ट्रान्सेंडैंटल गणित या गणितीय लोककथाओं के अनुभव

16 मार्च को 19:00 बजे बुकवोएड स्टोर (सेंट पीटर्सबर्ग, लिगोवस्की पीआर। 10) में, विश्व पाई दिवस के लिए "विज्ञान आटा नहीं है" परियोजना के हिस्से के रूप में एक इंटरैक्टिव व्याख्यान आयोजित किया जाएगा: "ट्रांससेडेंटल विज्ञान या गणितीय लोककथाओं में प्रयोग"। "।

डरो मत अगर आप पहले से ही भूल गए हैं कि लघुगणक क्या है और अभिन्न की गणना कैसे करें, तो आपको इसकी आवश्यकता नहीं होगी। व्याख्यान के लिए आवश्यक ज्ञान सामान्य ज्ञान और प्राथमिक तर्क है।

आप अक्सर सुन सकते हैं कि गणित अकल्पनीय रूप से उबाऊ और बहुत सार है। हम गणितीय लोककथाओं के कई उदाहरणों के साथ विपरीत साबित करने की कोशिश करेंगे, और हमारी बैठक का शुरुआती बिंदु एडुआर्ड फ्रेनकेल "लव एंड मैथमेटिक्स" की पुस्तक होगी । छिपी हुई वास्तविकता का दिल । " प्रसिद्ध वैज्ञानिक की पुस्तक मिथक को दूर करने का प्रयास करती है कि गणित एक उबाऊ विज्ञान है। व्याख्यान से आप जानेंगे कि सभी घोड़े एक ही रंग के क्यों होते हैं, चंद्रमा को पनीर से क्यों बनाया जाता है और चंद्रमा के दूर पर एक मक्खी को कैसे पकड़ना है।

जटिल गणितीय लेबिरिंथ में आपका गाइड विटाली फिलीपोव्स्की होगा - गणितज्ञ, आईटीएमओ का स्नातक छात्र, अग्रणी गणितज्ञ और प्रोग्रामर इमोजी ऐप्स।

नीचे हम आपको फ्रेनकेल की पुस्तक से उत्कृष्ट नृत्य के साथ खुद को परिचित करने की पेशकश करते हैं।

1990 के पतन में, मैं हार्वर्ड में स्नातक छात्र बन गया। दौरा करने वाले प्रोफेसर की स्थिति को और अधिक स्थायी रूप से बदलने के लिए यह आवश्यक था। जोसेफ बर्नस्टीन मेरे आधिकारिक पर्यवेक्षक बनने के लिए सहमत हुए। उस समय तक मैंने अपने शोध प्रबंध के लिए पर्याप्त सामग्री जमा कर ली थी, और आर्थर जाफ़ ने संकाय के डीन को एक अपवाद के रूप में मुझे स्नातकोत्तर अध्ययन की अवधि को कम करने की अनुमति दी (जो आमतौर पर 4 या 5 साल लगते हैं, और किसी भी मामले में, नियमों के अनुसार) एक के लिए। साल, ताकि मैं एक साल में अपना बचाव कर सकूं। इसकी बदौलत प्रोफेसर से लेकर स्नातक छात्र तक की मेरी "पदावनति" काफी चली।

मेरी पीएचडी थीसिस एक नई परियोजना के बारे में थी जिसे मैंने अभी पूरा किया। यह सब उस वर्ष के वसंत में लैंगलैंड्स कार्यक्रम के ड्रिनफील्ड के साथ एक चर्चा के साथ शुरू हुआ। यहां हमारी एक बातचीत का एक उदाहरण है, जिसे एक स्क्रिप्ट के रूप में डिज़ाइन किया गया है।

क्रिया १
स्कैन 1
हार्वर्ड में DRINFELD का कार्यालय

ड्रिनफ़ेल्ड दीवार के साथ कमरे को पेस करता है जिस पर एक ब्लैकबोर्ड लटका होता है।
एडवर्ड, एक कुर्सी पर बैठा है, नोट्स लेता है (उसके बगल में टेबल पर एक कप चाय है)।

Drinfeld
तो, सिमुरा - तान्यामा - वेइल परिकल्पना घन समीकरणों और मॉड्यूलर रूपों के बीच एक संबंध खोलती है, लेकिन लैंगलैंड और भी आगे बढ़ गए। उन्होंने अधिक सामान्य पत्राचार के अस्तित्व की भविष्यवाणी की, जिसमें मॉड्यूलर रूपों की भूमिका लाई समूह के ऑटोमोर्फिक अभ्यावेदन द्वारा निभाई जाती है।

एडवर्ड
एक ऑटोमोर्फिक प्रतिनिधित्व क्या है?

