एक असंभव पॉलीहेड्रॉन कैसे बनाएं: अवास्तविक वास्तविक दुनिया गणित

गणित हमें लगभग सटीक उत्तरों की सटीक तस्वीर देता है।

मोटे कागज और पारदर्शी टेप का उपयोग करते हुए, क्रेग कपलान एक सुंदर गोल वस्तु को इकट्ठा करता है जो बकमिनस्टर फुलर के निर्माण या एक नए प्रकार के सॉकर बॉल से बना होता है। इसमें चार नियमित डोडेकागॉन (समान कोणों और पक्षों के साथ 12-गॉन) और समभुज त्रिभुजों के रूप में 28 छोटे उद्घाटन के साथ 12 डेकागॉन (10-पक्षीय पॉलीहेड्रा) शामिल हैं। केवल एक समस्या है - यह आंकड़ा मौजूद नहीं हो सकता। बहुभुजों का ऐसा सेट कोने के साथ मेल नहीं खाता है, और आंकड़ा बंद नहीं होता है।

कापलान मॉडल केवल इसलिए काम करता है क्योंकि जब आप इसे कागज से इकट्ठा करते हैं, तो आपके पास पैंतरेबाज़ी की बहुत कम स्वतंत्रता होती है। पक्ष लगभग अपूर्ण रूप से झुक सकते हैं। कनाडा के वाटरलू विश्वविद्यालय के एक कंप्यूटर वैज्ञानिक कपलन कहते हैं, "कागज के साथ वास्तविक दुनिया में काम करने से उत्पन्न होने वाली त्रुटि का मतलब है कि जो चीजें संभव नहीं होनी चाहिए, वे वास्तव में प्राप्त की जाती हैं।"



यह अप्रत्याशित गणितीय वस्तुओं के एक वर्ग का एक नया उदाहरण है जिसे 1960 के दशक में अमेरिकी गणितज्ञ नॉर्मन जॉनसन ने ठोकर खाई थी। जॉनसन ने प्लेटो द्वारा 2000 साल पहले शुरू की गई एक परियोजना के पूरा होने पर काम किया - उन्होंने आदर्श ज्यामितीय आकृतियों की एक सूची बनाई। तीन-आयामी आंकड़ों की अनंत विविधता में से, केवल पांच को एक ही नियमित बहुभुज से बनाया जा सकता है: टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, हेक्साहेड्रोन, इकोसैहेड्रोन, डोडेकाहेड्रोन। यदि आप विभिन्न नियमित बहुभुजों को मिलाते हैं, तो आप 13 और आंकड़े लिख सकते हैं जिसमें सभी बहुभुज वर्टिकल - आर्कमेडियन बॉडी - साथ ही प्रिज्म (चौकों द्वारा जुड़े दो समान बहुभुज) और "एंटीप्रिसेस" (दो समान बहुभुज जो समबाहु त्रिकोण से जुड़े हुए हैं) से मिल सकते हैं।

1966 में, जॉनसन ने मिशिगन विश्वविद्यालय में काम करते हुए 92 और निकायों की खोज की जिसमें केवल नियमित बहुभुज शामिल थे, जो अब [यूएसए में] जॉनसन निकाय कहलाते हैं । और इसने सभी संभावनाओं को समाप्त कर दिया, जो कई वर्षों बाद रूसी गणितज्ञ विक्टर अब्रामोविच ज़ालगैलर द्वारा सिद्ध किया गया था, जिन्होंने तब लेनिनग्राद स्टेट यूनिवर्सिटी में काम किया था। नियमित बहुभुजों से किसी भी अन्य बंद आकार बनाना असंभव है।

