एक संभाव्य सूक्ष्मदर्शी का निर्माण कैसे करें

अफवाहों के अनुसार, 20 वीं सदी की फॉक्स कुछ वर्षों में 1966 की साइंस फिक्शन फिल्म फैंटास्टिक जर्नी का रीमेक रिलीज करेगी। कथानक के अनुसार, नायक को मानव शरीर में संकुचित और इंजेक्ट किया जाता है, जिसके माध्यम से वे एक सूक्ष्म आकार की पनडुब्बी में यात्रा करते हैं। ऐसे पैमानों पर, रक्त प्रवाह खतरनाक अशांति में बदल जाता है, सफेद शरीर एक जहाज को निगल सकता है, और एक बूंद का सतही तनाव एक निरोधात्मक बाधा में बदल जाता है।

स्केलिंग हमारी सहज समझ को नष्ट कर देती है कि हमारे लिए क्या महत्वपूर्ण है, क्या शक्ति है और क्या खतरनाक है। जीवित रहने के लिए, आपको अंतर्ज्ञान को पुन: कॉन्फ़िगर करने की आवश्यकता है। यहां तक ​​कि अगर परिचित तराजू पर किसी भी प्रभाव की उपेक्षा की जा सकती है, तो अपरिचित तराजू पर थोड़ा कम नगण्य प्रभाव अविश्वसनीय रूप से महत्वपूर्ण हो सकता है।



हम कैसे समझते हैं कि एक अपरिचित पैमाने पर क्या महत्वपूर्ण हो सकता है? यह पता चला है कि बड़े विचलन का एक गणितीय सिद्धांत है जो संभावनाओं के साथ उसी तरह काम करता है जिस तरह से घटती किरण ने फैंटास्टिक ट्रैवल टीम के साथ काम किया। जबकि संभाव्यता का शास्त्रीय सिद्धांत सामान्य घटनाओं की संभावनाओं से संबंधित है, बड़े विचलन का सिद्धांत अत्यंत दुर्लभ घटनाओं में माहिर है, जो तब उत्पन्न होते हैं जब कई असामान्य हो जाते हैं। यह हमें एक संभाव्य माइक्रोस्कोप पर ज़ूम इन करने की अनुमति देता है कि कैसे एक अत्यंत असंभावित घटना घट सकती है।

जिस समय से सिद्धांत 50 साल पहले तैयार किया गया था, उस समय से गणितज्ञ एस.आर. श्रीनिवास वरदान, इसका ध्यानपूर्वक अध्ययन और विकास किया गया। यह दिखाता है कि एक यादृच्छिक प्रणाली का औसत व्यवहार कैसे विशिष्ट से विचलन कर सकता है। सभी दुर्लभ संभावनाओं की सावधानीपूर्वक तुलना करके, आप देख सकते हैं कि कैसे हम अक्सर असामान्य घटनाओं की संभावनाओं को कम आंकते हैं जब हम अपना ध्यान उन सामान्य तरीकों पर सीमित करते हैं जिनमें वे हो सकते हैं।

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उच्च आवृत्ति व्यापारी

एक उच्च-आवृत्ति वाला व्यापारी लेनदेन के लंबे अनुक्रम का संचालन करता है। उनमें से प्रत्येक पर, $ 1,000,000 के प्रारंभिक मूल्य के साथ उसकी स्थिति आधा प्रतिशत बढ़ जाती है या आधा प्रतिशत कम हो जाती है, और किसी भी परिणाम की संभावना his है। एक लाख लेनदेन में उसके पास कितना पैसा होने की संभावना है?