Drinfeld (एक लंबे ठहराव के बाद)
सटीक परिभाषा अब हमारे लिए मायने नहीं रखती है। किसी भी मामले में, आप इसे पाठ्यपुस्तक में पा सकते हैं। यह हमारे लिए महत्वपूर्ण है कि यह लाई समूह जी का प्रतिनिधित्व है, उदाहरण के लिए, एक गोले के घूर्णन के समूह एसओ (3)।

एडवर्ड
सब ठीक है। और ये ऑटोमोर्फिक निरूपण किससे जुड़े हैं?

Drinfeld
यह सबसे दिलचस्प है। लैंगलैंड्स ने भविष्यवाणी की कि उन्हें चाहिए
किसी अन्य लाई समूह में एक गाल्वा समूह के अभ्यावेदन से जुड़ा होना।

एडवर्ड
मैं देखता हूं। क्या आपका मतलब है कि यह लाई समूह G समूह नहीं है?

Drinfeld
नहीं! यह एक और ली ग्रुप है जिसे जी। ड्रिनफेल्ड के लिए लैंगलैंड्स ड्यूल ग्रुप कहा जाता है जो बोर्ड पर एलजी का प्रतीक लिखता है।

एडवर्ड
लैंग्लैंड्स के सम्मान में पत्र एल?

Drinfeld (हल्की मुस्कान के साथ)
प्रारंभ में, लैंगलैंड्स एल-फ़ंक्शंस नामक वस्तुओं को समझने की इच्छा से प्रेरित थे, क्योंकि उन्होंने इस समूह को एल-समूह कहा था ...

एडवर्ड
यही है, प्रत्येक लाई समूह जी के लिए एक और लाई समूह है जिसे एलजी कहा जाता है, है ना?

Drinfeld
हां। और वह लैंगलैंड्स के अनुसार मौजूद है, जो योजनाबद्ध रूप से इस तरह दिखता है। Drinfeld एक ब्लैकबोर्ड पर आरेख बनाता है



एडवर्ड
मुझे समझ नहीं आया ... कम से कम अभी के लिए। लेकिन मुझे एक सरल प्रश्न पूछना चाहिए: उदाहरण के लिए, SO (3) के लिए दोहरी लैंगलैंड समूह की तरह क्या होगा?

Drinfeld
यह बहुत आसान है - एसओ (3) को कवर करना। क्या आपने कप के साथ चाल देखी है?

एडवर्ड
एक कप के साथ फोकस? अरे हाँ, मुझे याद है ...

SCENE 2
हार्वर्ड ग्रेजुएट होम पार्टी

एक दर्जन या तो छात्रों, सभी बीस से अधिक, बात करते हैं, बीयर और शराब पीते हैं। एडवर्ड एक स्नातक छात्र के साथ बातचीत करता है।

स्नातक छात्र
यहाँ यह कैसे करना है।
एक स्नातक छात्र एक प्लास्टिक की शराब लेता है और उसे अपने दाहिने हाथ की खुली हथेली पर रखता है। फिर वह अपनी हथेली को घुमाने लगती है, जिससे उसका हाथ तस्वीरों के क्रम में बदल जाता है
(नीचे)। वह एक पूर्ण क्रांति (360 डिग्री) करता है, और उसकी बांह उलटी हो जाती है। अभी भी कप को सीधा रखते हुए, यह स्पिन करना जारी रखता है, और उसके बाद
एक और पूर्ण मोड़ - आश्चर्य! - उसका हाथ और कप उनकी मूल सामान्य स्थिति में वापस आ गया।

एक और स्नातक छात्र
मैंने सुना है कि फिलीपींस में शराब के साथ एक पारंपरिक नृत्य है जिसमें वे दोनों हाथों से इस चाल को करते हैं। वह दो ग्लास बीयर लेता है और दोनों हथेलियों को मोड़ने की कोशिश करता है
उसी समय। लेकिन वह अपने हाथों पर नज़र नहीं रख सकता है, और वह तुरंत दोनों से बीयर छीनता है। सब लोग हँस रहे हैं।

स्कैन 3
DRINFELD का कार्यालय फिर से

Drinfeld
यह ध्यान इस तथ्य को दर्शाता है कि समूह SO (3) पर एक nontrivial बंद रास्ता है, जिसमें से डबल मार्ग, हालांकि, हमें एक तुच्छ मार्ग देता है।

