गणितज्ञ एक न्यूनतम परिकल्पना पर प्रकाश डालते हैं

लगभग 1800 ईसा पूर्व बने बेबीलोन की इस गोली पर, पाइथागोरस के त्रिभुज सूचीबद्ध हैं - पूर्णांक a, b और c, बहुपद समीकरण ² + b ² = c ^{2 को} संतुष्ट करते हैं। आज तक, बहुपद समीकरणों के तर्कसंगत और पूर्णांक समाधानों की खोज गणितज्ञों के लिए एक गंभीर समस्या बनी हुई है।

पाँचवीं शताब्दी ई.पू. ग्रीक गणितज्ञ ने एक ऐसी खोज की जिसने गणित की नींव हिला दी, और किंवदंती के अनुसार, उसे अपने जीवन का खर्च उठाना पड़ा। इतिहासकारों का मानना ​​है कि यह मेटापोंट से हिप्पस था , और वह गणित के पायथागॉरियन स्कूल से संबंधित था, जिसका मुख्य सिद्धांत यह था कि किसी भी भौतिक घटना को पूर्णांक और उनके संबंधों (जिसे हम तर्कसंगत संख्याएं कहते हैं) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। लेकिन यह धारणा तब टूट गई जब इतिहासकारों के अनुसार, गिपस ने एक सही त्रिकोण के किनारों की लंबाई पर विचार किया, जिससे पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करना चाहिए - प्रसिद्ध संबंध ² + बी ² = सी ² । ऐसा कहा जाता है कि गिप्पास ने दिखाया कि एक त्रिभुज के पैरों की समान लंबाई के साथ एक परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त की गई है, इसके कर्ण को एक परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

कहानी के एक संस्करण के अनुसार, गिपस ने समुद्र में रहते हुए इस खोज को अंजाम दिया और इस खोज से हैरान उनके सहयोगियों ने उन्हें जहाज पर फेंक दिया।

आधुनिक गणितज्ञ अब प्राचीन यूनानियों की तरह शर्मनाक नहीं हैं, तर्कहीन संख्याओं द्वारा (और सामान्य रूप से उन्होंने पाया कि तर्कसंगत लोगों की तुलना में अधिक तर्कहीन संख्याएं हैं)। लेकिन समीकरणों के तर्कसंगत समाधान के लिए पाइथागोरस का प्यार गणितज्ञों को जानकारी के साथ खिलाना जारी है। यह संख्या सिद्धांत को रेखांकित करता है, गणित की पारंपरिक सैद्धांतिक शाखा, जो हमारे डिजिटल युग में अप्रत्याशित रूप से कई अनुप्रयोगों को मिला है।

अब दो युवा गणितज्ञों ने क्यूबिक समीकरणों के तर्कसंगत समाधानों के अपने अध्ययन में विज्ञान को सबसे आगे बढ़ाया है। बहुपद समीकरण जिनमें चर कुछ अंशों में होते हैं, जैसे y = 3x ³ + 4 या x ² + y ² = 1, गणितज्ञों द्वारा अध्ययन की जाने वाली मूलभूत वस्तुओं में से हैं और विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोगों के साथ-साथ गणित की शाखाओं में भी उपयोग की जाती हैं। ।

बहुपद ब्रह्मांड

यह देखना आसान है कि एक बहुपद समीकरण जिसमें चर की डिग्री 1 से अधिक नहीं होती है, जैसे कि y = 3x + 4, में तर्कसंगत समाधानों की अनंत संख्या होती है। X का कोई तर्कसंगत मूल्य y का एक तर्कसंगत मूल्य देता है, और इसके विपरीत।