लेकिन पॉलीहेड्रा की एक सूची के दौरान, जॉनसन ने कुछ अजीब देखा। उन्होंने कार्डबोर्ड और रबर बैंड से अपने मॉडल की रचना करते हुए, अपने रूपों को पाया। चूंकि बहुत कम संभव पॉलीहेड्रोन हैं, इसलिए उन्होंने उम्मीद की कि नए रूप जल्दी दिखाई देंगे। यदि आप एक साथ चेहरे बनाना शुरू करते हैं, तो आंकड़ा आवश्यक रूप से मेल खाना चाहिए। लेकिन ऐसा हुआ नहीं। "जब बहुभुजों के ढेर को इकट्ठा करना, यह हमेशा स्पष्ट नहीं था कि क्या मैंने एक वैध आकार इकट्ठा किया है," जॉनसन याद करते हैं।

ऐसा लगता है कि मॉडल इकट्ठा हो गया है, लेकिन "यदि आप गणना करते हैं, तो यह पता चलता है कि यह पूरी तरह से सच नहीं है," वे कहते हैं। सावधानीपूर्वक जांच करने पर, यह पता चला कि जो वर्ग प्रतीत हो रहा था वह काफी वर्ग नहीं था, या पक्ष काफी सपाट नहीं थे। चेहरे को थोड़ा सा ट्रिम करना संभव होगा, और वे पूरी तरह से फिट होंगे, लेकिन फिर वे नियमित रूप से बहुभुज नहीं होंगे।

सभी आदर्श आंकड़ों की गणना करने का इरादा रखते हुए, जॉनसन ने इस तरह के "करीबी हिट्स" को महत्व नहीं दिया। "मैं उन्हें एक तरफ रख दिया, और स्वीकार्य पर ध्यान केंद्रित किया," वे कहते हैं। लेकिन इन लगभग आदर्श आंकड़ों ने न केवल कपलान और अन्य गणित प्रेमियों का ध्यान आकर्षित किया, वे लगभग आदर्श गणित के एक बड़े खंड का हिस्सा बन गए।

"लगभग सटीक" हिट की कोई सटीक परिभाषा नहीं है। सहनशील दुनिया में कड़े नियम काम नहीं करते। अब, कापलान को लगभग सही आंकड़ों की खोज में एक अनुमानित विधि द्वारा निर्देशित किया जाता है: "एक वास्तविक, गणितीय त्रुटि जो एक आकृति में निहित है, वास्तविक दुनिया सामग्री और अपूर्ण हाथों से काम करने से उत्पन्न होने वाली व्यावहारिक त्रुटि के बराबर है।" दूसरे शब्दों में, यदि आप एक असंभव पॉलीहेड्रोन को इकट्ठा करने में कामयाब रहे - यदि यह संभव के करीब है तो आप इसे एक असली के रूप में बंद कर सकते हैं - तो यह लगभग सटीक आंकड़ा होगा। गणित की अन्य शाखाओं में, लगभग सटीक परिणाम वास्तविक के इतने करीब हैं कि वे आपको धोखा दे सकते हैं या आश्चर्यचकित कर सकते हैं - एक प्रकार का गणितीय मजाक।

इनमें से कुछ गणितीय विषमताओं को सरल मज़े से अधिक कुछ नहीं कहा जा सकता है, जबकि अन्य में गणित और भौतिकी के गहरे अर्थ हो सकते हैं।

एक सर्कल को चौपट करने और एक क्यूब को दोगुना करने की प्राचीन समस्याएं लगभग सही समाधान की श्रेणी में आती हैं। वे सही समाधान खोजने के लिए प्रलोभन से खुले लगते हैं, लेकिन अंत में वे असंभव हो जाते हैं - एक ज्यामितीय आकृति की तरह जो बंद दिखता है लेकिन नहीं है। लियोनार्डो दा विंसी और अल्ब्रेक्ट ड्यूरर द्वारा तैयार किए गए कुछ डिज़ाइनों ने कोनों को थोड़ा झुका दिया, जो असली लोगों के रूप में लगभग नियमित पेंटागन देते हैं।