एडवर्ड
ओह, मैं समझ गया। कप का पहला पूर्ण रोटेशन हाथ को असामान्य कोण पर मोड़ता है - यह एसओ (3) को गैर-तुच्छ पथ का एनालॉग है। वह टेबल से एक कप चाय लेता है और फोकस का पहला भाग करता है।

एडवर्ड
ऐसा लगता है कि दूसरा मोड़ आपको अपना हाथ और भी अधिक मोड़ना चाहिए, लेकिन इसके बजाय हाथ अपनी सामान्य स्थिति में लौट आता है। एडवर्ड इस कदम को पूरा करता है।

Drinfeld
वास्तव में।

एडवर्ड
लेकिन इस और दोहरे लैंगलैंड समूह के बीच क्या आम है?

Drinfeld
SO (3) के लिए दोहरी लैंग्लैंड्स समूह SO (3) का दोहरा आवरण है, इसलिए ...


एडवर्ड
तो, समूह SO (3) का प्रत्येक तत्व दोहरे लैंगलैंड समूह के दो तत्वों से मेल खाता है।

Drinfeld
यही कारण है कि इस नए समूह में अब गैर-तुच्छ बंद रास्ते नहीं हैं।

एडवर्ड
यही है, दोहरी लैंगलैंड समूह के लिए संक्रमण उस अव्यवस्था से छुटकारा पाने का एक तरीका है?

Drinfeld
यह सही है। पहली नज़र में ऐसा लगता है कि अंतर न्यूनतम है, लेकिन वास्तव में परिणाम महत्वपूर्ण से अधिक हैं। यह, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉनों और क्वार्क जैसे कणों के निर्माण के व्यवहार के अंतर को बताता है, और ले जाने वाले कण
उनके बीच बातचीत, जैसे फोटॉन। अधिक सामान्य झूठ समूहों के लिए, समूह और उसके दोहरे लैंगलैंड समूह के बीच का अंतर और भी मजबूत है। वास्तव में, कई मामलों में दो दोहरे समूहों के बीच एक दृश्य संबंध भी नहीं है।

एडवर्ड
दोहरे समूह आम तौर पर लैंगलैंड्स के अनुसार क्यों दिखाई दिए? किसी तरह का जादू ...

Drinfeld
यह अज्ञात है।

लैंगलैंड्स द्वैतता झूठ समूहों के बीच एक जोड़ी संबंध स्थापित करती है: प्रत्येक लाई समूह जी के लिए एक दोहरी लाई लैंग्लैंड्स समूह एलजी और एक दोहरी है
एलजी ही G.9 है। यह तथ्य कि लैंग्लैंड्स प्रोग्राम दो अलग-अलग प्रकार की वस्तुओं को जोड़ता है (एक संख्या सिद्धांत से और दूसरा हार्मोनिक विश्लेषण से) अपने आप में आश्चर्यजनक है, लेकिन तथ्य यह है कि दो दोहरे समूह, जी और एलजी, अलग-अलग मौजूद हैं इस पत्राचार के कुछ हिस्सों - यह बस मन के लिए समझ से बाहर है!

हमने इस बारे में बात की कि लैंगलैंड्स कार्यक्रम गणित की दुनिया में विभिन्न महाद्वीपों को कैसे जोड़ता है। आइए सादृश्य जारी रखें: इसे यूरोप और उत्तरी अमेरिका होने दें और एक रास्ता होने दें
यूरोप के प्रत्येक व्यक्ति को उत्तरी अमेरिका के एक व्यक्ति से मिलाएं और इसके विपरीत। इसके अलावा, मान लें कि यह पत्राचार विभिन्न विशेषताओं, जैसे कि वजन, ऊंचाई और उम्र के सही मेल का अर्थ है, एक अपवाद के साथ: प्रत्येक पुरुष एक महिला के साथ जुड़ा हुआ है, और इसके विपरीत। यह स्थिति अपने दोहरे समूह द्वारा एक झूठ समूह की जगह का एक एनालॉग है,
लैंगलैंड्स कार्यक्रम की भविष्यवाणी के अनुसार।