वह इस तरह से कारण बना सकता है: प्रत्येक लेनदेन एक ही राशि से ऊपर या नीचे जाता है, इसलिए औसत राशि नहीं बदलेगी, और अंत में उसके पास $ 1 मिलियन शेष होने चाहिए।

और यहां एक और तर्क दिया गया है: जब वह जीतता है, तो उसका भाग्य 1.005 गुणा होता है। जब हारते हैं, तो 0.995 पर। वह और वह दोनों इसे 1,005 x 0,995 = 0,999975 से गुणा करते हैं। एक लाख लेनदेन के लिए, इनमें से 500,000 और अन्य मामले होंगे, इसलिए मूल मिलियन $ 1,000,000 x (0,999975) ^500,000 में बदल जाएगा, जो लगभग $ 3.73 के बराबर है।

कौन सा तर्क सही है? विचित्र रूप से पर्याप्त, दोनों, लेकिन दूसरा अधिक महत्वपूर्ण होगा। सबसे अधिक संभावना है, व्यापारी के पास कुछ भी नहीं होगा, लेकिन अगर हम अप्रत्याशित घटनाओं के सेट को बढ़ाते हैं जिसमें वह जीतता है, तो हम ऐसे विकल्प देखेंगे जिसमें वह बहुत जीतता है। यहां मुख्य कार्य I (x) है, एक संबंध फ़ंक्शन जो दिखाता है कि लेनदेन की संख्या के साथ परिणाम x प्राप्त करने की संभावना कैसे घट जाती है। यहां x एक संख्या है, लेकिन कार्य के आधार पर, यह एक यादृच्छिक प्रक्षेपवक्र, एक यादृच्छिक नेटवर्क संरचना या ब्रह्मांड का यादृच्छिक ज्यामिति हो सकता है। I (x) = 0 एक विशिष्ट मामले से मेल खाता है जिसमें बहुत कम संभावना नहीं है - हमारे मामले में, यह एक विकल्प है जिसमें व्यापारी की स्थिति एक घातीय दर के साथ घट जाती है। I (x) के बड़े मान घातीय कम से कम संभावित x के अनुरूप हैं।

औसत मूल्य एक तेजी से घट रही संभावना और एक तेजी से बढ़ती स्थिति के बीच एक समझौता निर्धारित करता है। उनमें से संभावना के छोटे आकार के बावजूद, एक्स के कुछ बहुत बड़े हो जाते हैं। इस समझौते का अनुकूलन अनुभवहीन सहज धारणा की पुष्टि करता है कि औसत व्यापारिक परिणाम $ 1 मिलियन के बराबर होगा - भले ही आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि लगभग सभी व्यापारी लगभग सब कुछ खो देंगे। यदि 1 मिलियन व्यापारी हैं, और उनमें से प्रत्येक 1 मिलियन डॉलर की पूंजी के साथ एक मिलियन लेनदेन करता है, तो औसत परिणाम वास्तव में $ 1 मिलियन के बराबर होगा। लेकिन यह औसत 1-2 व्यापारियों द्वारा निर्धारित किया जाएगा, जिनके खातों में सैकड़ों अरबों डॉलर होंगे। अधिकांश पैसे यादृच्छिक व्यापारियों की एक छोटी संख्या के खातों में होंगे, और अधिकांश व्यापारी अपना सब कुछ खो देंगे।

जीतने की संभावना, या अपने दम पर रहने, 100 में 1 से अधिक नहीं।

टेलीफोन नोड

संचार नेटवर्क की मुख्य समस्या भीड़ की संभावना निर्धारित कर रही है। टेलिफोन नोड या इंटरनेट के डेटा बफर में औसत भार के लिए पर्याप्त क्षमता हो सकती है, लेकिन एक साथ अनुरोधों की असामान्य मात्रा को संभालने के लिए पर्याप्त नहीं है।