यह एक हजार वर्षों के लिए जाना जाता है कि डिग्री 2 के साथ बहुपदों के लिए तर्कसंगत समाधान कैसे प्राप्त करें, जैसे कि x ² + y ² = 1 या y = 3x ³ + 2x - 7। उनके पास कोई समाधान नहीं हो सकता है, या असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं। इस तरह के घटता के ग्राफ शंक्वाकार खंड हैं - मंडलियाँ, परवलय, दीर्घवृत्त और हाइपरबोलस। यदि एक तर्कसंगत बिंदु P चार्ट पर है, तो अन्य सभी तर्कसंगत बिंदुओं को खोजने का एक सुंदर तरीका है। आपको बस एक तर्कसंगत ढलान के साथ पी से गुजरने वाली सभी लाइनों को लेने की जरूरत है, और शंक्वाकार अनुभाग के साथ इस रेखा के दूसरे चौराहे की गणना करें।

1983 में, गर्ड फ़ाल्टिंग्स, जो अब गणित के संस्थान के निदेशक का पद संभालते हैं। बॉन में मैक्स प्लैंक, 3. से अधिक की डिग्री के साथ बहुपद समीकरणों का पता लगाया। उन्होंने दिखाया कि उनमें से ज्यादातर के पास केवल कई तर्कसंगत समाधान हो सकते हैं। और घन समीकरण बने रहे, बहुपद के ब्रह्मांड के जिद्दी विचलन।

क्यूबिक समीकरणों ने गणितज्ञों को उनके समाधान को वर्गीकृत करने के प्रयासों का विरोध किया। क्यूबिक समीकरणों के तर्कसंगत समाधानों को वर्गीकृत करने का प्रयास - अधिक सटीक रूप से, क्यूबिक समीकरणों के एक परिवार को, अण्डाकार घटता के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह वे है, कई अन्य लोगों के अपवाद के साथ, तर्कसंगत समाधान हो सकते हैं - संख्या सिद्धांत में सभी महान विशेषज्ञों द्वारा किया गया है, जो 17 वीं शताब्दी के फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फर्मेट फ़र्मेट से शुरू होता है। हार्वर्ड विश्वविद्यालय के बेनेडिक्ट ग्रॉस कहते हैं।

अण्डाकार घन समीकरणों में शून्य, परिमित या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं। अब तक, गणितज्ञ केवल यह अनुमान लगाने में सक्षम हैं कि ये विकल्प कितनी बार उत्पन्न होते हैं।

अण्डाकार वक्रों की सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त गणित दोनों ही जगहों पर अप्रत्याशित क्षमता उत्पन्न होती है। उनकी समझ 1995 से फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण में एक प्रमुख तत्व बन गई, हालांकि ऐसा लगता है कि अण्डाकार वक्र इसके निर्माण से संबंधित नहीं हैं। अण्डाकार घटता का उपयोग करने वाले संचालन ऑनलाइन लेनदेन में बैंक कार्ड नंबर को कूटने वाले कई क्रिप्टोग्राफिक प्रोटोकॉल के केंद्रीय घटक बन गए हैं। अण्डाकार घटता के तर्कसंगत समाधान पायथागॉरियन शैली की विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं के बहुत केंद्र में हैं, उदाहरण के लिए, पक्षों की तर्कसंगत लंबाई के साथ आयताकार त्रिकोण की खोज और एक ही समय में तर्कसंगत क्षेत्र।

"बुद्धिमान उत्तेजना, उत्कृष्ट संरचना, व्यावहारिक अनुप्रयोग - ये सभी अण्डाकार वक्र हैं," प्रिंसटन विश्वविद्यालय से मंजुल भार्गव कहते हैं।

बरगावा 38 साल के हैं, उनके सहयोगी, अरुल शंकर - 26, वे प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडीज में काम करते हैं और पहले से ही पिछले कुछ दशकों में दीर्घवृत्तीय वक्रों के तर्कसंगत समाधान को समझने के लिए सबसे बड़े कदमों में से एक ले चुके हैं।