वास्तव में, यह प्रतिस्थापन लैंगलैंड्स कार्यक्रम के सबसे रहस्यमय पहलुओं में से एक है। हम कई तंत्रों को जानते हैं जो बताते हैं कि दोहरे समूह कैसे दिखाई देते हैं, लेकिन हम
अभी भी समझ में नहीं आ रहा है कि ऐसा क्यों हो रहा है। यह अज्ञानता एक कारण था कि वैज्ञानिक लैंगलैंड्स कार्यक्रम के विचारों को गणित के अन्य क्षेत्रों (वेल्थ रोसेटा पत्थर के माध्यम से) और यहां तक ​​कि क्वांटम भौतिकी तक बढ़ाने की कोशिश कर रहे हैं, जैसा कि हम अगले अध्याय में जानेंगे। हम लैंगलैंड्स द्वैतवाद की घटना के और अधिक उदाहरणों को खोजने की कोशिश करते हैं इस उम्मीद में कि यह हमें अतिरिक्त सुराग देगा कि वे क्यों उठते हैं और इसका क्या मतलब है।

आइए अपना ध्यान रोसेटा वेल स्टोन के दाहिने हाथ के स्तंभ पर केंद्रित करें, जो रीमैन सतहों को समर्पित है। जैसा कि हमने पिछले अध्याय में स्थापित किया था, लैंगलैंड्स पत्राचार के संस्करण में जो इस स्तंभ के लिए प्रासंगिक है, अभिनेता "ऑटोमोर्फिक बंडल" हैं। वे ल ग्रुप समूह जी के साथ जुड़े ऑटोमोर्फिक फ़ंक्शंस (या ऑटोमोर्फिक रिप्रेजेंटेशन) की भूमिका निभाते हैं। यह पता चलता है कि ये ऑटोमोर्फिक रीवैन सतह एक्स और समूह जी से जुड़े एक निश्चित स्थान में "लाइव" होते हैं, जिसे एक्स पर जी-बंडलों का मोडुली स्पेस कहा जाता है। फिलहाल यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह क्या है। 10 पत्राचार के विपरीत भाग में, जैसा कि हमने अध्याय 9 में देखा था, किसी दिए गए रीमैन सतह का मूलभूत समूह गैलोज समूहों की भूमिका निभाता है। ऊपर दिए गए चित्र से, यह निम्नानुसार है कि ज्यामितीय लैंग्लैंड पत्राचार को योजनाबद्ध रूप से निम्न प्रकार से देखना चाहिए:


इसका मतलब यह है कि हमें एलजी में मौलिक समूह के प्रत्येक प्रतिनिधित्व के लिए एक ऑटोमोर्फिक शीफ को मैप करने में सक्षम होना चाहिए। और ड्रिनफेल्ड को ऐसा करने का एक नया विचार था।

क्रिया २
स्कैन 1
हार्वर्ड में DRINFELD का कार्यालय

Drinfeld
तो, हमें इन ऑटोमोर्फिक बंडलों के निर्माण के लिए एक विधि खोजने की आवश्यकता है। और यह मुझे लगता है कि काट्ज - मूडी अल्जेब्रा का प्रतिनिधित्व हमारी मदद कर सकता है।

एडवर्ड
क्यों?

Drinfeld
हम अब रीमैन सतहों की दुनिया में हैं। इस तरह की सतह में सीमा होती है जिसमें लूप होते हैं।

Drinfeld बोर्ड पर एक तस्वीर खींचता है।



Drinfeld
छोरों के माध्यम से, रिमन सतहों को लूप समूहों के साथ जोड़ा जा सकता है और इसलिए, काक - मूडी बीजगणित के साथ। और यह कनेक्शन हमें विचारों को बदलने का अवसर देता है
काक - मूडी अल्जेब्रस हमारे रीमैन सतह पर जी-बंडलों के मोडुली स्थान पर शीशों में। चलिए अब इसके बारे में विस्तार से नहीं जानते हैं। जैसा कि मुझे उम्मीद है, योजनाबद्ध रूप से यह
इस तरह दिखना चाहिए।

Drinfeld बोर्ड पर एक चित्र बनाता है।



Drinfeld
दूसरा तीर मेरे लिए स्पष्ट है। मुख्य सवाल यह है कि पहला तीर कैसे बनाया जाए। Feigin ने मुझे Kac - मूडी अल्जेब्रा के अभ्यावेदन पर आपके काम के बारे में बताया। मुझे लगता है कि इसे यहां लागू करने की जरूरत है।

एडवर्ड
लेकिन फिर जी के लिए काट्ज - मूडी बीजगणित का प्रतिनिधित्व किसी तरह "लैंगलैंड्स ग्रुप एलजी के बारे में" जाना जाता है।

Drinfeld
यह सही है।

एडवर्ड
लेकिन यह कैसे संभव है?

Drinfeld
और यह एक ऐसा सवाल है जिसका आपको जवाब देना चाहिए।

पर्दा