बेला की प्रयोगशाला, एलन वीस और एडम शवार्ट्ज के गणितज्ञों ने 1995 में संचार नेटवर्क के लिए बड़े विचलन सिद्धांत के अनुप्रयोग का संकेत दिया। सिद्धांत रूप में, एक दुर्लभ घटना की संभावना प्रणाली के आकार के साथ तेजी से घट जाती है। गणित की भाषा में, संभाव्यता ई ^{-एन * I (x) के} रूप में बदलती है, जहां n आकार को दर्शाता है, x एक दुर्लभ घटना का मार्ग है, मैं इस पथ को चुनने की सापेक्ष संभावना देने वाला अनुपात फ़ंक्शन हूं। दुर्लभ घटनाएं आमतौर पर एक अनुमान के अनुसार होती हैं - एक जो रिश्ते के कार्य को कम करती है - और लंबे समय के अंतराल द्वारा अलग किए गए समूहों में होती है।

किसी भी कार्य में, रिश्ते के कार्य को निर्धारित करने (और सफलतापूर्वक व्याख्या करने) में कठिनाई निहित है। यह भार के सभी अनुक्रमों की सापेक्ष संभावना प्रदान करता है, जिसमें से संयोजन ओवरलोड के लिए अग्रणी होते हैं और अनुपात फ़ंक्शन का कम से कम मूल्य होता है, अर्थात, सबसे बड़ी संभावना है, व्युत्पन्न किया जा सकता है। ये संयोजन भीड़ की आवृत्ति, साथ ही साथ उनकी प्रकृति का निर्धारण करते हैं: कितने स्रोत सक्रिय होंगे, वे कौन से स्रोत होंगे और कितनी जल्दी यह भीड़ से निपटने का प्रबंधन करेगा।

एक साधारण उदाहरण के रूप में, एक टेलीफोन नेटवर्क पर विचार करें जिसमें प्रत्येक बड़ी संख्या में उपयोगकर्ता - कहते हैं, एक मिलियन - यादृच्छिक समय पर जोड़ता है, ताकि औसतन वे 1% समय पर लाइन पर रहें। (हम मानते हैं कि वे एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से कॉल करते हैं, और दिन के किसी भी समय समान अवसरों के साथ)। औसत मांगों को पूरा करने के लिए नेटवर्क को संचार की 10,000 लाइनों की आवश्यकता होती है। कंपनी, बड़े विचलन का उपयोग करते हुए, अनुमान लगाती है कि जब 10,500 संचार लाइनों को चालू किया गया था, तो यह प्रति वर्ष लगभग 2 मिनट के लिए अधिभार की स्थिति में होगा।

कल्पना कीजिए कि नेटवर्क के अलावा, आधे मिलियन खिलाड़ी उस कंसोल का उपयोग करना शुरू करते हैं जो उस समय के 1 प्रतिशत लाइन पर होते हैं, लेकिन बड़े बैंडविड्थ की आवश्यकता होती है - वे प्रत्येक 5 लाइनों को उठाते हैं। नए उपयोगकर्ताओं को औसतन 10,000 लाइनों की भी आवश्यकता होती है, इसलिए कंपनी अपनी क्षमता को 21,000 लाइनों तक दोगुना करने का निर्णय लेती है। लेकिन परिणामस्वरूप, सप्ताह में कई मिनट के लिए नेटवर्क ओवरलोड हो जाता है। रिलेशनशिप फंक्शन के विश्लेषण से पता चलता है कि खिलाड़ी औसतन समान नेटवर्क क्षमता का उपयोग करते हैं क्योंकि अन्य उपयोगकर्ता कंजेशन के दौरान 8% अधिक लाइनों का उपयोग करते हैं, और अतिरिक्त 250 लाइनें नेटवर्क अपटाइम को पुनर्स्थापित करेंगी। यदि हम भीड़ से पहले नेटवर्क लोड सेकंड की साजिश रचते हैं, तो हम देखेंगे कि यह लगभग हमेशा एक निश्चित पैटर्न का अनुसरण करता है, धीरे-धीरे ऊपर की ओर छत को समाप्त करने से पहले ऊपर की ओर झुकता है - और इस वक्र की गणना एक न्यूनतम अनुपात फ़ंक्शन के रूप में भी की जा सकती है।