और एक लापता वर्ग के साथ एक पहेली है। आकृति में, एक दाहिने त्रिकोण को चार भागों में काटा जाता है। यदि आप उन्हें पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो इसमें एक अंतर दिखाई देता है। वह कहां से आया? यह भी लगभग सही निर्णय है। त्रिकोण में से कोई भी वास्तव में एक त्रिकोण नहीं है। उनके कर्ण मुड़ जाते हैं, और यह नोटिस करना लगभग असंभव है, यही कारण है कि भ्रम इतना दृढ़ है।

डिजिटल मिलान रोजमर्रा की जिंदगी में सबसे उपयोगी सही फैसलों में से एक है। 2 ^7/12 लगभग 3/2 के बराबर है। इसी तरह के एक कारण के लिए, पियानो के पास एक ऑक्टेव में 12 चाबियाँ हैं और पश्चिमी संगीत के समान रूप से टेम्पर्ड सिस्टम के दिल में है। यह दो सबसे महत्वपूर्ण संगीत अंतरालों के बीच एक समझौता है: एक सप्तक (आवृत्ति 2: 1) और पांचवां (आवृत्ति 3: 2)। संख्यात्मक रूप से, एक सप्तक को विभाजित करना संभव नहीं है, ताकि सभी पंद्रह परिपूर्ण हों। लेकिन आप ऑक्टेव को 12 सेमीटोन में विभाजित करके इसके करीब पहुंच सकते हैं, जिनमें से सात आपको 1.498 की आवृत्ति प्रदान करेंगे। ज्यादातर लोगों के लिए, यह पर्याप्त है।

कभी-कभी गणित में लगभग सटीक हिट होते हैं जैसे कि वह खुद को धोखा दे रहा हो। सिम्पसंस एपिसोड "ट्रीहाउस ऑफ हॉरर VI" में, गणित-रुचि वाले दर्शकों ने कुछ असामान्य देखा: समीकरण 1782 ¹² + 1841 ¹² = 1922 ¹² । पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि लेखकों ने फ़र्मेट के महान प्रमेय का खंडन किया था, यह मानते हुए कि समीकरण x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ में पूर्णांक समाधान n> 2 के लिए नहीं है। यदि आप इन संख्याओं को पॉकेट कैलकुलेटर में दर्ज करते हैं, तो परिणाम सही प्रतीत होगा। लेकिन अगर आप सटीकता के साथ गणना करते हैं, तो अधिकांश पॉकेट कैलकुलेटर उपलब्ध नहीं हैं, यह पता चला है कि समीकरण के बाईं ओर से 12 वीं की डिग्री 1921,999999955867 है और 1922 नहीं है, और फ़र्मेट शांत हो सकता है। आश्चर्यजनक रूप से छोटी पर्ची - 10 मिलियन से कम भागों।

लेकिन इस तरह के लगभग सटीक हिट सिर्फ चुटकुले नहीं हैं। "जो मुझे दूसरों की तुलना में अधिक साज़िश करते हैं वे ऐसे मामले हैं जो कुछ और महत्वपूर्ण की उपस्थिति में संकेत देते हैं," कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के रिवरसाइड के गणितज्ञ जॉन बैज़ कहते हैं। यह एक मात्रा का मामला है जिसे कभी-कभी रामानुजन का स्थिरांक कहा जाता है। यह ई ^{approximately 3163 संख्या} , लगभग 262 537 412 640 768 743.999999999999999925 के बराबर, आश्चर्यजनक रूप से पूरे के करीब है। हम उम्मीद नहीं कर सकते हैं कि ये तीन अपरिमेय संख्याएँ - e, three, और --163 - किसी तरह से संयोजित होंगी और हमें एक परिमेय संख्या देंगी, न कि पूरे उल्लेख के लिए। लेकिन एक कारण है कि वे इतने अच्छे से मेल खाते हैं। बैज़ कहते हैं, "यह केवल एक संयोग नहीं है, जिसके बारे में हमें कोई जानकारी नहीं है।" "यह गणित की गहराई की कुंजी है।" सटीक स्पष्टीकरण बल्कि जटिल है, लेकिन इस तथ्य पर आधारित है कि 163 हेगनर संख्याओं में सबसे बड़ा है। इन संख्याओं से जुड़े प्रदर्शक पूर्णांक के बहुत करीब हैं।