उनके काम में, किसी विशेष अण्डाकार वक्र के तर्कसंगत समाधान खोजने का कोई नुस्खा नहीं है; इसके बजाय, वह बताती है कि तर्कसंगत निर्णयों के लिए सबसे संभावित परिदृश्य क्या हो सकता है यदि वक्र को अनियमित रूप से चुना जाए।

बरगावा और शंकर की खोजों ने "हमारे अज्ञान के एक बड़े क्षेत्र पर प्रकाश डालना शुरू किया," सकल ने कहा। "उनके काम के बाद, पूरी दुनिया अलग दिखती है।"

अण्डाकार सुरक्षा

यदि हम एक अण्डाकार वक्र पर दो तर्कसंगत बिंदु लेते हैं, तो उनके बीच से गुजरने वाली रेखा लगभग हमेशा वक्र को एक और बिंदु पर काटती है, वह भी तर्कसंगत निर्देशांक के साथ। तीसरा उत्पन्न करने के लिए दो अलग-अलग तर्कसंगत बिंदुओं का उपयोग करना बहुत सरल है, लेकिन इसके विपरीत करना बहुत मुश्किल है - एक तर्कसंगत बिंदु लें और दो अन्य तर्कसंगत बिंदु खोजें जो इसे उत्पन्न करेंगे। यह गुण क्रिप्टोग्राफी के लिए अण्डाकार घटता को उपयोगी बनाता है: क्रिप्टोग्राफ़िक सुरक्षा उन कार्यों पर आधारित है जो एक दिशा में करना आसान है और दूसरे में मुश्किल है।

प्रिंसटन यूनिवर्सिटी के पीटर सरनक ने कहा, "अण्डाकार वक्र कई अद्भुत चीजों में शामिल हैं।" "वे बड़ी मात्रा में जानकारी ले जाने के लिए पर्याप्त जटिल हैं, लेकिन गहन अध्ययन के लिए पर्याप्त सरल हैं।"

मस्ती की सवारी

एक अण्डाकार वक्र के तर्कसंगत समाधानों को xy विमान पर इसके ग्राफ पर अंक खोजने के लिए कम करता है, जैसे कि उनके x और y निर्देशांक तर्कसंगत संख्याएं हैं। और अक्सर ऐसा करना काफी मुश्किल होता है। लेकिन अगर आपको कई तर्कसंगत बिंदु मिलते हैं, तो सरल प्रक्रियाओं का उपयोग करके अधिक उत्पन्न करना संभव हो जाता है, पहले अलेक्जेंडरियन गणितज्ञ डायोफैंटस द्वारा दो सदियों पहले खोजा गया था। उदाहरण के लिए, यदि आप दो तर्कसंगत बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खींचते हैं, तो यह आमतौर पर वक्र को बिल्कुल एक बिंदु पर काटता है, यह भी तर्कसंगत है।

यह प्रक्रिया "एक बहुत ही जटिल संरचना है, घन समीकरणों में कुछ खास है जो उन्हें गहराई देता है," बरगावा ने कहा।

1922 में, लुई मोर्डेल ने कुछ अद्भुत साबित किया। किसी भी अण्डाकार वक्र के लिए, यहां तक ​​कि असीम रूप से कई तर्कसंगत बिंदुओं के साथ, आप सभी तर्कसंगत बिंदुओं को उत्पन्न कर सकते हैं, उनमें से छोटी संख्या के साथ शुरू कर सकते हैं, और फिर उन्हें एक साथ जोड़ सकते हैं। यदि अण्डाकार वक्र पर परिमेय बिंदुओं की संख्या अनंत है, तो उन सभी को उत्पन्न करने के लिए आवश्यक न्यूनतम बिंदुओं को वक्र की श्रेणी कहा जाता है। जब इन बिंदुओं की संख्या परिमित होती है, तो वक्र की रैंक 0 होती है।