आधुनिक विकेंद्रीकृत पैकेट-साझाकरण नेटवर्क में, संबंध फ़ंक्शन बोटनेट्स, वायरस-संक्रमित कंप्यूटरों के नेटवर्क का पता लगाने में मदद कर सकता है जो अपराधी स्पैम और सिस्टम पर हमले भेजने के लिए उपयोग करते हैं। यह विचार बॉटनेट-नियंत्रित करने वाले कंप्यूटर की पहचान करना है जो अन्य कंप्यूटरों की असामान्य रूप से बड़ी संख्या के साथ संचार करता है, और फिर उन कंप्यूटरों में असामान्य सहसंबंधों की पहचान करके पहचान की पुष्टि करता है जिनके साथ यह संचार करता है। इस उद्देश्य के लिए, बोस्टन विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं ने एक संबंध फ़ंक्शन का उपयोग किया, जो सभी कारणों के बीच वर्णन कर सकता है कि असंबद्ध कंप्यूटर का एक असंभावित बड़ा सेट एक ही रिमोट सर्वर के साथ संचार क्यों कर सकता है, जो उनके संचार को सहसंबंधित करने के लिए विकल्पों में से सबसे अधिक संभावना है। (वैंग, जे। एंड पस्चलिडिस, आईसी बॉटनेट डिटेक्शन विसंगति और समुदाय का पता लगाने पर आधारित। IEEE ट्रांजेक्शंस ऑफ कंट्रोल ऑफ़ नेटवर्क सिस्टम्स (2016)। डीओआई से लिया गया: 10.1109 / TCNS.2016.2532804।)

नींद का बीज

Diapause - जैविक विकास में देरी, अक्सर एक प्रारंभिक चरण में होता है। कई पौधों की प्रजातियां ऐसे बीज का उत्पादन करती हैं जो तुरंत विकसित नहीं होते हैं, लेकिन लंबे समय तक निष्क्रिय रहते हैं, और एक स्थिर आपूर्ति बनाते हैं। यह देखते हुए कि अस्तित्व की लड़ाई आम तौर पर "जो वहां पहले और अधिक हो जाती है" में बदल जाती है, एक यादृच्छिक विकासात्मक देरी थोड़ा पर्यावरणीय रहस्य है।

स्थिति को समझने के लिए, श्रीपाद तुलजापुरकर और मैंने अपने संयुक्त काम में एक साधारण मॉडल की जांच की: एक प्रजाति जो दो साल के जीवन चक्र के साथ होती है, जिसमें यह पहले साल से बीज से वयस्क तक बढ़ता है और दूसरा बीज उत्पादन में खर्च करता है। (स्टीनसाल्ट्ज़, डी। और तुलजापुरकर, एस। दुर्लभ प्रवासन या डायपॉज़ के साथ जीवन इतिहास के लिए स्टोकेस्टिक विकास दर। ArXiv: 1505.00116 (2015)। हमने निम्नलिखित प्रश्न पूछा: विकास दर इस तथ्य को कैसे प्रभावित करेगी कि कुछ बीज हाइबरनेशन में रहेंगे। एक साल के लिए?

इस मामले में, जहां वर्ष-दर-वर्ष बीजों की वृद्धि, उत्तरजीविता और उत्पादन निरंतर बना रहता है, उत्तर स्पष्ट है: व्यक्तियों की वृद्धि दर जनसंख्या वृद्धि को कम करती है। लेकिन अलग-अलग पर्यावरणीय परिस्थितियों में, सब कुछ अलग-अलग तरीके से बदल जाता है। यहां तक ​​कि थोड़ी देरी से आबादी में तेज वृद्धि होती है।