या "राक्षसी मूनशाइन परिकल्पना" (राक्षसी चांदनी) के रूप में जाना जाता गणितीय कनेक्शन ले लो। कहानी यह है: 1978 में, गणितज्ञ जॉन मैके ने कितना तुच्छ, सिर्फ रोचक बना दिया, अवलोकन: 196 884 = 196 883 + 1. पहला नंबर एक महत्वपूर्ण बहुपद, जे-इनवेरिएंट का गुणांक था, और दूसरा समूह सिद्धांत से एक विशाल गणितीय वस्तु के संबंध में उत्पन्न हुआ। जिसे " मॉन्स्टर " कहा जाता है। बहुत से लोग अपने कंधों को सिकोड़ेंगे और आगे बढ़ेंगे, लेकिन इस अवलोकन में कई गणितज्ञों की दिलचस्पी थी जिन्होंने इसका अध्ययन करने का फैसला किया। उन्हें दो प्रतीत होने वाले असंबंधित विषयों के बीच एक संबंध मिला: संख्या सिद्धांत और राक्षस समूहों की समरूपता। यह कनेक्शन और भी व्यापक हो सकता है, अभी तक खुला नहीं है, अन्य विषयों के लिए परिणाम। भौतिक विज्ञानी एडवर्ड व्हीटन का मानना ​​है कि मॉन्स्टर समूह क्वांटम गुरुत्व और अंतरिक्ष-समय संरचना से जुड़ा हो सकता है।

गणितीय रूप से लगभग सही हिट, दोनों को दिखाते हैं और गणित के लिए मानव दृष्टिकोण की शक्ति। जॉनसन, कपलान और अन्य ने परीक्षण और त्रुटि के माध्यम से खोज की - एक जीवविज्ञानी के रूप में क्षेत्र का अध्ययन नई प्रजातियों की तलाश में जंगल के माध्यम से। लेकिन गणित में, व्यवस्थित खोज करना आसान है। उदाहरण के लिए, जिम मैकनील, जो शौक के रूप में गणित में रुचि रखते हैं और अपनी साइट पर लगभग सही हिट का एक संग्रह एकत्र करते हैं, और एक प्रोग्रामर रॉबर्ट वेबब ने पॉलीहेड्रा बनाने और अध्ययन करने के लिए सॉफ्टवेयर बनाया।

लगभग सटीक हिट आदर्शवादी, कठोर गणित और हमारी कृपालु और व्यावहारिक भावनाओं के बीच धुंधली रेखा पर रहते हैं। वे सन्निकटन के तर्क को अंदर बाहर करते हैं। आमतौर पर वास्तविक दुनिया को प्लेटो की दुनिया की अपूर्ण छाया माना जाता है। अंतर्निहित गणित की पूर्णता इसके कार्यान्वयन में खो जाती है। लेकिन लगभग सटीक हिट के मामले में, वास्तविक दुनिया अपूर्ण दुनिया की सही छाया है। कपालन कहते हैं, "अनुमान सही उत्तर का गलत अनुमान है, और" लगभग सटीक हिट लगभग सटीक उत्तर का सटीक प्रतिनिधित्व है। "

इस तरह, लगभग सटीक उत्तर प्रकृति के साथ गणितज्ञों और गणितीय भौतिकविदों के बीच संबंध को बदलते हैं। "मैं असली दुनिया की खामियों के लिए आभारी हूं, क्योंकि वे मुझे अनिवार्य रूप से अपूर्ण होने वाली वस्तुओं के साथ काम करके एक अर्ध-आदर्श प्राप्त करने की अनुमति देते हैं," कपलान कहते हैं। "वे मुझे एक टूटी हुई वास्तविकता की सुंदरता के लिए गणित की सीमाओं को पार करने की अनुमति देते हैं।"