गणित के दशकों ने एक न्यूनतम परिकल्पना की ओर इशारा किया है जो मिश्रित प्रमाणों के साथ अण्डाकार वक्रों की रैंक का अनुमान लगाता है। परिकल्पना में कहा गया है कि सांख्यिकीय रूप से, लगभग आधे अण्डाकार वक्रों की रैंक 0 है (अर्थात, उनके पास या तो परिमेय बिंदुओं की संख्या शून्य है, या शून्य), और दूसरे आधे में 1 है (यानी, उनकी अनंत संख्या में परिमेय बिंदु एक से उत्पन्न हो सकते हैं। )। इस परिकल्पना के अनुसार, अन्य सभी मामलों की संख्या गायब है। इसका मतलब यह नहीं है कि कोई अपवाद नहीं हैं, या यहां तक ​​कि उनमें से एक परिमित संख्या है - लेकिन अगर हम दीर्घवृत्तीय वक्रों के कभी बड़े संग्रह लेते हैं, तो अन्य श्रेणियों में गिरने वाले घटता कम और कम प्रतिशत हो जाएंगे, और उनकी संख्या 0% हो जाएगी ।

यह धारणा पहली बार 1979 में कोलंबिया विश्वविद्यालय के डोरियन गोल्डफेल्ड द्वारा तैयार की गई थी, जो अण्डाकार वक्रों के एक विशेष वर्ग का जिक्र करती है। हार्वर्ड यूनिवर्सिटी के बैरी मजूर कहते हैं, "यह लंबे समय से लोककथाएं हैं।"

एक आंशिक रूप से न्यूनतावादी परिकल्पना व्यापक विश्वास द्वारा समर्थित है कि अण्डाकार वक्रों में बहुत अधिक तर्कसंगत बिंदु नहीं होने चाहिए। दरअसल, अल्पसंख्यक तर्कसंगत संख्याओं की संख्या रेखा पर है।

"द एरिकप्टिक कर्व्स के तर्कसंगत बिंदु गणित के यादृच्छिक मोती हैं, और यह कल्पना करना बहुत मुश्किल है कि कई ऐसी अनमोल दुर्घटनाएं हैं," अमेरिकन मेडिकल सोसायटी के जर्नल बुलेटिन के लिए 2007 में मजूर और उनके तीन सह-लेखकों ने लिखा था।

पहली नज़र में, यह बताता है कि अधिकांश अण्डाकार वक्रों की रैंक 0. होनी चाहिए। लेकिन कई गणितज्ञ समता परिकल्पना में विश्वास करते हैं, जो मानता है कि सम-विषम वक्र विषम और विषम रैंक 50 से 50 होते हैं। यदि आप समता परिकल्पना को तर्कसंगत बिंदुओं की दुर्लभता के साथ जोड़ते हैं, तो हम एक न्यूनतम परिकल्पना प्राप्त करते हैं - न्यूनतम संभव रैंकों, 0 और 1 के बीच 50 को 50 से विभाजित करते हैं।

न्यूनतावादी परिकल्पना के समर्थन में, प्रायोगिक डेटा भी कहते हैं कि अण्डाकार वक्रों के लिए उच्च रैंक होना वास्तव में कठिन है। अण्डाकार वक्र विशेषज्ञों ने उच्च रैंकिंग वाले वक्रों की खोज के लिए कंप्यूटरों का उपयोग किया। वर्तमान रिकॉर्ड लगभग 28 पर सेट है - लेकिन ऐसे बहुत कम वक्र हैं और उनके गुणांक विशाल हैं।

लेकिन अन्य अनुमान इतने प्रेरणादायक नहीं हैं। गणितज्ञों ने सैकड़ों हजारों दीर्घवृत्तीय वक्रों के रैंकों की गणना की है, और अब तक सभी वक्रों के 20% में 2. रैंक है। एक छोटे लेकिन बहुत छोटे प्रतिशत के घटता के लिए नहीं, रैंक 3 है। न्यूनतर परिकल्पना के अनुसार, यदि सभी अण्डाकार कर्वों को ध्यान में रखा जाए तो उनका प्रतिशत शून्य हो जाएगा। "जाहिर है, डेटा धारणा के विरोध में हैं," Mazur कहा।