यदि 1% बीज एक वर्ष प्रतीक्षा करता है, तो एक व्यक्ति को 100 वर्षों की 1 देरी का अनुभव करने के लिए एक विशिष्ट वंशावली प्रक्षेपवक्र की उम्मीद होगी, और बड़े होने पर विशिष्ट पर्यावरणीय परिस्थितियों में गिर जाएगी। लेकिन बीजों की बाद की पीढ़ियों में बहुत ही दुर्लभ प्रक्षेपवक्र होंगे जो अधिक बार झुलसते हैं, जिसमें ये देरी केवल सबसे खराब वर्षों में होती है, जब विकास का मतलब लगभग निश्चित मृत्यु या बीज का उत्पादन करने में असमर्थता है। ये प्रक्षेपवृत्त बड़े विचलन के रूप में कार्य करते हैं - घातीय रूप से दुर्लभ - लेकिन समय के साथ वे घातीय रूप से अधिक वंशज पैदा करते हैं। जनसंख्या वृद्धि दर अंततः इन असंभावित रास्तों से निर्धारित होती है। दूसरे शब्दों में, यदि हम आज एक जीवित व्यक्ति के प्रक्षेप पथ का पता लगाते हैं, तो यह सफल दुर्घटनाओं के अनुक्रम की तरह दिखेगा।

एक ही गणित प्रवास के लिए काम करता है, निवास स्थान संरक्षण के महत्वपूर्ण सिद्धांत का समर्थन करता है: दृश्य दो समान रूप से अच्छे क्षेत्रों के बीच स्थानांतरित करने की क्षमता से लाभ होगा जहां मौसम की स्थिति में साल-दर-साल बदलाव होता है। प्रत्येक व्यक्ति, परिवार के इतिहास पर नज़र रखने वाला, इसमें उन पूर्वजों को ढूंढेगा, जो संयोग से, एक जगह से भाग गए थे, प्रलय की शुरुआत से ठीक पहले, या भोजन के बहुत होने पर दूसरी जगह पहुंचे। यह भोजिक विकास का एक विशेष मामला है: अधिकांश जीवित जीव संतानों को छोड़ने के बिना मर जाते हैं, लेकिन आप अपने पूर्वजों को अरबों पीढ़ियों तक ट्रैक कर सकते हैं और ऐसे किसी भी हारे हुए व्यक्ति से नहीं मिल सकते हैं। आपके लिए भाग्यशाली!

शतायु

एक निश्चित उम्र तक रहना - जो ज्यादातर लोगों की तुलना में कम होता है, जो इस संभावना से कम होता है कि आप एक और साल जीएंगे, अधिकतम 12 साल की उम्र में होगा - आप इस तथ्य का सामना करेंगे कि आपकी शारीरिक स्थिति और एक और साल रहने की संभावना हर समय कम हो जाती है, भले ही छोटी अवधि के लिए आप सुधार प्राप्त कर सकते हैं। सैद्धांतिक जनसांख्यिकी ने उम्र बढ़ने के मॉडल पर विचार किया, जिसमें किसी व्यक्ति की "उत्तरजीविता" एक यादृच्छिक चर के रूप में कार्य करती है जो छोटे चरणों में बदल जाती है, और जो ऊपर की ओर नीचे की ओर बदलने की अधिक संभावना है, और मृत्यु की संभावना अधिक जीवित रहने की क्षमता को कम करती है।

आश्चर्य नहीं कि इस मॉडल का अनुसरण करते हुए, यह गणना की जा सकती है कि जनसंख्या की औसत उत्तरजीविता उम्र के एक समारोह के रूप में घट जाती है ... जब तक कि कोई बिंदु नहीं। लेकिन आबादी का एक छोटा हिस्सा एक निश्चित आयु तक जीवित रहता है, और ये असाधारण व्यक्ति हैं। शायद वे आनुवंशिक लॉटरी जीतने के लिए भाग्यशाली थे। शायद जीवन के यादृच्छिक धक्कों ने उन्हें अपेक्षाकृत सकारात्मक दिशा में निर्देशित किया।

