विषय बन गया।

आइगोल ने कहा, "मुझे लगता है कि अभी तक गणितीय समुदाय समझ में नहीं आया है कि समझदार का काम कितना शक्तिशाली है।" "मुझे लगता है कि मेरा परिणाम लोगों को समझाएगा कि उसने क्या अद्भुत प्रगति की है।"

अब, समझदार के अनुसार, गणितज्ञों को यह एहसास होने लगा है कि "हर बार जब आप किसी चीज को काटते हैं, तो आप संरचना के सभी प्रकार के रहस्यों को प्रकट कर सकते हैं।"

एक युग का अंत

वाइज़ के सिद्धांत का आइगोल का प्रमाण "1 की कीमत के लिए 4" का प्रमाण था: यह न केवल वीएचसी, बल्कि थर्सटन के 23 प्रश्नों में से अन्य तीन भी साबित हुआ, जो तब तक खुला था। प्रमाण तक पहुंचने वाले समय में, ईगोल और अन्य गणितज्ञों ने दिखाया कि इन तीनों सवालों में - आभासी बंडल परिकल्पना और हाइपरबोलिक 3-कई गुना के संबंध में दो और तकनीकी प्रश्न - साथ ही समझदार परिकल्पना से भी।

वर्चुअल बंडल परिकल्पना के मामले में, हम याद करते हैं कि लक्ष्य यह दिखाना था कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड में एक परिमित आवरण होता है जो एक सर्कल में फाइबर किया जाता है, अर्थात्, एक मोटी सतह के विपरीत भागों को gluing करके बनाया जाता है। वीजीएच से हम जानते हैं कि एक मैनिफोल्ड में एक परिमित होकेनोव कोटिंग है - अर्थात, कोटिंग में एक अंतर्निहित अपूर्ण सतह है। यदि आप इस सतह के साथ Haken को कई गुना खोलते हैं, तो आपको कुछ ऐसा मिलेगा, जो सिरों पर एक मोटी सतह जैसा दिखता है, लेकिन जैसा कि ईश्वर जानता है कि "हिम्मत" में क्या है।

दक्षिण कोरिया के डेजोन की हालिया यात्रा पर यांग आइगोल।

2008 में, कलगीरी के अनुसार, "आश्चर्यजनक सफलता" तब मिली जब ईगोल ने दिखाया कि विशेष तकनीकी स्थितियों को संतुष्ट करने वाले हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स को लगभग स्तरीकृत होने की गारंटी है। अगले वर्ष, इस आधार पर समझदार ने दिखाया कि सभी हेक मैनिफोल्ड्स वास्तव में स्तरीकृत हैं। यही है, एक परिमित आवरण प्राप्त करने के लिए हेक मैनिफोल्ड का विस्तार करने का एक तरीका है जो एक जटिल टोपोलॉजी को प्रकट करता है और एक साधारण पर्णित गुना होता है। इसलिए, यदि मैनिफ़ोल्ड वस्तुतः होकेनोव है, तो इसे वस्तुतः स्तरीकृत किया जाना चाहिए।

"मुझे लगता है कि हर कोई मानता था कि वीजीएच सच होगा, लेकिन आभासी बंडल की परिकल्पना हमारे लिए कम सुलभ थी," कलेरिया ने कहा। "मेरे लिए, तथ्य यह है कि आभासी स्तरीकरण परिकल्पना VGH से इस कहानी का सबसे चौंकाने वाला पक्ष है।"

वर्चुअल बंडल परिकल्पना के प्रमाण के साथ, "आपको लुभाया जा सकता है और यह निर्णय लिया जा सकता है कि 3-मैनिफोल्ड्स बहुत सरल हैं क्योंकि कई गुना जो एक सर्कल में स्तरीकृत होते हैं, वे सरल हैं," मिंस्की ने कहा। "लेकिन मुझे लगता है कि यह हमें सिखाता है कि कई गुना जो एक सर्कल में स्तरीकृत हैं वे बिल्कुल भी सरल नहीं हैं, और हम उम्मीद से अधिक चालाक हैं।"

उसी समय, वर्चुअल बंडल प्रमेय का अर्थ है कि सभी कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स बनाने के लिए एक सरल और जानकारीपूर्ण नुस्खा है: एक मोटी सतह के साथ शुरू करें, अपने स्वाद के साथ घुमाव के साथ इसकी आंतरिक और बाहरी सीमा को एक साथ गोंद करें, और कई गुना खुद को कई गुना गुना करें।

“अगर आपने मुझसे हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड के लिए पूछा, तो मैं पूछूँगा कि आपको किस प्रकार की ज़रूरत है - किस प्रकार के बंडल और अंतिम कवरिंग? - कलगी कहती है। "अब हम जानते हैं कि इस प्रक्रिया में हम एक भी 3-गुना नहीं चूकते हैं।"

हालांकि गणितज्ञों को इगोल के कार्यों को पूरी तरह से परखने के लिए समय की आवश्यकता होगी, लेकिन उनमें से कई आशावादी हैं कि यह परीक्षा पास करेगा।

"जान आइगोल एक लापरवाह व्यक्ति नहीं है," मिन्सकी कहते हैं।

अब, जाहिरा तौर पर, थर्स्टन की सूची से अंतिम प्रश्न हल हो गया है, शोधकर्ता आश्चर्यचकित करने लगे हैं कि 3-कई गुना का टोपोलॉजी क्षेत्र थर्स्टन के बाद एक बहादुर नई दुनिया में कैसा दिखेगा।

गणितज्ञ इस बात से सहमत हैं कि उनके पास उपयोगी चीजों को खोजने में बहुत काम होगा जो क्यूब क्यूबेबल रूपों के लिए पेश कर सकते हैं। और 3-स्वयं के लिए, आइगोल के अनुसार, युग का अंत आ गया है - और अगले की शुरुआत।

"गणित के अधिकांश क्षेत्रों में कोई योजना नहीं है जो आगे 20-30 वर्षों के लिए मार्ग की रूपरेखा तैयार कर सके, जैसा कि यह हमारे साथ था," वे कहते हैं। अब, उनका सुझाव है, 3-कई गुना और ज्यामिति की टोपोलॉजी गणित के अन्य क्षेत्रों के समान हो सकती है जिसमें वैज्ञानिक स्पर्श करते हैं और जो कुछ भी हो रहा है उसकी एक बड़ी काल्पनिक तस्वीर के बिना भी प्रगति करते हैं।

"गणितज्ञों की नई पीढ़ी निम्नलिखित महत्वपूर्ण प्रश्नों के साथ आएगी," आइगोल कहते हैं।

हम आकार में मिलते हैं: हाइपरबोलिक ज्यामिति से लेकर क्यूबिक कॉम्प्लेक्स और इसके विपरीत