आमतौर पर, जब डेटा परिकल्पना के अनुरूप नहीं होता है, तो इसे सही ढंग से खारिज कर दिया जाएगा। लेकिन कई गणितज्ञ न्यूनतम परिकल्पना से चिपके रहते हैं। हालांकि कंप्यूटर ने कई उदाहरणों को फिर से काम किया है, गणितज्ञ बताते हैं कि ये गणना केवल हिमशैल के टिप हैं। "यह भी हो सकता है कि जब तक हम परिकल्पना को साबित नहीं करते हैं, तब तक हमारे द्वारा एकत्र किए गए कोई भी डेटा, यहां तक ​​कि मात्रा में बहुत ठोस नहीं है, सिद्धांतकारों को आश्वस्त करेगा," मज़ूर ने सहयोगियों के साथ लिखा।

उन्होंने यह भी जोड़ा कि 1 से अधिक की रैंक के साथ गणना किए गए अण्डाकार घटता का एक बड़ा हिस्सा भौतिक विज्ञान में काले पदार्थ के समान है। “तर्कसंगत बिंदुओं का यह बड़ा द्रव्यमान स्पष्ट रूप से है। हमें इस बारे में कोई संदेह नहीं है। हमें केवल इस बात पर संदेह है कि वे इस तथ्य के लिए संतोषजनक स्पष्टीकरण कैसे दें कि वे वहां हैं। ”

डेटा और सिद्धांत के टकराव के कारण, वे लिखते हैं, दशकों तक न्यूनतम परिकल्पना "या तो अस्वीकार कर दी गई थी या दी गई थी।"

नए तरीके

कुछ समय पहले तक, गणितीय दुनिया के उभरते सितारे, मंजुल बर्गवा, डबरों के शिविर में थे। 2002 में लोकप्रिय पत्रिकाओं में से एक ने उन्हें "शीर्ष दस प्रतिभाओं" में स्थान दिया, और अगले साल 28 में, वह प्रिंसटन विश्वविद्यालय में प्रोफेसर का खिताब पाने वाले सबसे कम उम्र के लोगों में से एक बन गए। उनके सहयोगी न केवल उनकी गणितीय उपलब्धियों, बल्कि उनकी दयालुता और रचनात्मक स्वभाव की भी प्रशंसा करते हैं।


मंजुल बर्गवा 38 पर

"मंजुल एक बहुत ही असामान्य लड़का है," सकल ने कहा। "वह ज्यादातर लोगों से अलग तरीके से चीजों को देखता है, और यही उसकी प्रतिभा है।"

बरगावा, संख्या सिद्धांत के विशेषज्ञ, गणना किए गए डेटा और न्यूनतम परिकल्पना के बीच स्पष्ट विपरीत में रुचि रखते थे। "यह बताता है कि वहाँ कुछ दिलचस्प हो रहा है," उन्होंने कहा। "मैं अपने सहयोगी, पीटर सरनक के पास गया, और उससे पूछा:" आप इस धारणा में कैसे विश्वास कर सकते हैं? "बरगवा याद करता है। "मेरे लिए यह मज़ेदार लग रहा था।"

लेकिन सरनक का मानना ​​था कि परिणामस्वरूप डेटा विपरीत दिशा में झुकना शुरू हो जाएगा, जब बहुत बड़े गुणांकों के साथ अण्डाकार वक्रों की गणना करना संभव होगा। "वह इस परिकल्पना में बहुत आश्वस्त थे," बर्गवा ने कहा।