जैसा कि यह हो सकता है, मॉडल भविष्यवाणी करता है कि बचे हुए लोगों की उत्तरजीविता धीरे-धीरे कम हो जाती है। प्रत्येक व्यक्ति अभी भी कम हो रहा है, लेकिन जो कम हो गए हैं उन्हें एक बूढ़ी महिला द्वारा एक स्काईथ के साथ ले जाया जाता है। बचे हुए लोगों की कुल उत्तरजीविता, एक अलग-अलग संतुलन तक पहुँचती है, जिसे "विलक्षण वितरण" कहा जाता है, जो कि अलग-अलग प्रक्षेपवक्रों के बीच जाता है और बचे हुए वितरण के निचले हिस्से में अतिरिक्त व्यक्तियों की जांच करता है।

बड़े विचलन की भाषा में, I (x) के अनुपात का एक कार्य है - जहां x जीवन के लिए उत्तरजीविता का रिकॉर्ड है - जो कि औसत के करीब रहने वाले प्रक्षेपवक्र के लिए शून्य है। जो लोग औसत से दृढ़ता से विचलित होते हैं उनका सकारात्मक संबंध कार्य होता है, अर्थात, उनकी संभावना तेजी से कम होती है। एक ठेठ मॉडल में, आप पा सकते हैं कि सभी जीवन पथों के बीच जो लंबे समय तक चलते हैं, सबसे अधिक संभावना यह है कि गलती से उन लोगों की तुलना में असामान्य रूप से उच्च स्तर पर उत्तरजीविता बनाए रखी गई जो सामान्य अवरोही पथ का अनुसरण करते थे और दुर्घटनाग्रस्त नहीं हुए थे।

यह निम्नानुसार है कि मृत्यु दर - एक निश्चित आयु के व्यक्ति के लिए अगले वर्ष मरने की संभावना - वयस्कता में बढ़ जाती है, और फिर एक बहुत ही सम्मानजनक उम्र में बाहर निकलती है। यह पैटर्न, "मृत्यु दर का पठार," ड्रोसोफिला और नेमाटोड जैसे जीवों में स्पष्ट रूप से देखा जाता है, अगर एक ही प्रयोगशाला स्थितियों में बड़ी मात्रा में मनाया जाता है - मृत्यु दर सबसे आम प्रयोगशाला ड्रोसोफिला, ड्रोसोफिला मेलानोगास्टर में पहले से ही 4 सप्ताह की उम्र में बराबर है। (वुपेल, जेडब्ल्यू, एट अल। दीर्घायु के बायोडियोग्राफिक प्रक्षेपवक्र। विज्ञान 280, 855-860 (1998)।)

मृत्यु दर पठार तब तक लोगों में नहीं दिखा जब तक कि आबादी नहीं बढ़ी और स्वास्थ्य देखभाल में सुधार हुआ, ताकि पर्याप्त लोग 100 साल या उससे अधिक जीवित रह सकें। औसतन, हर 8 साल में एक व्यक्ति की मृत्यु दर दोगुनी हो जाती है, जो 30 s से कुछ 90 s तक होती है। यदि हम 1900 में पैदा हुए अमेरिकियों का एक नमूना लेते हैं, तो 90 वर्षों में उनकी मृत्यु दर लगभग 0.16 थी, यानी उनमें से 16% की मृत्यु इस वर्ष हुई। यह 98 साल की उम्र तक दोगुना हो जाता है, और फिर यह कभी भी दोगुना नहीं होता है। उच्चतम मृत्यु दर 108 की उम्र में 0.62 दर्ज की गई है। इसके बाद, डेटा बहुत छोटा हो जाता है, लेकिन पूरी दुनिया में 110 साल से अधिक उम्र के लोगों का गहन विश्लेषण यह दर्शाता है कि वर्तमान परिस्थितियों में गुणांक 0.4 से 0.7 तक की सीमा में कहीं न कहीं बराबर होगा। (वैपेल, जेडब्ल्यू एंड रॉबिन, जेएम एमरजेंस ऑफ़ सुपर-सेनेटरीज़ इन द लो-मॉर्टेलिटी शहरों। नॉर्थ अमेरिकन एक्टियूरियल जर्नल 6, 54-63 (2002))