बरगावा ने परिकल्पना के बारे में कुछ विशिष्ट जानने के लिए एक रास्ता या कोई और तय किया। "समय कुछ साबित करने के लिए आ गया है," वे कहते हैं। उन्होंने एल्गोरिथ्म के सेटों का अध्ययन करना शुरू किया, जो 17 वीं शताब्दी में फर्मेट द्वारा शुरू की गई प्रक्रिया में उत्पन्न होकर अण्डाकार वक्रों के रैंक की गणना करते हैं। यह एल्गोरिदम का एक परिवार है जिसे वंश एल्गोरिदम कहा जाता है - 2 से अधिक प्रत्येक पूर्णांक के लिए एक एल्गोरिथ्म मौजूद है - उन्होंने विशेषज्ञ रूप से काम किया और तर्कसंगत बिंदुओं के साथ अण्डाकार वक्र पाया। लेकिन कई प्रयासों के बावजूद, कोई भी यह साबित करने में सक्षम नहीं था कि ये एल्गोरिदम हमेशा काम करेंगे।

बरगावा ने एक अलग दृष्टिकोण की कोशिश करने का फैसला किया। "मुझे एक ही समय में सभी अण्डाकार घटता के लिए वंश एल्गोरिथ्म की कोशिश करने का विचार था, और फिर साबित करें कि ज्यादातर मामलों में यह काम करेगा।" वास्तव में, न्यूनतम परिकल्पना का अध्ययन करने के लिए यह जानना आवश्यक नहीं है कि प्रत्येक अण्डाकार वक्र कैसा दिखता है - यह जानने के लिए पर्याप्त है कि वे किस प्रकार के लिए प्रयास कर रहे हैं।

इस तरह के दृष्टिकोण में संख्या ज्यामिति के क्षेत्र में काम शामिल था, विभिन्न आंकड़ों में जाली नोड्स की गिनती में लगे (जाली नोड पूर्णांक निर्देशांक के साथ एक बिंदु है)। एक सर्कल या वर्ग जैसे सरल रूपों में, जाली नोड्स की संख्या लगभग आकृति के क्षेत्र से मेल खाती है। लेकिन बरगावा के कार्य में अधिक जटिल आंकड़े थे, और जब किसी आंकड़े में जटिल विशेषताएं होती हैं, जैसे कि टेंकलेस, तो इसके क्षेत्र की तुलना में अधिक या कम जाली नोड हो सकते हैं।


26 में अरुल शंकर

इस तरह के रूपों को अपनाने से पहले, बरगवा ने अपने स्नातक छात्र अरुल शंकर के लिए एक समान लेकिन सरल कार्य निर्धारित किया। अक्सर, स्नातक छात्र वर्षों से शोध प्रबंधों के कार्यों से जूझते हैं, लेकिन शंकर ने केवल तीन महीनों में समाधान निकाला। इसलिए, बर्गवा कहते हैं, "मैंने उनसे पूछा कि क्या वह मुझसे जुड़ना चाहेंगे।"

माजूर कहते हैं कि बरगवा और शंकर ने नई तकनीकों का एक समूह विकसित किया है, जिसका महत्व उनके द्वारा हल किए जा रहे मूल कार्य से आगे जाने की संभावना है। "संख्या की ज्यामिति हमेशा एक गहरी और शक्तिशाली विधि रही है, और अब उन्होंने इसकी शक्ति को गंभीरता से बढ़ाया है।" उन्होंने कहा कि उनकी तकनीक की प्रतिभा "संख्या सिद्धांत में नई संभावनाओं को खोलती है।"

ये नई तकनीकें "संख्या सिद्धांत को कई और वर्षों तक प्रभावित करेंगी," सकल इससे सहमत हैं।

स्पष्ट पैटर्न

यदि न्यूनतम परिकल्पना सत्य है, तो अण्डाकार वक्रों की औसत रैंक ½ होनी चाहिए, लेकिन बरगवा और शंकर के काम से पहले, गणितज्ञ यह भी साबित नहीं कर सके कि औसत मूल्य परिमित होगा। 2-क्रम वंश एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, बरगावा और शंकर यह दिखाने में सक्षम थे कि सभी अण्डाकार घटता के लिए औसत रैंक 1.5 से अधिक नहीं है। पिछले चरण में संसाधित नहीं किए गए कुछ घटता के लिए आदेश 3, 4 और 5 का उपयोग करते हुए, वे ऊपरी पट्टी को 0.88 तक कम करने में सक्षम थे।

और यद्यपि इस मूल्य और न्यूनतम परिकल्पना द्वारा अनुमानित औसत के बीच एक अंतर है, बर्गवा और शंकर की खोज एक छलांग आगे का प्रतिनिधित्व करती है। सर्नाक कहते हैं, "यह केवल पहला कदम है, लेकिन पहले से ही बहुत बड़ा है।" "यह देखना बहुत अच्छा है कि दो युवा कितने सक्रिय रूप से आगे बढ़ रहे हैं।"

इसके अलावा, यह दर्शाते हुए कि औसत रैंक 1 से कम है, बरगवा और शंकर ने साबित किया कि दीर्घवृत्त के बड़े टुकड़े - कम से कम 12% - की रैंक 0 है (क्योंकि अन्यथा औसत अधिक होगा)। उन्होंने इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि घटता का एक ही हिस्सा प्रसिद्ध बर्च-स्विंटर्टन-डायर की परिकल्पना को संतुष्ट करता है , अण्डाकार घटता का पुराना प्रश्न, जिसके लिए क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथेमेटिक्स को एक मिलियन डॉलर का इनाम दिया गया था।

क्ले इंस्टीट्यूट में एक बरगावा व्याख्यान में, श्रोताओं में से एक ने मजाक में पूछा कि क्या बर्गवा और शंकरु अब एक मिलियन में पुरस्कार के 12% पर भरोसा करते हैं। बार्गेरी ने दुख के साथ कहा, "संस्थान के प्रतिनिधि व्याख्यान में थे, और उन्होंने तुरंत कहा कि नहीं, उन्हें नहीं करना चाहिए।"

बरगवा और शंकर की खोजों ने संख्या सिद्धांत के विशेषज्ञों को चिंतित किया, जिनमें से कई ने मध्यम रैंक के क्षेत्र में प्रगति की उम्मीद नहीं की थी। ग्रॉस कहते हैं, '' मंजुल के काम के बारे में मुझे बताने से एक महीने पहले आप मुझसे पूछते हैं, '' मैं आपको जवाब दूंगा कि यह बेकार है। '' अब, उन्होंने कहा, न्यूनतम परिकल्पना अधिक से अधिक आशाजनक दिखती है। "मैं उस पर पैसा लगाऊंगा।"

संभावित तरीकों में से एक - जिसके लिए नए विचारों के एक जलसेक की आवश्यकता होती है, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं - मध्य रैंक की सीमाओं को और अधिक परिष्कृत करने के लिए 5 से अधिक ऑर्डर कम करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करने का प्रयास करना है। बर्गवा ने कहा, "2, 3, 4 वें और 5 वें क्रम के वंशजों के उपयोग के साथ, एक स्पष्ट पैटर्न उत्पन्न हुआ है, और सबसे अधिक संभावना है कि यह जारी रहेगा।"

बरगवा खुद को इस विचार के अधिकारों का एकमात्र मालिक नहीं मानते हैं, और उम्मीद करते हैं कि उनका काम युवा गणितज्ञों को अण्डाकार वक्रों के तर्कसंगत बिंदुओं के क्षेत्र में आगे अनुसंधान के लिए प्रेरित करेगा। "न्यूनतम परिकल्पना अपने आप में एक अंत नहीं है," वे कहते हैं। - हर बार, दरवाजा खोलने पर, यह पता चलता है कि आपको कई और दरवाजे खोलने की जरूरत है। जितने अधिक लोग ऐसा कर रहे हैं, उतने अधिक दरवाजे हम खोल सकते हैं। ”